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Cálculo 3
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Colecao Licoes de Matematica Licao 12 S U P L E M E N T O D E C A L C U L O I I Christian Q Pinedo 2023 Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Direitos reservados para lingua portuguesa Janeiro 2023 Palmas Tocantins Brasil Em memoria a meus pais Christian e Noemi i Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Janeiro de 2023 Direitos exclusivos para lıngua portuguesa UFT CAMPUS DE PALMAS Coordenacao de Engenharia Civil 5128 Pinedo Christian Quintana 1954 Suplemento de Calculo II Christian Jose Quintana Pinedo Uni versidade Federal do Tocantins Campus de Palmas Curso de Engenha ria Civil 2023 368 p il 297mm I Suplemento de Calculo II Christian Q Pinedo II Serie III Tıtulo CDD 5128 ed CDU ISBN 978 65 00 63718 2 ii 01012023 SUMARIO Identidades Diversas vi PREFACIO xi 1 ANTIDERIVADAS 3 11 Integral Imediata 3 Exercıcios 11 3 12 Metodos de integracao 11 Exercıcios 12 11 13 Metodo de integracao por partes 28 Exercıcios 13 28 14 Integracao de funcoes trigonometricas e hiperbolicas 38 Exercıcios 14 38 15 Integracao de funcoes racionais 53 Exercıcios 15 53 16 Integracao de funcoes racionais trigonometricas 61 Exercıcios 16 61 17 Outros metodos de integracao 75 Exercıcios 17 75 18 Revisao Capitulo I 82 Miscelˆanea 11 82 2 INTEGRAL DEFINIDA 103 21 Somatorios 103 Exercıcios 21 103 22 Calculo de Area de uma Regiao Plana 114 Exercıcios 22 114 23 Significado Geometrico das Somas Inferior e Superior 122 Exercıcios 23 122 24 Mudanca de Variavel em uma Integral Definida 136 iii Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcios 24 136 25 Integrais Improprias 152 Exercıcios 25 152 26 Revisao Capıtulo II 167 Miscelˆanea 21 167 3 APLICACOES DA INTEGRAL DEFINIDA 183 31 Aplicacoes Geometricas Comprimento de Arco de uma Curva 183 Exercıcios 31 183 32 Areas de superfıcie de revolucao 205 Exercıcios 32 205 33 Volume de um Corpo 214 Exercıcios 33 214 34 Aplicacoes a Mecˆanica e Fısica 220 Exercıcios 34 220 35 Outras Aplicacoes 228 Exercıcios 35 228 36 Revisao Capıtulo III 235 Miscelˆanea 31 235 4 FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 245 41 Espaco tridimensional 245 Exercıcios 41 245 42 Funcoes de varias variaveis 254 Exercıcios 42 254 43 Limite de uma funcao 258 Exercıcios 43 258 5 DERIVADAS 267 51 Derivadas parciais 267 Exercıcios 51 267 52 Derivadas de ordem superior 277 Exercıcios 52 277 53 Diferenciais 290 Exercıcios 53 290 54 Diferencial exata 294 Exercıcios 54 294 55 Derivada direcional 302 Exercıcios 55 302 iv 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 56 Revisao do Capıtulo V 306 Miscelˆanea 51 306 6 Aplicacoes das derivadas parciais 315 61 Maximos e Mınimos 315 Exercıcios 61 315 62 Multiplicadores de Lagrange 333 Exercıcios 62 333 63 Revisao do Capıtulo VI 340 Miscelˆanea 61 340 APˆENDICE 346 A1 Formulas elementares de integracao 346 A3 Identidades diversas 348 Referˆencias 351 Indice 352 Epigrafe 353 v 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Identidades algébricas Considerar abR e mn Z en geral temse e aa qmtn e qinn Va xa aQ0 e a a e Vab a Vb a0 b0 e ab anrbh V Va a a0 aym am e 74 a0b0 GG p b 0 bw m 1 e f gnn e a a0 a a e ab a42abb e ab a 3a7b 3ab 6 e ab a 2abb e ab a 3a7b 3ab b e ab aba ab 0 e ab aba ab0 e ababa 1 a 7b 4 a 3b ab b1 e a b atba ab a 30 ab b quando nfmpar Identidades trigonométricas Considerar a GER e sena sena cosar cos a e sena cosa 1 e senaesca 1 e tana1seca cosaseca 1 e cotatlcsea e tanacota1 1 2 senza 1 cos 2a e cos a a 2 e sen2a 2sena cos a cos 2a cos a senar e sena senacosBsen8cosa cosa 8 cosacos 6 senasenf 2tana tana tan GB e tan2a t ee tan2 e tana itanatanB 1tana 5 t 1 cos2a sen2a B e ana senasenZ cosa 3 cosa 2 senda 1 cos 2a e 2senacos 3 sena3senaB e 2cosacos Gb cosacosa vi 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Identidades geométricas 1 Adrea P perimetro lado r raio Quadrado Retangulo Circulo l l A Abxa Amrr PAl P2ab P2zrr 2 Adarea P perimetro c hipotenusa ae b catetos h altura r raio qa angulo central L comprimento do setor circular Teorema de Pitagoras Triangulo Setor circular Cc c L ae r 7 b 1 1 2 a P Abxh Anra 2 2 Pabc Par 3 Adrea P perimetro B base maior 6 base menor h altura R raio maior r raio menor Paralelogramo Trapezéide Coroa circular b LY B 1 A 5B bh A7Rrh Abxh P27rR7r 4 Adrea P perimetro S superficie total V volume fh altura r raio vii 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Triangulo Equilatero Paralelepipedo reto Cilindro f 7 A V3 4 Vaxbxe Vcrh v3 2 h S 2a bc 2ab S 2arh 2ar 5 Vvolume haltura rraio S superficie Triangulo Cone circular reto Tronco de cone C ZN b 1 A ypp ap bp e Va garh b 1 p S arr h Vaan R rR r h 6 Vvolume h altura rraio S superficie Esfera Prisma ae 4 V gar VBxh S 4rr B Area da base Identidades para derivadas Sejam C constante nQ aeER fx gx funcoes aangulo Lnzlogaritmo neperiano log logaritmo natural na base b viii 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II DxC 0 Dxf g f Dxg g Dxf Dxfgx Dxfgx Dxg Dxefx efx Dxfx DxLnf 1 f Dxf f 0 Dxsenx cos x Dx cos x senx Dx sec x sec x tan x Dxarcsenx 1 1 x2 Dx arctan x 1 1 x2 Dxf g Dxf Dxg Dxf g g Dxf f Dxg g2 Dxfn n Dxfn1 Dxaf af Dxf Lna a 0 Dxlogb f 1 f Lnb Dxf f 0 Dx tan x sec2 x Dx cot x csc2 x Dx csc x csc x cot x Dx arccos x 1 1 x2 Dxarcsecx 1 x x2 1 Identidades diversas Suponhamos b c R m Q temse logb a N a bN Logo i logba c logb a logb c ii logbac logb a logb c iii logb am m logb a iv logc a logb a logc b Para numeros na base decimal anan1 a1a0 10nan10n1an1 10a1a0 Equivalˆencia entre graus sexagesimais e radianos α graus α radianos senα cos α tan α cot α sec α csc α 0o 0 0 1 0 1 300 π 6 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45o π 4 2 2 2 2 1 1 2 2 60o π 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90o π 2 1 0 0 1 ix 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Formas determinadas e Formas indeterminadas lim x fx lim x gx hx lim x hx de modo simbolico 1 fx gx 2 fx gx 3 K R fx gx K 4 K R fx gx K 5 fx gx 6 fx gx 7 K 0 fx gx K 8 K 0 fx gx K 9 0 fx gx 0 10 K fxgx 0 K 0 11 fxgx 12 K 0 0 fxgx K0 13 0 fxgx 0 14 K 0 0 fxgx K0 15 0 fxgx 0 16 0 0 fxgx 00 17 0 0 fxgx 00 18 fxgx 19 0 fxgx 0 20 0 fxgx 0 21 1 fxgx 1 Seja K R nao existem em R K 0 00 K No limite lim x0 1 x lim x 1 x 0 lim x0 xx 1 x 01012023 PREFACIO Estas notas de Suplemento de Calculo II sao o resultado das aulas ministradas pelo professor Dr Christian P durante muitos anos dedicados ao ensino de Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis para estudantes de Engenharia e Matematica O autor apresenta aqui uma abordagem de conceitos e teorias novas para a solucao dos exercicios propostos no Livro Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis confeicionado para es tudantres do primeiro ano da Graduacao Representa assim o esforco de sıntese na selecao de um conjunto de problemas e temas frequentes na continuacao e no aprofundamento dos estudos acadˆemicos esta obra e tam bem a sequˆencia do estudo da disciplina basica para cursos de Engenharia Matematica Fısica Quımica e outros A obra organizada em seis capıtulos destaca ao longo de suas paginas temas como a Metodos de Integracao em R e o Calculo diferencial com funcoes de varias variaveis assim como suas aplicacoes aos diferentes ramos das ciˆencias uteis no estudo das equacoes diferenciais Pormenorizadamente no primeiro capıtulo apresentamse os metodos para o calculo de integrais e fazse uma abordagem pratica com grande variedade de exemplos e tecnicas para a solucao dos mais variados exemplos No segundo capıtulo sao dispostos os conceitos de integral definida no estilo da In tegral de Riemann e sao iniciados os estudos com os conceitos de somatorio como inter pretacao geometrica da integral O terceiro capıtulo esta reservado para multiplas aplicacoes em diferentes ramos do conhecimento cientıfico e o quarto para o estudo das funcoes de varias variaveis passando xi Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II por uma sutil abordagem do estudo das quadricas ate o estudo dos limites continuidade e derivadas de funcoes O penultimo capıtulo dedicase as derivadas e diferenciais com funcoes de varias va riaveis e o ultimo a aplicacao do calculo diferencial na procura de pontos de extremo para funcoes de varias variaveis Assim cada capıtulo se inicia com os objetivos que pretende alcancar e dispoe de exer cıcios em quantidade e variedade suficientes classificandose de menor a maior dificuldade Essa estrutura de organizacao pretende possibilitar que o leitor partilhe da experiˆencia dos autores que atuaram profissionalmente em diversas instituicoes do Brasil e do exterior O presente material cujo teor contempla a solucao de todos os exercıcios aqui propostos outras possibilidades de respostas ou indicacoes para a solucao dos exercıcios propostos podem ser obtidas no endereco christianjqpyahoocombr Esperamos cumprir o objetivo deste trabalho que e o de orientar a metodologia para que o leitor identifique e construa um modelo matematico logo o resolvendo O autor Palmas TO Brasil Janeiro de 2023 A Matematica e a honra do espırito humano Leibnitsz 1646 1716 Nao adianta ter um mar de conhecimentos com a profundeza de um mi lımetro Ch Q Pinedo 1954 1 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 01012023 Capıtulo 1 ANTIDERIVADAS 11 Integral Imediata Exercıcios 11 Exercıcio 111 Determine as funcoes primitivas para as seguintes funcoes Solucao 1 Ant2x8 2 9x2 C 2 Ant5 x 8 x2 5Lnx 8 x 3 Antx6 7x2 2 x Antx5 7x 2 x 1 6x6 7 2x2 2Lnx C 4 Ant1 2sen2x Ant1 1 cos 2x 1 2sen2x C 5 Ant 1 a bx Ant a bx1 2 b a bx C 6 Ante25x 1 5e25x C 7 Ant 1 3 7x Ant 7x 3 3 14 49x2 C 8 Ant 1 cos2 3x Antsec23x 1 3 tan3x C 3 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 1 1 9 Ant Ant2 2241 2 23 2C x 1 5 3 Exercicio 112 Por diferenciagao determine a validade das seguintes igualdades Solugao 1 J Jove 1 arctan C verdadeira 927 8 3 a arctan i4 tL dx 3 3 3014 38 942 2 5 2 r wat Fide YR 5c falsa d 2x 5 d 1 3 V2x 5 f yvert eo 4 faryaec 3 yards 2 V2 dx 6 dx 6 12 2 3 52 1 74 3 r f 5 SF t0 verdadeira Va 24 2 a vatat C a ia a4 sa 44 4a3 ae dx 2 dx 2 4 a2 x4 dx 1 4 4 C Le dadei wo 2ba bax ver eeeenré d 1 d 1 2 1 tC FE I br br b da Dba be da ap 6a be ap at On a be3 6xdx 1 5 t occ tO verdadeira d 1 d 6x C 5 32 5 327 6x dx a4 da vy vy 62 5 347 p22 6 J ela bu ya oy 0 verdadeira d abzx 2a ba 2axb 9 SF e a br 72 7 r f SS ae verdadeira 3V x 8 3 d 8V2 8 cle d 8a7 8 8a 8 20 8x dx 3 dx 3 7 6 322 8 4 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II xdx 1 8 I 4ba ba C oo wee verdadeira d 1 ld 22 2 23 v SSS 2 i dx Aba bn2 Dade t toe Gilat be be 7 aa 3 9 J a bajtae at bey 0 verdadeira d abz 3a br b 9 é a OS a be xvdx 1 10 J La verdad 0 S 2ba bx re Ven eOEER d 1 ld 1 1 2 x 2 dit Se Dp dg Ot OW apa bah bx Top 1 6J to ede tone 0 Le verdadeira d 2 2 tanz 2Csecx 1tan dx 2 3 12 J oer 2 ae wey C verdadeira d a 2 3x 2 Qe 5 5 A NS 9 ral 6 C 5 xx 2 2 3 13 pe ty YE falsa Sx 3 a vo 6 olva vero va va dx 3 7 3 7 Jr 4 J 2x 3de 2Wur23xC verdadeira Jen Be Vv La La d 1 2x 3 4 o G2a 3p 91 2 12 rt3 Te 2 x 32 C 2 5 e 3x2a 3 Jee dx x 15 J arcsen C verdadeira lxs Sa a avesenl c fT 7 2 22 VR a2 dx 22 i 585 22 V8a2 4 2 16 r va Vaid ar VY oc d Arfax x 5 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 443 15 17 e2r41dr2 32 58 O verdadeira a rete sleic 4x 4 x2x 1 dx 3 2 2 2 18 J VxVa Vxdx gavit a Jat V0 Cc verdadeira d 2 2 an ove var ve C aVJz 2a fat V23 JaVa Vx x 242 Qabe 28 19 J badx a a O verdadeira d 2 2 2ab 5 b2 8 SS 4 4 2x 2Qabe Pe 2a be dx 2 5 8 9 bxn3 20 over terar ovat bey C verdadeira n d 2y ba 3 2 3 A 2viat bony C Vat br nba x Vat bar dx 3nb 3nb 2 4 1 21 Var VO ie 27 42x Vax 3ar2aarC falsa Ju 2 a iy 2xvVax 3ax 2aaxC 242 fartee 304202 dz 2 Jax 2ax 2 42Vanr 30402 11 Jar Jar 4 1 Por outro lado vas vo ad daar 6ax 4xax 2 Vr vr Comparando com 11 sao diferentes 1 vl 22 re fas SB he verdadeira x10 210 z V10 d Ltn fo Le z 1 1 1 n a dx 210 10 210 xV10 xV10 210 Exercicio 113 Calcular as integrais dos seguintes exerctcios Solugao 22 2 2 993 1 I d5axrdx 5a