Controle e Servomecanismo - Teoria e Aplicações

CONTROLE E SERVOMECANISMO AUTOR LEONARDO BRUNO DE SÁ autor LEONARDO BRUNO DE SÁ 1ª edição SESES rio de janeiro 2019 CONTROLE E SERVOMECANISMO Conselho editorial roberto paes e gisele lima Autor do original leonardo bruno de sá Projeto editorial roberto paes Coordenação de produção andré lage luís salgueiro e luana barbosa da silva Projeto gráfico paulo vitor bastos Diagramação bfs media Revisão linguística bfs media Revisão de conteúdo michelle barbosa guimarães e bruno cavalcante di lello Imagem de capa garsya shutterstockcom Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora Copyright seses 2019 Diretoria de Ensino Fábrica de Conhecimento Av das Américas 4200 Barra da Tijuca Campus Tom Jobim Rio de Janeiro RJ CEP 22640102 Sumário Prefácio 7 1 Sistemas de controle e a função de transferência 9 Exemplos de sistemas de controle 10 Sistema de controle em malha aberta e em malha fechada 12 Estabilidade precisão e velocidade de sistemas de controle 15 Função de transferência 16 Função de transferência de circuitos elétricos 19 Função de transferência de sistemas mecânicos 25 Função de Transferência de sistemas eletromecânicos 30 2 Análise da resposta transitória e da resposta em regime estacionário de sistemas 35 Polos e Zeros de uma Função de transferência 37 Sistemas de 1a ordem 39 Resposta ao Impulso Unitário 39 Resposta ao degrau unitário 41 Sistemas de 2a ordem 44 Resposta ao impulso unitário 44 Resposta ao degrau unitário 47 Especificações de desempenho 51 Resposta em regime permanente 53 Erro estacionário em sistemas com realimentação unitária 55 Erro estacionário em sistemas com realimentação não unitária 60 Utilizando o MATLAB 62 3 Estabilidade e lugar geométrico das raízes 67 Estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo SLIT 68 Critério de Routh 75 Lugar geométrico das raízes LGR 81 Regras para esboçar o LGR 83 Utilizando o MATLAB 91 4 Resposta em frequência e compensação 95 Resposta em frequência 96 Diagrama de Bode 99 Diagrama de Nyquist 105 Critério de estabilidade de Nyquist 108 Compensação 109 Compensador proporcional 110 Compensador Integral 112 Compensador derivativo 115 Compensador PID 117 Utilizando o MATLAB 125 5 Espaço de estados e introdução ao controle digital 131 Espaço de estados 132 Convertendo de espaço de estados para função de transferência 137 Convertendo de função de transferência para espaço de estados 139 Controlabilidade no espaço de estados 147 Observabilidade no espaço de estados 148 Alocação de polos no espaço de estados 150 Introdução ao controle digital 154 Conversão AD 155 Conversão DA 156 Transformada Z 157 Função de transferência de sistemas discretos 167 Estabilidade 169 DA Sistema AD 172 Utilizando o MATLAB 176 7 Prefácio Prezadosas alunosas Bemvindos ao livro Controle e Servomecanismos seu livro de apoio aos es tudos que foi estruturado em cinco capítulos O intuito é despertar em vocês a vontade e o prazer em descobrir as possíveis aplicações da engenharia de controle Tratase de um campo estimulante e desafiador por sua própria natureza com forte apelo multidisciplinar que atualmente figura como um curso básico no cur rículo de Engenharia Neste livro você não encontrará ferramentas matemáticas das quais não tenha algum conhecimento prévio No entanto você vai aprender como aplicar algumas dessas ferramentas matemáticas em problemas de sistemas de controle Os capítulos têm exemplos ilustrativos que são deliberadamente simples com o propósito de explicar novos assuntos e conceitos Minha abordagem é apresentar uma metodologia de engenharia de controle que embora alicerçada em funda mentos matemáticos enfatiza a modelagem do sistema físico e projetos práticos de sistemas de controle com especificações de sistema realistas Uma das mais importantes estratégias de aprendizagem para você como es tudante é a de não se limitar estritamente em um único livrotexto sendo extre mamente aconselhável que ir à biblioteca e conferir outros textos para ver como outros autores tratam um mesmo assunto Isso vai ajudar você quando enfrentar o projeto de sistemas de controle no mundo real pois pode parecer desanimador dizer isso agora mas sistemas estritamente lineares e de primeira ordem não exis tem no mundo real Dediquese Bons estudos Sistemas de controle e a função de transferência 1 capítulo 1 10 Sistemas de controle e a função de transferência Neste capítulo você iniciará a exploração dos sistemas de controle e constatará que são inúmeras as suas aplicações no cotidiano da sociedade abrangendo desde um simples relógio até um ônibus espacial Você terá contato com os conhecimentos básicos sobre os sistemas de controle e conhecerá os principais componentes do diagrama em blocos de um sistema de controle realimentado Ainda neste capítulo com base no conceito da função de transferência de sistemas lineares invariantes no tempo você será capaz de desenvolver modelos matemáticos a partir das equações dinâmicas que descrevem os sistemas físicos OBJETIVOS Descrever as características e configurações básicas dos sistemas de controle Calcular a função de transferência de circuitos elétricos Calcular a função de transferência de sistemas mecânicos Calcular a função de transferência de sistemas eletromecânicos Exemplos de sistemas de controle São inúmeros os exemplos da utilização de sistemas de controle no cotidia no da sociedade rádio televisão torradeira elétrica ferro elétrico máquina de lavar geladeira forno de microondas aparelhos de ar condicionado automóveis aviões e nos mais diversos processos industriais apenas para citar alguns exemplos A noção de sistema é intuitiva e praticamente tudo à sua volta pode ser considerado como algum tipo de sistema desde um simples relógio de pulso até um veículo espacial capítulo 1 11 Um circuito elétrico uma catapulta ou um motor elétrico como o ilustrado na figura 11 podem ser considerados exemplos simples de sistemas O primeiro é um sistema de natureza puramente elétrica o segundo de natureza puramente mecânica e o terceiro de natureza eletromecânica pois combina partes elétricas e mecânicas Quando a corrente elétrica passa através da bobina e do campo magnético do íma é gerada uma força magnética que produz torque que faz o motor CC girar Corrente elétrica fornecida através de um comutador Força magnética F ILB Atua perpendicular entre a bobina e o campo magnético I I I I I I B F F N S I Figura 11 Um motor elétrico como exemplo de um sistema eletromecânico 1 Disponível em httpswwwcitisystemscombrmotorcc Acesso em maio 2019 É da natureza humana o desejo de exercer o controle sobre aquilo que nos rodeia Por exemplo o simples apertar de botão de um elevador já se constitui em um tipo de ação de controle Com os conceitos de sistema e controle em mente você está apto a definir o que é um sistema de controle Definição 1 um sistema de controle é uma disposição de componentes físi cos conectados ou relacionados de forma a conduzir guiar manobrar comandar dirigir ou controlar um processo uma estrutura uma ferramenta um dispositivo uma máquina ou simplesmente um sistema O objetivo de um sistema de controle é substituir o homem em determinada tarefa Para compreender a estrutura de um sistema de controle que tal começar com um exemplo da operação de um sistema no qual o homem exerce a ação de controle capítulo 1 12 EXEMPLO Exemplo 1 Descreva a ação de controle de um motorista Solução O motorista deve seguir o traçado de uma estrada Para isso ele observa a estrada e avalia a distância entre o veículo sistema e a beira da estrada Ele determina dependendo do traçado o ângulo que deve girar o volante para seguir a estrada Ele atua no volante realiza a ação de controle toda vez que uma rajada de vento incide sobre o veículo ele age para se opor a esse distúrbio Portanto se você quer um sistema de controle que substitua o homem em várias tarefas ele terá que ter comportamento e órgãos semelhantes aos de um ser humano Ou seja ele terá que ser capaz de observar comparar e agir Com base nas conclusões do exemplo anterior todo sistema de controle com preende três categorias de elementos que preenchem as funções necessárias para o seu correto funcionamento figura 12 Medição ou observação Comparação entre o objetivo a ser alcançado e a posição atual Ação ou atuação Comparação Tarefa a Realizar Efeito da Ação Medição Ação Figura 12 Conceito geral de um sistema de controle Sistema de controle em malha aberta e em malha fechada A figura 13 representa o sistema de ar condicionado central de um aparta mento em que θi é a temperatura interna θa é a temperatura do vento frio que sai do ar condicionado e θe é a temperatura externa A temperatura externa θe é considerada uma perturbação indica qualquer acontecimento que afete o fun cionamento do sistema de controle de forma adversa no sistema de controle capítulo 1 13 Por uma questão de simplicidade a dependência das temperaturas em relação ao tempo foi suprimida Sistema θa θi θe Figura 13 Diagrama esquemático do sistema de ar condicionado central A temperatura θa é ajustada pelo proprietário do apartamento a fim de se obter determinada temperatura no interior do apartamento temperatura objetivo ou setpoint de θo 22 C No entanto o ajuste da temperatura pelo proprietário deve ser repetido a cada variação de θe Uma primeira tentativa de tornar o ajuste de temperatura automático em ma lha aberta é mostrada na figura 14 Sistema θa θo θi θe K Figura 14 Esquemático do sistema de ar condicionado central em malha aberta Um sensor de temperatura é instalado para medir θe e a medição é subtraída da temperatura desejada pelo proprietário θo definindo a temperatura θa do vento frio θa Kθo θe 11 em que K é uma constante ajustável Assim qualquer mudança na temperatura exterior é computada e a tempera tura do vento frio foi ajustada pelo sistema de controle Neste ponto o proprie tário deve se preocupar em escolher convenientemente o valor da constante K o ajuste pode ser feito por tentativa e erro capítulo 1 14 Esta primeira abordagem apresenta uma melhoria considerável em relação à original Contudo ela ainda não é a ideal De fato durante um dia ameno de verão θe com valor baixo a temperatura θa será ajustada para um valor alto enquanto o sol que entra pelas janelas superaquecerá o interior do apartamento O proprietário então abrirá as janelas causando desperdício de energia A solução para o problema do desperdício está em realizar um sistema de controle em malha fechada usando uma medição da temperatura interna θi em vez de tentar antecipar o efeito da temperatura externa θe conforme ilustrado na figura 15 Sistema θa θo θi θe K Figura 15 Esquemático do sistema de ar condicionado central em malha fechada Nesse caso a temperatura θa é ajustada com base na lei de controle proporcional θa Kθo θi 12 O sistema de controle agora é capaz de reagir às variações da temperatura exterior θe e alterações na temperatura interior θi Portanto as desvantagens dos sistemas de controle em malha aberta como a sensi bilidade às perturbações e a falta de habilidade para corrigir seus efeitos podem ser superadas nos sistemas de controle em