Marcos Alexandrino Algebra Linear Psub

MAT 0122 - Álgebra Linear\n\nProva Substitutiva - 01/12/11\n\nNome:___________________\nNúmero USP: ____________\nTurma: ________________\nProfessor: ______________\n\nJustifique suas respostas\n\nO aluno que fez P1 e P2 e tem média maior ou igual a 5,0 não poderá fazer a Prova Substitutiva.\n\nQuestão 1 (2,5 pt). Considere a matriz A abaixo:\n\nA = [ 1 0 1 3 ]\n [ 2 5 7 6 ]\n [ 1 5 11 6 ]\n\n(a) Determine a fatoração LU da matriz A\n(b) Calcule o determinante da matriz A.\n\nRespostas:\n\n(a) L = [ 1 0 0 ]\n [ 2 1 0 ]\n [ 1 1 1 ]\n\nU = [ 1 0 1 3 ]\n [ 0 5 0 1 ]\n [ 0 0 5 0 ]\n\n(b) det A = 50\n\nObservação: Compare com Questão 1 da P1 e com Questão 1 da P2. Compare também com Problema 3.4, item a, ou b ou c ou d ou e da Segunda Lista de Exercícios. Questão 3 (2,0 pt). Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, marcando a resposta correta com X. Uma resposta errada anula 5 respostas corretas. Caso queira anular a sua resposta marque não sei.\n\nverdadeira falsa não sei\n(a)\n(b)\n(c)\n(d)\n(e)\n(f)\n(g)\n(h)\n(i)\n(j)\n\nAfirmções:\n\n(a) {(1,2,3,4), (2,3,4,5)} é base de R4 FALSA\n\n(b) Se m < n então podem haver n vetores linearmente independentes em Rm FALSA\n\n(c) (x, Ay) = xTAy para A = [ 3 3 2 ]\n [ 0 0 18 ] define um produto interno FALSA\n\n(d) det A ≠ det At. FALSA\n\n(e) O núcleo N(A) de uma matriz A é complemento ortogonal de C(A)t (o espaço coluna da matriz tranposta A)t VERDADEIRA\n\n(f) det(A + B) = det(A) + det(B). FALSA\n\n(g) Se A = LU então C(A) (o espaço coluna de A) é o mesmo que o espaço coluna C(U). FALSA.\n\n(h) det(AB) = det A · det B. VERDADEIRA\n\n(i) Uma matriz A n × n que possui n autovalores distintos não pode ter n autovetores linearmente dependentes. VERDADEIRA\n\n(j) Se A = LU então N(A) (núcleo de A) é o mesmo que o N(U). VERDADEIRA. Questão 2 (2,5 pt). Considere a matriz A abaixo:\n\nA = [ 3 3 2 ]\n [ 0 1 2 ]\n [ 2 2 10 ]\n\n(a) Por meio do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt obtenha a decomposição QR da matriz A\n\n(b) Determine a projeção do vector (1, 0, 0) no espaço vetorial gerado pelas duas primeiras colunas de A.\n\nResposta:\n\n(a) Q = [ 3/√13 0 -2/√13 ]\n [ 0 1 0 ]\n [ 2/√13 0 3/√13 ]\n\nR = [ √13 √13 2√13 ]\n [ 0 1 2 ]\n [ 0 0 2√13 ]\n\n(b) (9,0,6)/13\n\nObservação: Compare com Questão 2 da P2 e com Problemas 2.7, 2.12, 2.14, 2.8, 2.9, 2.10 da Segunda Lista de Exercício. Observação: Compare com Questão 3 da P1 e Questão 4 da P2. Compare também com Questão 4 da P1 e com Problema 3.2 (a,f,g), Problema 3.3 (a,b) e Problemas 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.15 da Segunda Lista de Exercícios. Questão 4 (3,0 pt). Considere a matriz:\nA = [ 3 2\n 2 3 ]\n\n(a) Determine os autovalores e autovetores correspondentes da matriz A.\n(b) Determine todas as soluções da EDO α'(t) = Aα(t).\n\nRespostas:\n\n(a) autovalor λ₁ = 1 e autovetor v₁ = (-1,1); autovalor λ₂ = 5 e autovetor v₂ = (1,1)\n(b) α(t) = c₁ exp(t)(-1,1) + c₂ exp(5t)(1,1)\n\nObservação: Compare com Questão 4 da P2 e com Problemas 5.1, 5.2 da Segunda lista de Exercícios.