Prova de Álgebra Linear - 2021.2

Prova de Algebra Linear 20212 valor 30 Atencao 1 A tarefa e INDIVIDUAL 2 As resolucoes das questoes devem ser manuscritas fotografadasscanneadas e depois trans formadas em PDF 3 Use apenas um arquivo PDF 4 Certifiquese de que as suas solucoes no arquivo fotografadoscanneado estejam legıveis 5 Assine todas as folhas de resposta 6 Para evitar problemas nao deixe para fazer o envio das solucoes proximo ao prazo final 7 Nao serao aceitas solucoes copiadas ou reproduzidas de forma total ou parcial de outras fontes 8 O prazo final para o envio das solucoes e quintafeira 10 de marco de 2022 ate as 1800 1 06 Verifique se as seguintes afirmacoes sao Verdadeiras ou Falsas Justificando sua resposta a Se T V V e linear e λ um autovalor entao o autoespaco Vλ u V Tu λu e subespaco vetorial de V b Sejam A e B matrizes semelhantes Entao A e B tem o mesmo polinˆomio caracterıstico e consequentemente os mesmos autovalores c Se dois autovalores de um operador liner do R3 sao iguais entao podemos afirmar que o operador nao e diagonalizavel d O operador T R3 R3 cuja matriz em relacao a base canˆonica e 0 1 0 0 0 1 0 0 0 e diagonalizavel e Matrizes semelhantes tˆem o mesmo polinˆomio minimal 2 03 Sejam A 1 2 1 0 1 1 0 0 1 e B 1 3 1 0 2 0 0 0 3 matrizes inversıveis a Calcule AB e BA e observe que estes produtos sao distintos b Encontre os autovalores de AB e os de BA O que vocˆe observa c Encontre os autovetores de AB e os de BA O que vocˆe observa d Mostre que se λ1 e um autovalor de AB com autovetor v entao λ1 e autovalor de BA com autovetor Bv 3 065 Considere o operador linear T P2R P2R px Tpx 1 xpx px a Determine os autovalores do operador linear T b Determine a expressao do operador linear T 8px c Determine o polinˆomio qx T 82 x 3x3 4 05 Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes seguintes operadores lineares a do R3 dado pela rotacao de θ em torno do eixo z b T M2 M2 tal que TA AT A M2 2 5 065 Verifique se a matriz A e diagonalizavel Caso seja determine uma matriz P que diago naliza A e calcule P 1AP a A 5 8 16 4 1 8 4 4 11 b A 1 0 0 2 3 1 0 4 3 c A 4 1 0 0 2 3 0 0 1 1 2 3 1 1 0 5 6 03 Seja V um espaco vetorial de dimensao trˆes e B v1 v2 v3 uma base de V Se T V V e o operador linear definido por Txv1yv2zv3 3x2yzv1yzv22zv3 calcule o polinˆomio caracterıstico de T e decida se T e um operador linear diagonalizavel 2