malha fechada 2 NORMAN S Nise Engenharia de Sistemas de Controle p 7 6 ed 2013 Generalizando o caso particular estudado você pode definir um sistema de controle em malha fechada como composto pelos seguintes elementos figura 6 em que u entrada ou referência e erro tal que e u y P sistema automático de comando ou controlador capítulo 1 15 c comando ou ação tal que c Pe n perturbação exterior y saída ou variável a ser controlada Sistema ou Planta P u y n C e Figura 16 Exemplo genérico de um sistema de controle em malha fechada O sinal u de entrada é aplicado no sistema de controle realimentado O sinal e é o sinal de erro ou seja a diferença entre a entrada u e a saída y O bloco P con trola o erro fazendo c Pe O sinal c aciona o sistema que responde com a saída y A saída é então realimentada no sentido do sinal de entrada através do somador Estabilidade precisão e velocidade de sistemas de controle As principais características a serem estudadas em um sistema de controle são estabilidade precisão e velocidade Com relação à estabilidade caso seja empregado um controlador proporcional P que aplica uma constante K ao erro e da figura 16 você poderá escrever c Ke Ku y 13 Se o valor de K for escolhido muito grande um pequeno valor do erro e su pondo e 0 já será suficiente para criar um valor alto de c A correção aplicada pelo sistema de controle pode ser tal que o valor da saída y seja excedido y u e que o novo erro e seja tal que e y u e causando uma correção reversa muito desproporcional Nessa hipótese oscilações crescentes aparecem e o sistema se torna instável Outras possíveis fontes de instabilidade são a execução atrasada do sistema de controle mediante alterações da saída ou pior ainda a existência de uma reali mentação positiva e y u A estabilidade dos sistemas de controle será objeto de estudo no capítulo 2 capítulo 1 16 No tocante à precisão ela é expressa pelo erro e que é a diferença entre o valor da entrada setpoint u e o valor da saída y do sistema No caso de um controlador proporcional em que c Ke o valor de K deve ser escolhido alto à medida que o erro e se torna baixo De forma semelhante uma perturbação n será corrigida mais efetivamente quando o valor de K é alto Como visto anteriormente valores elevados de K podem ser uma fonte de ins tabilidade para o sistema de controle Daí o fato de que a estabilidade e a precisão são características potencialmente contraditórias A terceira característica de um sistema de controle é sua velocidade Em ter mos qualitativos a velocidade de um sistema de controle pode ser medida pelo intervalo de tempo entre uma mudança brusca ocorrida na entrada ou acompa nhada na saída De modo geral o projeto de sistemas de controle resulta de um compromisso entre estabilidade precisão e velocidade Como visto um controle eficiente re quer o uso de um sistema em malha fechada realimentação ou feedback que é necessário para Estabilizar um sistema instável em malha aberta Compensar perturbações externas Compensar as incertezas relacionadas com o próprio sistema imprecisão do modelo envelhecimento etc Função de transferência A função de transferência é uma representação que relaciona algebricamente a saída de um sistema linear invariante no tempo com a sua entrada Ao contrário do que ocorre com as equações diferenciais que descrevem os sistemas a função de transferência permite tratar separadamente a entrada o sistema e a saída Considere um sistema linear e invariante no tempo S com uma entrada ut e uma saída yt como indicado na figura 17 S ut yt Figura 17 Representação entradasaída de um sistema linear genérico Assumese que o sistema S é governado por uma equação diferencial de grau n an dn ytdtn an1 dn1 yt dtn1 a0 yt bm dm ut dtm bm1 dm1 ut dtm1 b0 ut 14 Se a transformada de Laplace é aplicada em ambos os membros desta equação assumindo nulas as condições iniciais an sn an1 sn1 a0 Ys bm sm bm1 sm1 b0 Us 15 Encontrando a razão da transformada de Laplace da saída pela transformada de Laplace da entrada YsUs bm sm bm1 sm1 b0 an sn an1 sn1 a0 16 Esta fração racional de dois polinômios na variável complexa s é chamada de função de transferência do sistema e é denotada por Gs YsUs Σi0m bi si Σi0n ai si 17 A função de transferência pode ser classificada como Própria se n m Estritamente própria se n m Imprópria se n m Como Gs é uma fração racional de dois polinômios em s é possível fatorar estes dois polinômios Gs bm s zms zm1s z1 an s pms pm1s p1 18 As raízes zi que cancelam o numerador são chamadas de zeros da função de transferência enquanto as raízes pi que cancelam o denominador são chamadas de polos da função de transferência Os zeros e polos da função transferência podem ser complexos ou reais Você verá nos capítulos seguintes que a localização desses polos e zeros no plano complexos desempenha um papel muito importante no estudo do comportamento dos sistemas EXEMPLO Exemplo 2 Obtenha a função de transferência que relaciona Ys e Us descrita pela seguinte equação diferencial considerando nulas as condições iniciais 2 d2 yt dt2 dytdt 2 yt 5 ut 19 Solução Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação 2 s2 Ys s Ys 2 Ys 5 Us 110 2 d2 yt dt2 dytdt 2 yt 5 ut 111 Exemplo 3 Repita o exemplo 2 para a equação íntegrodiferencial a seguir d2 ytdt2 3 yt 0t yτ dτ 3 dutdt Solução Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação s2 Ys 3 Ys Yss 3 s Us 113 s3 Ys 3 s Ys Ys 3 s2 Us 114 Gs YsUs 3 s2 s3 3 s 1 115 Função de transferência de circuitos elétricos A maioria dos circuitos elétricos pode ser modelada por três componentes básicos resistor indutor e capacitor Circuitos com esses três elementos são analisados usando as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes A tabela 11 descreve os componentes básicos e suas relações entre corrente e tensão quando as condições iniciais são nulas COMPONENTE TENSÃOCORRENTE CORRENTETENSÃO vt R it vt Rit it vtR vt C it vt 1C 0t iτ dτ it C dvtdt vt L it vt L ditdt it 1L 0t vτ dτ Tabela 11 Relação tensãocorrente e correntetensão dos componentes básicos EXEMPLO Exemplo 4 Considere o circuito da figura 18 Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão aplicada vt e a corrente it vt R L it C Figura 18 Circuito RLC série Solução Escrevendo a lei de Kirchhoff das tensões para o circuito RLC de malha única Rit L ditdt 1C 0t iτdτ vt 116 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação RIs sLIs IssC Vs 117 sRCIs s²LCIs Is sCVs 118 Gs IsVs sC s²LC sRC 1 119 Exemplo 5 Considere o circuito da figura 19 Obtenha a função de transferência que relaciona a corrente aplicada it e a tensão vt Solução Escrevendo a lei de Kirchhoff das correntes para o nó A vtR 1L 0t vτdτ C dvtdt it 120 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação VsR VssL sCVs Is 121 sLVs RVs s²RLCVs sRLIs 122 Gs VsIs sRL s²RLC sL R 123 Exemplo 6 Com base nas relações tensãocorrente dos componentes básicos deduza suas impedâncias Solução Para o resistor a relação tensãocorrente é vt Rit 124 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação Vs RIs 125 Zs VsIs R 126 Para o capacitor a relação tensãocorrente é vt 1C 0t iτdτ 127 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação Vs IssC 128 Zs VsIs 1sC 129 Para o indutor a relação tensãocorrente é vt L ditdt 130 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação Vs sLIs 131 Zs VsIs sL 132 Exemplo 7 Repita o exemplo 5 utilizando os resultados obtidos no exemplo 6 acerca das impedâncias dos componentes básicos Solução O primeiro passo consiste em encontrar o circuito equivalente ao da figura 19 no domínio do plano s Escrevendo a lei de Kirchhoff das correntes para o nó A VsR sCVs VssL Is 133 Gs VsIs sRL s²RLC sL R 134 Outro componente que merece destaque é o amplificador operacional que pertence a uma importante classe de circuitos analógicos comumente usados na implementação de funções de transferência em sistemas de controle e em muitas outras aplicações importantes O modelo de amplificador operacional que você irá estudar neste livro será o modelo ideal As características de um amplificador operacional ideal são Impedância de entrada infinita Zin Ganho de tensão infinito A A primeira característica ter impedância de entrada infinita impõe que as correntes nos terminais de entrada positivo i e negativo i do amplificador sejam nulas i i 0 A segunda característica ter ganho de tensão infinito impõe que as tensões nos terminais de entrada positivo v e negativo v do amplificador sejam iguais v v A figura 111 ilustra um amplificador operacional ideal com as indicações das correntes e tensões nos terminais de entrada Figura 111 Amplificador operacional ideal Exemplo Exemplo 8 Considere o circuito da figura 112 Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão de saída V₀ s com a tensão de entrada Vi s Figura 112 Amplificador operacional ideal na configuração inversora Solução Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó A I₁ s I₂ s I₃ s 135 Aplicando a lei de Ohm em Z₁ s e Z₂ s I₁ s Vi s VA s Z₁ s 136 I₂ s VA s V₀ s Z₂ s 137 Como o amplificador operacional é ideal não há corrente entrando nos terminais de entrada do amplificador operacional I₃ s 0 e as tensões nos terminais de entrada são idênticas e como a tensão no terminal de entrada positivo é nula um terra virtual aparece no terminal de entrada negativo do amplificador Portanto I₃ s 0 138 VA s 0 139 CAPÍTULO 1 23 Combinando 135 a 139 é possível escrever Vi s Z₁ s V₀ s Z₂ s 140 V₀ s Vi s Z₂ s Z₁ s 141 Exemplo 9 Considere o circuito da figura 113 Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão de saída V₀ com a tensão de entrada Vi Figura 113 Circuito com dois amplificadores operacionais ideais Solução O circuito da figura 113 é idêntico ao da figura 112 com Z₁ s R₁ C₁ R₁ 1 sC₁ R₁ sC₁ R₁ 1 sC₁ R₁ sR₁C₁ 1 142 143 Z₂ s R₂ 1 sC₂ sR₂C₂ 1 sC₂ Aplicando o resultado obtido em 141 V₀ s Vi s Z₂ s Z₁ s sR₁C₁ 1sR₂C₂ 1 sR₁C₂ 144 V₀ s Vi s R₂ R₁ C₁ C₂ 1 sR₁C₂ sR₂C₁ 145 O circuito anterior é chamado de controlador PID e é utilizado para melhorar o desempenho de sistemas de controle Ele usa três constantes Kₚ proporcional Ki integrativa e Kd derivativa que no caso do circuito descrito anteriormente CAPÍTULO 1 24 Kₚ R₂ R₁ C₁ C₂ 146 147 Ki 1 R₁C₂ 148 Kd R₂C₁ Função de transferência de sistemas mecânicos Os sistemas mecânicos podem ser divididos em dois sistemas básicos sistemas mecânicos transladionais e sistemas mecânicos rotacionais Sistemas mecânicos transladionais Os sistemas mecânicos transladionais podem ser descritos por três componentes lineares básicos massa amortecedor viscoso e mola A massa representa um componente que resiste ao movimento de translação devido à inércia De acordo com a segunda lei do movimento de Newton a força de inércia ft é igual à aceleração vezes a massa ft Mat M dvt dt M d²xt dt² 149 em que at vt e xt indicam a aceleração linear a velocidade linear e o deslocamento linear do corpo respectivamente O amortecedor viscoso é um componente que se opõe ao movimento de translação devido ao atrito viscoso Nesse caso a força de atrito ft é proporcional à velocidade vt ft Bvt B dxt dt 150 em que B é uma constante denominada coeficiente de atrito viscoso