Mudança de Base em Espaços Vetoriais - Exemplos Resolvidos

Mudança de Base Exemplos Exemplo 1 Considere as bases B 1001 e C 1101 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 2 Considere as bases B 1001 e C 1101 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base B Exemplo 3 Considere a matriz de mudança da base C para a base B de R³ MCB 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Se o elemento v R³ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por vB 0 3 1 Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C Exemplo 4 Considere as bases ordenadas B 111110101 e C 100010001 para R³ O elemento v 639 R³ tem a seguinte matriz de coordenadas com relação a base C vC 6 3 9 Determine as coordenadas de v com relação a base B Exemplo 5 Considere o espaço vetorial R² A matriz de mudança da base B 1111 para a base C 3113 é dada por MBC 1 2 2 1 Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B Exemplo 6 Considere as bases B u₁ u₂ u₃ e C w₁ w₂ w₃ relacionadas da seguinte forma w₁ u₁ u₃ w₂ u₁ u₂ w₃ u₂ u₃ Determine a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 7 Considere as bases B 1111 e C u₁ u₂ A matriz de mudança da base B para a base C é dada por MBC 1 2 3 2 Determine a base C Exemplo 9 Determine a matriz de mudança da base B 2 x para a base C 1 1 x de P1R Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B Exemplo 10 A matriz de mudança da base C para uma base B do R2 é dada por MCB 1 0 2 3 Se um elemento v R2 tem matriz de coordenadas com relação a base C dada por vC 2 3 determine as coordenadas de v com relação a base B Exemplo 1 Considere as bases B 1 0 0 1 e C 1 1 0 1 para R2 Vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C Escrevendo os vetores da base C usando a base de B 1 1 α 1 0 β 0 1 1 1 α β α1 β1 Logo 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 α 1 0 β 0 1 0 1 α β α0 β1 Logo 0 1 0 1 0 1 0 1 MCB 1 0 1 1 Exemplo 2 Considere as bases B 1 0 0 1 e C 1 1 0 1 para R2 Vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base B Escrevendo os vetores da base B usando a base de C 1 0 α 1 1 β 0 1 1 0 α α β α1 α β0 α1 β1 Logo 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 α 1 1 β 0 1 0 1 α α β α0 α β1 α0 β1 Logo 0 1 0 1 1 1 0 1 MBC 1 0 1 1 Exemplo 3 Considere a matriz de mudança da base C para a base B de R³ MCB 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Mudança de base C para base B Se o elemento v R³ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por vB 0 3 1 Matriz de coordenadas na base B Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C vC vC MCB vB 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 3 1 10 13 11 10 03 01 10 13 11 2 0 4 Exemplo 4 Considere as bases ordenadas B 111 110 101 e C 100 010 001 para R³ O elemento v 639 R³ tem a seguinte matriz de coordenadas com relação a base C vC 6 3 9 Matriz de coordenadas na base C Determine as coordenadas de v com relação a base B vB MBC Mudança de base B para a base C Escrevendo os vetores da base C usando a base de B 100 α 111 b 110 c 101 100 α b c α b α c α b c 1 α b 0 α c 0 α b c 1 α b α c c b b b b 1 3b 1 b 13 Logo 100 13 111 13 110 13 101 010 α 111 b 110 c 101 010 α b c α b α c α b c 0 α b 1 α c 0 α b c 0 α 1 b α c c 1 b 1 b b 1 b 0 2 3b 0 b 23 Logo 010 13 111 23 110 13 101 001 α 111 b 110 c 101 001 α b c α b α c α b c 0 α b 0 α c 1 α b c 0 α b α 1 c c 1 b b b 1 b 0 3b 1 0 b 13 Logo 001 13 111 13 110 23 101 MBC 13 13 13 13 23 13 13 13 23 vB MBC vC 13 13 13 13 23 13 13 13 23 6 3 9 13 6 13 3 13 9 13 6 23 3 13 9 13 6 13 3 23 9 6 3 3 Exemplo 5 Considere o espaço vetorial R2 A matriz de mudança da base B 1111 para a base C 3113 é dada por MBC 1 22 1 Mudança de base B para a base C Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B Escrevendo os vetores da base C usando a base de B 31 a11b11 31 ab ab ab 3 ab 1 a1b 1bb3 2b4 b2 a1 Logo 31111211 13 a11b11 13abab ab 1 ab 3 a3b a2 3bb1 2b2 b1 Logo 13211111 Portanto MBC 1 22 1 Blank page with graph paper background Exemplo 6 Considere as bases Bu1u2u3 e Cw1w2w3 relacionadas da seguinte forma w1u1u3 w2u1u2 w3u2u3 Determine a matriz de mudança da base B para a base C w1u1u31u10u21u3 w2u1u21u11u20u3 w3u2u30u11u21u3 MBC 1 1 00 1 11 0 1 Exemplo 7 Considere as bases B 1111 e C u1u2 A matriz de mudança da base B para a base C é dada por MBC 1 2 3 2 Determine a base C Mudança da base B para base C u1 u2 u1 111 311 13 13 24 u2 211 211 22 22 40 C 24 40 Exemplo 9 Determine a matriz de mudança da base B 2x para a base C 1 1 x de P1R Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B MBC Mudança da base B para base C Escrevendo os vetores da base C usando a base de B 1 a2 bx 2a 1 a 12 b 0 Logo 1 12 2 0x 1 x a2 bx 2a 1 a 12 b 1 Logo 1 x 12 2 1 x MBC 12 12 0 1 Exemplo 10 A matriz de mudança da base C para uma base B do R2 é dada por MCB 1 0 2 3 Se um elemento v R2 tem matriz de coordenadas com relação a base C dada por vC 2 3 determine as coordenadas de v com relação a base B Mudança da base B para base C vB Sendo vB a b vC MCB vB 2 3 1 0 2 3 a b 2 3 a 2a 3b a 2 2a 3b 3 22 3b 3 b 13 Logo vB 2 13