eda 3a s 0 1 2 2 2 J 2pxrdx ve wide 3 2p x 3 V 2px 0 6 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 2 141 31 2 3 T xxtaabdx x aba abr dx a2 3 latba Saba 0 4 ion ae YnrC 5 Ff cot nde esc x tdv cotx2C 61 yesievertjde ve1 v2 ve tide ya lax 2 o8 Yar sVOaC dx 7 J 1Inr V44274C Veja formula 27 ere VES We 8 ee Sx Qy2mt35 Agmtnts Qe 2n3 OC 4m1 2m2n1 2n1 9 ee V4 a4 V24V24 2 1 1 1 1 veneer e Vv2P 0 v2 2 T arcsen Ln V2427C V2 dx dx 1 x 100 J S arctan C Veja formula 23 Jaan aaa a Vs adx dx Lo ll FL a abna247C Veja formula 2 ax xa 2 2 1 r tw FS 32 2v43 1 r3 L3 r 424 Jd 1 42041 x3C a eget 5 xLna 13 r f Seo fs f 8 fe fs fe ax B ax B atB ajyarB as ar 6B ax B pay taae 8 Lnax 8 6 a a Ver Integracao e Funcées de Varias Varidveis Notas de aula N02 do mesmo autor 7 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 32 14 J dr 34220 Pelo exercicio precedente a 3 b 1 a 26 3 logo sr 1 3 3 3x ii b 5 9 b 15 I a dz ax 2ab Lnx aC xa xa bdy 16 r fo 2b1yC viy xdx WZ P me 2774 14C Vai21 18 T f 60 804 8de 22 da 30 3e 19 dr 9 pe edz 1413 C dx VJ15 J15x 20 iV Y 40 0 x 75 4B arctan 5 C b 4 b2 7 21 T fa bo fdr ans Se ee 22 I f Gar enc rT Vv 9 9 3 23 we Vx23dax ax v atx av ata 0 x 1x 2 vt22 37 24 ae ee ie V2 Wart 2W2dx 13 7 Exercicio 114 Sejam a eb constantes reais tais que a b determine a antiderivada para as seguintes funcoes 1 senazsenbz 2 cosax cosbz 3 senax cosbz Solugao 1 1 Antsenaxsenbx 3 Antcosax bx cosax bx 1 1 gAntcosa bx cosa ba 5 es 8 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 Antcosaz cosba 3 Antcosax bx cosax bx 1 1 b b gAntlcosa bx cosa ba 5 Ss 1 3 Antsenax cosbx 5 Anisenax bx senax bx 1 1 b b 5 Antsena bx sena ba 3 ee See Exercicio 115 Mostre calculando de duas maneiras que 2 ly 1 2 tan x sec xdx 5 tan rC 5 see xrCy Solugao 2 lg e tanzsecxdzrz tan x dtanx 5 tan rttCy 2 1 2 vane sec xdz seow seca tanzde secu alsocde 5 eC LC Exercicio 116 Mostre calculando de trés maneiras distintas que 1 1 1 senx cos xdxz 5sen rC 3 cos 7 Cy Z cos 24 C3 Solugao 19 e senzcosxdx senxdsenz yen 2 Cy 12 senzcosxdx cosxdcosz 5 608 r Cy 1 1 1 e senx cos x dx 5 2senxz cos x dx 5 sen2rdx 4 cos 2 C3 Exercicio 117 Determine uma fungao cujo grafico possui maximo relative em x 2 e minimo relativo em x 6 e passa pelo ponto 0 3 Solugao Pelas condigoes de extremos sabemos que f20 f2 0 f60 e f6T0 9 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II entao a derivada de alguma fungao tem a forma fx Ca 2a 6 onde C 40 6 uma constante logo a antiderivada fx ec23ae C Je 8xr12dr 1 Observe que pelo fato o grafico da funcgao fx passar por 0 3 temos que f0 Portanto fx Clza 4x 122 3 10 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 12 Métodos de integracao Exercicios 12 ky Exercicio 121 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadetras Solugao E suficiente derivar a parte direita das igualdades 2 1 I fve5de 5Ve 5040 Ls verdadeira d 2 d 2 iV23 5a4C oa 524 C Vr5 dz 3 dz 3 2 T eae verdadeira 1 cosh 4 31 cosh x d 1 d 1 f rs SH YE h 3 dx eed dx 3 cosh 2 1 coshxsenhx Senha 7 1coshz4 VP 3 da 23 3 p 3A A te verdadeira 23 2 5 271 5 Ve ge 4 28 a 2A foe 5 2s toeotong dx Ln3 Ln3 dx Ln3 2x Sx 1 4 contin aye zsen7x 4 C verdadeira lo son7x 4 C TcosTx 4 cosTx 4 Fg 7oen7z 7 cos7x cos7x 225 1 2x5 ar dx 3 C verdadeira dl a5 oes 2e5 xv 2 ax 9 a Tn Fe c 5 18dx 2 2 a443 6 J bLn4C fal Joa 23 nl arse d 2 2 3 2 2 6 2 32 9 2 22x 27 dx 73 naa P 3 ae 3 x a 9 3xx 9 11 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II yee 7 4e 7 r ae d sa tO verdadeira d 4e 4eLn4e dix ot 1in4 7x 16 3 x 4 8 e 9 arctan5 r C d 3 4 in 5 arctan 5 a c dx tan 5x 9 J 1C a dadei lcosl0zr 10 cmiae d tan5xz 5sec 5a 1 1 1 dx 10 r 10 2 J cost 5a 14 cos 10x d 1 10 lat 7 tan 4x C oo wee verdadeira d 1 1 1 tan1 4x C sec1 42 4 dx 4 an w 40 4 cos1 42 d 1 11 r fo pote verdadeira d 1 d 1 1 C Lnz4C Lnz dx Lnz r dx Lar C Luz xbne Vx2 2 1 D 12 ee Ber ee 2 d 5 2f1 c dx 2 13 ine 1e7 dx Je Luz IJdxa2C verdadeira d a C Lnx 1 Ix xLnax dx Qr 3 3 6 1 14 e 55 F en tas verdadeira d3 6 1 de EG Tn Ins c senx eta e 1 15 SS M21 oO verdadeira cos x 2 d 1 tan x is pews cl eC tanrsec x 12 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Qn QV x3 16 r f Valet tae EL verdadeira Qn QV x3 oy 2va V0 Lo V4 VER Vale dx 5 3 Tdx x 17 7arcsen C V5 x Iz d in raresen c 3dx 1 x1 18 I flas sls C oo wee verdadeira d jl 1 d 1 3 Ln4 C IL 1L 5 Cc dx net dx ULne Ente 5 x 4x 5 dx 1 senx 195 dsr tanzsecxrC verdadeira 1 senz cos x d 9 1 senx tan x secx C sec x sec x tan x dx cos x vdx 162 8 20 L C law 8 x t d 16 x 8 dx Vx get 21 fer Lnxdx C d get 410 dx 2 r 3 2 22 p f EE sone S 40 Lo verdadeira 1 senzx 2 d senr 1 senx cos x senz C cos21 senz dx 2 lsenzx 1senz 93 ds 3cot x 1 LC senxcot x 1 2 d 3cot x 1 oo C dx 2 4 2 24 le daresen C V 4x 20x 9 4 2 raresen cl 13 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 25 V4a 124 5dx ql 2x 3V4a 129 5 saresen C d 1 2x 3 fe J 472 ate de lee 3V4a 12 5 4arcsen 5 JC 26 2LnaV1l27 C verdadeira 1 2Lna V14 2 d in 2 yine Vila27 c es j 4 re 4Lna V1 4 2x et vi tx V1 2 1 Lna V1 4 27 arctan x L 2 1 1 1 27 SSE dx e 4 Tn a 1 arctanreC 1 2 4 verdadeira d arctan x 1 2 2 emctane aLna 1 1 ale gina 1 arctane C o Sy yr we F 7 28 eS dx arcsen arcsenh C V4 x4 V2 V2 d x x arcsen arcsenh C 4 aresen 5 e dx 1 29 l 13 134C dadei Se giv x 8 a 13 verdadeira d 1 13 1 13 3C 5ve F1 Ve 1 i ge Vem e 5 Fiver vea Exercicio 122 Calcular as seguintes integrats utilizando regras principais e formulas de integragao Solugao 1 1 1 1 1 senxdr 5 1 cos 22 dr gl gsen2z C ee sen2xr C 2 I 2 I 2 I secaxbdr Bee udu a tanax b C t 3 Sa 2 f tam udu 2Lncos u C 2Lncos Vx C 2 1 zl 4 I senhxdxr 5 cosh 2x 1dx 3 qoenh2x C dx 2dx e dx du I CO 2 quxXx 2 2 x 5 cosh x ev e 1 e 1 u arctane C 14 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senha 6 I tanhadx dxrLncoshrC cosh x dx x oe 7 I escdx a cscudu Veja formula 11 sen a x x x I aLncsc u cot u C abncsc cot Ca Lntan C a a a dx 1 ps 8 I cscar bdx cscudu Veja formula 11 senax b a 1 1 b I Lncscu cotu C Entan C a a 2 1 1 1 9 I zxsen1l 2dx 5 senu du 7 cosutC 5 cost 2 C 10 r f tanede ae Lncos a7 C cos d d 1 11 f S waz 800 nde Lntan 2 C sen COs senx cos x sone 1 12 J cot paz sen cos Jd a bLnsen C 3 1 3 Tog 14 13 I sen6xcos6zdx senucosu du senu C sen6z C 6 24 24 1 14 sonte cos6xdx 5 isenox 2x sen6x 2xdax 1 1 1 1 I 5 sense sen4zdr 53 cos 8x 708 Ax 1 1 Portanto cos4x cos82 C 8 16 vt 2 2 15 J a Vien sect we vid av 3 tants C cos x sen3x dx 1 16 J Ln3 C xz 3 n3 cos 3a 1 sen3x 2 1 A ostag tt sec 3x sec3z tan3xdx 3 itan 3x sec 3a C 23 1 18 J aE Lnbacot3xC bacot3z 3a Ver Integracdo e Funcoées de Varias Varidveis do mesmo autor 15 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 1 D5 5 19 J 5 Fan 5 via a Vue pV O 2P u 52 20 r Seat 473 dx 1 du ol arctan Pas TP Prep A eee eG C ux 3 V24 3x V6 rv6 J3 V6 21 J 73m arctan gz aresenh C 2 22 T f Va Bede 5 Va bay 23 J oy Ir V2 arctan C fp at 20 J2 2 1 2 24 P f har 0 5 4 2ine 1 C z1 2 2 25 P f hae 0 ine 1 2x1 x 5a 6 2 4 5ar2 r 2 0 fa ot ge eee fp a sae 6 Pad dx Pad dx Ji Saat pag 5 2x 1 5 x I 2 dax x Lnx 4 i pu Sf eat Jena 5 na aretan C dx 1 ye 27 f xarcsenx45 C ls Jd 7 dx V14 aV14 28 I 728 5g aretanh 7 C 29 ip 4 Enw 1 C Grip t 4 nx 3 2a 335 rV35 1 t 2 a ove Sn 52 30 Jiawe 35 arctan 35 5 n5a 7 C Exercicio 123 Determine o valor das seguintes integrais mediante mudanca da varidvel apropriada Solugao 1 1 J sonar senbr de 5 cosa jr cosa b Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo 1 1 1 senaba senaba du du C sac osu sep seme 51 nab 16 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 J cosae costir de 5 cosa Bj cosa Bxdz Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo I du du 3ab cos udu Nard cos udu 1 senabx sena bx pel ane a TE 1 3 sonar cost dr 5 ena bx sena Beda Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo page fomute rg faennte 3ab senudu arb senvdu Il cosabx cosa bx Peal as TE 4 senie cose de ida sont C Mudanga wu senx 1 1 b b 5 t f 2 ff Sa 6 ax b aj axb a ax b e I t lax Jax bLnarbC Mud 4b dr ax nga u 7 aa a pltt alae nax udanga u ax 1 1 6 evita 5 vidu 3V Cl 223CMudanga u1 2 2 1 1 1 1 se 5 atu LnuC Ln2aC Mudanga u 2a xa 3 u 3 3 8 t Fae fsecotanede asecc secrC cos a 1 9 ba3dx ap ba4C 10 J ee vanesec xdx vd lana C Mudanga u cos 2 tan x Pp 11 a inzyr se p1 e LnLnzse p1 x ptl 12 J et arctane C Mudanga u e 1 e 17 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 ree Ln1eC Mudanga u1e ev cosxdx 1 14 T lILnabsenzC Mudanga ua ba absenr 6b arcsenx 1 150 J dr vd arcsenzC Mudanca wu arcsenx aresens 3x 1dx 1 9 16 In32 24 54C Jeo 2 n3x e5 dx 1 17 1 LnzC a Lua 9 Ena 1 18 OS dr du arctansenz C Mudanga wu senz 1 sen2x 1 19 de Lnz C arcsen aV1Lna dx 20 2t C rey 20vE 2 21 e Ln1 cos x C 1 cos x L 22 poaea senLnz C x 2 23 feos Vit sent de 5 I F sen 1 24 J see Oe de Fazer u1cos2 dusenz cos xdz logo 1 cos x 2 senz COS 1 1 1 1 9 25 roots dx Lncot x csex C 1 26 oe 62xa 1dx Fazer u 3262 gt x 1dz logo I 32 6r3a 1dx udu iy C 372 6rC 6 24 24 n 2 1 27 I ae dx Fazeru142 yuu xrdxz logo 1 1 1 2 T pita a U yt plt oe dx 5 eau ne e 5 C 18 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 28 oie tC x Vl2 senx Cos senx COs 29 FL ade e att 34sen20 CESS I senz cos de senz COs de J 22 sen 2senrcosxcosx J 22 senz cosx Sejau senzcosr du senzcosxdzxr substituindo I senz cos x d du 1 du du Se aFE COC 2 senxz cos x 2 u 4 ut2 u2 1 1 1 2 5 Enu 2 Lnw 2 5 Enu 2 Lnw 2 Fn Portanto senx COSH A lin senx cosx 2 3 sen2x 4 senz cos x 2 dx 30 arcsenr C V1l 2 d 2 31 J Fazer cv aVu2 gave ldu dx logo 2 du 2 2 x I 3 Vilw 3 aresen 3 aresen ox C 32 de 2arctan Vz C 2arctan Vr x 1x x 1 33 dx arcsenx C v14 2 3 34 ve de Vz Va x aarcsen C Jr a 26d 1 d 35 r fo Fazeru22 du327dzx logo t3aa a 76 3 au 1 1 1 1 a 2 Ss 4 du LnC 6a lisx Bou o baa ces Exercicio 124 Calcular as integrais dos seguintes exercicios Solucao 19 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x ax x ax 9 x xa x ots pigdr arn peat ee 2 1 2 toa 5 ode fade F frau F onde ua2 a x 2 u 2 la a 2 2 Portanto I 5 5 Lna 7 C dx J2 2142 2 dr arcsenh C V7 82 4 7 dx 1 a bx 3 i aarctanh C 00K waptacoe eet 2x 5 1 5V6 v6 4 a de Ln32 2 nZve Jgeae 5 n3x 6 arctanh 5 C 3x 1 BV5a2 1 V5 5 yy aresenhV52 C Vda 1 5 5 x 1 dx Ln 6 enu 5 na 5C 7 ae ina2a 0 2arctan rap 5 ax arctan x 1 327d 1 1 1 3 8 Ji 3 Tp a8 t3 Tat 3 arctan u 3 arctanx C 2 9 dx 3 V aresens C 2x 10 Sar VeC 1 6J oemar Seme C m 12 J Jee edt e e C a b 1 a b 13 SO ty 5 2 3 a b dx na Lnbp 7 re 14 Je eM da ae C Varctan 2 1 1 15 OSS e gba 4x 3 V arctan 22 C 20 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e 1 16 J aot ia Lne 1 C Considerar ue 1 e U vd 1 Lnad 1 7 I Tame Lna Te Ing arctante C Considerar u a 3 18 wer Verda WVVe14C e 1 1 1 1 e e 19 J dt dt dt 9 a 5 fl Te fis aL 1 1 1 1 et41 1 t Portanto J 5 bncoth 3 C 20 J cos pte cost 5sen C Considerar u a V5 V5 Vr 21 J te 2 cos udu 2senx C Considerar u 2 xL Exercicio 125 Resolver as seguintes integrais Solugao x arctan 2x x arctan 22 1 J Sie ee She Considerar u 2x 1 2x arctan 2 1 u 1 arctanv T der der du Sd 5 om Ss ilies 5 14 I 2 1 2 I ghnl u q arctan vC I 2 I 2 Portanto J gba 4 ri arctan 2x C LnL 1 1 2 EnLn2 7 tnd Lnu LnLnz C Considerar u Lnu xLnax 2 2 Portanto J 4LnLnx C dx 1 f 232dx 1 2 dx 3 T a dr d x5 sf 2 3 e lene 1 1 Portant a Ln243C ortanto gle Ind n2 3 21 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d Qud A ls wD Considerar u Ve 1 2du I 2arctanu C 2arctan Ve 14C uw 1 Portanto J 2arctan e14C 5 I senzcosxdx 1 2senz Cos vy 1 2senzx COS x d SO OC O02 O02 2 senta 2 V2sentx 2 22 sen2xr 1 d 1 2 I 3 a 5aresen C onde usenx 22 yp V2 6 T dx dx sec xdx J 445sen22 J cosa4secx5tanx J 41tan25tan2 1 sec ada 3sec xdx 3secrdt J 449tan2x 3 44 3tanz 3 224 3tanzx 1 du 1 u 1 3tan x IT 5 Pam 6 arctan 5 arctan 5 C 1 3t Portanto J 5 aretan C Considerar u 3tanz 7 eH dx dx esc dx J 445cosa2 J sen2x4cesc2x5cotx J 414 cot x 5cot2 1 cs rdx 3csc adr Bese rdx J 449cot2 3 44 3cotxr 3 224 3cotr 1 d 1 1 3 cot I 3 Pye arctan5 arctan C 1 3 cot Portanto J 5 aretan C Considerar u 3cot x dx e dx 1 4edx 1 du 1 IT qx q qx L 1 8 a oe io il gin 1 Portanto J glad 4eC Considerar u 4e Ln32z dx Ln3x 9 oS Considerar U Lnbdx 3 Rpta zlLnLndz LnzC 22 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Lna