A mola é o terceiro componente elemento que se opõe ao movimento de translação A força restauradora ft de uma mola é proporcional ao deslocamento ft Kxt 151 em que K é uma constante denominada constante de mola CAPÍTULO 1 25 A tabela 12 ilustra como são simbolizados os três componentes e resume suas relações forçadeslocamento Tabela 12 Relação forçadeslocamento dos componentes básicos EXEMPLO Exemplo 10 Determine a função de transferência XsFs para o sistema da figura 114 Figura 114 Sistema massa mola e amortecedor viscoso Solução Para sistemas mecânicos transacionais a Lei de Newton estabelece ftM d²xtdt² em que ft representa as forças que atuam sobre a massa M Para o sistema da figura 114 Kxt ft B dxtdt M d²xtdt² Aplicando a transformada de Laplace supondo as condições iniciais nulas KXs Fs BsXs Ms² Xs Determinando a função de transferência XsFs 1Ms² Bs K Sistemas mecânicos rotacionais Os sistemas mecânicos rotacionais também podem ser descritos por três componentes lineares básicos inércia amortecedor viscoso e mola A inércia representa um componente que resiste ao movimento de rotação devido ao momento de inércia O torque de inércia Tt que se opõe ao movimento é dado por Tt Jαt J dωtdt J d²θtdt² em que αt ωt e θt indicam a aceleração angular a velocidade angular e o deslocamento angular do corpo respectivamente J é denominado o momento de inércia do corpo O amortecedor viscoso é um componente que se opõe ao movimento rotação devido ao atrito viscoso Nesse caso o torque de atrito Tt é proporcional à velocidade angular ωt Tt Dωt D dθtdt em que D é uma constante denominada coeficiente de atrito viscoso A mola é o terceiro componente elemento que se opõe ao movimento de rotação A torque restaurador Tt de uma mola é proporcional ao deslocamento angular θt Tt Kθt em que K é uma constante denominada constante de mola A tabela 13 ilustra como são simbolizados os três componentes e resume suas relações torquedeslocamento angular Tabela 13 Relação torquedeslocamento angular dos componentes básicos Exemplo 11 Determine a função de transferência θsTs para o sistema da figura 115 Para sistemas mecânicos rotacionais a segunda Lei de Newton para a rotação estabelece Tt J d²θtdt² 159 em que Tt representa os torques que atuam sobre a inércia J Para o sistema da figura 115 Kθt Tt D dθtdt J d²θtdt² 160 Aplicando a transformada de Laplace supondo as condições iniciais nulas Kθs Ts Dsθs Js² θs 161 Determinando a função de transferência θsTs 1 Js² Ds K 162 Função de Transferência de sistemas eletromecânicos Um motor é um componente eletromecânico pois uma entrada elétrica tensão aplicada ao motor produz uma saída mecânica deslocamento angular do motor Existem diversos tipos de motores mas como o objetivo aqui não é o estudo do motor em si e sim a metodologia empregada na obtenção da função de transferência a escolha mais didática é a de um motor à corrente contínua motor CC Do ponto de vista elétrico o motor CC pode ser modelado como um sistema cuja entrada é a tensão de controle da armadura eᵃt e a saída é o deslocamento angular do eixo do motor θₘt A armadura é modelada por um resistor Rₐ em série com uma indutância Lₐ e uma força contra eletromotriz e𝚌ₑ t A figura 116 ilustra um esquemático simplificado do motor CC Do eletromagnetismo é possível deduzir duas equações do motor A primeira que relaciona a força contra eletromotriz e𝚌ₑ t com a velocidade angular do motor ωₘ t e a segunda que relaciona o torque do motor Tₘ t com a corrente na armadura iₐt e𝚌ₑ t K𝚌ₑ ωₘ t K𝚌ₑ dθₘtdt 163 Tₘ t Kₜ iₐ t 164 em que K𝚌ₑ e Kₜ são constantes Pela lei de Kirchhoff das tensões aplicada no circuito da armadura Rₐ iₐ t L diₐ tdt e𝚌ₑ t eₐ t 165 Considerando o motor como um sistema mecânico rotacional sem efeito de mola Jₘ d²θₘ tdt² Dₘ dθₘ tdt Tₘ t 166 em que Jₘ e Dₘ são respectivamente a inércia e o coeficiente de atrito viscoso do motor Aplicando a transformada de Laplace nas quatro últimas equações E𝚌ₑ s K𝚌ₑ sθₘ s 167 Tₘ s Kₜ Iₐ s 168 Rₐ Iₐ s LsIₐ s E𝚌ₑ s Eₐ s 169 Jₘ s² θₘ s Dₘ sθₘ s Tₘ s 170 Após algumas manipulações algébricas das quatro equações anteriores é possível obter a função de transferência do motor CC θₘ sEₐ s Kₜ Rₐ Jₘ 1 s 1Jₘ Dₘ Kₜ K𝚌ₑRₐ 171 01 Um sistema de controle de temperatura opera percebendo a diferença entre o ajuste de um termostato e a temperatura atual O sistema aciona uma válvula de combustível que aquece o sistema com uma quantidade de calor proporcional à diferença entre a temperatura do termostato e a temperatura real Esboce um diagrama em blocos em malha fechada do sistema identificando os transdutores o controlador e a planta Além disso identifique os sinais de entrada e de saída de todos os subsistemas descritos anteriormente 02 Admitindo as condições iniciais nulas obtenha a resposta yt do sistema descrito pela equação diferencial a seguir quando é aplicada ao sistema uma entrada ut um degrau unitário 2 dytdt yt 4ut 172 03 Determine a função de transferência do circuito a seguir Figura 117 Circuito elétrico 04 Determine a função de transferência do circuito a seguir Figura 118 Circuito elétrico 05 Para o sistema mecânico translacional mostrado na figura 119 determine a função de transferência Gs X2sFs considerando M1 M2 1 kg B1 B2 B3 1 Nsm1 e K 1Nm1 Figura 119 Sistema mecânico 2 CAPÍTULO 1 32 06 Para o sistema mecânico rotacional mostrado na figura 120 determine a função de transferência Gs θ2sTs considerando J1 J2 1 kgm2 D 1Nmsrad1 e K1 K2 1Nmrad1 Figura 120 Sistema mecânico rotacional REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Disponível em httpswwwcitisystemscombrmotorcc Acesso em maio 2019 NORMAN S Nise Engenharia de Sistemas de Controle 6 ed 2013 CAPÍTULO 1 33 Análise da resposta transitória e da resposta em regime estacionário de sistemas 2 capítulo 2 36 Análise da resposta transitória e da resposta em regime estacionário de sistemas A análise da resposta temporal de um sistema de controle é constituída por duas componentes a componente referente à resposta transitória do sistema e a componente referente à resposta em regime estacionário ou permanente do sis tema Neste capítulo você estudará ambas as respostas iniciando o estudo pela resposta transitória do sistema Você verá que a localização dos polos e zeros do sistema influencia diretamente no comportamento da resposta do sistema Especial atenção será dedicada à res posta transitória de sistemas de 1a e 2a ordens tendo em vista a grande incidência desses sistemas em problemas práticos de controle além do potencial didático oriundo do estudo de tais sistemas Em seguida você estudará a resposta em regime estacionário de um sistema O interesse no estudo da resposta em regime estacionário é analisar o erro estacio nário que o sistema apresenta quando o tempo tende a infinito Durante o estudo do erro estacionário você será apresentado às constantes de erro estático bem como à definição do que é o tipo do sistema As fórmulas dos erros a entradas de testes padrão e das constantes de erro estático serão deduzi das para o caso de realimentação unitária mas você verá que é possível estender a aplicação dessas fórmulas ao caso geral com a simples adequação da função de transferência OBJETIVOS Determinar as respostas temporais de sistemas de 1a e 2a ordens Determinar os principais parâmetros e as especificações de desempenho de sistemas de 1a e 2a ordens Determinar as constantes de erro estático o erro permanente e o tipo do sistema para sistemas com realimentação unitária e não unitária Polos e Zeros de uma Função de transferência Considere uma função de transferência Gs que é a razão entre dois polinômios com coeficientes reais Ns e Ds Gs Ns Ds 21 Os polos da função de transferência Gs são as raízes do denominador Ds ou seja são os valores de s que anulam Ds Enquanto os zeros da função de transferência Gs são as raízes do numerador Ns ou seja os valores de s que anulam Ns Exemplo Exemplo 1 Para o diagrama em blocos do sistema ilustrado na figura 21 determine os polos e zeros da função de transferência do sistema e esboce a localização dos polos e zeros no plano s Gs s2 s1s1 Figura 21 Diagrama em blocos do sistema Solução A função de transferência é Gs s2 s1s1 22 Os polos são as raízes do polinômio do denominador ou seja s 1 e s 1 Os zeros são as raízes do polinômio do numerador logo s 2 CAPÍTULO 2 37 A localização dos polos e zeros no plano s é ilustrada na figura 22 As notações para os polos e para os zeros são respectivamente um x para o polo e um o para o zero Im Re 2 1 1 Figura 22 Localização de polos e zeros da função de transferência do exemplo Exemplo 2 Para o mesmo sistema do exemplo anterior determine a resposta temporal do sistema yt quando a entrada é um degrau unitário Solução Do diagrama em blocos a saída Ys do sistema é Ys Rs Gs 23 Como a entrada é um degrau unitário Ys s2 s s1s1 24 Expandindo em frações parciais Ys 2s 05s1 15s1 25 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt 2 05et 15et 26 CAPÍTULO 2 38 Sistemas de 1ª ordem Um sistema de 1a ordem sem zeros pode ser descrito pela seguinte função de transferência Gs K 1 τs Kτ 1s 1τ 27 em que K é o ganho estático e τ é a constante de tempo do sistema A figura 23 ilustra o diagrama em blocos do sistema Gs K 1τs Rs Ys Figura 23 Sistema de 1a ordem genérico A seguir você estudará as respostas do sistema de 1a ordem a entradas tais como o impulso unitário e o degrau unitário As condições iniciais são assumidas como nulas Resposta ao Impulso Unitário A resposta Ys do sistema da figura 23 é dada por Ys Rs Gs 28 A transformada de Laplace do impulso unitário é 1 Portanto Rs 1 e 28 se reduz a Ys Gs Logo para obterse yt basta aplicar a transformada inversa de Laplace em 27 yt K τ etτ 29 CAPÍTULO 2 39 A figura 24 ilustra o gráfico de yt e da reta s tangente a yt em t 0 A equação da reta s é dada por st at b 210 em que as constantes a e b valem a dy0dt Kτ² 211 212 b y0 Kτ Portanto a equação da reta tangente pode ser reescrita como st Kτ 1 tτ 213 O ponto de interseção da reta tangente com o eixo do tempo é t τ e neste ponto yt vale yτ Kτ e¹ 037 Kτ 214 O valor final de yt ou seja o valor de yt quando o tempo tende a infinito é y lim t Kτ etτ 0 215 Note que quanto mais o valor de τ aumenta mais tempo o sistema leva para atingir seu valor final Resposta ao degrau unitário A transformada de Laplace do degrau unitário é dada por Rs 1s 216 Logo a saída Ys pode ser expandida em frações parciais como Ys Kτ 1s 1τ K1s K2s 1τ 217 Fazendo o mmc e igualando os numeradores K1s 1τ K2s Kτ 218 Esta última equação é válida para qualquer valor de s Escolhendo valores convenientes para s é possível obter os valores das constantes s0 K11τ Kτ K1 K 219 s 1τ K21τ Kτ K2 K 220 Reescrevendo a equação 217 com os valores das constantes Ys Ks Ks 1τ 221 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K1 etτ 222 A figura 25 ilustra o gráfico de yt e da reta s tangente a yt em t 0 A equação da reta s é dada por st Kτ t 223 O ponto de interseção da reta tangente com a reta horizontal yt K é em t τ e neste ponto yt vale yτ K1 e¹ 063K 224 O valor final de yt é y lim t K1 etτ K 225 Note que quando t 4τ o sistema atinge 98 do seu valor final y4τ K1 e⁴ 098K 