Sistema de Equações Lineares

Exercício 71 1 Provão MEC 1998 O sistema ax 3y a 3x ay a não tem solução se e só se A a 3 B a 3 C a 0 D a 3 E a 3 9 Encontre os valores de p R tais que o sistema homogêneo 2x 5y 2z 0 x y z 0 2x pz 0 tenha soluções distintas da solução trivial 1 Provão MEC 2001 O número de soluções do sistema de equações x y z 1 2x 2y 2z 2 5x 5y 5z 7 A 0 B 1 C 2 D 3 E infinito Primeiro vamos dividir a 3ª equação por 5 5x 5y 5z5 75 x y z 75 Agora somando com a 1º equação x y z 75 x y z 1 0 75 Note que chegamos em um absurdo 0 75 portanto o sistema não tem solução 2 Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares b 3x y 1 2y 5z 11 z t 1 x y z t 10 Multiplicando a 3ª equação por 5z 5t 5 Somando com a 2ª equação 2y 5z 5 5t 11 5 2y 5t 16 Multiplicando a 3ª equação por 1 z t 1 Somando com a 4ª equação x y z t z t 10 1 x y 2t 11 1 Provão MEC 2001 O número de soluções do sistema de equações x y z 1 2x 2y 2z 2 5x 5y 5z 7 A 0 B 1 C 2 D 3 E infinito 2 Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares b 3x y 1 2y 5z 11 z t 1 x y z t 10 c 2a b c 4 a b 2c 1 f x y 3 2x 3y 16 x 2y 8 5x 4y 17 h a 2b 0 3a b 0 5a 3b 0 Multiplicando a equação por 3 3x 3y 6t 33 Somando com a 1ª equação 3x 3y 6t 3x y 33 1 4y 6t 32 Multiplicando 2y 5t 16 por 2 4y 10t 32 Somando com 4y 6t 32 4y 10t 4y 6t 32 32 16t 64 t 6416 t 4 Substituindo t4 na 3ª equação z 4 1 z 1 4 z 3 Substituindo z3 na 2ª equação 2y 53 11 2y 15 11 2y 11 15 2y 4 y 42 y 2 Substituindo y2 na 1ª equação 3x 2 1 3x 1 2 3x 3 x 1 Portanto a solução do sistema é x1 y2 z3 t4 e consequentemente o sistema é possível determinado c 2a b c 4 a b 2c 1 Isolando a na 1ª equação 2a b c 4 a b2 c2 2 3ª equação Substituindo na 2ª b2 c2 2 b 2c 1 3b2 3c2 3 3b 3c 6 3b 3c 6 b c 2 Substituindo b c 2 na 3ª equação a c 22 c2 2 a 2c 22 2 a c 1 2 a c 1 Portanto a solução do sistema é a c 1 b c 2 e então é um sistema possível indeterminado f x y 3 2x 3y 16 x 2y 8 5x 4y 17 Isolando x na 1ª equação x y 3 Substituindo x y 3 na 2ª 3ª e 4ª equação 2ª eq 2y33y16 2y63y16 5y10 y1052 3ª eq y32y8 3y83 3y5 y53 4ª eq 5y34y17 5y154y17 y1715 y2 Observe que temos um absurdo z53 Portanto o sistema não tem solução ou seja é um sistema impossível h a 2b 0 3a b 0 5a 3b 0 Isolando a na 1ª equação a 2b Substituindo na 2ª equação 32b b 0 6b b 0 7b 0 b 0 Substituindo b0 na 1ª equação a 2b a 20 a 0 Portanto a solução do sistema é a0 b0 Então é um sistema possível determinado 1 Provão MEC 1998 O sistema ax 3y a 3x ay a não tem solução se e só se A a 3 B a 3 C a 0 D a 3 E a 3 Uma condição para que o sistema não tenha solução é que o determinante principal de sua matriz seja 0 A a 3 3 a Então detA a 3 3 a a² 9 0 a² 9 a 9 a 3 e a 3 Vamos testar os valores que encontramos Para a 3 3x 3y 3 3x 3y 3 Note que temos um absurdo no sistema 3 3 Portanto ele não tem solução Assim para que o sistema não tenha solução temos que ter a 3 9 Encontre os valores de p ℝ tais que o sistema homogêneo 2x 5y 2z 0 x y z 0 2x pz 0 tenha soluções distintas da solução trivial Para determinar temos que saber quando o determinante da matriz associada seja igual a 0 Assim 2 5 2 1 1 1 2 0 p 2p 10 4 5p Portanto 2p 10 4 5p 0 2p 10 4 5p 0 7p 14 0 7p 14 p 14 7 p 2 Portanto para que o sistema tenha solução não trivial temos que ter p 2