Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Diferencial e Integral

1 a 22 b 20 c 22 d 22 e 22 2 a 3 2 2 b 3 2 2 c 2 2 d 3 2 e 2 3 2 3 a Apenas as afirmações I e III estão corretas b Apenas as afirmações I e II estão corretas c Todas as afirmações estão corretas d Apenas a afirmação I está correta e Apenas a afirmação III está correta 4 Assinale a alternativa que corresponde a derivada direcional de na 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 direção de seu crescimento máximo a 𝑥𝑦 2 𝑥𝑧 2 𝑦𝑧 2 b 3𝑥𝑦𝑧 c 3𝑥𝑦𝑧 d 𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧 e 𝑥𝑦 2 𝑥𝑧 2 𝑦𝑧 2 5 Determine a derivada direcional da função no ponto P 112 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 na direção da normal exterior à superfície no ponto P 𝑧 𝑥 2 𝑦 2 a 43 b 4 c 4 d 83 e 43 Questão 1 Temos h t f e 2 tsin t h t f 1f 2e 2 tsin t h t f 1 e 2tsintf 2e 2tsint logo h t f 1 e 2 tsin t e 2t e 2t t f 1 e 2 tsin t sint sint t f 2e 2t sint e 2t e 2t t f 2e 2t sint sint sint t Assim h π 2 1 e π e 2t t 1 e π sint t 1 e π e 2t t 1 e π sint t tπ 2 h π 2 1 e π 2e 2t 1 e π cost 1 e π 2e 2t 1 e π costtπ 2 h π 2 1 e π 2e 2 π 2 1 e π cos π 2 1 e π 2e 2 π 2 1 e π cos π 2 h π 2 1 e π 2e π0 1 e π 2e π0 22 Questão 2 Temos ab 1211 1211 2 ab 2011 2011 3 E queremos saber ab 0011 0011 x Assim arrumando as equações temos ab 01 1 2 ab 11 11 3 ab 11 11 x b2 ab 32 ab x 2 a232 a2x 2 aa22 32x 2 43 2x 2 4 2 3x 3 422 x x 3 22 Questão 3 temos xu 2v 2 y2uv i para uv temos x0 y2u 2 Verdadeira ii para u2 temos x4v 2 y4 v x4 y 2 16 Que é uma parábola Falso iii para u 2v 24 v4u 2 temos xu 24u 2 y2u4u 2 x2u 24 y2u4u 2 Logo x 24 u 416u 216 y 24u 2 4u 216u 24u 4 Assim x 2 y 216 Verdadeira LETRA A é a resposta Questão 4 É o modulo do gradiente f xyz x 2 xyz y 2 xyz z 2 f yz 2xz 2xy 2 Questão 5 Temos Dgrad f n n x 2 y 2 z 2 x x 2 y 2z 2 y x 2 y 2z 2 z n n Para a superfície temos a seguinte parametrização ψ uv x y z ucos v usin vu 2 Logo temos ψ u cosv sinv 2u ψ v usinv ucos v 0 Assim o vetor normal à superfície é dado por Nψ u X ψ v i j k cos v sinv 2u usinv ucosv 0 2u 2cos v i2u 2sin v jucos 2vusin 