Va 1 5 1 10 J 442 2 Seja u Lna V14 27 entao du Via logo Lna Va 1 Vj Lata V2 1 I Ny f Sd Vudu 3 Vise 2 2 3 I gVuiC 3 Lna va 1 C 2 Portanto J 3V Ln2 V2 1 C Considerar u Lnx Va 1 V1 senzx cos wu r Vit dv f VIF sen senxdx sena Jasons Jasons x I 2utC 2V1senr C Ju Vl cosx senx 12 JvVv1 dx v1 ef cos rax cos x 7 cosn 7 cosn d r 4 2uC 2V1cosxC Ju d vd 13 J ae ates moe Considerar u e logo e e e1 e 1 e Portanto J arctane C dx 4 14 Rpta r 134a71C VVi1 3 t 15 FS4u Rpta arctan z C Vu 2x 4 2 16 J eae Consid wort ou mati Considerar u rVax1Vaa241 x S x 1 2 2udu 3 pit 2Quadu x 2dxr Como rw a2241 el1le1lwv SS arl27vVl1lv assim r x 2dx 2uxdu 2 du rVvx1Vaa241 xV1u xu Vlvw 23 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Jex1 I 2arcsenu C 2arcsen pa C x sen8x dx 2sen4z cos4rdx 1 du 7 l Consid 9 sen4x 3 sen4z 4 37 u oneness u sen4r 1 24 u sen4x I 43 arctan 3 C D arctan 3 C 18 Jose xdxz osce esc x dx Considerar u cotre Veja formula 45 1 V1 cot xcse xdx V1ludu 5luv u 14LnuVu 1C 1 Portanto I 5lesex cot x Lncse x cot x C Qe e dx 19 Sa se 4e Rpta LnW3e2 4 73 4e2 C Luna dx 1 20 a Rpta C x3Lna 18 pes 2xLnx 1 r 1 ode x 15e4 Rpt C Pe Aa Dre 22 etver 2 dr 6 e Sejau e72 2udu edz substituindo na integral 1 2 4u 4 9 pa fe ae Eau 2 f du 2 fau4 2 4u 4 u 4u 1 2 Ver 2 I 2u daretan 5 C 2Ver72 arctan C 3 I cos ztan x 1 in cos xsec 2 in sec x de senx cos x cos atan x 1 tana 1 d 1 1 r f Gpep e onde uwtanxr41l u u 14tanz 3Ver Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis do mesmo autor 24 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II o4 1tanadx 1 tan xdx sen2x J sen2a1 tanz 1 Rpta 5 LLncse 2x cot 2x tana C 25 J a ela Lng VLnaVLnr00 2 Sejau Lnz VLnzVLinr00 wu Lnzru logo 2u1du 1 dx dz assim du entao x x2u 1 dx dx JS lwo pau ue Portanto J Lnz Lnz VLnr004C 3 1 32 32 a 26 I secxdr Z 7 tanesec x 31 secrdx Veja formula 53 1 1 I 5 tan x secx 3 Lunsecx tanxzC 27 eer oone 0 cose Lnade Sejau 28m Lnu 2senzLnz Calculando a derivada du 1 2senxz1 2cosrLnx2senz du2 2x cos xLna 2senxdx u x 1 1 1 2 2senx 5 ju 5u C 52 C pe ra Bde fetes de ft tot gy x3 8 x3 8 x3 8 x3 8 8 327 xr 8 2 3 r fe do 5 f olde 5 Sinz 8C 99 r cos 6a 6 cos 4x 15 cos 2x 10dx 7 cos 5x 5cos 3x 10 cos x e cos6xz cos 4x cos5x x cos5a x 2cos 5a cos x e cos4a cos 2x cos3x x cos3x x 2cos 3a cos x e cos2a 1 2cos x 25 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I cos 6 cos 4x 5cos 4x cos 2 10cos 2x 1 n 7 cos 5a 5cos3x 10 cos x 7 I 2 cos 5x cos x 52 cos 3x cos x 102 cos x d 5 727235305058 cos 5a 5cos3x 10 cos x 2 5x2 5cos 3x 10 r 2 cos xcos 5x 5 cos x 10 cos dr 2 cosinde 2senr C cos 5x 5cos 3x 10 cos x Exercicio 126 Uma fungao continua real de varidvel real satisfaz as seguintes condigdes f1 0 e fx ae Achar f x Solugao Suponhamos 1 x 0 entaéo f elize 1 de onde fr P ae gD 7 arctanz C Como f1 0 entao f1 arctanl C 0 implica que C 7 2x 1 Por outro lado suponhamos que 1 x 0 entao fx Pal assim x 2 1 2 1 2 7 arctan x see 1la Portanto fr 4 Lna1arctanzrC se la Exercicio 127 Ache uma equacao da curva que contém o ponto 23 e tem declividade m 7x 3x 5 em todo ponto xy Solugao dy dy 2 Seja y yx a curva procurada como a m entao in 7x 3x 5 logo x x 2 7332 y Ta 438r45dx yax 3 5 d5aC 733 359 35 O ponto 23 pertence 4 curva logo y2 32 32 52C C 3 7 3 35 A curva pedidaé yx 3 La 5a 3 Exercicio 128 d 6a Determine uma fungao y fx que satisfaz oy Pte e passe pelo ponto 2 4 dx JY Solugao 26 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 6x Dado que i a ydy x6x7dx integrando 2 1 3 JSydy a vV6xdze 3Vu 5 22 C 3 3 1 assim y 4a 34C 4 33 1 7 A curva passa pelo ponto 2 4 logo 4 5 2 3 2 C C 3 1 7 Portanto y a a 2 ortanto y Ge 52 3 27 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 Método de integracao por partes Exercicios 13 ky Exercicio 131 Mediante integracao por partes resolver as sequintes integrais indefinidas Solucao 1 1 J Lnadz Sejam u Lnz e dv dz entao uw e v2 logo x 1 P ftnedealne f 2de fJ2ablnrx74C x 2 2 x 1 l 3 2 J x bnadz Sejam u Lnx e du xdxz entao u e v ge logo x 1 1 1 1 1 P f oLne de pole 5 f Dade 27Lnr2C 3 3 x 3 3 1 5 orn dx Seja p 1 e sejam u Lnz e dv xdz entao u e x 1 1 1 1 1 l 1 v 2 logo l xLnx dx 2Lnx 2 dx ptl pl1l plJ 2 1 1 I 11 0 weet L C a2PbLnx sari pl1Lnr1C pl p 1 pai L 1 1 1 4 a de Sejam u Lnz e dv dz entéo u e v logo x x x Qu 1 1 1 1 1 LnL 1 1 a prea Sejam u LnLnz e dv dz entao u e vLnz x x xrLnx logo 1 I LnzLnLnz Lnrdr JLnzLnLnz 114C xrLnx d 6 J ae V1427dx Sejam u Lna 127 e du dz entao 7 28 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e v2 logo V1l2 x IcbnavV14 2 Arun rvVv1427V1l4274C ie et vita x1 x xl 7 Ln dx LnC Je Me a la 8 fe cos x dar cos x2senxz cos x 2 C 9 Soe inloser cot 0 senx senx 100 J J eseneade Sejam u xz e dv senzdz entao u dx e v cos 2 logo I xcosx Jc coszdx IxcosxsenrC 11 6J Je cosx dx Sejam ux e dv cosxdz entao u dx e v senz logo I xsenx conoae IxsenrcosrC 12 J senlinzae 5 senLna cosLnz C ax 13 etar SD ee a 27 x2 14 2dx 40 Ln2 Ln2 ae 15 vsenecosr dra 4 DOE OOS EF OOS 4 4 2 146 J sxcsone dx Sejam u arcsenz e du dx entao du Fade e v logo x P aaresenr f dr xarcsenr V1l24C V1 x 1 17 exctanc dz Sejam u arctanz e dv dz entao u Top e v42 logo x x 1 2 I cxarctang dz arctanz Ln142C 14 2 2 29 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I 2 18 cosh x senha dx 3senh rC 19 J exesenhe dx xarcsenhr V1274C 9 x x 1 3 20 x arctan dx GZ aretang ebal 2 C I 21 xarctanaz dr 5 1arctanzC 22 eva 2eVa 1C 1 23 J elarctan xdx 5 x 1 arctan x Lna 1 awarctanr C 1 24 eo 2x25e dx 5 ae 2x 4r 18C d 25 J ve Pae Sejam u Va2 e dv dz entao i e v 2 logo IT2Va nf w d Va x Su IVA 2X 00 2V ar So Ja x2 Ja x2 2 l2Va mf Var Fda dx sVa xILn4Vv a 2 qe x2 1 Portanto I gltv a x aLnax Va x C arcsena arcsenw 1 26 Se arctan 7a C 27 eos Ln1 4 cos x dx senx 1 Ln1cosaC x dx 28 oo v tance Lncose C cos x 1 29 oe tanto de x tana 5 x Lusec C ez 30 Jo 5x 2edx ye 142 14x 1 0 x 31 J x adz Sejam u Vx a e du dz entao u dz e FE ue Si eT ars v 2 logo TaV2 c w dx 2V a a m ax f a dx Vax a Vax a Vax a 30 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 a Tate 1 f Aae MWaVra4a7Lne Va a Vere e Va a 1 Portanto I gltv a 2 aLnx Va x C x 32 J Vx atdx Sejam u Vx2a e dv dz entao u dz e Vu a v 2 logo Jpo x JPo x a a Il2 Poe dea Poe an ae Vx a Vx a Vx a 2 a TaaVP 14 f de MW a2Vx a aLn2 V2 a maa e Vara 1 Portanto I 5ltv a x aLna Va x C 1 33 VERT de 504 VERE C 1 3 33 1 34 ViBe 2de 30 1 e3e 2 VO VGE SD zx 2C 1 1 35 xsenax dx senar x cosaxC a a 1 2 1 34 36 eta 1dx ge Lna l1 3 sla C 2x 2 2 2x eC 1 v ve 37 Je e du LG pt alte 38 Je cosh5 dxz 2x senh5 4cosh5 C x 2 e COSx 2 39 e cos dx cos x 2senz e C 40 Js cosa dx 2 cena Ln3 cos x C 14 in33 Al retde ee 420 E 42 fe cos bx dx api senbz b cosba C 9 9 ez eX 43 Je senx dx 7 senzsenx cos x 3 C 31 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 44 fess dz r V127C 1 45 some cosxdxr 3 cosh x cosa senha senz C est 46 ee ae S00 62 2 C AT hie Sede 86 Slo 4 92 540 162 Lnz 48 dr 2VxLnr4rC Jr 49 Je senx dx 5 sene cosa C x 1 1 50 xarcsenx dr 5 aresens 7 arcsent giv la4C 2 I 9 I 51 x 5a 6 cos 2a dx ric 10x 11sen2x qe 5C 52 oxeseneaz x arcsenr 2V1 x arcsenr 2x C arcsenyr 1 1 538 J dz sejau arcsenx edv entao du Vina veel TS T ap 1 aJa e v21 2 logo arcsenyr 1 1 I po dx 2V1 rareseny f 2Vi Vl2x 1Jr 27x 1 2V1 rarcsenyx Va 2r 2V1 x arcsen x C xL Portanto 2a 21 x arcsenx C 54 inte de 0 Und 20 Lue 20 C e 55 ee dxz ae I 0 Ln Lnx 2L 2 56 Ae a Ste x x x x x 1 an 57 2204 3ine de 2 30knn 5 82 32 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 2 58 Se F cos de 2 sende 5 C ew 10 69 tanx de arct 40 arctan x dx arctan x x arctanx dx 5 arctan x a 1 x dr 9 x 9dzr 9 dx 6 pa 22S feet ef 2 VR ae 3S V9 x V3 2 1 9 V9 x I Qarcsen aV3 4 Qarcsen C arcsen yea 2 2 2 x dx 61 2cotxLnsenz C senx 9 x x 1 9 62 Je arctan 3x dr 3 arctan 3x 18 Teg une 14C Exercicio 132 Se Px um polinédmio em x e P P P indicam as derivadas mostre que ax P Pp Pp 1 Pljetae p44 a a a a senax PY PAP 2 P dx P 4 x cosaxdx 1 2 aa at 1 cosax 2 pl 1 P a a a Solucao 1 1 1 I Petar Pxre Peas a a 1 11 1 TP az pl ax Pp ax gf 7 xe xe 7 xe 1 Pp 11 1 IT ax P p ax pl ax sella S42 eptojets f Pm ojettae 1 Po Pp 1 j1 1 ITeP Pmojes f Peaerde a a a ala a 1 ax P Pp pl 1 iw ax e p o a fp xe da por rrecorréncia mostrase que 1 an P Pp pl Pw PY h 1 h an 33 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao 2 Sabese que e cosx isenv onde i 1 i 1 it 7 7 1e iir3 7j para n 0 Consideremos A ai logo ewPtoyas emPae assim da primeira parte deste exercicio 1 Aw P Pp pl Pw PY h 1 h an Fe Pp55F5F 1 ae Pre dx 1 P Pp pl PY PY 1 L e Pp 4 5 1 Pr ed ag Po tag ta Gat a at pf revere 1 iP iP iP iP iP a L ei gPp 4 5 i 1 Pr ed pang PE ae aa ae a oD ape reetae 1 P 4P pl 4p Pv 4p Pr L jP4 2 452 yp ty 1 zcosax isenar iP 7 2 3 A a as 7 J n a mr ax I 1 Pp 1 P 4P 1 pl 4p 1 Pv 1 4p Pr 1 cosax i 4 ta a a a a a a a 2 Pp 1 P iP 1 pl 4 pw 1 Pv 1 4p Pre 1 isenax i a a a a at a ajo at n a mr ax I 1 Pp 1 P 4P 1 pl 4p 1 Pv 1 4p Pr 1 cosax i 4 ta a a a a4 aa a i Peg eee ie pe 1 senax i i i i i a a a a3 at a a a n a mr ax 1 p PP P 1 Pp pl P I senaz PS Se te tet cosa jE 4 Fe a a a a a a a a parte imagindria Ia Pera ai Sendo J ew pteyax costar Pe i senaxar entao queremos somente a parte real Pr PA Pp Portanto Po cosaxdx senlar p a WT Gr 4 34 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 cosax 2 pl 1 P a a a a Exercicio 133 Suponham 1 en 1 deduzir a formula de recorréncia para cada uma das integrais 1 1 I fore de satisfaz I ee a a 2 I in dx satisfaz I aLnx nIy1 gintl n 3 7 per Lnzdx satisfaz Ir Tom Lnx mal pnt e e 1 4 d ti J x satisfaz ner 1 5 I Jo bxdx satisfaz np1I a bx anp In1 Solucao 1 1 Sejam u 2x e dv e dz entao du nx dx e v e logo a 1 1 I Lyre tear Let Ty a a a a 1 Tr ax n Portanto J ax2e I4 neN nFl a a 2 Sejam u Lnz e du dx entaéo du 4Lnxdx e v 2 logo n 1 n1 n I Lna n xLnxdz x Lnx nlIn1 x Portanto J xLnz nIn1 neN nl 1 3 Sejam u Lnz e dv 2dz entao du Enz dx e v 2 logo x m1 1 n 1 gmt n y m1 L nr m1 L nlg AL nr prt mai Lnz wale I nz x may ne main gmt n 1 Portanto Tam Lnx mal mneEN n41m4l 1 4 Sejam u e e dv ax dz entao du edx e v oan logo n 1 1 1 e 1 e I 12 e edz eeeeCOsdrtésCd ln ae grt n 1ar ae 35 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e 1 Portanto J I one n 1ar r n1 5 Sejam u a br e dv dz entao du npbxa badrx e v 2 logo I a ba nba badx I a ba oa nap npbxa ba dx I ua ba nap a bxdx np a bx a bxdx 1 npIn a ba nap a bx dx xa t bx napIn1 Portanto J orvaryrae satisfaz np1I xabaxanp11 Exercicio 134 Determine senx dx de dois modos diferentes primeiro utilizando a formula de reducdao e logo utilizando a formula do senx Solugao 1 Por partes I sons dz sons senrdx senxrcosx 3 senx cos xdx I senx cosx 3 sena1 senxdx senx cosx 3 sena 3 3 30 4 1 300 1 4 senxcosxxsen27 J senxcosxx sen2z 2 2 4 8 2 1 3 3 I qsena COS X gr esen2e C 4 2 2 2 1 2 2 J oo xdxr oo 1 cos xdxr oon x 7sen 2Qxdx 1 1 1 1 5G cos 2x gt cos4xdx gt qsen2z gp senda Cy Exercicio 135 Combinese as duas solucdes do exercicio anterior para obter uma identidade impres stonante Solugao 36 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Pelos resultados do exercicio anterior temse 1 3 3 3 1 1 l qsene cos a 3 1g en2e C 32 qoen2e gp cena C 1 3 1 1 qsena CosSx gsen2 qsen2z gp send C sen Ssen2e senda C sen27 sen qsens cosz Fasen2z zsendx Portanto sen4xz 4senz cos x 8senz cos x Este resultado impressionante obtémse pelo fato nos considerar as constantes de in tegracao C 0 Na verdade 0 sena a se 0a também se obtém resultados andlogos para os outros intervalos de a Exercicio 136 d Expressar tatine dx em funcgao de Je as duas integrais nao sao nx posstveis expressar como combinagdao de fungdes elementares Solugao 1 Dada iatne dx seja u LnLnz e dv dz entao du sla e xLnx v x Logo 1 I LnLnz dx rbLnLnz d nLna dx xLnLnz Je Las 1 Portanto J LnLnz dx Lnz 37 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 Integracao de funcoes trigonométricas e hiperbolicas Exercicios 14 ky Exercicio 141 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadeiras Solucao E suficiente derivar a parte direita da igualdade 1 0 6J sors dx verdadeira d 2x 2 1 1 2 Cl q 2cos2x sen 2 I J cost52 dx verdadeira d 10 h10 1 1 10 fet sents C 5 10 10 cosh 10a a cosh 5a sen 1 3 dx C costa 