Atividade 3 a3 _ 222rgr3391a - Álgebra Linear Computacional

Minhas Disciplinas\n2222GR3391A - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL\nUNIDADE 3\nAtividade 3 (A3)\n\nIniciado em\nEstado: Finalizada\nConcluída em\nTempo empregado\nAvaliar 2,00 de um máximo de 10,00(20%)\n\nSistema genérico\n\\[\\begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n & = & b_m \\ \\end{array}\\]\n\nNo sistema na forma de Gauss - Jacobi.\n\\[ x_1 = \\frac{b_1 - a_{12}x_2 - ... - a_{1n}x_n}{a_{11}} \\]\n\\[ x_2 = \\frac{b_2 - a_{21}x_1 - ... - a_{2n}x_n}{a_{22}} \\]\\[ ... \\]\n\\[ x_n = \\frac{b_m - a_{m1}x_1 - ... - a_{m,n-1}x_{n-1}}{a_{mn}} \\]\n\nOs métodos iterativos são geralmente utilizados para sistemas lineares que apresentam um grande número de equações. Por exemplo, temos o seguinte:\n\nA respeito das condições de convergência em três critérios, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).\n\nI. Os três critérios estabelecem apenas condições suficientes.\nII. No critério do som por linha, basta uma desigualdade satisfazer a condição para podermos afirmar sobre a convergência.\nIII. No critério do som por coluna, se as três desigualdades se verificarem, podemos garantir a convergência, ou seja, se uma das condições não for satisfeita, não se pode afirmar sobre a convergência.\n\nAssinale a alternativa que apresenta a sequência correta:\nA seguir, assinale a alternativa correta:\n\na. V.F.V.\nb. F.F.F.\nc. V.V.F.\nd. F.V.F.\ne. V.V.V.\n\nem incorreto\nAtingiu 0,00 de 1,00\n\nO sistema linear \\[ 3x + y + z = 11 \\] \\[ -3x + y - z = -1 \\] admite uma infinidade de soluções. Seja \\( z = k(k \\neq 0) \\) um valor arbitrário. Então, a solução \\( (x,y,z) \\) do sistema acima é:\n\na. (2, 3 - k, k)\nb. (1, 3 - k, k) ✗\nc. (2, k, 2k)\nd. (2.5, k)\ne. (2.5, k, k)\n\nQuestão 3\n\nUm sistema linear pode ser ou não solução, sendo denominado sistema possível ou impossível, respectivamente. Dentro de sistemas que admitam solução, existem os que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar um conjunto infinito de soluções (indeterminado).\n\nPossui várias soluções:\n\nPorquê:\n\nI. O sistema linear \\[ \\begin{array}{rcl} -2x + 2y + 2z = 7 \\ 2x - y + 2z = -6 \\ 2x + 2y + z = 3 \\end{array}\\] possui várias soluções.\n\nII. O determinante formado por \\[ \\begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\end{bmatrix}\\] é diferente de zero.\n\nA seguir, assinale a alternativa correta:\n\na. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. ✗\nb. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.\nc. A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa.\nd. As asserções I e II são proposições falsas.\ne. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. correto\nAtingiu 1,00 de 1,00\n\nDevemos classificar um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Considero o seguinte sistema linear:\n\\[ x + 2y + 2z = 3 \\] \\[ 2x + y = 5 \\] \\[ x + y + z = 1 \\]\n\nO sistema é classificado como impossível.\n\nII. A representação gráfica mostra que não existem pontos em comum nos três planos.\n\nA seguir, assinale a alternativa correta:\n\na. As asserções I e II são proposições falsas.\nb. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. ✓\nc. A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa.\nd. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.