226 O tempo que o sistema leva para atingir esse valor também é chamado de tempo de acomodação Ta tal que Ta 4τ 227 Outro parâmetro utilizado na análise das respostas temporais de sistemas é o tempo de subida Ts Este parâmetro é definido como o intervalo de tempo necessário para que o sinal de saída yt vá de 01 a 09 de seu valor final Chamando de t1 o instante de tempo em que yt atinge 01 do seu valor final e de t2 o instante de tempo em que yt atinge 09 do seu valor final o tempo de subida Ts vale Ts t2 t1 228 É possível então escrever que yt2K1et2τ09K yt1K1et1τ01K Simplificando as equações anteriores et2τ01 et1τ09 Dividindo as duas equações eTsτ19 Finalmente Ts22τ EXEMPLO Exemplo 3 Para o sistema descrito pela função de transferência Gs40s40 Determine a constante de tempo τ o tempo de acomodação Ta e o tempo de subida Ts Solução Igualando 235 com 27 40s40 Kτ1s1τ Resulta que K1 e τ25 ms Portanto Ta100 ms e Ts55 ms Sistemas de 2ª ordem Um sistema de 2ª ordem sem zeros pode ser descrito pela seguinte função de transferência Gs Ks² 2ξωn s ωn² em que o parâmetro ξ é denominado de fator de amortecimento e o parâmetro ωn é denominado de frequência natural A figura 26 ilustra o diagrama em blocos do sistema Gs Ks² 2ξωn s ωn² Rs Gs Ys Figura 26 Sistema de 2ª ordem genérico A seguir você estudará as respostas do sistema de 2ª ordem a entradas tais como o impulso unitário e o degrau unitário As condições iniciais são assumidas como nulas Resposta ao impulso unitário Você irá observar nos próximos cálculos que os polos da função de transferência descrita em 237 dependem dos valores de ξ e ωn Serão obtidas as respostas temporais yt para determinadas condições do parâmetro ξ a ξ0 Neste caso a resposta Ys se reduz a Ys Ks² ωn² A transformada inversa de Laplace é yt Kωn sinωn t b 0 ξ 1 Neste caso a resposta Ys é completa Ys Ks² 2ξωn s ωn² Os polos podem ser escritos na forma s σd jωd em que σd ξωn e ωd ωn 1 ξ² Expandindo Ys em frações parciais Ys Ks² 2ξωn s ωn² K1s σd jωd K2s σd jωd Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K1 K2 K2jωd Substituindo os valores das constantes Ys K2jωd 1s σd jωd K2jωd 1s σd jωd Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K2jωd eσd t ejωd t K2jωd eσd t ejωd t Colocando alguns termos em evidência yt K2jωd eσd t ejωd t ejωd t Como ejωd t ejωd t 2j sinωd t 246 se reduz a yt Kωd eσd t sinωd t c ξ 1 Neste caso a resposta Ys se reduz a Ys K s² 2ωₙs ωₙ² K s ωₙ² 248 A transformada inversa de Laplace é yt Kteᵠₙᵗ 249 d ξ 1 Neste caso a resposta Ys é completa como em 240 Os polos podem ser escritos na forma s σd ωd 250 em que σd ξωₙ e ωd ωₙξ² 1 Expandindo Ys em frações parciais Ys K s² 2ξωₙs ωₙ² K₁ s σd ωd K₂ s σd ωd 251 Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K₁ K₂ K 2ωd 252 Substituindo os valores das constantes Ys K 2ωds σd ωd K 2ωds σd ωd 253 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K 2ωd eˢᵈᵗeωᵈᵗ K 2ωd eˢᵈᵗeωᵈᵗ 254 Colocando alguns termos em evidência yt K 2ωd eˢᵈᵗ eωᵈᵗ eωᵈᵗ 255 Resposta ao degrau unitário Você verá os cálculos realizados para a resposta ao impulso unitário serem repetidos para o caso em que a entrada é um degrau unitário a ξ 0 Neste caso a resposta Ys se reduz a Ys K ss² ωₙ² 256 Expandindo Ys em frações parciais Ys K ss² ωₙ² K₁ s K₂ s jωₙ K₃ s jωₙ 257 Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K₁ K ωₙ² K₂ K₃ K 2ωₙ² 258 Substituindo os valores das constantes Ys K ωₙ² s K 2ωₙ² 1 s jωₙ 1 s jωₙ 259 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K ωₙ² K 2ωₙ² eʲωₙᵗ eʲωₙᵗ 260 Como eʲωₙᵗ eʲωₙᵗ cosωₙt temse yt K ωₙ² 1 cosωₙ t 261 b 0 ξ 1 Neste caso a resposta Ys é completa Ys K ss² 2ξωₙs ωₙ² 262 Os polos complexos podem ser escritos na forma s σd jωd 263 em que σd ξωₙ e ωd ωₙ1 ξ² Expandindo Ys em frações parciais Ys K s² 2ξωₙs ωₙ² K₁ s K₂ s σd jωd K₃ s σd jωd 264 Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K₁ K ωₙ² K₂ K 2jωdσd jωd K₃ K 2jωdσd jωd 265 Substituindo os valores das constantes Ys K ωₙ²1 s K 2jωdσd jωd1 s σd jωd K 2jωdσd jωd1 s σd jωd 266 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K ωₙ² K 2jωdσd jωd eˢᵈᵗʲωᵈᵗ K 2jωdσd jωd eˢᵈᵗʲωᵈᵗ 267 Após algumas manipulações algébricas é possível escrever yt K ωₙ² K ωₙ² eˢᵈᵗ 1 ξ² cosωd t ϕ 268 onde tan ϕ ξ 1 ξ² 269 c ξ 1 Neste caso a resposta Ys se reduz a Ys K ss² 2ωₙs ωₙ² K₁s K₂s ωₙ K₃s ωₙ² 270 Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K₁ K ωₙ² K₂ K ωₙ² K₃ K ωₙ 271 Substituindo os valores das constantes Ys K ωₙ² 1s K ωₙ² 1s ωₙ K ωₙ 1s ωₙ² 272 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt K ωₙ² 1 eωₙt K ωₙ teωₙt 273 d ξ 1 Neste caso a resposta Ys é completa como em 240 Os polos podem ser escritos na forma descrita em 250 Expandindo Ys em frações parciais Ys K ss² 2ξωₙs ωₙ² K₁s K₂s σd ωd K₃s σd ωd 274 Fazendo o mmc e igualando os numeradores é possível obter as constantes K₁ K ωₙ² K₂ K 2ωd σd ωd K₃ K 2ωd σd ωd 275 Substituindo os valores das constantes e aplicando a transformada inversa de Laplace yt K ωₙ² K 2ωd eσdt eωdt σd ωd eωdt σd ωd 276 CAPÍTULO 2 49 capítulo 2 50 A tabela 21 ilustra a localização dos polos e a resposta temporal de um sistema de 2a ordem sem zeros quando na entrada do sistema é aplicado um degrau uni tário levando em consideração os resultados obtidos para yt sob cada condição do fator de amortecimento ξ Quando ξ 0 a resposta do sistema é dita não amortecida já que a amplitude da saída é uma senoide deslocada No caso em que 0 ξ 1 a resposta do sistema é subamortecida quando ξ 1 a resposta recebe o nome de criticamente amorte cida e quando ξ 1 a resposta é superamortecida ξ 0 Im Re jωn jωn ω yt K t Não amortecida n 2 0 ξ 1 Im Re jωn ξωn 1ξ2 jωn 1ξ2 t Subamortecida yt ξ 1 Im Re ξωn t Criticamente amortecida yt ξ 1 Im Re ξωnωn ξωnωn ξ21 ξ21 t Superamortecida yt Tabela 21 Localização dos polos de um sistema de 2a ordem sem zeros e suas respectivas respostas temporais conforme os valores de ξ 1 NORMAN S Nise Engenharia de Sistemas de Controle p 140 6 ed 2013 Adaptado EXEMPLO Exemplo 4 Para a função de transferência Gs 36 s² 8s 36 qual é o tipo de resposta esperada quando a entrada é um degrau unitário Solução Igualando a equação geral de um sistema de 2ª ordem sem zeros dada em 237 com a função de transferência dada no exemplo K s² 2ξωₙs ωₙ² 36 s² 8s 36 277 Comparando termo a termo K 36 278 2ξωₙ 8 279 ωₙ² 36 280 Das duas últimas equações é fácil obter que ξ 067 281 ωₙ 6 282 Como 0 ξ 1 a resposta é subamortecida Especificações de desempenho Em muitos casos as especificações de desempenho de sistemas de controle são definidas em termos e grandezas no domínio do tempo São quatro as principais especificações de desempenho de um sistema de controle de 2ª ordem O tempo de subida Ts é definido como o tempo para a resposta do sistema passar de 0 a 100 do seu valor final A fórmula para calcular Ts para 0 θ π2 é Ts π θ ωd 283 em que cos θ ξ 284 CAPÍTULO 2 51 ωd ωₙ 1 ξ² 285 A segunda especificação é o tempo para a resposta alcançar o pico da primeira ultrapassagem Tp A fórmula para calcular Tp é Tp π ωd 286 A terceira especificação é o máximo valor de pico da resposta Mp A fórmula para calcular Mp é Mp eξπ 1 ξ² 287 A quarta e última especificação é o tempo necessário para a resposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final Erros de 2 e 5 são os valores usuais para a determinação do tempo de acomodação Ta Ta 2 4 ξωₙ 288 Ta 5 3 ξωₙ 289 A figura 27 ilustra a resposta de um sistema de 2ª ordem e as especificações de desempenho do sistema yt Mp 1 t Ts Tp Ta Figura 27 Especificações de desempenho de um sistema de 2ª ordem CAPÍTULO 2 52 Exemplo 5 Calcule o valor de K para que Mp 10 sendo a função de transferência do sistema dada por Gs K s² 4s12 K Solução A expressão de Mp é dada em 287 Mp eξπ 1 ξ² 01 291 Resolvendo a equação anterior ξ 059 291 Igualando as expressões do sistema de 2ª ordem genérico e a função de transferência dada no exemplo 2ξωn 4 292 ωn² K 12 293 Utilizando 291 292 e 293 o valor encontrado é K 2349 Resposta em regime permanente Até o momento você estudou a resposta transitória de sistemas de 1ª e 2ª ordens A partir de agora você irá estudar o erro estacionário de um sistema ou seja o erro que o sistema apresenta quando o tempo tende a infinito O erro em regime permanente ou erro estacionário é a diferença entre uma entrada de teste e a saída do sistema quando o tempo tende a infinito As principais entradas de teste utilizadas para a análise e o projeto do erro estacionário são o degrau unitário a rampa unitária e a parábola A tabela 22 ilustra as três principais entradas de teste seus gráficos e suas respectivas transformadas de Laplace É importante deixar claro que uma vez que o interesse reside no cálculo do erro estacionário ou seja a diferença entre a entrada e a saída de um sistema de controle com realimentação depois que o regime permanente tenha sido alcançado a discussão está limitada aos sistemas estáveis nos quais a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito Note que na tabela 22 os expoentes dos denominadores das transformadas de Laplace são s¹ s² e s³ enquanto os numeradores são todos iguais à unidade Por isso a parábola no tempo foi multiplicada por meio ou seja ft t²2 A figura 28 ilustra a resposta ou saída temporal de dois sistemas genéricos em que é aplicado um degrau de amplitude K na entrada dos sistemas A resposta do primeiro sistema é identificada na figura como saída 1 enquanto a resposta do segundo sistema é identificada como saída 2 O primeiro sistema tem erro estacionário nulo já que a diferença entre a entrada e a saída quando o tempo tende a infinito é nula Já no caso do segundo sistema a diferença entre a entrada e a saída quando o tempo tende a infinito ou seja o erro estacionário é um valor finito e diferente de zero representado na figura por e₂ FORMA DE ONDA ENTRADA FUNÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO TRANSFORMADA DE LAPLACE degrau unitário rt 1 Rs 1s rampa unitária rt t Rs 1s² parábola rt t²2 Rs 1s³ Tabela 22 As três principais entradas de teste para verificação do erro estacionário de sistemas e suas respectivas transformadas de Laplace Figura 28 Resposta de dois sistemas e seus respectivos erros estacionários quando a entrada é um degrau de amplitude K Erro estacionário em sistemas com realimentação unitária A figura 29 ilustra um sistema com realimentação unitária e função de transferência genérica representada por Gs Por se tratar de um sistema com realimentação unitária o sinal de erro et pode ser escrito como a diferença entre a entrada rt e a saída yt Rs Es Gs Ys Figura 29 Diagrama em blocos de um sistema de realimentação unitária com uma função de transferência genérica representada por Gs Do diagrama em blocos descrito acima é possível escrever as seguintes equações Es Rs Ys 294 Ys Es Gs 295 Substituindo 295 em 294 Es Rs 1 Gs 296 Como foi discutido anteriormente o estudo do erro estacionário só tem sentido em sistemas estáveis Dessa forma o teorema do valor final pode ser aplicado sem problemas para obter o erro estacionário e do sistema elim s0 sEssRs1lim s0 Gs 297 A fórmula anterior permite calcular o erro estacionário de sistemas com realimentação unitária conforme ilustrado