3cos8z tanh 4 tenn ede 0 tanh 4c dx 5 tanxrsecrC verdadeira 1 senx d 1 tan x secx C sec x secxtanz f sone dx cos x es lsenz 1senz dx lsen2x 1senr1senr 1senr dx 6 2VvtanrC Vsenx cos x sen2x sen8x 7 sen3z sen5x dx C 4 16 6 4 l 7 l 9 8 tanh sechs de tanh tanh LC 38 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II J2dx 2 9 LV tane5 tan x C i 10 sen2x cos 2a dx Foon 20 F con 20 C 12 16 2 11 1 cos 4x3 dx V2sen2 WP cena C 3 3 1 5 1 3 12 tan 3x sec 3x da 7 sec 3x 9 sec 3x4 C 1 1 13 cost 3xzcoshx dx 3 cosh 54 qoenh2x C senx dx 3 14 SS cosx 3C V cost x 5 4 2 15 Vcot x cos x dx 2senz 5V senx 9 senx C 16 senx cosa da 2 cos 2x 2 cos4a cos6r C 16 32 48 cos x 1 4 17 dx Lnsenz senx senz C senx 4 3m d 18 Lnsenz senz C senz senx 2 19 fen dx 5 tan5 2tan52C 20 os dx 3 sen2 3sen C falsa cos5 3 5 6 3 Lk a d 3 5 1 5 an Foon 3sen5 c 5 cos cos 1 5 1 1 35 ost cos cos 5 cos cos5 cos cos 5 cos 21 I vai 3 v 2 3 0 eiVxr27 3 Ox 2773 1 22 EFF Sev Le VIF d 1 Vu 2 23 l zarcsecx 1 ves C x13Va242x 2 2a 1 39 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senx dx 24 Lncosx 24 vVecos x 4cosr1C Vcos z 4cosx1 2 1 3 2 25 ls dxz 5 Ln 2 gt 4 Sarcsec C d 1 V3V4 x 26 lr 1 yo wsvi LC a2 34a22 2 Cx V3V4 2 d Vx21 97 lan es tnf tv thie a 1a Va 1 Vu1 xdxr x79 28 7 dr 19 CO Vx 9 5 V1l Vx 3 2 7 29 pS te 28 Fine 3 ave 8 9 6 d Var 3 2 7 f NE oP F465 4 20 Stn2r 3 42V2 32 2 C dx 4 8 var3r2 0 Qe3520 7 2 4Jau322 8Va 3x4 2 44 2e3542x 7 44 2e35 42x 7 8Va 3442 8221 2 Va24 30 everiac Sw 2 senh5 C x dr Va24x 5 15 r2 31 SF 6 cosh 1 C Vu 4x 5 6 2 3 e dz e 32 lS V 3e7 18 V19e2 2 xd Vu 3 33 VP Ft ay 19 0 Var3 5 Exercicio 142 Calcular as integrais de funcdes trigonomeétricas e hiperbodlicas Solucao 1 T sone de 2 2 2 I 2 I oo x1 cos xdx oo xdx ifs Qrdx 40 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II T 1cosaxdx 1 cos4xdx 2x sen2x sen4x C Y sen sen 5 cos2xda cos4xda 5x 7sen2x s5sen4e 3x sen2x sen4x P p io ortanto 3 1 oy 9 3 5 2 pcos dx senr 2 4 SE 5 2Vsec 2Vcos 3 to Vesta dr O 4 Yow Sc 6 ls lg A tan ede tan tan xtanz2C 7 3 cos x 9 5 es xsena dx 4cos x5C 2 4 1 2 2 I 2 6 J sen3xcos 3xdxr z sen 6x cos 3x dx g sen 6x1 cos 6x dt 1 1 12 36 a tes I2ade5 sen6xrcos6xdz er ain a tC 7 T cot xde cotoese e1de f cotrese x 2ese x 1dr S 1 SS Z esc x esc x Lnsenx C 1 8 os 2xcos7x dx 5 leostte 2x cos7x 2xdx 1 sendx sen9x I 545 S 5 Ieos9 c0s 5eda 10 18 C 2 9 sect Veote de 2Veot Vian C 3 I 2 10 sont xdxz 3 cosh zcosh x 3 C 3 3 I 3 I 2 11 J senxcosxdx 3 sen 2udx 3 1 cos2xsen2xdxr 1 1 1 Fazer t2x logo I T6 sent cos t sentdt Te cos t 3 008 tC cos 2x cos 2 Portanto 4C ortanto 18 16 41 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senh7x senh3xz senhdx 12 h2xr cosh5zxda 4 so xzcosh 5x dx 38 D2 10 3 tan x 13 tan x dx Lncos x C 9 14 sen4z cosdxdx 22 SP Gg 2 18 senllx sendz 15 a 5 sen8x sen3x dx 59 10 cos 16 sente de cose h5 h3 17 sonnta senhz dx cost coshet C 10 6 1 18 sow sen2x sen3x dx 5 senseloos2e 2xcos2a2dr 1 1 1 I 5 sen3zcos x cos 3udx 5 sen3x cos rdxz 5 sen3z cos3rzdzr 1 1 4 2 6 I sen et2senrade5 f senbeds te 4 t3 19 eae cots 4c tan x 3 2 2 d 20 t fo PES ee oectraes sen2x cos x sen2x cos x sen2x cos x 1 Jo tan x sec xdx tf es0222 tanz 3 tan x 2cot2r C 1 cos x dx i COST cos de sen2x 4senrcosxr 4 senz senx 4cosx 1 1 4 cos x 1 1 senx 4cosx senx IL i L d 4 nsenz 16 sent 4cosx 4 nsena 16 senxz 4cos x da 1 x 1 senx TL 4 J OS 12 4 nsenz 16 mrs 7O1 12 Por outro lado 1 1 cos 1 1 cos x 4senxz 4senz IL d 4 nsenz 4 senz4cosx 4 nsena 4 senx 4cos x da I Lnsenz 4Lnsenz 4cos x 13 Lnsenz Lnsenzx cos x 4 sen 4 senz 4cosx 42 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Multiplicando por 16 a equagéo 12 e somando com a equacao 13 resulta 9 1 17l qbusenz x qbusenz 4cosx Ci Cy Portant I En rt Ln 4cosxC rtan Lnsenr Lnsenz eee 68 17 68 22 cot de cotr2 C 8x sen2x sen6x senl0z 23 27sen724xd 2 senow semen senda Sen C 3 costar sented 1 30 3 78 30 f sen2 cos2de at f sendx f E882 24 r f sen7 cos7 dv 5 f sen av7 5 dx Portanto J 2s C 8 8 2 25 fe dxz 3 tan5 2tan5aC d 26 l 2cotrC Vsenx cos x 27 es Ja ee Ss 3 5senxz 3 cos x 31 cosa 5sen5 cos 5 Te dar sec oda es 6 cos 5 5sen5 cos 5 6 5 tan 5 2 sec dx Adu x T de u tan las low One ENS 4 x Portanto I pial 5 tan5 C sen 72 9 1 28 dr tanrzsecrxdr cos 72 1 I eo 2 tan rz 1 secaav Jo udu onde wu tan72 1 1 tan tan Portanto 1 jtana2 tan 2 C T 3 5 2 1 x T 1 29 cot xcsca dx Lntan cotacscxC 2 2 4 2 43 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II sen2x dx 1 cosx2cosxt2 6 30 oo Lan aarctan1 C cosasentx1 5 a 1 cos x 5 an1 cosa Exercicio 143 Obter a formula seca dx do modo seguinte 1 Escrevendo 1 COs COS 1 cosa COS sec x COs cosz 1lsena 21senz 1senz 2 Mediante a substituigao t tan5 Solugao 1 1 T f secxix sft Sle 2 1lsenz 1 senr 1 1 senz I gba senz Ln1senx C Ln C Lnsec x tanx C COs 1 1 sec 2Qdt 2 T fsccede ae ep aete ge COs cos 5 sen5 1tan 5 1t 1 1 t1 t1 senS cos I dt LnC Ln C Ln 0 i a nq pot sen2 cost 1 senx I Ln Lnseca tanzC cos x Exercicio 144 Mediante substituigao trigonomeétrica calcular as seguintes integrais Solugao x dx 1 J Seja sena 2 entao cosada dz logo V1 x 6 x dx sen7a cos a 1 I ta senada 5 1 00820 da is 2 1 1 1 1 Onde I 5 sec a 1da 50 p senza C 5l0 sena cos a C 1 1 Portanto J parcsene atv ax74C 44 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Ji 1 2 J ow Considere tana x 1 logo seca x e secatanada dz x Vi 1 Assim I Sw senaseca tan ada ow ada x Onde IJ eta lda tanaaC Portanto J Vx 1arcsenz C Jd 7 3 ore 2 arcsen5 a 2 0 4 a vV14 x Considere seca V1 x2 logo tana x entao sec ada dz dx sec a Sec a tituindo J da da Substituindo i ip l coca a a Isto 6 I ea J cotecscada cscaC sena Tae Resposta J wie x d 2 2 5 laa v2 arctan Yt C x1V1a 2 V1 2 3 V2x2 7 6 aes Sette V2u 7 6 d 7 ls arcsen C 8 I 4 5 de x 2a 28 Considere seca x 1 1 logo tana x 1 e sec ada dz 1 4a 5dx 4tana9secada 4tana 9 da Od a 22 23 sec a sec a 4x1 9 I sena9 cos ada 4cosa9senaC Aer 9 eg Va141 V141 4x 13 Portanto J C Va 2x4 4 2 45 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2x 3 31 9 2x 3 dx de3 LO J a 24 38 27x 4 2x 3 a 72 10 en i de x Observe que x 4x x 2 2 Considere 2tana Vx 42 logo 2seca x 2 ou 2seca22 entao 2secatanada dz de onde I Ax dx ees 1 seca tan a SCCti SO i Se 10 x 8seca 18 4 J seca 1 i sec a tan a do sena do cos 2 dle 4 J sec a1 cosa 4 J 1 cosa 4 2 cos 1 1 a a 1 a 1 1 cosa da tan sec da tan C C 5 tan Ssee Sa 1p 9 Tyeosa 1 xrA4 Portanto J C ortanto 1 y 4 5 ul wd Gg J42 204 2 a 253 dx a 25 12 Vea a YY xe 125x 13 r fvi Sa wae f yv9 12 1l2 Considere sena entéo V2cosada dz Logo V2 1 I V2cosa V2 cosada Jo cos2ada x gsen2a I ite 2 v2 1 2 arcsen V2 V2 V2 x 1 xctl Portanto J v1 2a 2 arcsenC 14 1 4 x 93 Considere tana 5 entao 3sec ada dx Logo T 5 costa 8800 ada 5 f Iphada C n 57 cos a 8sec ada cosalphada Fsena 46 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x Portanto J 4C 9Vx9 3 d 4 2 15 Ss 8421 Via 3 2x 4 1 1 16 Se arcsen C V3 4 2x 2x 2 17 vy 4 vy 4 0 y y 12y3 18 J a x 2a 58 Observe que x 275 x 1 27 Considere 2seca Vx 2x 5 de onde 2tana x 1 entao 2sec ada dx Substituindo dx to 1 da J a 2a 53 2 seca 8 J seca 1 1 1 e0seda sena C 4 4 Ayx 2a 5 Portanto J tah C J a2 27 58 Ava 2445 Jr 2 19 lS arctan C a 1 Va 2 x Qu 1 1 x 14x 20 dr Yarctan C rn ap w 75 9 arc an5 2 7a dx x 21 arctan C lanes Fi x dx 1 Qx xl 1 23 32 22 Of I 0 Ge 1yt 32 Ge 7 FG aglGa al x dr 1 x 2x4 27 23 Os t s C Gea gglerctans aaa t d 27 9 24 J EE Considere tan a oe logo sec ada 2xdz a 2V at 402 5 1 x dx sec ada 1 1 1 I Sf ft gy escada x 2Vax4 4a 5 2tanaseca 2 sena 2 A7 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 1 x 2 1 1 3 nlese a cotaC ln oa a5 C 1 Vut 472 51 Portanto J Ln veces C 2 x2 Qa dx 1 Vat 4x51 Va 1 25 lax 5 Ln35 C Seja tana TT entao seca x e secatanada dx Substituindo aa integral 2x3 dx 2sec a seca tan ada sect a tan a T oe ef eee ag fe da x 14 tan a tan a 7 2 2 14g 1 I 2 tan atan a 1secada 27 tan a g tan aC T cotta 2cotaC 5 cotta 3 cota 2x 2 et de e2 2e 58 Temse que e 2e 5 e 1 2 Considere 2seca Ve 2e 5 de onde 2 tana e 1 entao 2sec ada edx Substituindo r e dx Og OT Ly e2 2e 53 2 seca 8 sec 1 1 1 et1 22 2senacosada sena2 cosaC C if ri 1 Je der eB Jee de pS 2x d co Portanto J lS 7 C e2 2eX 58 Ave Qe 5 27 V2 PF ae Seja 2cos6 441 2senGx1 5 2cosbdb dx I VG 2 PF ae ve a 1 da 200588 2008 348 16 cos Bdb ifa cos 23d8 fu 2cos 26 cos Bd3 1 I 46 4sen26 2 Jo cos43d8 46 4sen28 26 qsen46 I 66 10sen cos 6 4sen8 cos 6 C 48 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 1 I Garesen 5 u 1441 gle 414 1C x dx 28 V7 14C Va21 d 29 a rte B Ve Fal c Vx px q 2 1 30 ve 27 5dx arcsen C r 22 8 dx 2x41 31 271 x 9 arcsenC IS xx J5 2 1 9 2 1 32 vee te SVT JaesenF 0 33 1 V1 cos x dx Vl cosx dx V4cosx 1 cos x cos x 22 V3 2 Considere seca a logo V3seca cosxz 2 entdo V3secatanada senrdz assim V3secatanada V1 cos xdz Substituindo na integral 1 V1 cos xz dz 3 seca tan ada 4 cos a 2 V3 v3 tan a I secad Lnseca tanaC Portanto J Lncosx 2 Vcosa4cosx1C d 1 Vx a 34 l aresen ve C ee x2 qa 2a3 2 xe dt 1 4v16 35 l Ln C t16t 4 t 6 992 a2 Joa 8273 2 723 36 e pde 4 faresen8 e ial Vat 2 Sat ya a ve J a a a 248 2441 37 oredr avayery SE Ac Vi5 Vr 5V5 38 dx 2e54V5Ln C x Jrt5vV5 49 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx 1 39 Joxte 3 arctan3z 1 C 2441 2 40 aa eet i xv1 x x dx a a bax a bax Al VO father jaar Gg ax b3 b a a ba a4 13 1 2a41 42 pp de Fa Vae 1 3Ln Vert 1 2 VF jc x x q2 72 43 Ve ae a aesen 40 ax a a 24 7 dx 2a 7 24 7 24 7 7 ta LETT te yy SBOE VET SET VE x 7V7 V7 V7 V 20 xLna dx 1VJ12 eee ae VI 2 1 VS 45 aa 11Lnz Ln C d 1 2441 46 SS aresen C V1l222274 2 J2 2x 1dx 2x 1 47 erie tl i J 402 1228 V4a 4122 xu 5 2 72 p72 2 Resposta 48LnaLn2x2V 2 x 1 4g 0 2 Vo Aye Qe 5 6x Exercicio 145 dx Resolver a integral I Solucd J rVuat4 olugao 1 3 Temos que 721 4 5 Sp logo nossa integral original podemos escrever d Vu 1 na forma f 1 I 13 onde I ee rVuat4 x 1 1 x dx l dr e k 2 Varur41 Vr2a41 Temos que a solucao da integral J é muito trabalhosa por isso vamos omitir o seu desenvolvimento nao acontecendo o mesmo com as outras duas integrais que sao imediatas usando as formulas da pdgina 6 Assim 1 1 1 1 In 5 dz bn ut stvetetl vw P 8 50 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x 4dx 1 3 n f SH tet ae Sp vereerl ye 5 8 1 2 1 2 2 I va a14 arcsenh 5v3 t arctan 2 gv art 9 Wa a1 Portanto 1 2 1 2 2 1 1 I arcsenh V3x arctan Ln 2 Vz a i C 2 5 aa 2 2 Exercicio 146 Mediante integragao por partes mostre as seguintes formulas de redugao 20 sen xcosr n1l 5 1 sorte de OSE Ef sented n n cos txsenzr n1 9 2 cost dir ESE BEL cost x dx n n 3 dx x 4 2n3 dx a2 1 9 2n1a 411 An1 J a2 1r1 Solugao 1 J senteae sent x1 00s xrdx sen tede senx cos x da sen x cos x 1 1 I sen xcosx cosa dx so xsenxdx n1 n1 assim nel T f sont e de COST 1 I n1 n1 h n1 12 sen x cosa Portanto J senx dx sen x dx n n 2 I Joos xdxz oo a1senxrdx Joo ede cos xsenxda cos senz 1 1 I cos xsenz senx dx cos xcosxdx n1 n1 assim nel T feos xdn4 zsent I n1 n1 h n1 no cos x sena Portanto J cos x2dx cos a2dx n n 51 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 Ja dx a 1dx 2x xdxr 1 dx a 4 1r a 4 1r1 a 2a 4 1r1 x 4 1r1 J 1 ee i ft de 2 na21r ae x 1 a 1r1 1 1 dx 1 on Taz apy i dx 2n1 dx x v241rt1 Qn a2 1 2na 1 Sejaa mnl nmi1 dx 2m3 dx x 7241 Am1 J e241 2m1a2 1 Portant dx x 4 a dx ees SF G2 FIP Wn Daz An1 J 1 52 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 15 Integracao de funcoes racionais Exercicios 15 ky Exercicio 151 Mediante diferenciagao determine a veracidade das seguintes iqgualdades Solucao dx 1 1 tC ii 31 dx 1 2 1 2 arctan C lates q arctanS dx 1 3 5 C 2x 33 A2x 3 r dx V2 x2 4 arctanh C Jes g arctanh7 x2dx 1 x3 5 hLn C rx3 3 nl x t x 2 2 x 6 dv 2 Lnf 4 C a oe ze aa dx 1 x3 7 eose 3 arctan C dx 1 x x1 8 Ln C a2 273 4 aS 2 2xx 2 r a 1dx 1 a 1 1 x 9 7 nf arctan x arccot C lees 16 naa a g arctan x Syareco 3 Temos falsa pia 1 Ln2 9 caret arceot2 C Lnx Lnx arctan x arccot dx 16 8 24 3 Lf Qe ae J tf tj ty 8 y 16 fa 1 22 9 8la2 24 922 il x x 1 1 1 1 8 a10 0 2249 2241 2249 53 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4045 4 x 1 Ax 1x2 9 7 a2 12 9 xdxr 1 72 x 10 Po r sul arctan5 C Exercicio 152 Calcular as seguintes integrais sabese que 0 denominador tem ratzes reais distintas Solugao x xdx 