Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Duplas

1 a Aqui temos 0π6x0π3 sinx cosy dx dy 0π6 0π3 cosy sinx dx dy 0π6 cosy dy 0π3 sinx dx siny 0π6 cosx 0π3 sinπ6 sin0 cosπ3 cos0 ½ ½ 1 ½ ½ ¼ 0π6x0π3 sinx cosy dx dy ¼ b 02x25 ex lny dx dy 02 25 ex lny dx dy 02 lny dy 25 ex dx lny dy y ddy lny dy02 25 ex dx lnyy dy02 ex 52 lnyy y 02 e5 e2 Portanto temos que 02x25 ex lny dx dy y lny y02 e5 e2 2 ln2 2 e5 e2 Então obtemos que 02x25 ex lny dx dy 2 ln2 1 e5 e2 c Aqui temos que 12x23 x y4 dx dy 12 23 x y4 dx dy 12 x y5 523 dy 12 3 y5 5 2 y5 5 dy 3 y6 56 2 y6 56 12 130 030 930 3630 4630 3630 130 46 36 130 5615 Portanto 12x23 x y4 dx dy 5615 JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS AFIRMAÇÕES UTILIZE CANETA AZUL OU PRETA 1 Integrais duplas sobre retângulos Calcule as seguintes integrais duplas expressando os valores exatos sem nenhuma aproximação a 0π6x0π3 sin x cos y dx dy b 02x25 ex ln y dx dy c 12x23 x y4 dx dy 2 Integrais duplas sobre regiões gerais Considere as seguintes regiões do plano Q xy R2 x2 y x S xy RR 0 y sin x 0 x 2π a Desenhe a região Q no plano cartesiano e calcule a sua área b Desenhe a região S no plano cartesiano e calcule a sua área Considere a função de duas variáveis definida por hxy x y Calcule as seguintes integrais duplas expressando os valores exatos sem nenhuma aproximação c Q hxy dx dy d S hxy dx dy 2 a D xy R² x² y x O esboço da região é representado a seguir pela área hachurada yx² yx 1 1 0 0 x 1 Sua área A é dada por A D dA D dxdy 01 x²x dy dx 01 x x² dx 2x323 x³301 23 13 13 Portanto a área da região D é A 13 b A região S xy R² 0 y sinx 0 x 2π Podemos esboçar a região S como segue abaixo ysinx 1 π 3π2 2π 0 1 0 x π Nesse caso a área A do conjunto S é A S d y dx 02π 0sinx d y d x 02π sinx d x 0π sinx d x π2π sinx d x cosx0π cosxπ2π 1 1 1 1 2 2 4 Portanto a área do conjunto S é A 4 b A região S xy R² 0 y sinx 0 x 2π Podemos esboçar a região S como segue abaixo ysinx 1 π 3π2 2π 0 1 0 x π Nesse caso a área A do conjunto S é A S d y d x 02π 0sinx d y d x 02π sinx d x 0π sinx d x π2π sinx d x cosx0π cosxπ2π 1 1 1 1 2 2 4 Portanto a área do conjunto S é A 4 2 hxy xy c Aqui temos hxy dx dy 01 x²x xy dy dx 01 xy²2x²x dx 01 x2 x x⁹ dx 01 x²2 x⁵2 dx x³6 x⁶12₀¹ 16 112 112 hxy dx dy 112 d Agora temos S hxy dx dy ₀²π ₀sinx xy dy dx ₀²π xy²2₀sinx dx ₀²π x2 sin²x dx 12 ₀²π x12 cos2x2 dx 14 ₀²π x x cos2x dx 14 x²2 x ₀²π cos2x dx ddx x cos2x dx₀²π Como cos2x dx sin2x2 nós obtemos que S hxy dx dy 14 x²2 x sin2x2 sin2x2 dx₀²π 14 x²2 x sin2x2 cos2x4₀²π 14 2π² 14 14 2π²9 π²2 S hxy dx dy π²2