na figura 29 conhecendo a entrada do sistema e sua função de transferência Gs Se a entrada do sistema da figura 29 for um degrau unitário a transformada de Laplace da entrada Rs é Rs1s 298 Substituindo 298 em 297 é possível determinar uma expressão para o erro estacionário quando a entrada é um degrau unitário edegrau11lim s0 Gs 299 No caso quando a entrada do sistema da figura 29 é uma rampa unitária a transformada de Laplace da entrada Rsé Rs1s² 2100 Substituindo 2100 em 297 é possível determinar uma expressão para o erro estacionário quando a entrada é uma rampa unitária erampa1lim s0 sGs 2101 Finalmente quando a entrada do sistema da figura 9 é uma parábola a transformada de Laplace da entrada Rsé Rs1s³ 2102 Substituindo 2102 em 297 é possível determinar uma expressão para o erro estacionário quando a entrada é uma parábola eparábola1lim s0 s²Gs 2103 Constantes de erro estático Existem três constantes de erro estático empregadas no estudo do erro estacionário constante de erro estático de posição Kp constante de erro estático de velocidade Kv e constante de erro estático de aceleração Ka Tais constantes são definidas em conjunto com as respostas dos sistemas as três entradas de teste degrau rampa e parábola Os três termos no denominador de 299 2101 e 2103 para os quais se calcula o limite determinam o valor do erro estacionário para as entradas de teste Esses limites definem as três constantes de erro estático conforme ilustra a tabela 23 CONSTANTES DE ERRO ESTÁTICO DEFINIÇÃO Constante de posição Kp Kp lim s0 Gs Constante de velocidade Kv Kv lim s0 sGs Constante de posição Ka Ka lim s0 s²Gs Tabela 23 Constantes de erro estático e suas definições Se os valores das constantes de erro estático forem inseridos em 299 2101 e 2103 as equações podem ser reescritas como edegrau11Kp 2104 2105 erampa1Kv 2106 eparbola1Ka As três últimas equações expressam os erros estacionários para as entradas de teste em função dos valores das constantes de erro estático Tipo do sistema O estudo do tipo do sistema ainda se restringe ao caso de sistemas com realimentação unitária conforme ilustrado na figura 210 Os zeros estão simbolizados como z1 z2 e os polos como p1 p2 O tipo do sistema é definido como sendo o valor de n ilustrado no denominador da função de transferência ou equivalentemente o número de polos na origem de Gs Nesse caso é assumido que não existem zeros na origem pois caso contrário poderia ser possível simplificar a função de transferência e o tipo do sistema deixaria de ser n Figura 210 Sistema com realimentação unitária evidenciando o número de polos na origem da função de transferência Na tentativa de resumir o que foi estudado até agora a tabela 24 reúne as expressões do erro estacionário as constantes de erro estático e o tipo do sistema em função das entradas de teste TIPO 0 TIPO 1 TIPO 2 ENTRADA Fórmula do erro estacionário Constante de erro estático Erro Constante de erro estático Erro Constante de erro estático Erro DEGRAU UNITÁRIO 11Kp Kp cte 11Kp Kp 0 Kp 0 RAMPA UNITÁRIA 1Kv Kv 0 Kv cte 1Kv Kv 0 PARÁBOLA 1Ka Ka 0 Ka 0 Ka cte 1Ka Tabela 24 Resumo contendo os erros estacionários as constantes de erro estático e o tipo do sistema para cada uma das três entradas de teste Joseph J DiStefanollI Allen R Stubberud e Ivan J Williams Sistemas de Controle Coleção Schaum 1 ed Bookman 2014 EXEMPLO Exemplo 6 Determine os erros as constantes de erro estático e o tipo do sistema para o sistema em malha fechada cuja função de transferência é Gs 5s2s10 2107 Solução Kp lim s0 5s2s10 2108 Kv lim s0 5ss2s10 2109 2110 Ka lim s0 5s2s2s10 05 2111 Aplicando 2104 2105 e 2106 edegrau 0 2111 erampa 0 2112 eparábola 2 2113 CAPÍTULO 2 59 Para verificar o tipo do sistema basta verificar o número de polos localizados na origem No caso da função de transferência dada no exemplo os polos são s0 s0 e s10 Portanto o número de polos na origem é 2 e consequentemente o tipo do sistema é 2 Erro estacionário em sistemas com realimentação não unitária As equações deduzidas até agora tiveram como premissa o fato de os sistemas em malha fechada terem realimentação unitária Para poder utilizar as equações deduzidas basta converter o sistema de realimentação não unitária em um sistema de realimentação unitária A figura 211 ilustra um sistema com realimentação unitária à esquerda e um sistema de realimentação não unitária à direita Para que os sistemas sejam equivalentes as funções de transferência em malha fechada de ambos os sistemas devem ser idênticas Figura 211 Equivalência de um sistema com realimentação unitária à esquerda e um sistema com realimentação não unitária à direita Igualando as funções de transferência do sistema com realimentação unitária e do sistema de realimentação não unitária temse G1s 1 G1s Gs 1 GsHs 2114 Isolando G1s G1s Gs 1 GsHs Gs 2115 CAPÍTULO 2 60 Portanto se você quiser calcular as constantes de erro estático o erro estacionário ou o tipo do sistema de um sistema com realimentação não unitária basta convertêlo em um sistema com realimentação unitária por intermédio de 2115 e em seguida aplicar as equações deduzidas anteriormente para Gs usando G1s EXEMPLO Exemplo 7 Para um sistema de controle com realimentação negativa em que as funções de transferência são Gs 100 ss10 e Hs 1 s5 determine as constantes de erro estático o tipo do sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário em rampa unitária e em parábola Solução O sistema tem realimentação não unitária Portanto antes de aplicar as equações deduzidas para sistemas com realimentação unitária é necessário converter o sistema dado em um sistema com realimentação unitária usando 2115 G1s 100 ss10 1 100 ss10s5 100 ss10 2116 Simplificando a expressão anterior G1s 100s5 ss5s10 100s5 100 2117 CAPÍTULO 2 61 Aplicando as definições descritas na tabela 23 temse Kp lim s 0 100 s5 s s5 s10 100 s5 100 125 2118 Kv lim s 0 100 s s 5 s s 5 s 10 100 s 5 100 0 2119 Ka lim s 0 100 s2 s 5 s s 5 s 10 100 s 5 100 0 2120 Aplicando 2104 2105 e 2106 edegrau 4 2121 erampa 2122 eparábola 2123 Para verificar o tipo do sistema basta verificar o número de polos localizados na origem de G1 s É fácil verificar que G1 s não tem polos localizados na origem consequentemente o tipo do sistema é 0 Utilizando o MATLAB O software Matlab e suas extensões Simulink e Control System Toolbox dedicados especificamente ao estudo de sistemas de controle são comercializados pela empresa americana Mathworks Tal software fornece uma ajuda poderosa para professores e alunos sendo particularmente útil para ilustrações A utilização do Matlab permite que os professores e os alunos dediquem mais tempo à essência das coisas dedicando menos tempo ao acessório o cálculo e mais ao essencial a reflexão sobre os princípios e os fenômenos Com intuito de iniciar a experiência com o Matlab considere um sistema de 2ª ordem submetido a uma entrada em degrau unitário e com a seguinte função de transferência Gs 16 s2 2s 16 2124 CAPÍTULO 2 62 Os valores do fator de amortecimento e da frequência natural são obtidos diretamente da função de transferência 2 ξ ωn 2 2125 ωn2 16 2126 Resolvendo as duas equações anteriores temse ξ 025 e ωn 4 Como 0 ξ 1 a resposta do sistema ao degrau será subamortecida Além disso é possível obter os valores das especificações de desempenho Ts Tp Mp e Ta O tempo de subida Ts é dado por 283 284 e 285 cos θ 025 θ 132 2127 ωd 4 1 0252 387 2128 Ts 314 132 387 047 2129 O instante de pico Tp é dado por 286 Tp 314 387 081 2130 O valor da ultrapassagem é fornecida por 287 Mp e025 1 0252 314 044 2131 Finalmente o valor do tempo de acomodação é Ta é obtido por intermédio de 288 Ta 2 4 025 4 4 2131 O objetivo agora é obter os valores de Ts Tp Mp e Ta com o auxílio do Matlab É sempre aconselhável a criação de um arquivom script com os comandos e os comentários para facilitar futuras consultas O arquivo Cap2m é descrito a seguir e as linhas precedidas com são os comentários CAPÍTULO 2 63 capítulo 2 64 Apaga todas as variáveis clear all Fecha todas as janelas close all Define o numerador da função de transferência num 16 Define o denominador da função de transferência den 1 2 16 Cria a função de transferência printsysnumden Define o vetor tempo 0 até 10s com 001s de passo t 000110 Define a saída yt com a entrada um degrau unitário y stepnumdent Imprime o gráfico yt versus t plotty Insere um grid no gráfico grid Insere linhas horizontais de 102 e 098 para calcular Ta2 line0 10102 102 line0 10098 098 O gráfico de yt é ilustrado na figura 212 Note que a resposta corresponde a uma resposta subamortecida e os valores de Ts Tp Mp e Ta marcados na figura correspondem aos valores obtidos analiticamente usando as equações 15 05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 X 4 Y 1017 X 047 Y 0998 X 081 Y 1444 Figura 212 Gráfico obtido no Matlab após a execução do script Cap2m ATIVIDADES 01 Para a função de transferência Gs 20 s 20 determine os valores da constante de tempo τ do tempo de subida Ts e do tempo de acomodação Ta 02 Considerando que um sistema de 1a ordem sem zero apresenta uma resposta yt tal que y 10 e y2 5 quando é aplicado um degrau unitário na sua entrada determine a função de transferência do sistema 03 Para a função de transferência dada pela expressão Gs 36 s2 4s 36 determine qual é a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema Em seguida classifique o sistema quanto à sua resposta ao degrau unitário 04 Desejase selecionar o ganho K e o parâmetro p de um sistema de controle com realimentação unitária e função de transferência Gs K s s p de forma a satisfazer às seguintes especificações de desempenho tempo de acomodação igual a 4s para erro de 2 tempo de subida mínimo com ultrapassagem máxima de até 432 05 Dado um sistema com realimentação unitária e Gs K s s 10 determine as constantes de erro estático o erro em regime permanente e o tipo do sistema para uma entrada em degrau unitário uma entrada em rampa unitária e uma entrada em parábola REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS NORMAN S Nise Engenharia de Sistemas de Controle 6 ed 2013 Joseph J DiStefanoIII Allen R Stubberud e Ivan J Williams Sistemas de Controle Coleção Schaum 1 ed Bookman 2014 CAPÍTULO 2 65 Estabilidade e lugar geométrico das raízes 3 capítulo 3 68 Estabilidade e lugar geométrico das raízes Na primeira parte deste capítulo você verá que o comportamento da resposta ao impulso e a localização dos polos da função de transferência de sistemas lineares invariantes no tempo SLIT determinam se o sistema é estável ou instável Para SLIT com ordem superior a 3 a resposta ao impulso e a localização dos polos não são facilmente obtidas analiticamente É nesta hora que o critério de Routh se mostra uma ferramenta indispensável para determinar se um SLIT é estável ou não já que tal critério é capaz de deter minar a estabilidade sem que seja necessário encontrar as localizações dos pólos ou a resposta temporal do sistema O critério de Routh é ainda capaz de determinar o número de polos que se encontram no semiplano da direita SPD responsáveis por tornar o sistema instável Na segunda parte deste capítulo você estudará que o lugar geométrico das