37x 35 1 po feuee 7 4 2 99 Ss e Gries 37235 A 1 B Ax5 Bx 1 r1e5 21 25 x1x5 1 75 37a 35 Ax 54 Bx 1 2AB5AB A5 B 1 1 79 1 t fern 4 Be e oe1 toe 2 75 1 Portanto 72 Lnx 5 5 Lnx1 0 2 5 7 2 2 PO F tte t ine 3 0 L3 2 xdx 9 1 OO rt Lnx 3 Lnx 1 3 JS5 w 5 nx 3 5 nx1C dx 1 xb 4 nC b lair ab malt af xdx 1 1 5 nC lost 2 al De elt 2x 5d 1 V24 V3 gf QB Side 1 ye VBE VB 4 rt5a6 23 2 V2x V3 x 1dr x 7 9 Lar Ln2 1 Ln2 1 7 ina rl nx 16 n2x 1 16 n2z71C x 1dx 5 9 ATTA gy OL 4 8 aaee 5 nv 324C dx 3 2 1 LT 1 Ln2r 3 L wwrtee pyar 1 gghn2r 3 ghne C dx 1 x 10 Enj 0 oe 2 nal 54 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5a 2 110 J d xv 5a 4x 5a 2 25a 20x 2 Temse que ss 5 Usando fracgoes parciais 2547207 2 A B C 5 Temse 3 ba 442 r rT1 7d de onde 25x ae Ax 1a 4 Bua 4 Cux 1 Fazendo x 0 obtémse A 5 quando x 1 7 161 obtémse B 3 e para x 4 obtémse C 3 5a 2 12 73 1616 Assim P f 22 de sare Pare Aare Ear x 5a 4x x x1 xrA 1 7 161 De onde I 5a but glue 1 Gq tale 4C ya a 4161 Resposta 5a Ln Vx 1 5 4 8d 3 2 12 PRR ES 4 Sete ane stale 2 3hnle 2 x dx 1 2 13 n2 1 L 2 C le jg Wnr t 5 Lala 2 x dx 1 x 2 14 A pf 40 a 2 neat x dx 1 x2 15 Ln L 2 C asa 3 bal ql a 2 2x 41x 91d 14x 4 pe CEM de eM g x 1a 3a 4 x 3 2 52 6dxr 17 J 2Inr 4 Lx 1 C QS 18 x 204 30 9a 4 dr x 1 bn 2 VJ x 1x yy LC x 5a34 2 xr2 32x dx 19 Jn 2 1 6Ln22 3 5Ln2 5 C Jame n2x 1 6Ln2x 3 Sin 2x 5 Exercicio 153 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes reais miultiplas Solucao 55 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 r By Sf Ea xz1 x xx 1 a2 A 1 B 4 OC Ave 1 Be Ew 1 aa12 x1 12 0 xa 1 vc 2 Arw1 BrEa1P A3 B9 E4 9 Portanto J 4Lna 3Lna 1 polit 2x 3 dx 1 gq Soe er TG eots a2 32 2p 52 172 18 5 dx 1 3 3 3 J L 1 2 C a 13x 2 Ne wp bale Yer 2 1dx aes r 4 T Aa J SNS ff fT 4 J x3 x x x ie 1 r1 AB EB Ava1 Bx 1 Ex wx1 2 2 41 xa 1 a1 Axrx1Bx1C2 xAEaBAB B1A1E2 P fis S de 0 Lae 2 Bne 1 7 x x 41 7 x 1 1 Portanto f22 InfY V4 x x a 3x 2 dr x 6 5 f Se Lf 4 0 SS pal teat 2 6 6x 9 dv OD 1 LO x 3a 1 223 22a1 dx 1 1 sa1 4 LD fi a e zt Waal x dx r4 5a 12 8 I Lot pf ac oaseop nyo Pbrt8 x 62 Ila 5 dx 1 1 9 eo 5 Ht Li 2 HC x 2 oop tM 2 3G opt 1 21 x 2 2 3 10 dy 5 A c icon v 3302 Gaip apr ett x dx 4 11 HL 1C e r42 nx 1 56 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1D r x 223dr x 2x 3dr e J w1a3 42 32 J ax 1x3a1 J ax 3 x 1 wer 3 A a a dD aa3a12 x 23 x1 x1 a 2243 Ax 3x 1 Bxx 1 Exx 3x 1 Daax 3 Quandor1 22D logo D1 Quandoxr0 33A logo A1 Quandor3 612B logo B12 Quandor1 6 161 412 8E 41 logo F 12 I fis S ale LneLn23Lna1C 7 x 3 21 41 2 2 x1 1 Vx 1a3 Portanto ry Ve Ve 3 C z1 x 32 1 dz 2x 13 Ga ate x 27744dr 1 x 27 1 1 14 EO Inf 03 2 pal oe a T 2 6x 9x 7 dx 3 15 L 5C eae ea tine 9 7x 9 dx 3 5 47 16 FFE Ht KCL 20L 3L 2 6 ee gg f ghne 20Lna 3 Pina 2 6 x dx a 2 1 9 31 17 OLA Ee 1 CO Joye 7 tie ip await eine Y dx 1 xA4 1 x1 1 r3 18 a Ln Ln C0 1 10 40a gg ea t pelea Exercicio 154 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes complexas distintas Solucao dx 1 dx 1 1 x 1 3X 1 f Rm IJ arctan arctanC lars 5 arctan Vag eta FR aw 43 3 3 x dx 1 21 2 I V2 2 1 arctan C le nVa a 4 1 Vig etal FB 2x 3x 3 dr V a2 24453 1 r1 AEE a Oe ae ss 3 oes n eo 5 arctan 5 C 57 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 1 1 1 A pga bale 2 nfo 20 4 arctan x1dr x 1 x6 5 nf C m1 41 16 Gr ars 22 243dxr x 23 1 2741 6 Ln S arctan 4 C yee Tae LT V3 V3 dx x 7 La C resales 8 p Oe vi4 we 2Q x2 AxrB 4 DiF wi4 a444e2 4449 o2 4227 2242420 a 2Ar Ba 2 22x Dr Fx 24 22 Sex0 22B2F Quandor1 5S 3A4845DF Quandox1 325BAFD Quandor2 62 22AB102DF 324B52DF 1 1 Resolvendo temse A0 B5D0 F 5 logo 1 1 1 I ld 5 feat eee 1 Portanto J 5g larctanx 1arctanx 1C x1dax x 1 x1 9 So 4 La arct C ees 2 Teper arctan eS dx 1 A Bx D 10 pa e ef 5 ee 4 es laecos ittae Sle 1 Ax a2 1BrDx41 1 2 Sexl A3 Quandorx0 D 1 Quandoxz1 Bas 13 a3 23 1 v2 p 4 de EL 1 a Jigar le gine 3 fla aya 58 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 1 3 ILnv 1 d nv 1 fis Poel 1 1 1 2x 1 I gunle 1 Ln2 2 1 5 Z arctan 1 1 1 2 1 Portanto J Ane We aretan C 2 1 LL SS u Se x 4xr7 Vax2Ar7 327 243dr 1 Vx1 7 12 Wee Ln tang C ewes gin ay aretane Ca xdx 1 x1 1 2x41 13 La arctan C 3 3 a peal J3 J3 x a 1 da l 31 292 24 l v cos a dx 1 senx 3 15 a arctan C lacs V3 an J3 xdx 1 lta 1 16 Ln 6 3 Z nls 5 arctan zs C dx 1 1 1 17 oe HL 1 Lnx2 1 C oars gine 1 ghne 1 soy 3 2 18 a5x1dx uu x 241 dx Qdx T2241 Ide otf x laa Portanto J 32 Lnx 2arctanz4C x 2dx 1 9 2 5x 1 19 Ln 5 2 1 arctan C lea jg bnba 2x 1 arctan 5 5a3dx 5 3 x5 20 L 10 29 11 arctan C 2a 2 nla 10x 29 arctan 2 I 2 22 4r4dr x 2 9 dix 1 rta21 v2 rV2 1 22 Ln arctan arctanxC sa 42 2 aVdaL 2 Tg 2 Sugestao adicionar e substrair 2x ao denominador 59 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 93 dx lL xt 1 tant eC i Lf arctan a 1a2 4 a141 2 Exercicio 155 Calcular as seguintes integrats 0 denominador tem ratzes complexas miltiplas Solugao dx x 3x 32 x 1 OP ONE ctan 2 C la TDF BG poe BG pd bg MAMA x dr 1 r 2 arctan C Jeass 32 J2 2x 3 dx x 7 1 x1 3 Se FO sats SS arctan C eS Sa pores 7 1g tant 60 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 16 Integracao de funcoes racionais trigonométricas Exercicios 16 ky Exercicio 161 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes complexas distintas eee 2 dx 3 dx 2 2 J 2 98 J a4 2a x dx 5 x 1 dr 6 ee J a 14 J a 2a 28 J a 6x 13 Solugao Exercicio 162 5a 12d Calcular a integral I eee Solugao Exercicio 163 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadetras Solugao E suficiente derivar a parte direita da igualdade 3 2 1 T de falso 2senx 3 cos x 12x 5 dy 12 53cosax 2senz S Tn3 9 Cw BL 2208 tT ese eI 33 12 nSsenw 2 cosa dx 13 123senxz 2 cos x dy 1443senz 2cosx 658cosx2senr 562senx 93 cos x dx 1563senz 2 cos x 1563senr 2 cos x d 2 oyw verdadeira cos x 2senx cos x 2senx dy 2sec x Seja y arctan2t IC ejay arctan2 tan 1 dx 12tanxz1 dy sec x sec x dx 142tanr2tanx sec xcos x 2senzx cos x 2sen2z 61 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 1 2t 3713 gf te senx 3senzcosx cosx 13 2tanzv3 V13 cos a dx 1 senx 5 4 Zn J HO la Ss 4 Mme 1 t senx dx 1 cosx 1 5 arctanf C 9 re an 2 I dx 1 tanx42 6 Ln C meee es 4 liane 6 dx x 7 2tanC leon an5 d 1 2tan4 5 V21 2osent 21 2tan 5 V21 d 1 21tan4 9 e Ste cosxsenz V2 V21tan d x a eee 1 senxz cos x cos5 sen5 3 2 u x dx la LC J1 2x78 2V1 22 4 3 12 la Se x 2 3 8x 2 x3 dx 1 32x 130 arctan C loa Vibra d 3 14 Sr mle 2 FTP EFT Slnlt VF T Le 3 cV1427dxr 3 15 22 rt W144 25 0 V14 2 5 d 1 2x 4 16 S rp rite rVa24a4 2 Vx 4x 4 a 34 Wx 2 124 Wx 28 17 Je a Va 234C dx 1 xrA 18 ss n 14 C 2 32 a dx 19 nfvlrdg2r2x2Lnlvl42422 4C oa 62 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 22 3322 20 dr 4 C laa Qan A Sa r Exercicio 164 Calcular as seguintes integrats indefinidas Solugao 1 de 4 3cosx v7 tan Resposta 1 arctan 24 2 de 2 senx 2 2tan1 Resposta 2 arctana ea h V3 V3 3 dx 2 senz 3cos x 6 tan14 V6 Resposta 3 V6 tanta 1 v6 6 tanZ 1 V6 4 de 5 3cosx 1 x Resposta 4 5 arctan2 tan5I 5 senx dx 1 senz Resposta 5 2 esposta x P 1 tan2 6 dx sen44x tan 4x 1 1 tan 4x Resposta 6 cot 4 arctan posta 6 cot de p arctan senx dx senx senzx 7 rT R EE Cc R ideo a senz cos x T tess 1cosny senz cos x dt Considerar t tan x logo dx 1 p ee eee 8 pee ve dt J lcosx J sexti J tanx2 J 242 14 1 2 1 1 V2 t I aa a3 dt glaretant arctan75 C 63 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 2t gle ve arctan 2 C tan x Respuesta 7 V2 arctan x p a 1t 14t 1 SS 8 e Rsenxcosx Ff tan 1 Etec Rsenx cos x 1tanz ltanz 1l1 dt Considerar t tan x logo dx 1 1tanz 1t dt 1 t 1 T ae 4 18 4 St 41 le ere nlt5 in 1 1 I 5 Lnsec x Ln1 tanzCLn fed C Resposta 8 Lncos x senza dx 1 9 W R 3 senx cos x senx cos 3 senx cos x R Rsenz cos x 3 senz cos Considerar t tan x logo dt sec x dx T dx sec xdx sec xdx J 34sen2xcos2 J 3se2xtan2x1 J 4sec2x2 dt 1 dt V2 t foes arses arctanV2r C 422 4 PGPo 4 2 Resposta 9 ve arctanV2 tan 2 10 a 3cos x 2 1 5 tan Resposta 10 inf vot tan V5 V5 tan UL sen2x dx senx cost x Resposta 11 arctancos 22 12 a senx 5senx cos x 1 Resposta 12 ball 5cot x 64 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 senx dx 1 senzx Resposta 13 tanz x seca 4 ee 3senx 5 cos x 1 ot Resposta 14 arctanY3t8 V15 V5 15 de 3 2senxz cos x Resposta 15 arctantan5 1 dx 16 4sen2x 7 cos x 1 2t V7 Resposta 16 1p tame ava 47 2tann 7 17 a cos x 5cos x 6 2V3 3 2 2 Resposta 17 ova arctan2 tan v2 arctanY2 tan 2 2 2 2 18 sen 2 cos oe senx cos x 8 ot Resposta 18 32 arctanY 32 V6 V2 dx 2t 2 19 ge i g de dt Ja sens 14 oe 1 dx 1 2 2 1 d dt dt a lal seo lea dx 1 2 t1 dt 2arctan C 2 ase pa aS d 2V3 2tan1 Portanto J 2v3 arctane ma 1 C 2 sena 3 J3 20 senx tana dx sen cos x 1 Resposta 20 3 bntan x 1 4 4 91 on sen cos x Resposta 21 Lnsec 27 tan 22 senz 65 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 99 1tan x dx 2senx COS 1 Resposta 22 5 Ln csc 2a cot 2x tan a sen2x dx sen2x 2senx COS 23 R a 14 4 cos x senx cos x 14cosz 14cosx 2senz cos x 144cosz Rsenz cos x Considerar t tanz logo dt secadxr dx a I sen2x dx 2senz cos 2tan x d aE SO dt 1 4cos x 1 4cos x sec x 4 2tan x 2t dt 1 t t IT d AAAaa 5 ss TT Oo dt lars lus 1 5 Lc a 1 t t 1 IT dt Ln 1 Lt 5 C sf lac as gine 1 Int 5 C T Entan x 1 Lntan2x 5 C L sec C Lntan x Lntan x Ln 4 4 tan x2 5 l 2 Resposta 23 qual 4 cos x 24 senhx cosh x dx senh4r x R ta 24 esposta 35 3 25 sonnt20 h2 h2 Resposta 25 a 6 2 dx 26 cosh xz 1 Resposta 26 cscx cot d 27 senhx cosh x Resposta 27 2coth 2z 28 cost 3x dx senh6x x R ta 28 esposta D 53 66 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 t 29 PH cote i 1 cotz Resposta 29 Lnsenz cos x 30 4 cos xdx 2 3cosx 2V5 5 tan Resposta 30 4 2v5y Vo tan5 3 3 V5 tanZ 31 cost x dx 3 h2 h4 Resposta 31 oa 32 vVcoshx 1dzx Resposta 32 2V2 senh5 2 3cosxdx 33 SUNY Ean EEG cos z1 4cos x 5 5 V3 tan Resposta 33 2Lnsecxz tan x V2 inf 2 V3tans 3 V5 V3 tan3 34 coth x dx coth x Resposta 34 Lnsenhz 7 35 Jsenx dx cos Ri ta 35 L jit sent t esposta 5 nly ag T aretansensz 36 2 cos xdx senz1 cos x 1 x 3 5 Resposta 36 5 batan5 cot 5 37 tom x dx tanh Resposta 37 x tanhxz 38 tan x dx 1 cosz 1 Resposta 38 Ln 8 cos 67 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx 39 7 SE SEE ST Se bsenx a cos x 1 bt Resposta 39 arctan ab a 40 reds senx Resposta 40 Lnsenz x cot 2 AL ae senz tan x Resposta x 1 cosx textbf41 Lntan Tn an5 21 cos 1 1 cosadx 1 2acosx a Resposta 42 arctan tan2 arctan tan esposta 5 t arctan tan5 43 ae senx sena tan cot Resposta 43 seca pn fanla cot tan cot AA senx dx cos senx 1 Resposta 44 arctan5 3 Lucos senx 45 ae 1 senz cos x Resposta 45 Ln1 tan5 dx M46 cos x 1 1 Resposta 46 50 Lncos x 1 AT cot x dx senx 1 Ri ta 47 Ln Ensenx 1 esposta nsenz Lnsena P 7 7senx 1 48 a sen5x1 cos 52x 1 cos 5x 1 1 R ta 48 Ln esposra 20 Mos 5a i t 10cos 5a 1 68 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 49 ae 12 5tanz 5 12x Resposta 49 I69 Latte 5tan x Lnsec x tan x dx 50 a btan 4x Resposta 50 LnVa b cosa b a b cos a 51 de 4 2cos3x 1 1 SHG Resposta 51 arctan tan p sg metals tan Exercicio 165 Calcular as seguintes integrats Solugao 1 dx Via4 1 Wla24 24 Resposta 1 Ln posta DT at 9 dx vJ142 Qe 1V1 Resposta 2 20 Dvd a 323 3 a VJ a 2x 33 1 Resposta 3 Vu 244 3a1 Va 2x 43 4 x dr Vvxl1 Qax1 6a 1 Resposta 4 ave i eve 2 4 18 2Vax1 5 dx xVl2 1 1 3 2 Resposta 5 ai vs arctan I onde u VW12 6 dx Vi V ve Resposta 6 31 Vx3 69 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 7 dx Va t Va Resposta 7 2x 3x 6Wx 6Ln1 Wz 8 Jx dx at Vx4 10 10 3 Resposta 8 2x wve 10 Wx 10 arctan Vx 5a 20x 24 9 dr Va5 Resposta 9 2a 5 20V 4 5 2Va 5 1 10 dz Vee 1 Ava AW 23 Resposta 10 we we 2 r4 47x 2Ln1 Vz 11 dz evita Vl 1Vi2 Resposta 11 veo Ln x x 12 eS de 4422 5 Resposta 12 darctanhWvx 1 3 13 wd V1l 2 1 8 Resposta 13 a V12 3q 14 Va da e1p BVa2 3 Resposta 14 727 Vat Ver 9LnWx 1 15 a Vat 13 ta 18 V2xe 5 Resposta 15 820 5 15 16 de x1 4 28 V1l42 x Resposta 16 P ETA 70 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II TEBE V 22 3 Vr 2 Resposta 17 a 2 9Wz 29V3 arctan I 18 dx la41 a 2 JJTt et x2 Resposta 18 arctany 7 x 19 de V8x3 27 1 27 19 823 275 8823 272 Resposta 19 30 V 8x3 27 13 V 8x3 27 20 a w 25 2 1 2525 Resposta 20 100 3 5 2 2 1 On J 1 238 2123 2 Resposta 21 P 3 38V1 23 29 dr evy1a3 nT 4 732 Resposta 22 Yi oy 2x7 23 ve V2 Wx2 de 1 Resposta 