Resolver 3 Questões de Cálculo 2

IBM0722 Cálculo de Múltiplas Variáveis Ibmec Nome Matrícula AC2 Entrega presencial em folhas impressas 08052025 em aula Atenção Todas as questões devem ser resolvidas detalhadamente nestas folhas nos espaços abaixo dos enunciados 1 35 pontos Em um sistema de otimização para a configuração de redes neurais a função de custo deve ser cuidadosamente minimizada para que o modelo aprenda de forma eficiente Suponha que em um estudo de ajuste de hiperparâmetros a função de custo para um modelo simplificado seja representada por Cx y 2x3 2y3 6y2 54x 105 onde x e y são dois parâmetros ajustáveis como as taxas de aprendizado de diferentes camadas de uma rede neural Determine os pontos críticos de Cx y e classifiqueos em máximos localis mínimos localis ou pontos de sela Pág 1 de 3 Engenharias e Tech IBM0722 Cálculo de Múltiplas Variáveis Continuação 2 35 pontos Um engenheiro de manufatura está otimizando a produção de um sistema em que a eficiência de duas máquinas é medida pela função de produção Px y 2 lnx 16 lny As variáveis x e y representam a quantidade de recursos alocados às máquinas 1 e 2 respectivamente Por questões de limitação de recursos as alocações devem satisfazer a restrição elíptica x2 2y2 900 com x 0 e y 0 a Determine a combinação x y que corresponda a um extremo condicionado da função de produção Px y b Verifique se o extremo condicionado x y da função Px y corresponde a um máximo ou a um mínimo da produção Justifique matematicamente sua decisão Pág 2 de 3 Engenharias e Tech Cxy 2x3 2y3 6y2 54x 105 Gradiente C xy Cx Cy 6x² 54 6y² 12y Cx Cy 00 6x² 54 0 x² 546 9 x 3 6y² 12y 0 6y² 12y y 0 ou y 2 Há 4 pontos críticos P1 32 P2 30 P3 32 P4 30 Hessiano Hxy Cxx Cxy 12x 0 Cyx Cyy 0 12y 12 Hxy 12x 12y 12 144 x y 1 P1 32 HP1 144 3 2 1 0 P1 é um ponto de sela P2 30 HP2 144 3 0 1 0 CxxP1 12 3 0 P2 é um máximo P3 32 HP3 144 3 2 1 0 CxxP3 12 3 0 P3 é um mínimo P4 30 HP4 144 3 0 1 0 P4 é um ponto de sela Função de Lagrange Lxyλ 2lnx 16lny λ x2 2y2 900 Derivadas parciais Lx 2x 0 λ 2x 0 0 2x 2 λ x Ly 0 16y λ 0 4y 0 16y 4λ y Lλ x2 2y2 900 Igualando as derivadas parciais a zero 2x 2 λ x 0 2 λ x 2x λ 1x2 16y 4 λ y 0 4 λ y 16y λ 4y2 x2 2 y2 900 0 λ 1x2 4y2 y2 4 x2 Usando na restrição x2 2 y2 900 x2 2 4 x2 x2 8 x2 900 9 x2 900 x2 100 x 10 y2 4 x2 400 y 20 xy 10 20 b O argumento do logaritmo não pode ser negativo logo xy 1020 é o único ponto aplicável à Pxy P1020 2 ln10 16 ln20 52537 é um máximo local 3 30 pontos Em um problema de aprendizado de máquina um modelo de inteligência artificial está sendo utilizado para mapear a influência de variáveis x e y sobre a saída de um sistema A função fxy 4π x2 lnyy descreve a intensidade da influência dessas variáveis em um ponto da área de análise O engenheiro de IA precisa calcular a influência total dentro de uma região específica a qual pode ser representada como uma região retangular D ℝ² da forma D 0 x 2 1 y e Determine a influência total calculando a integral dupla D fxydA 3 0 x 2 1 y e dA dx dy D fxydA 0² 1ᵉ 4πx² lnyy dx dy 4π 0² x² dx 1ᵉ lnyy dy 0² x² dx x³30² 2³ 0³ 3 83 1ᵉ lnyy dy 1ᵉ lny 1y dy Substituição u lny du 1y dy u₁ ln1 0 u₂ lne 1 u₁ᵘ₂ u du u²20¹ 1² 0² 2 12 1ᵉ lnyy dy 12 D fxydA 4π 8312 16π3