\ne. A asserção II é uma proposição verdadeira e a asserção I é uma proposição falsa. Correto\nAlinhado 1,00 de 1,00\n\nDado o sistema abaixo:\n\n\\[ \\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\\\ 6y_1 - 4y_2 - y_3 = 1 \\\\ -2y_1 + x_3 = 0 \\end{cases} \\]\n\nAo aplicar-se o método de Gauss-Jacobi para encontrar as soluções numéricas deste sistema e, ao adotar-se x_1 = x_2 = x_3 = 0 como solução inicial, os valores x_1, x_2 e x_3 encontrados na primeira iteração serão, respectivamente:\n\na. 6, 69, 68\nb. 1,1, -0 ✔️\nc. 2, 5, 10\nd. 2,5, -10\n\nQuestão 6\nIncorrecto\nAlinhado 0,00 de 1,00\n\nDado o sistema abaixo:\n\n\\[ \\begin{cases} 3x + y = 7 \\\\ 6x + 4y = 7 \\end{cases} \\]\n\nAnálise as propostas:\n\nI - A solução deste sistema é possível e determinada.\nII - A solução deste sistema é possível e indeterminada.\nIII - A solução deste sistema é impossível.\nIV - A solução gráfica deste sistema contém duas retas concorrentes.\nV - A solução gráfica deste sistema apresenta duas retas coincidentes.\nVI - A solução gráfica deste sistema apresenta duas retas paralelas distintas.\n\na. Somente as proposições II e IV estão corretas. ❌\nb. Somente as proposições II e VI estão corretas.\nc. Somente as proposições III e IV estão corretas.\nd. Somente as proposições I e IV estão corretas. Incorrecto\nAlinhado 0,00 de 1,00\n\nDado um sistema de equações com três equações com três incógnitas. Cada equação representa um plano no espaço tridimensional, são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do sistema pertencem a intersecção desses planos.\n\nUsando esses conceitos, assinale a alternativa que corresponde à solução geométrica do seguinte sistema linear:\n\n\\[ \\begin{cases} x - y + z = 1 \\\\ x + 2y - z = 4 \\\\ 2y - x = 0 \\end{cases} \\]\n\na. Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos é uma solução do sistema.\nb. Os planos formados pelas duas primeiras equações são paralelos, e o plano formado pela terceira equação os intersecta segundo uma reta. Nesse caso, o sistema é indeterminado, e qualquer ponto da reta é uma solução do sistema. ❌\nc. Os três planos são paralelos. Nesse caso, o sistema é impossível.\nd. O sistema é impossível. Nesse caso, dois planos coincidem, e o terceiro plano é paralelo a eles.\n\nQuestão 8\nIncorrecto\nAlinhado 0,00 de 1,00\n\nDado o sistema abaixo:\n\n\\[ 6x + 7y = 14 \\\\ 5z + 19y = 133 \\]\n\nAnalise as propostas:\n\nI - A solução deste sistema é possível e determinada.\nII - A solução deste sistema é possível e indeterminada.\nIII - A solução deste sistema é impossível.\nIV - A solução gráfica deste sistema contém duas retas concorrentes.\nV - A solução gráfica deste sistema apresenta duas retas coincidentes.\nVI - A solução gráfica deste sistema apresenta duas retas paralelas distintas.\n\na. Somente as proposições II e IV estão corretas.\nb. Somente as proposições II e VI estão corretas.\nc. Somente as proposições III e IV estão corretas.\nd. Somente as proposições I e IV estão corretas. Incorrecto\nAlinhado 0,00 de 1,00\n\nz_1 + z_2 + z_3 = 1\n6z_1 - 4z_2 - 2z_3 = 0\nz_4 - z_2 = 0\n\nAnálise as propostas:\n\nI - Não é possível garantir a convergência desse sistema através do critério da soma por linha.\nII - O critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência deste sistema.\nIII - Este sistema apresenta uma solução gráfica formada por duas retas concorrentes.\n\na. Somente a proposição I está correta\nb. Somente a proposição I está correta\nc. Somente a proposição II está correta.\nd. Somente as proposições I e II estão corretas, ❌\n\nQuestão 10\nIncorrecto\nAlinhado 0,00 de 1,00\n\nDado o sistema abaixo:\n\n\\[ \\begin{cases} x + y = 2 \\\\ 2x - y + \\sqrt{3}y = -7 \\end{cases} \\]\n\nAssinale a alternativa que apresenta uma solução possível deste sistema.\n\na. (0, 1)\nb. (4, 2, 3)\nc. (-2, 3)\nd. (1, 0, 1)\ne. (0, -1, 0) ❌