23 EV 2 Wx5L0W x 16 Tp oA cosxsenax dx 1 senx v1 4 1 Resposta 24 viysent 2 2V1sen4x 2 Sz 25 v2 ve de Vr 22 Jz Resposta 25 ven 372 71 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 26 vit ve Va Resposta 26 21 Wz 27 Je 1 4 27 dx 3 Resposta 27 Or v14 23 3 28 ae V1 2 1 Resposta 28 3 1 x2x 2 29 ie a1223 1 1 Resposta 29 arctanh P a ral 30 vo Vx dx 8 4 7 Resposta 30 a7Va 4V1 V2 31 de 1 28 Resposta 31 V12 Vx2V 22 1 Resposta 32 3 arctan Wz 33 ae x a3 14 114237 Resposta 33 tr 2 x3 3q 34 Va da Ver BVe2 3 Resposta 34 War Yeti 9Lnzx 1 3 35 VJ vrt1dx wr 6 3 5 3 3 Resposta 35 BV Wa 1 2y 47x 13 72 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 36 a Ver det 4 1 e 2 Resposta 36 arcsen p 5 Ja a dx 3 37 xrV142 1 1 3 2 1 Resposta 37 ai v3 arctan onde 14 2 u 1 38 Jo WT de zi1 2Vz71 1 Resposta 38 waar at 5 Lule Va 1 39 ae 72 32 23 22 Resposta 39 2 2 23 40 a viV1 x Q21la V142 Resposta 40 3x 3x3 41 ne Ve1A123 Resposta 41 2 arctanVx 1 42 ak Vsec a 2e tan a 4 t Resposta 42 arcsen 2 sec Exercicio 166 A partir da integral I fe cosax dx mostre que x ngr nn 1 L I 7 senax 2 cosax 2 2 Solugao Exercicio 167 Mostre que a integral I pp dx cumpre a seguinte identidade senx a la I nm senn 1 t I n1 73 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao Exercicio 168 cos 8x sen7x sen3z sen2x Mostre que 4C Sugestao sen3x senx1 1 cos 2x 2 2cos 22 Solugao t Exercicio 169 O prego de revenda de um Fusca decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso Quando a maquina tinha t anos a taza de variacéo por ano era 960 Ve reais por ano Se o Fusca foi comprado por R500000 quanto custard dentro de 10 anos Solugao Resposta 11 R4849 61 Exercicio 1610 4 3 Estimase que a valorizacao de um objeto ddse a uma taxa de regis 100 2x4 8000 por ano Se o valor desse objeto R50000 quanto serd o custo dentro de 10 anos Solugao Resposta 12 R510 56 74 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 17 Outros métodos de integracao Exercicios 17 ky Exercicio 171 Resolver e verificar as seguintes integrats a 1 1lyV 1 of v dx ph arctan senz C 2 1 acosx dx senx LO a cos 6sen2x3 Vacos b senx edr 2 3 J e 2Ve7414C Vet 1 3 4 P f VINE de Ine VF VIEF 5 f S35 te Sugestao Vla7a24t 2 Vice a dx 1 2t 1 6 P f Saret onde Vlaaxt Qa 1Vax 41 V5 V5 d 2V3 2t1 1 7 ref 2 8B acta 0 onde t 212712 3 V3 lx V2 8 J Vtanxdr g arecoscos x senx Lncos Vsen2x senx C Sugestao Considere tanx u Solucao Exercicio 172 Resolver utilizando a mudanea de varidvel indicada Solucao br d lL a bat de t4be xvcu a ba 1 bx Resposta 1 seavesen 75 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 9 t 1 2V1 32 4 32 Resposta 2 dx 31a23 I Fs yer 1 1 2t1 Resposta 3 Lnat 1 arctan posta 8 5Lno 1 z avetan dx a 4 t la p2n 2n Resposta 4 ve nara2 Exercicio 173 Determine um polinémio quadratico Px tal que P0 1 P0 0 de modo que Padx func onal seja uma fungao racional x312 J Solugao Resposta Px 1 x Exercicio 174 Resolver pelo primeiro método de Ostrogradski Solugao 1 va dx 1 vz 6Vx Resposta 1 ove 2Vxr 6Wax arctan Wz 9 dx Vai2ax1 1 Resposta 2 Lna 5 Va 21 3 dx V1 22 W1 2x Resposta 3 V1 2x2 W1 2x 2LnW1 22 1 dx x1 A Resposta 4 arcsen a Resp 4 arson 5 5x 3dax Va 4a 5 2 Resposta 5 13aresen Va 4x 5 76 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3a 2 dx 1 1 6 Resposta 6 3Va4424 Lnla4 Vaa4 4 2 Va x42 P 2 2 7 dx x 2Va 2x x R ta 7 esposta lay 8 ee ry 2a 241 zi1 Resposta 8 arcsen P Vv x 1dx 9 Resposta 9 ae yl x 2x 3dr x xr2 10 Resposta 10 5V2 4x 13arcsen SHAE Resposta 10 G 5V om UL oda Vr1 241 3 Resposta 11 evry 2V12 12 ie u2xe1 Resposta 12 2 arctanhV2x 1 Exercicio 175 Resolver pelo segundo método de Ostrogradski Solugao dx x x 1 1 R ta 1 L 1 Gti pay Resposte Yar ai gine 4 9x 9 2 a x 2a 2 xr3 Resposta 2 a a re 2Lna2 2 2 arctanzx 1 3 ie x 14 15a 40x 33 15 Resposta 3 a ae 3B arctan 7 1 at at 40 2 x3 x 1 1 Resposta 4 Pa 1 Lnv2 1 77 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 x 2dr a 2 1 2 2 1 4 2x3 2 Resposta ante arctan 2Lma 2042 7 5 br dx 6 woR 3 1 Resposta 6 3 arctan x Woy gel ratl 7 soxae x1 120752 1 Resposta 7 6Ln 2a21 8 4x 82x dx x 1a 1 3a 2 2 1 R ta 8 Ln spots Co pan eer 9 324 4 dx x a 13 54a 10307 32 57 Resposta 9 eae arctan 7 10 x 1 dx x 1a 4 1 zi1 r2 1 Resposta 10 a2 12 dx 1 A arctan 2 W a 2 dx a 2x 28 32 1 3 18x 1 R ta 11 arc 1 esposta 11 Foo poeta 1g retanle Ca opp ae dx 12 lac 1 2 etl 1 1 Resposta 12 Ln esposta 12 3 LnlS 33 3G pa 9dx 13 OT 3 5x3 2x3 jae at 3 1 1 V3aV2 Resposta 13 4 Ln P 755 secaep talons 78 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 nd OR 14 ww 26a 240 29 a 4a 5a 4 x 2x 5 1 x Resposta 14 8a2 4 2a 4x 5 16 arctan arctanx 2 15 de x 2x103 1 ct1 3a 1 18a 1 Ri ta 15 tan SE esposta 15 Fie larctanS Sy oe ei0 2 bln lope 16 5 3a 6x 5a x4 de xv a 203427 41 3 7x 2x Resposta 16 ae 2221 3Lna Vx A Exercicio 176 Resolver por distintos métodos Solugao r3 1 dx Vu 4 Resposta 3 Va 4 3Lnx V2 4 2 veine 9 x Lg Resposta 2 2x2 glbn x 4 2 1 3 ete x1 x Resposta 1 7 a x 2x 3Lnzx 1 A x dx 2x2 3 1 Resposta 4 qln2x 3 5 x dx ok 74 1 Resposta 5 arcsen 2 a 6 x dx JVx 1 1 Resposta 6 3 Lala Vx 1 79 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II arctan 7 2 1d 4 x 1 L9 Resposta 7 zaretan 8 feo dx Resposta 8 1 yoar 3Ln4 a 1 9 du va 2 var 1 R ta 9 esposta inal 3 aah 10 Je 7 dx Resposta 10 te esposta ny 11 pe vate ae 2 Resposta 11 35 V a be 5ved 9 5Vve 12 Resposta 12 Ts ee dr 13 1 e 1 tte Resposta 13 spina 14 sexe bx dx 1 Resposta 14 b cosa ba 15 da sen Resposta 15a Lntan a 16 Jicos ax senax dx 1 Resposta 16 x cos 2a 2a 2 17 cos xdx Resposta 17 5 80 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II L 18 pe dz Resposta 18 cosLnz x d 1 19 3 Resposta 19 3 tanx 20 1 d 1 dx seny 2x 1 Resposta 20 cot V2z P V2 21 oo x dx Resposta 21 Lnsenz 22 Je cota 1 dx l 2 Resposta 22 5 Lafsena 1 x x 23 sen d J cosZsen x Resposta 23 5sen 24 ood dx x Resposta 24 5Lnsen 8 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 18 Revisao Capitulo I Miscelanea 11 ky Miscelanea 111 Determine as funcoes primitivas para as seguintes funcdes 1 cos x 2senzx cos x senx 2 cosa x cosa x sena x sena 2 Solucao 1 I cos x 2senz cosx senxdx costae sen2xdx 1 Jo sen4xdx x ri cos4a C 2 I eesa2 cosa2senaasenaadz coslat2aaldz 1 I costanae psen22 C Miscelanea 112 Calcular as integrais seguintes com a mudanga de varidvel indicada 1 Solucao 1 r SejatVrt1 Pl2 Ss 2tdt dz logo virl ee 1 1 2 Portanto J 3V 2 13 2r14C 2 a yl xax b x L L L n1Lnaz Resposta a a Enact be be b bn bn 82 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx dx 3 J Seja ta24 dt dz logo ls lS dt t Jenn aresen C arcsen C ax ra Portanto J arcsen C arctan C a 5 nm senx COs de 3 sen2x 1 1 Resposta J jn tan 2tan 3 qin 3 tan 2tan 1 241d 1 5 itijd 1 ava ax 1 x 1 2 1 1 2 x Resposta J garesenh Gvsce garctanh dx 6 Seja t V2r1 412r tdt dz logo rv 2x 1 2t dt 1 laa lum arctan t Portanto J 2arctanV2x2 1C Miscelanea 113 Verifique o calculo das seguintes integrais Jet 1 earctana Ln2 4 1vrrer 2 Jet 1 Be ee o dt 1 emrctane qi e 1arctanrC 2 H ee senz 4senx 1 2 2 Atan1 arctan C StanS1 515 V15 1 sena 4 senx 1 Sugestao AA msesna senz 4senxz 1 sena 4sena 1 e Ve 42e7e7 2 1 3 J Sa i n2 e Ve 44C 2e 2Ver 4 2 Solugao 83 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 114 241 709 Determine antiderivada de gx ae de modo que passe pelo ponto P0 5807 Solugao Resposta 3 6 3 6 V e150 24 5l 2 5 cvla Miscelanea 115 Se fx a fx e gx b gx onde a e b sao constantes positivas achar o valor da integral I t gx dx Solugao Por parteas te g x dz seja u fx e du gxdz entao v gx logo T f logvde flog e f eg ea0 esta ultima integral por partes u fr e dv gxdz logo v gx e segue I t gadx fxgx fxgx Paan I bf fa gx dx fxgx fxg2 fa Flagvae I Portanto I f fx gx de 5 F0 9 f gla Miscelanea 116 Substituindo tané o mostre a seguinte formula a fe cos bx dx 4 e cosbx 6 JV4P Solugao Pela formula 62 do Apéndice segue ax et I Je cos badx pp Osenba acosbxr C Sendo tané p send be cos logo a Vato Jee I ert cost dz wb senbx a cos br C Var b Va BP Va P 84 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II et I e cosbadx sené senbx cos cos bx C Var im 1 Portanto e cos ba dx e cosba 8 Va b Miscelanea 117 Sey fx ex fy mostre que t ax fw dyaxyC Solugao Sey fz dyfxdxe x fy logo r f fav f tyay Uf f wae fae fade x fa Portanto dx rw dy xyC Miscelanea 118 Seja a integral I pum dx onde v a derivada nésima da fungéao v qual é a formula obtida apés den integragoes por partes Calcule uma primitiva para a expressdao uv vu Solugao Resposta uv vu Miscelanea 119 Resolver por distintos métodos Solugao 1 dx ver 1 Resposta 1 2 arctan Ve 1 9 Ln2z dx xLn4x Resposta 2 Lna Ln2 LnLnz 2Ln2 3 e dx ver 1 2 Resposta 3 3 e 2Ve 1 4 r 8 ee n fe an sen cosa dx cos x 7 COS cosa 2 2 I 2cosx 5V cos 7 5 cos x 5cos x 85 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 oT W Seina t d 2 ad Seja x tana x sec ada sena cosa rVu 1 Jr 1 Vr 1 sec ada I cscata Lncsca cota tana Vtana1 1 cosa sena x I Ln Ln Ln ni sena cosa na 6 x dr V2 x 2 Resposta 6 v2 x 7 dx rV4 x Jd 72 Resposta 7 ve Ag 8 V1l2 dx 1 Resposta 8 5 Va az paresens 9 vere ae 2 Resposta 9 SV a x 5 Lnw Va x 10 de xr Vu 1 1 Resposta 10 arcsen x Var21 11 VE de x 1VJ21 Resposta 11 Vz 1 Lyf x 12 ae x Vu 2 1 2 Resposta 12 arctan v2 J2 x dx 13 x 7x 13 86 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 2x 7 Resposta 13 arctan posta 18 S arctan sec x tan x 14 dr Vsec x 4 1 Resposta 14 senhsec x 1b sec x dx Vtan x 2 Resposta 15 Lntanz tan x 2 16 r fie eB Pede fle ber 2de e e 20 C 17 cot ax dx 1 Resposta 17 cotax 2 a dx 18 1 cos x R t 18 1 t fanz esposta arctan P V2 V2 19 ae 3cos5x 7 Resposta 19 Lnsec52 tan5x esposta 75 Lulsec5x 7 anSx 7 2 20 ode Jr ae 1 Resposta 20 gltve aaLnx Vx a 21 de xV12 1 Resposta 21 V1 2 arctan 22 ae x 1Va 2 1 Resposta 22 Vx 24 Ln V2 2 arctan p V c V2 2 aS dx 9 23 4 cse2xdx 4 cot2x C senx cos x d Portanto 4 cot2x C senx cos x 87 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x dx 1 244 V1 2 dx V1 2 x 1 I arcsenz glev 1 x arcsenz xdx 1 Portanto farcsenr 7V1 x7 C S3 vi 72 2 25 J dx sejaxasecB dxasectan dQ logo x sons asec Btan 8dB a tax BdB a sec 1d8 72 a2 72 72 I altan86C 7 a arctan C a a 72 2 Portanto J Vx aaarctan C a 26 oo 3 dx Sejau5223 du 10zrdz logo a52 3 dr yf w 1c 10 80 1 Portanto oe 3 ddr 39 38C 27 J ecosta 3dz Sejau273 du 2zxdz logo 1 1 x cosha 3dx 5 coshu du 5 senhu C hx 3 Portanto veosha 3dr senha 3 C Miscelanea 1110 As seguintes integrais requerem aplicagao de métodos estudados resolver cada uma das mesmas Solugao t 1 1 J i dx Sejauarctane dudz logo 1 2 14 2 t 1 pa fae furdu su c 1 2 2 88 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portant I Po d L tan2 rtan dr arctanz ortanto Tag de plarctane oT lence de Sei t sg 1 de dz Seja u arctanx u sdzx logo 1 x3 lta S t 1 1 P Edu fu senucost udu ju0osu 5 f cos udu 1 11 I qu cos u Te 1 2cos2u cos2udu 2ucostuut Qu 35 f 4ud u cos u u sen2u cos4udu 4 16 16 32 1 1 1 I que cos u 35 qesen2u Tog sen4u C t Resposta 2 x 4arctanr 2 arctane esposta x 4arctan x arctan x P A1 22 8 81 22 1 3 P f invitee de 5 fina 2 de 9 2x Sejam uLnlaedvdr duzdt v2 12 1 9 2x I Ilnv142dx abn1 2 sdr 2 1 2 Ln1 27 2dx 2 ax Ln1 2 2x 2arct 5 een x Xx Tp gett 5 ln x x arctan 2 1 Portanto uw 12dr gthal aaarctanz C 4 a x 1 1 V3 2V3r1 1 Resposta 4 arctan Ln arctan2x V3 arctan2x p 5 Fal ge glavectan2n v3 v3 5 ott Fe te 89 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II l 2 2 Resposta 5 5 Ln1 2 6 x 1dxr x 1 1 24 Resposta 6 7 x dx x senx Resposta 7 8 sxcseny dx 1 2x 1 Resposta 8 gVt x 5 aresenv2 9 few z cos ve sens de cos x Resposta 9 e x sec x Miscelanea 1111 Calcular Jo 2dx sendo y x2 24 0 Sugestao considere y tz Solugao Suponhamos y tz como y x 24 0 logo v3 a2 a270 P12 r10 dx3tdt T fytade fot1de 3 aes a eat 1 1 1 1 T3t 0 Pdt 3at t 6 0 OE FBO dt sit ot oth atl t 2 fat 7 28 288 2 ae 2 3 To Ft H2 1 28 6 28 2 Miscelanea 1112 Resolver por distintos métodos Solugao L oT x dx 1 dx 1 du 1 u fe aresen Jat x4 2 a2 x 2 a2 yp 2 a2 x dx 1 x IT ls greens C 90 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 T eog2 2 J van8G secl de See pweSte 3 3 cos43 cos43 sen sen x x ee com 2 TEBE 3 sec3 T SE ar cotaxseclarde 1 f cotar seeard ar seeax dz cotaxsecaxdx cotax secaxdax secax sen2ax a a Vt d 