Mudanca de Base - Exercicios Resolvidos e Exemplos

Mudança de Base Exemplos Exemplo 1 Considere as bases B 10 01 e C 11 01 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 2 Considere as bases B 10 01 e C 11 01 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base B Exemplo 3 Considere a matriz de mudança da base C para a base B de R³ Mᵇₐ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Se o elemento v R³ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por vᵦ 0 3 1 Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C Exemplo 4 Considere as bases ordenadas B 111 110 101 e C 100 010 001 para R³ O elemento v 639 R³ tem a seguinte matriz de coordenadas com relação a base C vₛ 6 3 9 Determine as coordenadas de v com relação a base B Exemplo 5 Considere o espaço vetorial R² A matriz de mudança da base B 11 11 para a base C 31 13 é dada por Mᶜᵇ 1 2 2 1 Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B Exemplo 6 Considere as bases B u₁ u₂ u₃ e C w₁ w₂ w₃ relacionadas da seguinte forma w₁ u₁ u₃ w₂ u₁ u₂ w₃ u₂ u₃ Determine a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 7 Considere as bases B 1111 e C u₁ u₂ A matriz de mudança da base B para a base C é dada por Mᶜᵦ 1 2 3 2 Determine a base C Exemplo 9 Determine a matriz de mudança da base B 2x para a base C 1 1x de P₁R Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B Exemplo 10 A matriz de mudança da base C para uma base B do R² é dada por Mᵦᶜ 1 0 2 3 Se um elemento v R² tem matriz de coordenadas com relação a base C dada por vᶜ 2 3 determine as coordenadas de v com relação a base B Exemplos Mudança de Base Exemplo 1 Considere as bases B 10 01 e C 11 01 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C Vamos escrever os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B Temos que 11 110 101 e 01 010 101 Assim a matriz de mudança da base B para a base C é dada por Mᶜᵦ 1 0 1 1 Exemplo 2 Considere as bases B 10 01 e C 11 01 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base B Vamos escrever os elementos da base B como combinação linear dos elementos da base C isto é 10 α₁11 α₂01 α₁ 1 α₁ α₂ 0 α₁ 1 α₂ 1 e 01 β₁11 β₂01 β₁ 0 β₁ β₂ 1 β₁ 0 β₂ 1 Assim temos que a matriz de mudança da base C para a base B é Mᵦᶜ 1 0 1 1 Exemplo 3 Considere a matriz de mudança da base C para a base B de R³ Mᵦᶜ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Se o elemento v R³ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por vᵦ 0 3 1 Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C Temos que vᶜ Mᵦᶜ vᵦ vᶜ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 3 1 vᶜ 2 0 4 que é a matriz de coordenadas de v com relação a base C Exemplo 4 Considere as bases ordenadas B 111110101 e C 100010001 para R3 O elemento v 639 R3 tem a seguinte matriz de coordenadas com relação a base C vC 6 3 9 Determine as coordenadas de v com relação a base B Vamos primeiro determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevendo os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B 100 a11111 a21110 a31101 010 a12111 a22110 a32101 001 a13111 a23110 a33101 Obtemos três sistemas lineares que resolvendo obtemos MBC a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 13 13 13 13 23 13 13 13 23 que é a matriz de mudança da base B para a base C Assim temos vB MBCvC vB 13 13 13 13 23 13 13 13 236 3 9 vB 6 3 3 que é a matriz de coordenadas de v com relação a base B Exemplo 5 Considere o espaço vetorial R2 A matriz de mudança da base B 1111 para a base C 3113 é dada por MBC 1 2 2 1 Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B 31 a1111 a2111 a11 a21 3 a11 a21 1 a11 1 a21 2 13 a1211 a2211 a12 a22 1 a12 a22 3 a12 2 a22 1 Assim obtemos dois sistemas lineares cujas soluções são as coordenadas dos elementos de C com relação a base B escrevendo essas coordenadas como colunas de uma matriz temos MBC 1 2 2 1 que é a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 6 Considere as bases B u1u2u3 e C w1w2w3 relacionadas da seguinte forma w1 u1 u3 w2 u1 u2 w3 u2 u3 Determine a matriz de mudança da base B para a base C A relação entre as bases nos dá as coordenadas de cada elemento da base C escritos como combinação linear dos elementos da base B Dessa forma basta tomar as coordenadas de cada elemento wi como a iésima coluna da matriz obtendo MBC 1 1 0 0 1 1 1 0 1 A inversa dessa matriz é a matriz de mudança da base C para a base B Exemplo 7 Considere as bases B 1111 e C u1u2 A matriz de mudança da base B para a base C é dada por MBC 1 2 3 2 Determine a base C Como MBC é a matriz de mudança da base B para a base C suas colunas são as coordenadas dos elementos de C como combinação linear dos elementos da base B ou seja a iésima coluna de MBC são as coordenadas do elemento ui da base C com relação a base B u1 111 311 24 u2 211 211 40 Assim temos que C 2440 Exemplo 8 Considere as bases B 1120 e C u1u2 A matriz de mudança da base C para a base B é dada por MCB 1 1 1 2 Determine a base C Neste caso conhecemos a matriz de mudança da base C para a base B cuja iésima coluna são as coordenadas do elemento ui da base B com relação a base C ou seja escrevendo cada elemento da base B como combinação linear dos elementos da base C obtemos 11 1u1 1u2 20 1u1 2u2 Chamando u1 a1b1 e u2 a2b2 obtemos os seguintes sistemas lineares 11 a1b1 a2b2 a1 a2 1 b1 b2 1 20 a1b1 2a2b2 a1 2a2 2 b1 2b2 0 Obtemos dois sistemas lineares com duas equações e duas variáveis cada um deles nas variáveis a1 e a2 e o outro nas variáveis b1 e b2 que resolvendo temos a1 a2 1 a1 2a2 2 a1 a2 1 a2 3 a1 4 a2 3 b1 b2 1 b1 2b2 0 b1 b2 1 b2 1 b1 2 b2 1 Assim temos C 4231 Exemplo 9 Determine a matriz de mudança da base B 2x para a base C 11x de P1R Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B 1 a112 a21x 2a11 1 a21 0 a11 12 a21 0 1 x a122 a22x 2a12 1 a22 1 a12 12 a22 1 Logo a matriz de mudança da base B para a base C é dada por MBC 12 12 0 1 Exemplo 10 A matriz de mudança da base C para uma base B do R2 é dada por MCB 1 0 2 3 Se um elemento v R2 tem matriz de coordenadas com relação a base C dada por vC 2 3 determine as coordenadas de v com relação a base B Temos a relação vC MCBvB 2 3 1 0 2 3α1 α2 α1 2 2α1 3α2 3 α1 2 α2 13 Assim temos a matriz de coordenadas do vetor v com relação a base B vB 2 13