2v k 2u 2cos v 2u 2sinv u Logo temos D2x 2 y 2z 2u 2cos v 2u 2sin v u 2u 2cos v 22u 2sin v 2u 2 2ucosv 2usin v 2u 2 2u 2cos v 2u 2sinv u 4u 4cos 2v4u 4sin 2vu 2 4u 3cos 2v4 u 3sin 2v2u 3 4u 4u 2 4u 32u 3 4u 4u 2 2u 3 4u 4u 2 2u 2 4u 21 Para xy1 temos u2 logo D 22 421 D 4 9 D 4 3 Questão 1 Temos ℎ𝑡 𝑓𝑒2𝑡sin 𝑡 ℎ𝑡 𝑓1 𝑓2𝑒2𝑡sin 𝑡 ℎ𝑡 𝑓1𝑒2𝑡 sin 𝑡 𝑓2𝑒2𝑡 sin 𝑡 logo ℎ𝑡 𝑓1𝑒2𝑡sin 𝑡 𝑒2𝑡 𝑒2𝑡 𝑡 𝑓1𝑒2𝑡sin 𝑡 sin 𝑡 sin 𝑡 𝑡 𝑓2𝑒2𝑡sin 𝑡 𝑒2𝑡 𝑒2𝑡 𝑡 𝑓2𝑒2𝑡sin 𝑡 sin𝑡 sin 𝑡 𝑡 Assim ℎ 𝜋 2 1 𝑒𝜋 𝑒2𝑡 𝑡 1 𝑒𝜋 sin 𝑡 𝑡 1 𝑒𝜋 𝑒2𝑡 𝑡 1 𝑒𝜋 sin 𝑡 𝑡 𝑡𝜋 2 ℎ 𝜋 2 1 𝑒𝜋 2𝑒2𝑡 1 𝑒𝜋 cos 𝑡 1 𝑒𝜋 2𝑒2𝑡 1 𝑒𝜋 cos 𝑡 𝑡𝜋 2 ℎ 𝜋 2 1 𝑒𝜋 2𝑒2𝜋 2 1 𝑒𝜋 cos 𝜋 2 1 𝑒𝜋 2𝑒2𝜋 2 1 𝑒𝜋 cos 𝜋 2 ℎ 𝜋 2 1 𝑒𝜋 2𝑒𝜋 0 1 𝑒𝜋 2𝑒𝜋 0 𝟐𝟐 Questão 2 Temos 𝑎 𝑏 12 11 12 11 2 𝑎 𝑏 20 11 20 11 3 E queremos saber 𝑎 𝑏 00 11 00 11 𝑥 Assim arrumando as equações temos 𝑎 𝑏 01 1 2 𝑎 𝑏 1 1 1 1 3 𝑎 𝑏 1 1 1 1 𝑥 𝑏 2 𝑎 𝑏 32 𝑎 𝑏 𝑥2 𝑎 2 32 𝑎 2 𝑥2 𝑎 𝑎 2 2 32 𝑥2 4 32 𝑥2 4 2 3 𝑥 3 42 2 𝑥 𝒙 𝟑 𝟐𝟐 Questão 3 temos 𝑥 𝑢2 𝑣2 𝑦 2𝑢𝑣 i para 𝑢 𝑣 temos 𝑥 0 𝑦 2𝑢2 Verdadeira ii para 𝑢 2 temos 𝑥 4 𝑣2 𝑦 4𝑣 𝑥 4 𝑦2 16 Que é uma parábola Falso iii para 𝑢2 𝑣2 4 𝑣 4 𝑢2 temos 𝑥 𝑢2 4 𝑢2 𝑦 2𝑢4 𝑢2 𝑥 2𝑢2 4 𝑦 2𝑢4 𝑢2 Logo 𝑥2 4𝑢4 16𝑢2 16 𝑦2 4𝑢24 𝑢2 16𝑢2 4𝑢4 Assim 𝑥2 𝑦2 16 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 LETRA A é a resposta Questão 4 É o modulo do gradiente 𝑓 𝑥𝑦𝑧 𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 𝑦 2 𝑥𝑦𝑧 𝑧 2 𝑓 𝑦𝑧2 𝑥𝑧2 𝑥𝑦2 Questão 5 Temos 𝐷 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑛 𝑛 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑧 𝑛 𝑛 Para a superfície temos a seguinte parametrização 𝜓𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 cos 𝑣 𝑢 sin 𝑣 𝑢2 Logo temos 𝜓 𝑢 cos 𝑣 sin 𝑣 2𝑢 𝜓 𝑣 𝑢 sin 𝑣 𝑢 cos 𝑣 0 Assim o vetor normal à superfície é dado por 𝑁 𝜓 𝑢 𝑋 𝜓 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 cos 𝑣 sin 𝑣 2𝑢 𝑢 sin 𝑣 𝑢 cos 𝑣 0 2𝑢2 cos 𝑣𝑖 2𝑢2 sin 𝑣𝑗 𝑢 cos2 𝑣 𝑢 sin2 𝑣𝑘 2𝑢2 cos 𝑣 2𝑢2 sin 𝑣 𝑢 Logo temos 𝐷 2𝑥 2𝑦 2𝑧 2𝑢2 cos 𝑣 2𝑢2 sin 𝑣 𝑢 2𝑢2 cos 𝑣2 2𝑢2 sin𝑣2 𝑢2 2𝑢 cos 𝑣 2𝑢 sin 𝑣 2𝑢2 2𝑢2 cos 𝑣 2𝑢2 sin 𝑣 𝑢 4𝑢4 cos2 𝑣 4𝑢4 sin2 𝑣 𝑢2 4𝑢3 cos2 𝑣 4𝑢3 sin2 𝑣 2𝑢3 4𝑢4 𝑢2 4𝑢3 2𝑢3 4𝑢4 𝑢2 2𝑢3 4𝑢4 𝑢2 2𝑢2 4𝑢2 1 Para 𝑥 𝑦 1 temos 𝑢 2 logo 𝐷 2 2 4 2 1 𝐷 4 9 𝐷 4 3