2 4 r fers Vian sec de VtanxC COs 3 5 cos ax senax de senaxr cosh x 6 J othe dz dr Lnsenhz C senhx dx 7 ae 8 esente 3cosh 5xdx 9 dx senhz cosh x xv dx 10 r5 UL senx cosx dx cos x senx 12 e Sw xcos xz xcos xz 13 poeta dx 14 a 3 15 wt kk zrt1 16 tt aLns 17 eS we sen3x 18 po cosx dx 91 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 19 de Va3 1 x dx 20 2 ic Qu a 1 1 sen4 21 oa dz senJ 99 ede V1 x4 93 sec x dx V4 tan x 24 tan ax dx 95 de cos 3 26 dr x x dx 27 x22 28 veda senx 29 Pe conde dx 30 senx cos x dz senz cos x 2 31 l2dzx x1 2 5 3 32 dx V4 3x d 33 a e 1 34 Ee fM soc 7 dx d 35 ee senax cos ax 36 eda Vez 2 92 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 37 x4 Lnx arccos 38 dx V4 x arcsenz x 39 dx V1 2 Qu 1 2 1 2 40 3 dsen2z Ln V5 sen2x LC 4cos2x 2 5sen2x 45 V5 sen2x atghx dv gtgha 4 T 5 3sech fama hx C cosh w pe sechrdx tghx a3 Miscelanea 1113 Mostre a seguinte identidade I ls 2 y 232 4 Ve P20 2 2 13r 2Ve F140 Vit24V7xr41 15 15 Sugestao Multiplicar o numerador e denominador pela conjugada do denominador Solugao qT I x dr See 5 emse OCT SY TY Vrit24Vxr41 Ja 2 vx 1 I fovexde ove4T de Pela formula 46 da Tabela de integrais 2 2 qplise 424 x3 piss 214 23C 2 2 I qplise 42224 23 7p lise 21a2V424C Miscelanea 1114 Deduzir as formulas de redugao das seguntes integrais Solugao 1 1 x 2n3 1 lL l a 5 x a oe On 2a t 2n 2a x a 1 1 f 2 a 2 IL edt fe At J I 14 x a Ye x a oe 2 14 1 x a 1 1 1 x onde n5 ateea ape b ceeapte ota integral por partes 93 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sej logo du da ed dr enta eja u 2 logo du dx e dv dz entao v assim 6 x a2 2n a2 a2 1 x x 1 dx h ae 1 S CS a J x 4 a 2an 1a2 a1 a J 2n 1 a a1 Em 14 1 2 2 1 d naa ws a 3 ee 5 a J x 4 a 2an 1a2 a7 a J 2n 1 a a x 1 2n 3dx Portanto I oma 2an 1a a1 a 2n 1a ar nl1ly 2 JI sere eee i senza n n I sos senrdrz cosxsenx n 1 sows cos xdx I cosasenx n1 sen x1 senxdx I cosx sen ax n1 son 2a n1 sortede T1 n1 cosaxsenx n 1In2 n1 Portanto In eee ma n n dx senx n2 dx 3 Tn ee qd cosx n1cosx t n1 cos 7 d sc xdx score sec xdx cos x I tanzx sec a n 2 one sec x sec x tan xdx I tanx sec a n 2 sco x sec x 1dx In 2 I senz sec x n 2 sco xdx d 2 d Portanto JI ae foe cosxz n1cosx n1J cos 2 4 I eretay ae oredr O4 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 1115 Resolver por distintos métodos Solucao r3 x 3 lL f dte de dt Formula 32 ls Vaz 4 Vu 4 I V2 44 38bLna V2 44C L 1 L 1 2 rm EE ae dee ae ayet Sins x Jr x 2 4 2 1 3 3 p fT ea lta poe 4 24 ae z1 z1 4 3 I ty ta 20 3Lne 1 xdv 1 4xdx 1 fd2z73 1 9 4 hn2 3 eS i aes i meg 7 gener 3 xdzr 1 2x dx 1 d2x7 1 Lo 5B P Se Oe ff arcesen C Jat x4 5 a22 x2 5 a22 a22 2 6 x dr Vx 1 1 Resposta 6 3 Lala Vx 1 arctan nf 1 Ly9 Resposta 7 qaretan 8 feo dx Resposta 8 1 yess 3Ln4 azt 1 9 dz va 2 vat 1 R ta 9 esposta wl 3 Tal 10 Je 7 dex Resposta 10 Le esposta 7 P 2n7 95 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 11 eva ae 2 Resposta 11 35 V a be ve 12 pS de Sx 25ve R ta 12 esposta Ins ee dr 13 1 e 1 tte Resposta 13 sla 14 sexe bx dx 1 Resposta 14 5 cosa ba 15 da sen Resposta 15a Lntan a 16 Jicos ax senax dx 1 Resposta 16 x cos 2a 2a 17 cos x dx R t 17 x 4 sen2x esposta P 9 4 18 peo de x Resposta 18 cosLnz x dx 19 3S x I 2 Resposta 19 5 tanx 20 1d 1dz sen 2x 1 Resposta 20 2 cot V 22 P i 96 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 21 oo x dx Resposta 21 Lnsenz 2 I 2 21 2 22 I cota1dv 5 cota 1da 5 basen x 1 x x 23 d J cosZsen x Resposta 23 5sen 24 oot dx Resposta 24 sLnsen 95 senx cos x dx V cos 7 senx 1 Resposta 25 5 cos 22 26 fe sec5 dx 3 3 Resposta 26 tan 4 8 senax Resposta 27 esposta P 4a sentax Vtan x dx 23 Ye cos x 2 Resposta 28 3 tan x 2 29 cosan senat 7 senax Resposta 29 Inftan5 2senax 30 otha dx 2 Resposta 30 5 cosh 5a 5 senha dx 31 senhx Resposta 31 Lnftanh5 97 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 esente 3cosh 5xdx Resposta 32 dx dx 3300 JF 2 L h2x ctgh2 C lax laa nlesch22 ctgh22 edx 1 dx 1 xt 344 T aatctan C SS en 205 re x 1 1 Ax 4 1 f dr fe dr fr 4 1 38 e dx if woes de Flair 40 1 1 36 aS de x cos x Resposta 36 Lna cos 2 2 37 Je e dx 1 2 Resposta 37 5 dx 38 ver Respostia 38 esposta Pp Jer x 1 x 12 x12 2 39 T dr ot 2 1 d ion x 1 x ic x 1 eal 3 2 Portanto J 5 a 2Lnx 1 dx 1 40 J 7 Seja ubLhnr du dr du dz logo u Lnx 1 x Leu u 1 Portanto Luz AL SE dz sen3x 1 Resposta 41 3 LLnsec 3x tan 32 42 a cos x dx 1 Resposta 42 V2arctanV2x Tn 1 98 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 3 1 3 3 1 2 43 r f SF fF Sy ep Voe1 38 VWo31 3 2 2 x dx 4A 2 me 1 Val 1 R ta 44 a esposta im 1 sen4 Pose a senJ5 x Resposta 45 2Lntan posta 45 V2Laltan x dr 1 dx 1 46 r f f pacoone C Vliat 2 1a 2 47 sec x dr V4tan x t Resposta 47 aresen 1 48 iw ax dx secax 1dy tanar14C a 49 oe cos Resposta 49 a Lntan Lntan esposta a an5 ah V1IL 50 p dz x Resposta 50 iv 1 Ln x dr dl xr 2 1 xvV2 Resposta 51 Ln p Ta CS Ja xdx 1 dx 1 1 52 1 25 5 macs 5 escutu 3 Luneseu cot u 1 1 1 2sen 4 1 2 T Shn in 2 Sinltan 2 senu 2 2sen 5 COS 5 2 2 53 ec ssonze ae eo 2oone cos xdx eePratventr errt oC 99 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 54 p fe le Oe de Lnsenz cos x C senz COs x senx COS x l22 dex 1 2 550 T a 2 Tal Lnz 2arctan x 5 3x 56 dz V4 3x 5 rV3 Resposta 56 arcsen p zaresen 5 d d 57 f So SS nase e ev 1 le Miscelanea 1116 5a 12d Calcular a integral I oom Solucao Podemos observar que x 6x 13 tem raizes complexas de multiplicidade dois I 5a 12 Az B 4 CaD ta ogo 2 5 entao 8 6r132 26r13 6rt 13 5a 12 Ar B2 6r413CxD 5x 12 Ax 2B6A21346BCD13B A0 5B C30 DT7 Assim I Or 5 4 302 77 d i Xx x6r413 a 6x 13 1 152x 6 13 i q d yee v ee 5 x3 15 1 I arctan 13 d g ran D2 br FB war Seja x 32tana dxr2secada x32 4sec a logo 1 2 sec a 2 1 a2 62 13 l6secta 16 es ee FG cos2ada 1 1 1 1 3 24 3 ig gsen2a ig sena cos a 16 arctan aaah Voltando a integral 2 2 z6r13 16 2 x 64 13 100 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto 5x2 12 dax 13x 159 53 xr3 I arctan C 2 6r 13 82 6r 13 7 16 MAN t Miscelanea 1117 d Considere a equacgao 7 yax1 onde y fx determine o seguinte x a Uma solucao geral dessa equacao chamada equagdao diferencial b Determine a solugdo y fx que cumpra a condicao inicial f0 4 Solugao a Seja y fungao de varidvel x e consideremos a fungao implicita Fx y ye derivando d F implicitamente em relacgao a varidvel x temos que Fx y iL e ye x Com esta ideia podemos escrever a equacao original na forma dy dy e et e e 1 d d It 4 1 de e ye ex 1 de onde resulta de ea 1 De onde cc e few 1ldxre yre Jews 1dx Portanto uma solucao geral 4 equacao é ye ec 1dx Solugado b Como ex 1dx x e da solucao geral temos que yfreeC fa244Ce onde C R é uma constante de integracao Em particular quando x 0 temos que 4 f0 0CeC C4 Portanto a solucao particular 4 equagao é y 4e Miscelanea 1118 O prego de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo Quando o carro tiver x anos de uso a taxa de variagao de seu valor sera 200x 9 reais por ano Se hoje o carro fot comprado por 12000 00 reais qual sera o custo do carro dentro de cinco anos Solucao Seja Cx o custo do carro a taxa de variacgao é Ca 200x 9 logo ea 20 9dx 100x 9 K Cax K constante 101 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo o preco de revenda e Cx 100x 92 K Hoje acontece quando x 0 logo C0 1000 92 K 1200 de onde k 3900 Assim Cx 100x 92 3900 Dentro de cinco anos x 5 e C5 1005 92 3900 5500 Portanto dentro de cinco anos o custo sera de 5500 reais 102 01012023 Capitulo 2 21 Somatorios Exercicios 21 ky Exercicio 211 Escrever os seis primetros termos das somas dadas Solugao 1 Ce ee ee re ee ee 5 4 k1 06253054055 6 78 9 10 k1 20 2k1 1 35 7 9 11 138 15 17 19 Al 2 SH N se aH 4 ey Hy egy eg eg ep eg sg Se d 3k 42 258 hn ia i 20 23 26 29 6 10 k2k3 2 3 6 11 18 27 38 51 66 83 8 Say F 4 ey ey gy ey Sg Fg De 722 3715679 lol 137 172 QU ak av a a 4 1yi qg 4 4 7h e7 ete ats et a3 39 27 81 243 729 5 a a 25 o47 e876 327 30 6 S senkm senm sen2n sen3m sen4m sendm sen6m k1 103 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ee 3 3 3 3 3 Ln Ln Ln Ln Ln Ln 7 n Ln La5 La5 La Ln 5 hk 1 4 9 25 36 8 4 Lea 273 6 7 Exercicio 212 Determinar uma formula para cada uma dos seguintes somatorios Solugao LL SS V2i1V2i i1 S v3 V1 v5 V3 V7 V5 V2n FT V2n Portanto 5 v2i1V2i1 V2n11 i1 4 1 1 2 ee a 4k 34k 1 i in 7 se fff 2 fy 5 5 9 9 13 4n3 4n1 4n41 4 4n Portant S one Gk ak 1 4n1 100 k 100 3 SS Inf SLnk Lnk 2 k1 k1 S Ln1Ln3Ln2Ln4Ln3Ln5 Lnn1Lnn1LnnLnn2 S Ln2Ln3n44LnnLn3Ln4 Ln5 InnLnn1Lnn2 S Ln2Lnn1 Lnn2 quando n100 SLn2Ln101102 100 k 9 P Ln Ln ortanto S nly i 5 Toi 402 2 kk1 14 fl 1 1 a a ee DAK Bi 5 k kyl 2 1 1 1 1 1 1 1 1 99 l1 8 8 re k s13 a ba te fpma tL 104 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II yg1 41 flow 1 1 mel 2L14 7 nl on 1 1 Portanto S1 In2 gQnrtl k k 5 S SOO Sh Dey FER TO y ED Aplicando fragoes parciais n 1 3 n n n i 2 3 1 1 1 3 1 ge 2 4 4 2 ff EQ WP vette teal bra Pls es k1 k1 k1 k1 n1 n n1 1 1 1 3 1 S42 Ly Dept ies 5 LED n1 n1 nl 1121 1 2 1 2 3 1 38 1 3 1 2 458 4749 oy LE a 4 63 5 raat F423 nD Dad 2n42 2n3 n1 1 1 2 2 3 3 1 3 1 Sn a dy 1 6 3 n42 w2 Xnray tbat DED 3 4 3 3 4 12 2n2 22n42 2n3 nn 1 Portanto S ortanto n 2n 3 Pooky 3k Mook 3k 9 royk 324 737 6 sS D ata shlal tele 7 k1 k1 k1 k0 k0 2 12 3 13 2 2 3 337 Sal 45 8 F 4 1 F S 2 6 12 6 13 Gt GIF EG 35 1 n ln Portanto S 533 2 7 s y 1 VR k Vko Vk 1 s pala val aval lava a el V2 v2 v3 Lv3 V4 n1 Yn vn Vn1 105 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto ga vette tT VYn1l Lnf12F1 k n 1 1 8 ga 57 ms A ye ee A LnkLnk 1F 4 LnkF Lnk 1 s 1 f4 Lyf 1 Ln2 n33 Ln3 Ln4 Lnn Lnan1rt 1 1 Portant S one 2Ln2 n 1Lnn1 eK 2 Crek2 fer 2 ef1S 214 9 S 4 2 7 37 4 oN SSP eS L ee G Ee k1 k1 k1 3 e 2 1 S Tl 1 slh 1 50 G Portanto 1 1 2 ortanto 3e 3 3 1 lw 1 lw 1 1 10 S CO OU a eee S sepesi 2 Sees 2b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ler oerr eee S 5 gi tls gith 5 E ned ti np n P ortanto S tin 2 1 lo 1 1 1 1K 1 11 cx m0 OO ww paq3h papa 3 sg ee k2 k2 k2 k2 roo ree 4 S 5 po a ee k2 k4 1 weil 1 1 1 25 1 S 5 dp Ei tatael k2 k2 3 2n1 P o ortanto S 1 Inn 1 12 S BRT 7 B hap eB LER k1 k1 k1 k1 k2 1 1 1 1 51 SL op Pp n 1 n 1 k2 k2 106 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Portanto S nn 2 n 1 e 3sena cos a ek 3sena cosa 13 8 e ge De k1 k1 k1 gue 13 3sena cosa 1 sena cosa 3 13 3 1 sena cosa 1 1 sena cosa Se 2 NE 3e sen2a 2 sen2a Portanto el5 1 sen2asena cosa 1 e3 sen2a 2 16 csc ka 16senkx costkr 14 S 16 cos k cot kx sec kx senka cos kx mone S4 Soll cos2kx S 6 8 cos2ka 2 cos4ka k1 k1 S S 6 4 42het 4 7 2ket 4 Cua 4 etki k1 S S 6 4 42 4 Ae 22 4 e47h 4 e4 k1 jJe e2nxt jJ en 2nat einai jJe e4nat 221 22 Axi Axi S 6n de loom 4e loom 1 loom Te Toes S6n4 em De 4 ete sennx 4 err Dei 4 ent Dea sen2nz senx sen2z S6n 8senna cosn 1a 4 2sen2nz cos2n 1x senx sen 22 e sen2n 1x senx 2sennx cosn 1x e sen22n 1x sen2x sen2nx cos2n 1z S6n Asen2n 1a senz 4 2sen22n 1a sen2z senx sen22 6n1 Asen2n 1a 1 Asen2n 1a cos2n 1a senx sen2z 1 15 S S cos3kaz Considere cosa gle e onde i V1 Por outro lado k1 1 e e2 e7 2 2 2iesen2assim 107 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II LO skei ake LW 30k 3kiyk S5 le e 5 dK e eo k1 k1 f1 esent f1l e 3ent 3x 3xi 25 e e a esti oi Ai i eo 8ti ep Se OS 25 Se asa ae oes sJ ee e2 e 2 e2 e 2 e2 e 2 29 pugs a Le nt 4 a 5 sen sen 25 sen 322 Ocos 3n 1x 5 ge 2 cos 32 sey 3ah cos 3nte sen32 2 2sen 3 cos e senA BsenA B 2senA cos B gg 08 2sen3n 2a sen2x 2 cos sen3n 2x 2 cos sen3z sen3z 2sen32r Portanto S sen3n 1x sen3x sen3x 2sen3z 25 6 2 6 261 6 1ar 16 S sy 2p 107 y 100 Dl ioe 100 Siok 00k i Toe 1007 k1 k1 k1 10 100 25 1 6 1 275 10 6 1 pnp p 9 19 90 100 99 10 99 19m 269 27510 6 Portanto ome 99 99102 17 S sen 2a k1 Resposta 17 tan 2z 1 sen2z S ok d R 18 S Br em geral para todo x K temse k1 he dina d 1a7 k1 k1 k1 n J a797 Lyeon2 eo 28pl yoni 127 k1 108 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II tnljat nae 2 c quando x 5 54n15tn5 1 nl on S es 5 51 160 Beat Bel 5 4n5 Portant S ees i6 166 19 S 5 sen5k 2 k1 Resposta 19 55 cos 55sen5n x senz 4 sen55 cos5n a cos rl 413 5 cos 5 413 5 cos 5 20 S k P kat ae ay ate LY dx dx 12 k1 k1 k1 2 a n 1a a2 S ho 12 n3 1 n2 2 Portanto sg e ban e x 1 21 S S k 2 em geral para todo x R temse k1 aw ld 1d 1la kok