raízes LGR é uma representação gráfica dos polos de malha fechada do sistema quando o ganho do sistema é variado desde zero até infinito O LGR é uma ferra menta gráfica poderosa para avaliar o desempenho e estudar os limites de estabili dade à medida que os polos em malha fechada do sistema variam OBJETIVOS Determinar as condições de estabilidade nos domínios da frequência e do tempo Construir o arranjo de Routh para determinar a estabilidade de um sistema Conhecer as regras de construção para esboçar o lugar geométrico das raízes LGR Estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo SLIT Para um sistema não linear e variante no tempo o estudo da estabilidade é um tópico bastante complexo e está fora do escopo deste livro Portanto neste livro serão considerados apenas SLIT para os quais se têm condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo Tais condições são equivalentes e por vezes é mais conveniente fazer a análise no domínio do tempo do que no domínio da frequência e viceversa A condição de estabilidade no domínio da frequência estabelece que um SLIT é dito estável se todos os polos da função de transferência do sistema têm parte real negativa ou seja estão localizados no semiplano da esquerda SPE e é instável em caso contrário A condição de estabilidade no domínio do tempo equivalente à condição de estabilidade no domínio da frequência estabelece que um SLIT é dito estável se lim t gt 0 em que gt é a resposta do sistema a um impulso unitário δt Para você começar a se familiarizar com as condições de estabilidade e entender como aplicálas considere os dois exemplos a seguir ATIVIDADES Exemplo 1 Determine se o sistema descrito pela função de transferência a seguir é estável ou instável Gs 4 s² 2s 4 31 Solução Para fins didáticos o exemplo será resolvido usando as duas condições de estabilidade Obviamente para as duas condições o mesmo resultado deverá ser obtido Usando a condição de estabilidade no domínio da frequência basta localizar os polos da função de transferência por intermédio da solução da equação característica s² 2s 4 0 s 1 3 j 32 Os polos obtidos são complexos conjugados que têm parte real negativa igual a 1 estando ambos localizados no semiplano da esquerda SPE A conclusão é que o sistema é estável Usando a condição de estabilidade no domínio do tempo o primeiro passo é achar a expressão para gt gt L¹ 4 s² 2s 4 33 CAPÍTULO 3 69 em que L¹ denota a transformada inversa de Laplace Para determinar esta transformada inversa basta lembrar que LAeαt sinωt Aω sα² ω² Aω s² 2αs α² ω² 34 Igualando membro a membro 33 e 34 é possível encontrar os valores A 43 ω 3 e α 1 Portanto gt 43 eᵗ sin3t 35 Aplicando o limite a fim de determinar a condição de estabilidade no tempo lim t gt lim t 43 eᵗ sin3t 0 36 Como o resultado é igual a zero a conclusão é que o sistema é estável A figura 31 ilustra a localização dos polos e a resposta temporal Note que os polos estão nitidamente localizados no SPE e a resposta temporal tende a zero quando o tempo tende a infinito Figura 31 Localização dos polos e resposta temporal do exemplo 1 Exemplo 2 Determine se o sistema descrito pela função de transferência a seguir é estável ou instável Gs 4 s² 2s 4 37 Solução a Usando a condição de estabilidade no domínio da frequência basta localizar os polos da função de transferência por intermédio da solução da equação característica s² 2s 4 0 s 1 3 j 38 CAPÍTULO 3 70 Os polos obtidos são complexos conjugados que têm parte real positiva igual a 1 estando ambos localizados no semiplano da direita SPD A conclusão é que o sistema é instável b Usando a condição de estabilidade no domínio do tempo o primeiro passo é achar a expressão para gt gt L¹ 4 s² 2s 4 39 em que L¹ denota a transformada inversa de Laplace Para determinar esta transformada inversa basta lembrar que LAeαt sinωt Aω s α² ω² Aω s² 2αs α² ω² 310 Igualando membro a membro 39 e 310 é possível encontrar os valores A 43 ω 3 e α 1 Portanto gt 43 et sin3 t 311 Aplicando o limite a fim de determinar a condição de estabilidade no tempo lim t gt lim t 43 et sin3 t 312 Como o resultado é diferente de zero a conclusão é que o sistema é instável A figura 32 ilustra a localização dos polos e a resposta temporal Note que os polos estão nitidamente localizados no SPD e a resposta temporal tende a infinito dáérge quando o tempo tende a infinito Figura 32 Localização dos polos e resposta temporal do exemplo 2 Após ler as duas condições equivalentes de estabilidade de SLIT e os dois exemplos precedentes uma pergunta que pode ter ocorrido a você é e se os polos estiverem sobre o eixo imaginário ou seja se não estiverem nem no SPE nem no SPD mas sobre a reta que separa o SPE do SPD Neste caso o sistema é estável ou instável A resposta para a pergunta utilizada pela grande maioria dos autores de livros de sistema de controle é que o sistema é dito marginalmente estável Acompanhe a solução dos dois próximos exemplos em que os polos estão sobre o eixo imaginário EXEMPLO Exemplo 3 Determine se o sistema descrito pela função de transferência a seguir é estável instável ou marginalmente estável Gs 1s 313 Solução a Usando a condição de estabilidade no domínio da frequência basta localizar o polo da função de transferência por intermédio da solução da equação característica s0 314 O polo obtido é real estando localizado na origem do plano s sobre o eixo imaginário A conclusão é que o sistema é marginalmente estável b Usando a condição de estabilidade no domínio do tempo o primeiro passo é achar a expressão para gt gt L¹ 1s 315 Portanto gt ut 316 em que ut é o degrau unitário Como o resultado é uma constante a conclusão é que o sistema é marginalmente estável A figura 33 ilustra a localização do polo e a resposta temporal Note que o polo está sobre o eixo imaginário e a resposta temporal é uma constante Figura 33 Localização dos polos e resposta temporal do exemplo 3 Exemplo 4 Determine se o sistema descrito pela função de transferência a seguir é estável instável ou marginalmente estável Gs 1 s² 4 317 Solução a Usando a condição de estabilidade no domínio da frequência basta localizar o polo da função de transferência por intermédio da solução da equação característica s² 4 0 s 2j 318 Os polos obtidos são complexos conjugados estando localizados sobre o eixo imaginário A conclusão é que o sistema é marginalmente estável b Usando a condição de estabilidade no domínio do tempo o primeiro passo é achar a expressão para gt gt L¹ 1 s² 4 319 Portanto gt sin2t2 320 Como o resultado é um sinal oscilante de amplitude constante a conclusão é que o sistema é marginalmente estável capítulo 3 74 A figura 34 ilustra a localização dos polos e a resposta temporal Note que os polos estão sobre o eixo imaginário e a resposta temporal é oscilatória com amplitude constante Im gt t 2j 2j Re 05 05 Figura 34 Localização dos polos e resposta temporal do exemplo 3 A figura 35 resume as respostas temporais gt obtidas nos exemplos anteriores e com bina com as condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo N C Jagan Control Systems 2 ed BS Publications 2008 p 132 Adaptado x x ESTÁVEL INSTÁVEL Im Re x x x x MARGINALMENTE ESTÁVEL Figura 35 Localização dos polos de sistemas estáveis instáveis e marginalmente estáveis e suas respectivas respostas temporais N C Jagan Control Systems 2 ed BS Publications 2008 p 132 Adaptado Critério de Routh Segundo o que foi visto até agora para determinar se um SLIT é estável instável ou marginalmente estável é necessário o conhecimento da localização dos polos da função de transferência De tal forma que pela condição de estabilidade no domínio da frequência se todos os polos da função de transferência do sistema estiverem localizados no SPE o sistema é dito estável Alternativamente pela condição de estabilidade no domínio do tempo o sistema é dito estável se o limite quando o tempo tende a infinito da resposta ao impulso do sistema é zero O problema das condições de estabilidade é que para funções de transferência com polinômios de elevada ordem no denominador não é possível encontrar analiticamente os polos e suas correspondentes localizações nem obter sua resposta impulsional Imagine por exemplo o problema de ter que estudar a estabilidade do sistema cuja função de transferência é dada por Gs Ns a 6 s6 a 5 s5 a 4 s4 a 3 s3 a 2 s2 a 1 s a 0 321 Analiticamente não é possível determinar as raízes de um polinômio de 6a ordem Dessa forma seria indispensável obter uma maneira de verificar a estabilidade sem ter que calcular os polos e verificar suas localizações para então afirmar sobre a estabilidade do sistema O termo analiticamente é usado em oposição ao termo numericamente pois seria possível obter os polos numericamente A solução para o problema acima é a utilização do critério de Routh Tal critério determina se um sistema é ou não estável e obtém o número de polos no SPD do sistema dispensando o cálculo dos polos da função de transferência O critério de Routh se inicia a partir da construção do arranjo de Routh que toma o polinômio do denominador da função de transferência do sistema que no problema proposto é Ds a 6 s6 a 5 s5 a 4 s4 a 3 s3 a 2 s2 a 1 s a 0 322 O arranjo de Routh é construído conforme a parte cinza ilustrada na tabela 31 O arranjo tem n 1 linhas n é o grau de Ds às quais estão marcadas com uma coluna cinza que vai de s6 até s0 As duas primeiras linhas do arranjo também marcadas em cinza na tabela 31 são formadas diretamente a partir dos coeficientes de Ds s6 a 6 a 4 a 2 a 0 0 s5 a 5 a 3 a 1 0 0 s4 b 1 b 2 b 3 0 0 s3 c 1 c 2 0 0 0 s2 d 1 d 2 0 0 0 s1 e 1 0 0 0 0 s0 f 1 0 0 0 0 Tabela 31 Arranjo de Routh para o polinômio descrito em 321 A primeira coluna onde estão os elementos a 6 e a 5 é denominada de coluna pivô e os elementos desta coluna são denominados de pivôs Os elementos seguintes da coluna pivô serão b 1 c 1 d 1 e 1 e f 1 As linhas vão ficando cada vez mais curtas até que as duas últimas linhas terão apenas um elemento Os elementos não preenchidos no final de cada linha são nulos ou deixados em branco O cálculo dos elementos seguintes do arranjo de Routh está descrito nas equações a seguir b 1 a 4 a 5 a 6 a 3 a 5 b 2 a 2 a 5 a 6 a 1 a 5 b 3 a 0 a 5 a 6 0 a 5 a 0 323 c 1 a 3 b 1 a 5 b 2 b 1 c 2 a 1 b 1 a 5 b 3 b 1 324 e 1 c 2 d 1 c 1 d 2 d 1 f 1 d 2 e 1 d 1 0 e 1 d 2 325 O critério de Routh estabelece que um SLIT é estável se e somente se todos os pivôs elementos da primeira coluna do arranjo de Routh forem positivos O número de polos no SPD representa o número de trocas de sinal dos pivôs do arranjo de Routh EXEMPLO Exemplo 5 Determine as condições para que o sistema descrito pela função de transferência a seguir seja estável Gs d a s2 b s c 326 Solução Construindo o arranjo de Routh para o polinômio de 2a ordem do denominador s2 a c 0 s1 b 0 0 s0 c 0 0 Segundo o critério de Routh o sistema será estável se e somente se a 0 b 0 c 0 327 Portanto para sistemas de 2a ordem é possível determinar a estabilidade apenas olhando para os coeficientes do polinômio do denominador Se você retornar ao exemplo 2 seria imediata a determinação que o sistema era instável já que b 2 Exemplo 6 