Solução Avaliação 1 - Tipo 2 Vetores e Geometria Analítica

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte\nECT - Escola de Ciências & Tecnologia\nECT1112 - Álgebra Vetorial - 2014.2 - Turma 01\nBCT - Bacharelado em Ciências & Tecnologia\nProfessor: Fábio Sperbes Benífica\nData: 05 de setembro de 2014\n\nAvaliação 1\nNome: _____________ Matrícula: _____________\n\nEscreva de forma legível. Resultados sem o devido desenvolvimento serão desconsiderados. Pode fazer à lápis. Simplifique os termos numéricos o máximo possível. O resultado pode ficar em função de raízes e frações neste caso.\n\nQuestão 1 (3 pontos)\n(a) (1 pt) Escreva inequações para descrever a caixa retangular sólida no primeiro octante limitada pelos planos x = 1, y = 2 e z = 3.\n(b) (1 pt) Determine a equação do conjunto de pontos equidistantes dos pontos A(-1,5,3) e B(6,2,-2).\n(c) (1 pt) Determine a equação da esfera que tangencia o plano xy e tem centro em C(2,-4,-6).\n\nSolução:\n(a) A região do espaço é:\n\n0 ≤ x ≤ 1\n0 ≤ y ≤ 2\n0 ≤ z ≤ 3\n\n(b) Para isso devemos considerar um ponto qualquer P(x,y,z) e exigir que |PA| = |PB|, ou melhor, podemos eliminar a raiz quadrada que aparece na fórmula da distância calculando o quadrado\n\n|PA|² = |PB|²\n\n(x + 1)² + (y - 5)² + (z - 3)² = (x - 6)² + (y - 2)² + (z + 2)²\n\nx² + y² + z² - 10y + 6x + 35 = x² + y² + z² - 12x - 4y + 44\n\n14x - 6y - 10 = 9\n\nA solução é a região do espaço delimitada pelo plano de equação\n\n14x - 6y - 10 = 9\n\n(c) Se a esfera tangencia o plano xy, ou seja, z = 0, então o raio da esfera deve ser a distância do ponto C ao plano xy, ou seja, r = 6. Sendo assim\n\n(x - 2)² + (y + 4)² + (z - 6)² = 36 Questão 2 (2 pontos) Um varal de roupas super elástico é estendido entre dois postes 8m distantes um do outro. O fio do varal estará bastante esticado, de forma a ser considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com uma massa de 0,8 kg é pendurada no meio do varal, esse ponto central é deslocado para baixo em 3m. Determine o módulo da tensão em cada metade da corda do varal. (Considere g = 10m/s²).\n\nSolução: Após a camiseta ser colocada no varal, cada lado do varal formará um triângulo retângulo virando para baixo, com base 4m e altura 3m, tendo uma hipotenusa de 5m, como mostra a figura 1.\n\nFigura 1: Ilustração do varal com camiseta pendurada no meio.\n\nO ângulo θ que faz com a horizontal é o mesmo que o vetor T2 faz com a horizontal. O sistema está em equilíbrio, portanto\n\nT1 + T2 + mg = 0.\n\nEm componentes temos:\n\nx : ||T1|| cos θ + ||T2|| cos θ - mg = 0,\n\no que resulta em\n\n||T2|| = ||T1||\n\n||T1|| = mg/2 cos θ.\n\nPor se tratar de um triângulo retângulo cos θ = 3/5, então\n\n||T1|| = 20/3 N\n Questão 3 (1 ponto) Se a = (3,0,-4), determine um vetor b paralelo ao vetor (1,2,3) tal que\n\nSolução: Como b é paralelo a (1,2,3), então b = l(1,2,3). Sendo assim,\n\ncomp b = (3,0,-4) . (2,3) = -9 l/5 = 9 ⇒ l = -\n\nb = -5(1,2,3)\n\nPortanto,\n\nb = -5, -10, -5. Questão 4 (2 pontos) Determine a distância do ponto (−2,3) à reta 3x − 4y + 5 = 0. (Dica: escolha dois pontos sobre a reta. Por exemplo, o ponto quando x = 0 e o outro quando y = 0.)\n\nSolução: Precisamos primeiro encontrar dois pontos sobre a reta 3x − 4y + 5 = 0. Se y = 0, então pela equação da reta x = −5/3, portanto, o ponto Q(−5/3; 0) estará na reta. Da mesma forma, quando 0 = x a equação demanda y = 5/4 e então é ponto da reta. Definido o vetor paralelo à reta\n\na⃗ = QR⃗ = ( 5/3 4/3 )\n\ne o vetor que vai da reta até o ponto P(−2, 3)\nb⃗ = QP⃗ = ( −1/3 1/9 )\n\nIllustrado na figura 2, o triângulo retângulo formado pelos vetores e ⃗roja⃗bR⃗ nos permite encontrar a distância\n\nd = || b⃗ − ( comp b ) a⃗ ||\n\nd = \\sqrt{ \\frac{82}{9} - (−1,9) \\cdot (5/3,4/3) }\n= \\sqrt{8}\n= \\sqrt{ \\frac{82}{25} - (23)^2 }\nquem parou aqui esta bom!\n\nd = \\frac{15}{\\sqrt{82(25)}} −\n Questão 5 (2 pontos) Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a j + 2k e i − 2j + 3k.\n\nSolução: O vetor v ⃗ = ( j + 2k ) × ( −i − 2j + 3k ) = ( 0, 1, 2 ) × ( −1, −2, 3 ) = ( 7, 2, −\n\nOs dois vetores unitários ortogonais aos vetores 2 e k será\n\n\\bar{u}k = \\frac{ v ⃗ }{ || v ⃗ || }\n\\bar{u}_{k} = \\frac{ (7,2, −1) }{ \\sqrt{54} }\n\ne \\bar{u}_{k} = \\frac{ (7,2, −1) }{ 3\\sqrt{6} }.\n