Provas Antigas de Calculo 3

Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 Turma Prova 1 1º2022 Nome Matrícula 1 Assinatura Atenção Atenção O valor de vfa representa a taxa de variação de f no ponto a quando nos deslocamos com velocidade v Questão 1 10 ponto Determine a matriz jacobiana de fx y z 2ze6xy 7yz sin 4x no ponto 6 5 3 Df6 5 3 Questão 2 10 ponto Seja f R2 R2 tal que f4 8 13 2 fx4 8 9 7 fx13 2 12 5 fy4 8 3 11 e fy13 2 10 6 Determine vfa para a 4 8 e v 1 14 vfa Questão 3 10 ponto Se a posição de uma partícula no espaço no tempo t é dada por rt t2 cos tπ t 1 e a temperatura no ponto x y z é dada por Tx y z 3x ez então a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo sentida pela partícula no instante t 1 é a T1 r1 b 3 e2 2 1 cos π 2 c NOA d T1 1 2 r1 e 3 e2 1 cos π Questão 4 10 ponto Sejam fx y x y2 e gr s r s cosr Então Df gr s é a 2r s cosr 1 1 1 1 sinr 0 b 2 r s cosr 1 1 sinr 0 c NOA d 2r s cosr 1 1 1 1 0 sinr e 2 r s cosr 1 1 0 sinr Questão 5 10 ponto Sejam fx y x2y2 xy E seja g R2 R uma função diferenciável Usando a notação de derivadas parciais da função g escreva g f2 3 Nome Matrícula Assinatura Questão 6 10 ponto Dada a função fx y z 3xy 5x2z xyz2 determine vfa onde a 2 1 3 e v 2 1 3 Resposta vfa Questão 7 20 pontos Determine o único ponto crítico de fx y x2 10x 25 3y e2y e classifiqueo como máximo local mínimo local ou ponto de sela Ponto crítico Classificação Questão 8 20 pontos Seja S R3 a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação 3z2 6zx 3x2 zy xy 4 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de R3 O método consiste em montar um sistema de equações que se resolvido nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado Escreva aqui o sistema a ser resolvido não precisa resolver Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 Turma Prova 1 1º2024 Nome Matrícula 1 Assinatura Questão 1 10 ponto Julgue Verdadeiro ou Falso penalização por erro 0 15 ponto a w w w b v w v c v v 0 d v w v 0 Questão 2 10 ponto Sejam a b c R3 pontos não colineares Um vetor normal ao plano que contém esses três pontos é dado por a c b a b a c b c NOA d 2a b b c e 3a b c a Questão 3 10 ponto Determine a matriz jacobiana de fx y z 7y cos 3zx 4xze6y no ponto 5 7 4 Df5 7 4 Questão 4 10 ponto Seja f R2 R2 tal que f6 7 11 9 fx6 7 1 2 fx11 9 13 10 fy6 7 5 3 e fy11 9 12 14 Determine vfa para a 6 7 e v 4 8 vfa Questão 5 10 ponto Se a posição de uma partícula no espaço no tempo t é dada por rt t cos tπ t2 e a temperatura no ponto x y z é dada por Tx y z 5 ex z então a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo sentida pela partícula no instante t 2 é a 5 e2 1 2 2 cos π b 3 e2 2 1 cos π 2 c NOA d T1 r1 e T2 1 4 r2 Questão 6 10 ponto Sejam fx y x y2 e gr s r s cosr Então Df gr s é a 2r s cosr 1 1 1 1 0 sinr b 2r s cosr 1 1 1 1 sinr 0 c NOA d 2 r s cosr 1 1 sinr 0 e 2 r s cosr 1 1 0 sinr Questão 7 10 ponto Sejam fx y y2 x2y E seja g R2 R uma função diferenciável Usando a notação de derivadas parciais da função g escreva g f2 4 Nome Matrícula Assinatura Questão 8 10 ponto Nos exercícios recomendados você fez a derivação implicita R R1 onde 1 R 1 R1 1 R2 1 R3 Generalizando este método um pouquinho sabendo que FHa b c Gc a b e que todas as funções vão em R então 2Hx y z Dica Basta derivar ambos os lados da igualdade com respeito à 2ª coordenada Questão 9 10 ponto Determine o único ponto crítico de fx y y2 8y 16 2x e4x e classifiqueo como máximo local mínimo local ou ponto de sela Atenção Se o ponto crítico estiver incorreto a classificação será desconsiderada Ponto crítico Classificação Questão 10 10 ponto Seja S R3 a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação 3y2 6yx 3x2 yz xz 3 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de R3 O método consiste em montar um sistema de equações que se resolvido nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado Escreva aqui o sistema a ser resolvido não precisa resolver Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 Turma Prova 1 1º2024 Nome Matrícula 2 Assinatura Questão 1 10 ponto Julgue Verdadeiro ou Falso penalização por erro 0 15 ponto a w2 w w b v w v c v