Determine se o sistema descrito pela função de transferência a seguir é estável instável ou marginalmente estável Gs 2 s2 1 s4 2 s3 3 s2 4 s 5 328 Solução Construindo o arranjo de Routh s4 1 3 5 0 s3 2 4 0 0 s2 b 1 b 2 0 0 s1 c 1 0 0 0 s0 d 1 0 0 0 As linhas subsequentes do arranjo de Routh são calculadas empregando a lei de formação descrita em 323 324 e 325 b1321421b2521025 c14b12b2b1412516 d1b2c1b10c1b25 329 330 331 Segundo o critério de Routh para que o sistema seja estável todos os pivôs do arranjo de Routh 1 2 b1 c1 e d1 devem ser positivos Como c1 6 o sistema é instável Além disso o critério de Routh permite afirmar que existem dois polos no SPD pois houve duas trocas de sinal na coluna pivô do arranjo de Routh uma troca de sinal de 1 para 6 e outra troca de sinal de 6 para 5 Em seguida você verá dois casos especiais que ocorrem durante a construção do arranjo de Routh quando o pivô é zero e quando toda uma linha é zero Caso especial um elemento na coluna pivô do arranjo de Routh é zero Se apenas o pivô em uma das linhas é zero é necessário substituir o zero por uma constante pequena e positiva ε 0 e continuar o procedimento de construção do arranjo de Routh normalmente Em seguida aplicase o critério de Routh tomando o limite quando ε tende a zero EXEMPLO Exemplo 7 Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência a seguir está no SPD Gs s24s3s53s42s36s26s9 332 Solução Construindo o arranjo de Routh Aplicando os limites quando ε 0 nos elementos da primeira coluna que têm ε lim ε0 6ε9ε lim ε0 3ε26ε92ε3 3 333 Portanto existem 2 polos no SPD já que houve 2 trocas de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh uma troca de sinal de ε 0 para e outra troca de sinal de para 3 Caso especial uma linha inteira do arranjo de Routh é zero Se uma linha i 1 do arranjo de Routh é inteiramente composta por zeros é necessário substituir esta linha linha i 1 pela derivada do polinômio auxiliar da linha i Como a solução para este caso especial envolve o conhecimento do polinômio auxiliar de cada linha do arranjo de Routh você precisa saber como o polinômio auxiliar é obtido Para entender a obtenção de o polinômio auxiliar considere o arranjo de Routh e os correspondentes polinômios auxiliares ilustrados na tabela 32 POLINÔMIO AUXILIAR s4 1 3 5 0 ds s4 3s2 5 s3 2 4 0 0 ds 2s3 4s s2 b1 b2 0 0 ds b1 s2 b2 s1 c1 0 0 0 ds c1 s s0 d1 0 0 0 ds d1 Tabela 32 Polinômios auxiliares para cada linha do arranjo de Routh Portanto a obtenção do polinômio auxiliar leva em conta a linha e os coeficientes da linha do arranjo de Routh O exemplo a seguir pretende exemplificar a aplicação deste caso especial EXEMPLO Exemplo 8 Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo está no SPD Gs 2s33s23s5s55s411s323s228s12 334 Solução Construindo o arranjo de Routh é possível verificar que a linha s1 é inteiramente composta por zeros Neste caso é necessário substituir a linha s1 pela derivada do polinômio auxiliar da linha i Nova s1 O polinômio auxiliar da linha i é ds 3s2 12 e sua derivada é ds 6s capítulo 3 92 Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Denominador do exemplo 6 denex6 1 2 3 4 5 Raízes do exemplo 6 raizesex6 rootsdenex6 Denominador do exemplo 7 denex7 1 3 2 6 6 9 Raízes do exemplo 6 raizesex7 rootsdenex7 Denominador do exemplo 8 denex81 5 11 23 28 12 Raízes do Exemplo 8 raizesex8 rootsdenex8 Para o exemplo 6 o MATLAB retorna as raízes 029 142j 129 086j e para o exemplo 7 as raízes 290 066 129j 070 099 Em ambos os casos existem duas raízes complexas conjugadas com parte real positiva ou seja localizadas no SPD o que concorda com os resultados obtidos nos exemplos 6 e 7 utilizando o critério de Routh O MATLAB também pode ser muito útil na determinação do LGR Para obter o LGR utilizando o MATLAB o comando que deve ser empregado é rlocus A seguir é listado um script para ser executado no MATLAB em que o LGR do exemplo 12 é obtido Note que o denominador do exemplo 12 é s3 6s2 11s 6 Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Define o numerador da função de transferência numex12 1 Define o denominador da função de transferência denex12 1 6 11 6 Cria a função de transferência printsysnumex12denex12 Traça o LGR rlocusnumex12 denex12 capítulo 3 94 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS N C Jagan Control Systems 2 ed BS Publications 2008 Resposta em frequência e compensação 4 capítulo 4 96 Resposta em frequência e compensação A resposta em frequência é a resposta em estado estacionário do sistema quan do na entrada é aplicado um sinal senoidal O estudo da resposta em frequência permite observar o comportamento da função de transferência do sistema em função da frequência angular ω A vantagem da utilização da resposta em fre quência é ela permite o emprego dos dados obtidos diretamente das medições do sistema físico Na primeira parte deste capítulo você estudará como esboçar a magnitude e a fase da resposta em frequência de um sistema por meio do diagrama de Bode A seguir você verá o diagrama de Nyquist que embora mais complexo de ser cons truído permite analisar a resposta em frequência em um único gráfico Tanto o diagrama de Bode como o de Nyquist fornecem informações sobre a estabilidade do sistema Na segunda parte deste capítulo você estudará que um compensador ou con trolador deve possibilitar que o sistema compensado responda ao maior número de especificações do sistema ou processo ou planta Como as especificações são em geral conflitantes e variadas algumas estratégias para ajustar a resposta do sistema compensado são possíveis OBJETIVOS Esboçar os diagramas de Bode e Nyquist Projetar compensadores básicos Sintonizar compensadores PID Resposta em frequência Um sistema linear invariante no tempo SLIT em estado estacionário ou regime permanente quando excitado por entradas senoidais fornece na saída respostas senoidais de mesma frequência das entradas senoidais No entanto as amplitudes e as fases das respostas diferem das amplitudes e fases das entradas Para explorar esse tópico considere o diagrama em blocos de um SLIT no domínio da frequência conforme ilustrado na figura 41 capítulo 4 105 0 1 π2 π 10 40 100 ω φGω Figura 47 Diagrama de Bode do exemplo 4 Retas assíntotas em preto e curva real em azul Diagrama de Nyquist O diagrama de Bode utiliza dois gráficos o de magnitude ou ganho e o de fase para representar graficamente a resposta em frequência de um sistema O diagrama de Nyquist é uma alternativa ao diagrama de Bode e tem a van tagem de representar a resposta em frequência de um sistema utilizando apenas um único gráficoO diagrama de Nyquist descreve a localização em coordenadas polares dos pontos P com coordenadas MG ω e ϕG ω quando ω varia de 0 a conforme ilustrado na figura 48 Im P Re ImGjω ReGjω ω φGω MGdBω Figura 48 Definição do diagrama de Nyquist É possível traçar o diagrama de Nyquist a partir do diagrama de Bode trans ferindo no plano complexo cada par de pontos MG ω e ϕG ω expressos nos gráficos de magnitude e fase do diagrama de Bode para cada valor de frequência de 0 a O exemplo a seguir descreve como obter o diagrama de Nyquist a partir do diagrama de Bode capítulo 4 107 0 C 20 dB 40 dB 102 101 101 102 103 1 ω MGdBω 0 B 103 102 1 ω 101 φGω π2 π2 Figura 49 Diagrama de Bode do exemplo 5 Retas assíntotas em preto e curva real em azul Os pontos inicial e final do diagrama de Nyquist são obtidos substituindo ω 0 e ω em 421 Assim obtémse G0 10 423 G 0 424 No diagrama de Nyquist a magnitude não é expressa em decibéis Os pontos A B C e D podem ser identificados no diagrama de Nyquistcomo sendo respectivamente o ponto inicial do diagrama de Nyquist o ponto de fase máxima do diagrama de Bode o ponto de ganho máximo do diagrama de Bode e o ponto final do diagrama de Nyquist conforme ilustrado na Figura 410 Após localizar os pontos A B C e D no diagrama de Nyquist o próximo passo é traçar intuitivamente os trechos entre esses pontos Para o trecho AB quando ω aumenta de valor o ganho aumenta e a fase também aumenta até um valor máximo max Para o trecho BC pode ser verificado no diagrama de Bode que o valor máximo da fase max não ocorre na mesma frequência do valor máximo da magnitude Mmax pois a magnitude aumenta até seu valor máximo enquanto a fase diminui A magnitude máxima Mmax é atingida para um valor de fase próximo de 0 que no diagrama de Nyquist corresponde ao ponto C Para o trecho CD enquanto a magnitude diminui de seu valor máximo para 0 a fase diminui até 90 capítulo 4 108 Im Re Mmax φmax B A D C ω ω Figura 410 Diagrama de Nyquist do exemplo 5 Critério de estabilidade de Nyquist Com base no diagrama de Nyquist da função de transferência em malha aber ta e na localização dos polos da função de transferência em malha aberta é possível derivar um critério de estabilidade para o sistema em malha fechada O critério de estabilidade de Nyquist estabelece que um sistema em malha fe chada é estável se o diagrama de Nyquist da função de transferência em malha aberta do sistema Gs envolver o ponto crítico C 1 0 no sentido horário um número de voltas igual a n em que n é o número de polos de Gs com parte real positiva Para compreender na prática o enunciado do critério de estabilidade de Nyquist considere três sistemas azul preto e vermelho com diagramas de Nyquist ilustrados na figura 411 Im Re C 10 ω ω ω Figura 411 Exemplos da aplicação do critério de estabilidade de Nyquist capítulo 4 118 A figura 416 ilustra a resposta ao impulso da função de transferência em ma lha fechada com realimentação unitária tendo Gs como função de transferência de percurso direto 08 06 04 02 02 04 0 0 5 10 15 20 25 30 Tempo s Amplitude Figura 416 Resposta ao impulso em malha fechada desejada após a compensação Os autores perceberam com base na sintonia de um grande número de siste mas diferentes com características de respostas semelhantes que esta abordagem era eficaz e desenvolveram dois métodos o método do ganho limite e o método da curva de reação Método do ganho limite Este método é desenvolvido a partir do diagrama em blocos ilustrado na figura 417 A entrada é um impulso unitário e o objetivo é determinar o valor do ganho crítico Kcr que faz o sistema em malha fechada oscilar 3 Gs Planta ou Sistema Kcr Ys Es Rs Figura 417 Diagrama em blocos para o método do ganho limite capítulo 4 121 A resposta ao impulso de Fc s é mostrada na figura 419 e corresponde à resposta esperada na figura 416 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 15 05 05 Tempo s Figura 419 Resposta ao impulso do sistema compensado do exemplo 7 Método da curva de reação Este método é desenvolvido a partir da resposta ao degrau em malha aberta Os autores verificaram que um grande número de sistemas apresentava resposta em malha aberta na forma de um S para a entrada degrau conforme ilustrado na figura 420 1 yt t rt rt Gs yt t Figura 420 Resposta em malha aberta de um grande número de sistemas quando a entrada é um degrau unitário As constantes Kp Ki e Kd são obtidas a partir dos parâmetros L e T conforme ilustrado na figura 421 É necessário encontrar o ponto de maior derivada da resposta do sistema em malha aberta ao degrau Por este ponto indicado como