v v d w v w 0 Questão 2 10 ponto Sejam a b c R3 pontos não colineares Um vetor normal ao plano que contém esses três pontos é dado por a a b c b a b c c NOA d 3a b c b e 2a b b c Questão 3 10 ponto Determine a matriz jacobiana de fx y z 3xe5zy 6yx cos 7z no ponto 6 4 5 Df6 4 5 Questão 4 10 ponto Seja f R2 R2 tal que f8 3 7 9 fx8 3 1 13 fx7 9 2 4 fy8 3 10 6 e fy7 9 14 12 Determine vfa para a 8 3 e v 11 5 vfa Questão 5 10 ponto Se a posição de uma partícula no espaço no tempo t é dada por rt t cos tπ t2 e a temperatura no ponto x y z é dada por Tx y z 5 ex z então a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo sentida pela partícula no instante t 2 é a 5 e2 1 2 2 cos π b 3 e2 2 1 cos π 2 c NOA d T1 r1 e T2 1 4 r2 Questão 6 10 ponto Sejam fx y x y2 e gr s r s coss Então Df gr s é a 2r s coss 1 1 1 1 sins 0 b 2r s coss 1 1 1 1 0 sins c NOA d 2 r s coss 1 1 0 sins e 2 r s coss 1 1 sins 0 Questão 7 10 ponto Sejam fx y y2 x2y2 E seja g R2 R uma função diferenciável Usando a notação de derivadas parciais da função g escreva g f4 2 Nome Matrícula Assinatura Questão 8 10 ponto Nos exercícios recomendados você fez a derivação implicita R R1 onde 1 R 1 R1 1 R2 1 R3 Generalizando este método um pouquinho sabendo que FHa b c Gc a b e que todas as funções vão em R então 1Hx y z Dica Basta derivar ambos os lados da igualdade com respeito à 1ª coordenada Questão 9 10 ponto Determine o único ponto crítico de fx y y2 4y 4 4x e4x e classifiqueo como máximo local mínimo local ou ponto de sela Atenção Se o ponto crítico estiver incorreto a classificação será desconsiderada Ponto crítico Classificação Questão 10 10 ponto Seja S R3 a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação 5x2 10xz 5z2 xy zy 2 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de R3 O método consiste em montar um sistema de equações que se resolvido nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado Escreva aqui o sistema a ser resolvido não precisa resolver Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 Turma Prova 1 1º2024 Nome Matrícula 3 Assinatura Questão 1 10 ponto Julgue Verdadeiro ou Falso penalização por erro 0 15 ponto a w w w b v w v c v w v w d w v w 0 Questão 2 10 ponto Sejam a b c R3 pontos não colineares Um vetor normal ao plano que contém esses três pontos é dado por a 2a b b c b a c b c NOA d 3a b c a e c b a Questão 3 10 ponto Determine a matriz jacobiana de fx y z 3ze4xy 5xz cos 6y no ponto 5 4 7 Df5 4 7 Questão 4 10 ponto Seja f R2 R2 tal que f4 5 1 13 fx4 5 7 12 fx1 13 10 8 fy4 5 9 14 e fy1 13 3 6 Determine vfa para a 4 5 e v 11 2 vfa Questão 5 10 ponto Se a posição de uma partícula no espaço no tempo t é dada por rt t cos tπ t2 e a temperatura no ponto x y z é dada por Tx y z 5 ex z então a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo sentida pela partícula no instante t 2 é a NOA b 3 e2 2 1 cos π 2 c T2 1 4 r2 d T1 r1 e 5 e2 1 2 2 cos π Questão 6 10 ponto Sejam fx y x y2 e gr s r s coss Então Df gr s é a 2r s coss 1 1 1 1 sins 0 b 2 r s coss 1 1 sins 0 c NOA d 2r s coss 1 1 1 1 0 sins e 2 r s coss 1 1 0 sins Questão 7 10 ponto Sejam fx y y2 x2y E seja g R2 R uma função diferenciável Usando a notação de derivadas parciais da função g escreva g f4 2 Nome Matrícula Assinatura Questão 8 10 ponto Nos exercícios recomendados você fez a derivação implicita R R1 onde 1 R 1 R1 1 R2 1 R3 Generalizando este método um pouquinho sabendo que FHa b c Gc a b e que todas as funções vão em R então 1Hx y z Dica Basta derivar ambos os lados da igualdade com respeito à 1ª coordenada Questão 9 10 ponto Determine o único ponto crítico de fx y y2 6y 9 5x e5x e classifiqueo como máximo local mínimo local ou ponto de sela Atenção Se o ponto crítico estiver incorreto a classificação será desconsiderada Ponto crítico Classificação Questão 10 10 ponto Seja S R3 a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação 3x2 6xy 3y2 xz yz 4 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de R3 O método consiste em montar um sistema de equações que se resolvido nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado Escreva aqui o sistema a ser resolvido não precisa resolver