P capítulo 4 123 Solução O primeiro passo é obter a resposta de Gs ao degrau unitário conforme ilustrado na figura 422 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Tempo s Amplitude Figura 422 Resposta ao degrau unitário da função de transferência em malha aberta O próximo passo é determinar o ponto em que a derivada da resposta ao degrau em ma lha aberta é máxima A figura 423 ilustra a derivada da resposta ao degrau e indica o ponto em que o valor da derivada é máximo 07 06 05 04 03 02 01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tempo s Amplitude X 045 Y 06299 Figura 423 Derivada da resposta ao degrau da função de transferência em malha aberta capítulo 4 126 O primeiro exemplo a ser revisitado será o exemplo 4 Suponha que você dis põe do MATLAB para resolver o exemplo O script para obter o diagrama de Bode da função de transferência descrita no exemplo 4 é Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Numerador da função de transferência do exemplo 3 num 2000 2000 Denominador da função de transferência do exemplo 3 den 1 50 400 0 Comando para traçar o diagrama de Bode bodenumden O resultado do script acima é ilustrado na fi gura 426 Você pode comparar essa fi gura com a fi gura 47 que foi obtida analiticamente 40 20 20 40 60 0 45 90 135 180 0 101 100 101 102 103 Magnitude dB Fase graus Frequência rads Figura 426 Diagrama de Bode do exemplo 3 obtido com o auxílio do MATLAB O segundo exemplo é o exemplo 9 As fi guras do exemplo 9 foram geradas com o auxílio do MATLAB O script comentado está transcrito a seguir capítulo 4 127 Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Numerador da função de transferência de malha aberta FTMA num 4 Denominador da FTMA den 1 5 4 Instante inicial ti ti 0 Instante final tf tf 8 Passo do vetor tempo t h h 001 Definição do vetor tempo t t t tihtf Resposta ao degrau da FTMA y y stepnumdent Figura 1 figure1 Gráfico da resposta ao degrau y por tempo t plotty Derivada da resposta ao degrau y em relação ao tempo t dy diffyh Definição do vetor tempo t da derivada tdy tdy tihtfh Figura 2 figure2 Gráfico da derivada da resposta ao degrau ydypor tempo tdy plottdydy Valores dos parâmetros L e T L 00785063 T 1063 Valores das constantes de proporcionalidade Kp Ki e Kd Kp 12TL Ki Kp2L Kd 05KpL Numerador da função de transferência de malha fechada FTMF após compensação num 4Kd 4Kp 4Ki Denominador da FTMF den 1 4Kd5 4Kp4 4Ki Resposta ao impulso da FTMF yfinal yfinalimpulsenumdent Figura 3 figure3 Gráfico da resposta ao impulso da FTMF yfinalpor tempo t plottyfinal Espaço de estados e introdução ao controle digital 5 capítulo 5 132 Espaço de estados e introdução ao controle digital Na primeira parte deste capítulo você aprenderá a representar um sistema li near invariante no tempo por meio das equações de estado Você verá que as equa ções de estado são uma representação equivalente à função de transferência e você verá também que é possível passar de uma representação para outra e viceversa As condições para que um sistema representado por equações de estado seja controlável e observável serão estudadas Um método para alterar a localização dos polos de um sistema de controle também será abordado Na segunda parte deste capítulo você será apresentado a uma introdução aos sistemas de controle digital que fazem uso da transformada Z como os sistemas contínuos fazem uso da transformada de Laplace A estabilidade de sistemas dis cretos será discutida e as consequências da introdução de um computador na ma lha de controle também serão investigadas OBJETIVOS Mostrar a equivalência de sistemas representados por equações de estado e por função de transferência Obter a transformada Z e a transformada Z inversa de sistemas discretos Modelar o computador digital em um sistema realimentado Espaço de estados Uma das formas de analisar sistemas lineares invariantes no tempo SLIT é por meio da função de transferência no domínio da frequência complexa s que relaciona diretamente a entrada do sistema com sua saída Uma segunda forma de análise de sistemas é pela forma de espaço de estados no domínio do tempo Uma das desvantagens da análise na frequência é estar limitada a SLIT ou sistemas que podem ser aproximados a SLIT A análise em espaço de estados também denominada como análise moderna é um método unificado para análise capítulo 5 146 O sistema descrito por Gs pode ser ilustrado como X1s Us 1 s2s2 As Ys 1 2s1 Figura 55 Diagrama em blocos do exemplo 5 Com base no diagrama em blocos apresentado três equações podem ser escritas s2 X1 s sX1 s 2X1 s Us 566a 2sX1 s X1 s As 566b As Us Ys 566c Substituindo 566c em 566b 2sX1 s X1 s Us Ys 567 Considerando as condições iniciais nulas e aplicando a transformada inversa de Laplace em 566a e 567 x1 t x1 t 2x1 t ut 568a 2x1 t x1 t ut yt 568b Como o sistema é de segunda ordem é possível escrever que x1 t x2 t 569 Derivando 569 x1 t x2 t 570 capítulo 5 155 un Computador Controlador Digital DA AD Sistema en fn yn ft yt Figura 57 Posição do computador na malha de controle O controlador digital mostrado na figura 57 recebe um sinal discreto de en trada ene processa esse sinal fornecendo um sinal discreto na saída fn De forma semelhante com o que ocorre com controladores analógicos o con trolador digital também pode ser representado por uma função de transferência A transformada utilizada para lidar com sinais analógicos é a transformada de Laplace já a transformada que lida com sinais discretos é denominada transfor mada Z Conversão AD Para converter um sinal analógico em um sinal discreto no tempo o compo nente utilizado é um conversor AD Um conversor AD ideal que não apresente erro de quantização pode ser representado como um amostrador ideal A figura 58 ilustra um sinal analógico fa tna entrada de um AD amostrador ideal sen do convertido em um sinal discreto no tempo fn t fat fat fn AD fn n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Figura 58 Amostrador ideal como conversor AD ideal O sinal discreto fn é definido apenas em instantes de tempo múltiplos do pe ríodo de amostragem T Matematicamente o sinal discreto fn pode ser expresso como o produto do sinal analógico fa t pelo trem de impulsos deslocados δT t conforme ilustrado na figura 59 capítulo 5 169 A resposta impulsional do sistema é a transformada inversa Z de Gz que neste caso vale gn αn un 5170 Estabilidade Antes de iniciar a estabilidade de sistemas discretos propriamente ditos con sidere o plano da variável complexa s σ jω que lida com sistemas contínuos ilustrado na figura 514 O plano s pode ser subdividido em 3 regiões o semiplano da esquerda SPE o eixo imaginário em azul e o semiplano da direita SPD plano s Re SPD SPE Im x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Figura 514 Plano da variável complexa s A equação da reta que está sobre o eixo imaginário é s jω já que σ 0 Se o objetivo for determinar em qual região do plano zé mapeado o eixo imaginário do plano s basta fazer s jω em 5111 tal que z ejωT cos ωT j sin ωT 5171 O lugar geométrico dos pontos que pertencem a 5171 no plano z é o cír culo de raio unitário centrado na origem com ângulo ωT conforme ilustrado na figura 515 capítulo 5 170 Assim da mesma forma que o eixo imaginário no plano s divide o plano em duas regiões o semiplano da direita SPD e o semiplano da esquerda SPE o círculo de raio unitário centrado na origem no plano z também dividirá o plano em duas regiões o interior do círculo unitário centrado na origem e o exterior do círculo unitário centrado na origem Resta determinar se o SPE será mapeado no interior do círculo unitário ou no seu exterior Para isso basta tomar um ponto no SPE e verificar onde este ponto será mapeado Por comodidade considere o ponto s 1 do SPE Ele será mapea do no plano z em z eT que é um número real menor que 1 Portanto este ponto será mapeado no interior do círculo unitário Consequentemente todo o SPE será mapeado no interior do círculo unitário e todo o SPD em seu exterior conforme ilustrado na figura 515 Im Re plano z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Figura 515 Mapeamento do plano s no plano z quando zesT Mais que isso a exemplo do que ocorre no plano s em que um sistema contí nuo é dito estável quando todos os polos da função de transferência estão locali zados no SPE o mesmo ocorre com o círculo unitário em um sistema discreto é estável se tem todos os polos no interior do círculo de raio unitário O exemplo a seguir ilustra de que forma é possível saber se um sistema discreto é estável consi derando sua função de transferência capítulo 5 176 Utilizando o MATLAB Suponha que você dispõe do MATLAB e deseja revisitar o exemplo 4 que trata da conversão da representação por função de transferência em espaço de estados O comando para a conversão mencionada é tf2ssO resultado obtido pelo script a seguir é diferente daquele obtido no exemplo 4 dado por 563 Contudo não está errado pois como mencionado anteriormente existem diversas representações no espaço de estados equivalentes a uma mesma função de transferência Para comprovar isso ainda no script adiante foram acrescentadas as duas últimas linhas que convertem de espaço de estados de volta para função de transferência com o comando ss2tf O resultado obtido é a função de transferência original o que comprova a equivalência de representações Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Definição do numerador e denominador de Gs numGs 1 1 denGs 1 3 2 Conversão de Gs para equações de estado ABCd tf2ssnumGsdenGs Conversão de equações de estado para Gs numGsdenGs ss2tfABCd1 Suponha que você dispõe do MATLAB e deseja revisitar o exemplo 9 As ma trizes A e B foram determinadas e você deseja saber o vetor de ganhos K que aloca os polos da função de transferência de malha fechada em s 2 s 3 e s 4 O script para obter o vetor de ganhos K é Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Matrizes A e B A 0 1 0 0 0 1 0 2 1 B 0 0 10 P é um vetor 1 x n contendo os polos desejados em malha fechada P 2 3 4 Comando para determinar o vetor K K ackerABP capítulo 5 177 Suponha que você deseja revisitar o exemplo 16 querendo saber se o sistema da figura 518 é estável O script comentado a seguir determina o módulo dos polos da função de transferência de malha fechada bastando verificar se o valor obtido é maior ou menor que 1 Apaga todas as variáveis clearall Fecha todas as janelas closeall Definição do numerador e denominador de Gs numGs 1 denGs 1 1 Definição do período de amostragem T T 05 Conversão de Gs para equações de estado ABCd tf2ssnumGsdenGs Conversão de contínuo para discreto usando o período de amostragem T AdBd c2dABT Conversão de equações de estado discretas para função de transferência discreta a fim de obter Hz numHzdenHz ss2tfAdBdCd1 Definição do numerador e denominador do controlador digital Cz numCz 1 0 denCz 1 1 Definição do denominador da função de transferência de malha fechada Gz A fórmula para o denominador é denGz denCzdenHz numCznumHz Para obter o produto de funções de transferência é necessário utilizar o comando conv denGz convdenCzdenHz convnumCznumHz De posse de denGz basta verificar o módulo das raízes de denGz absrootsdenGz