k k1 7 ky oN rae nda 7 k1 k1 k1 srk kal L n 1a p2 x 1 2 quando x 2 segue 1 f11 n 12 2 24 kok Xe NE ME 2 iP k1 Portanto S 2n12271 109 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 ix 1 1 22 S yj 344 10k P 0 sera 1 nl 1 1 n1 1 S 10 24 5koi 10 24 Bkoi k2 k0 n1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 S aro oro 10 5k1 10n1l0Gn4 101 104 10 5k1 1 1 1 1 S 105n1 105n 4 101 104 1 1 Portant S 4 ome l05n 4 105n1 40 23 S cos k1 Resposta 23 cot 32 1 cos 32 13 2 24 SS V34al V3e0 pee 1344 3 3 n Portanto g V2 telvGe U V3arz1 Exercicio 213 nn1 Determine a validade da igualdade S Ln 2 37 Ene Solucao kl A igualdade é verdadeira Observe k 1 2 3 n 19203 n nngiy2 Rn 1 Ln2 Ln2Ln2Ln2Ln2 Ln2222 Ln2 7 bn2 k1 Exercicio 214 ky 1 Mostre que a formula é evidente mse ae Solugao Exercicio 215 1 n n n on SeX SX4 mostre que X X 3 XZ X YO Xp M1 k1 k1 k1 Solugao 110 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observe S X XP S X4 2XxX X7 k1 k1 S S0Xi 2X 0 Xn SOX SOK 2K SX XK k1 k1 k1 k1 k1 SS0X 2X SO Xe KX nX SOX e 28 SOX XK SOX k1 k1 k1 k1 k1 Portanto SUX X SOX XS X k1 k1 k1 Exercicio 216 Determine o valor dene N se we k Silk k k1 k1 Solugao Temse 2 2 2 nn 1 k1 k1 k1 k1 Portanto n 3 Exercicio 217 1 Sejaa 1 mostre que S Soa quando n oo la Solucao k0 n n n1 Suponhamos que S S a isto é S 1 S a 1a S a logo k0 k1 k0 i 1 La Sn 1 a n na alSoa a 1aSa loa k0 Comola 1 lima0 N 0o 1 Portanto Spa S a Toa quando n co Exercicio 218 Nos seguintes exercicios expresse as dizimas periddicas dadas como series geométricas e em seguida expresse as somas destas ultimas como o quociente de dois intetros 1 0 6666 2 02323 3 007575 4 021515 Solugao 111 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 66 1 66 1 6600 2 1 06666 066 00066 066 1 00 100 100 00 t 99 9900 3 23 1 23 1 2300 23 2 0 2323 0 23 0 0023 0 23 1 eo tO 100 100 00 t 99 9900 99 75 1 75 1 7500 25 3 007575 0075 0 00075 075 1 s 1000 1000 1000 t 50 99000 330 21 1 1 515 21494 10747 4 021515 021 000515 0515 21 ents 100 t 100 00 r 999 99900 49950 Exercicio 219 Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada més ele deposita P reais em uma conta especial para a aposentadoria Esses depdsitos sao fet tos mensalmente durante t anos e a conta rende juros anuais de r Se os juros sao capitalizados mensalmente o saldo A na conta ao final det anos é r r r r AP4P144P11 Pa41 PUS P0455 Syla 54 Se os juros sao capitalizados continuamente o saldo A ao final de t anos é A r r 12t1r Ple 1 P Pe Pe2 P e es 7 Use a formula para a nésima soma el parcial de uma série geométrica para provar que cada uma das somas acima estdé correta Solugao Exercicio 2110 Uma bola jogada de uma altura de 6 metros comeca a quicar ao atingir o solo como indica a Figura 21 A altura mdzima atingida pela bola apds cada batida no solo é igual a trés quartos da altura da queda correspondente Calcule a distancia vertical total percorrida pela bola y 6 4 2 0 Tempo Figura 21 Solugao A bola teve um percorrido no primeiro instante da queda de 6m 3 Logo a bola percorre para subir 1 6 e para descer 0 mesmo 112 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 39 Nesse processo logo a bola sobe 7 6e para descer 0 mesmo Segundo com este processo ate a bola ficar queta percorreou uma distancia D metros isto é 3 35 33 35 D6266466 quando n oo 4 4 4 4 18 3 83 3 3 D or 2 224 28 Eee 2rd 6 5 54 4 9 n oco 13 D649 T D45 quando n oo 4 Portanto a distancia vertical total percorrida pela bola foi de 45 metros Exercicio 2111 Mostre que S Lnk 1 Lnn 1 k1 Solugao E imediato S 5 Lnk 1 Ln2 Ln3 Ln4 Ln5 Ln6 Lnn 1 k1 S Ln234567n1 Lnln 1 113 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 22 Calculo de Area de uma Regiao Plana Exercicios 22 ky Exercicio 221 Determine a drea da regido D limitada por y 2x7 0 eito x e as reta x 2 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area a ser calculada encontrase na Figura 22 A area do conjunto D é dada pela integral ii 9 y 2x 2 22 16 io D 2adx 3 lo 3 2 x 0 Ll we 16 x2 Portanto a area da regiao D mede 3 u Figura 22 Exercicio 222 Determine a drea da regido D limitada por y 3a 0 eizo x e as retax 1 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area do conjunto D é dada pela integral 1 3 pit 3 D 3adx 0 u D9 lo 58 0 Exercicio 223 Calcular a drea da regido D limitada por y x 0 eizo x e as retasv 1 ex 2 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area do conjunto D é dada pela integral 0 2 7 1 9 1 1 D 23d 3d 0 w saes otae 7 1177 Io 1 1 0 114 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 224 Usando somatorio calcular a area do trapézio isdsceles de bases B e b de altura h Solucao 1 Resposta 4 5B bh Exercicio 225 O grafico de fx 2 x e o eixo desde x 2 até x 2 formam um triangulo Utilizando somatorio achar a area desse triangulo Solucao Resposta 5 4u Exercicio 226 Para cada um dos seguintes exerctcios desenhar a regiao de integragao D e determine sua area limitada pelos graficos de Solucao 1 r y0 7 er y cosa 6 a 2 3 5 1 1 Temse a drea A cosa senz sen sen 2 2 6 2 6 ov 2 yarctanz y arccos Y 0 Solucao Observe que yarctanz xtany ov 2 arccos x cos J 2 3 rd 3 Se 76 bs 2 yarceos tS Area IG cos y tan ydy ee 0 Bl ihiipiiavirersmeciegee Srektaits 6 eh et 2 n6 ae oN Area seny Lncos y at x 3 0 a 1 3 B Area in3 3 2 3 yatac0 y2y0 115 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 A area e dado por A fydy porém escrever x em funcao de y nos leva a resolver 0 a equacao x x y 0 isso é tedioso Podemos resolver de outro modo 1 3 1 lg 5 A base altura a xdx 12 a x 4 2 lo 4 0 r 2 4 Y Tye Yaa ta Loe 5 j 1 7 P 2 1 1 2 h A 2 A Figura 23 Figura 24 P o2 Pond a 2 Lue 2 Lue 2 Lue 2 A dz d dr me me o f S 1 0 1 Pond a2 1 0 A x arctana 5 Lae DI ee ru 0 1 1 1 1 5 Al 5 bn2 l 5 bn 1 arctan 2 gba 1 1 8 Portanto a areamede A1 17 arctan 2 3 hnz Figura 23 5 y3r2 y 2 2 2 2 2 2 2 a A 8a 2 a axdx 4a 22dx 2x 7 3 3 0 0 0 8h Portanto a area mede A 3 Figura 24 6 ya 4 422 y0 x 0 116 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 4 2 22 2 x 1 x 1 2 A dzr 4 5dz arctan Ln4 tam tt Jig Tym lde 5 arctan 5 5 n 2 0 0 Portanto a areamede A Ln4 Figura 25 Figura 25 Figura 26 7 ytanz y0 ras x0 3 3 Temse a drea A ow xdxz isect 1dx tanz x ys 0 0 0 1 n 33n A tan ans 3 3 3V3 Portanto a area mede A tan nee Figura 26 8 yarcsenz y arccosz c 1 Resposta 8 5 V2 9 9 yLn2 Ln4 re Resposta 9 4e Ln4 10 y4LInx1 yLnx 1 x 0 Resposta 10 2e 3 2 ll ytanz7r0y 3 Ose Ri ta 11 E Ln 2 esposta Ln p 3 Fa 12 ya22r3r2r0 y0 22 Resposta 12 z 13 xer0 y0 Ln4 Resposta 18 3 117 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Figura 27 Figura 28 140 y2327 42742 y 22 4r 42 2 2 Temse a drea A ie 30242042 1 4042edz o85062d0 s 0 0 1 5 2 1 5 8 A 2 223 30 16 28 34 Gat 30 82 G06 318 314 5 8 Portanto a area mede A 3 Figura 27 37 R ta 14 esposta Th 15 yeyex1 1 Resposta 15 eU e 16 yx0y20ry20 1 0 Temse a drea A fie y ydy fie yydy 0 9 1 3 1 1 1 9 49 A 2y y 2 a 2y Sy sy 2y sy avy 2y sx 3 a 49 Portanto a area mede A Tp Figura 27 17 y92y241 2 2 2 2 Temse a Area A lo x1dzx 620te 8x4 5 2 2 2 32 32 64 A SS9 18 y2r42xy1r70 y0xr2 Resposta 18 19 yaua4y2y82 Resposta 19 118 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 20 ye2yta0r143 Seja A a area pedida entao 2 3 A re 2 adx ie 2 adx 1 2 1 1 2 1 1 3 7 3 19 5 A x 2 20 73 4 z 2 LG5 222 52 5 2a Ge 52 5 5 tAtS 5 32 Aa d dreamede 3 210 yVvV23yr1y0 3 Resposta 21 3 bs 22 ysenz sex 0 2a y a2 x 27 Resposta 22 4 2n 93 yo ea p 3 23 y0 Y 2 16 c Y Seja D a area a ser calculada entao 2 4 r 2 4 2 2 4 3 2 4 xr xr xr xr D dy eat t att aay P16 3 2 0 2 Pela simetria da regiao a calcular 2 2 4 2 4 xr xr D2 dz 2 dzr lass leas 0 2 12 x Ay 12 xA4y 3 a GSE SD say a 4lo oa ny 44 le 9 Portanto area D 2 3Ln 24 yarcsenz y arccosxz 0 Resposta 24 V2 Exercicio 227 Determine a maior drea da regido D limitada pelas curvas x 2y 0y 3 x sy 0 Solugao 16 Resposta 5 572 119 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 228 Determine a drea da regiao D do primeiro quadrante limitada pela elipse bx ay ab Solugao b A fungéo que descreve a elipse no primeiro quadrante é fr Va 2 0 a x a Seja A a area pedida entao b b 9 x 1 A Va dz rVa 2 4 aresen rab a 2a alo 4 0 1 Assim a area pedida mede gma Exercicio 229 Para cada um dos exercicios seguintes determine a drea da regiao dada limitada por 1 y2 xr0 xr2 y0 8 Resposta 1 3 u 2 y427 y0 32 Resposta 2 3 u 3 y2r eixor r0 e r4 32 Resposta 3 3 wy 4 y2 y4 32 16 Resposta 4 3 wy 5B 6 6y2 cl v1 eoeixor 1 Resposta 5 5 wy 6 yrx1 r3 r8 eoeixor 2385 Resposta 6 TT wy 7 y4ar oeixor r4 e r4 42 se rt 0 Temse y42 w4 e r4 42x se 0 Seja A a area a ser calculada entao 0 4 1 0 1 4 A rayae 2a0 44 5 4a 5 16 4 0 4 0 120 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 8 y 12 x2 x eixo x x 3 e x 2 Resposta 8 305 6 u2 9 y 2 x o eixo x x 4 e x 4 Resposta 9 4 u2 10 y mx m 0 y 0 x a e x b sendo 0 a b Resposta 10 mb2 a2 2 u2 11 y x2 2x 1 eixo x x 1 e x 4 Resposta 11 13 2 3 4 u2 12 y 3x 3x2 4 3x3 eixo x x 0 e x 1 Resposta 12 1 6 u2 13 y cosh x x 0 x 1 e y 0 Resposta 13 senh1 u2 14 y cos x x π 2 x π 2 e o eixo x Resposta 14 2 u2 15 4y x 42 4y x 42 4y x 42 e 4y x 42 Resposta 15 64 3 u2 121 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 Significado Geométrico das Somas Inferior e Superior Exercicios 23 ky Exercicio 231 Determine quais das seguintes fungdes sao integrdveis no intervalo 0 2 e calcule a integral caso seja posstvel Solugao x see Oal L fe xa2 se la2 2 1 2 1 61 2 I J toae odes e200 5 sx 2 0 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 0 x see O0a2l 2 f xa2 se la2 2 1 2 1 1 2 I oa odes e2a0 5 sx 2 0 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 0 3 fxja r 2 1 2 14 1 9 e le Ide ade w Ide 50 51 3 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 3 Exercicio 232 Para cada um dos seguintes exercicios calcular a primeira derivada Solugao 2x 1 Fx cosnize 1dt Fx cosh22zx 12 2cosh8x 1 1 122 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Fx om Px OS 08 arcsent arcsensenz x r pf dt f dt 3 Fxr pdy Fr 7 rec y 7 le 2 5 5 ae f pSen 4 Fx cosy 4 dy a2 dt 2 2X rise thal Ipc 7 cos V 1 soy t 1 sen x 0 x y 5 Fx sen tf sent q a 0 0 x y x Fx cos f sent q a sen sent q 0 0 0 Exercicio 233 f2 dt senz Sejam Hx p gt dt Ln1 cosa calcular Hx gx1V 12 v2 Solugao Como Ln1 cos gt dt entao V2 Ln1 cos2 snr snr Ln1 cosx cosa gsenx cosx gsenx dx J 1cosaz J sena sena 1V1sen2z2 gsenz cos r1 cose gsenz sen zr rs y x de onde 11 y ou gz1 V1 2 logo gly A Vly Jie gla ovicn FQ ate wi 1 gx1122 f2 f2 123 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 d x 1 2 1 Wa a Sal 2 ee dx 12 x V1 x28 Vi 1 Portanto Hx 7 veV1 x Exercicio 234 2 t dt Seja Fx Tee calcular Fa x3 Solugao Seja a uma constante compreendida entre x e x x x t dt t dt x8327 x 2x Fx Fx 7 Je S Toe 7 Qe13 3770 Assim F x 1428 Tq Exercicio 235 cx Gx 2 dt calcular Gx e G 2 x241 Solugao Seja a uma constante compreendida entre x7 1 e 2 2 J p x41 xete Gx 2P dt 2 dt Gx 2 2x 24 Qa 1 2x 1 2 Logo G saya 7a Por outro lado para o cdlculo de G x Gx 2 2x7 2a 12xLn2 249 2 4 2 Qa 4 12a x 2a 1Ln2 2 2 Gl ax BY a 1Ln2 Qe 5p 2142 D7 4 1 a 2Ln2 4 Qi a Exercicio 236 Se Fx oe 1dt calcular F2x g2 Solugao 124 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Temse Fx foe 1dt logo para a entre e e x 2 e x Fx o idte e1at e x Fx Je 1 dtxree 1 foe 1 dt 2a72 1 Portanto Je 1dt2e e 22 22 g2 Exercicio 237 g22 Seja Gx ft dt onde f I R uma fungao continua e as fungdes gx derivdveis 91 go J R Mostre que Gx fgox 95x fgix gi 2 Solugao Seja a R fixo tal que giz a gox entao g2x g2x a Gc ft dt ft dt ft at gix a gx g2x g2x gx Go f fat f peae feat gx a a Pelo primeiro Teorema Fundamental do calculo para integrais Gx fg2x 9 fm2 2 Exercicio 238 x x t Mostre que se fx continua entao toe tdt f roa dt 0 0 Lo Sugestao Considerar Fx to x tdt logo Fx to dt 0 0 Solugao 125 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja Fa roe tdt entao Fx lero tftdt logo 0 0 x d x Po f fQat f afte Ta f roa 0 0 x dF x t Como Fa tdt entéo Fx fs dt tomar jf Exercicio 239 Aplicar o exercicio anterior para mostrar que ftx tdt 2 fu wf a dt Aa Solucao Seja Fx roe tdt frow 2cttdt 0 0 Fx x ftdt 2x fttdt fttdt frown roa Fx 2 ftdtax fttdta fttdt fttdt ous Prova conn Fa a ftatdt2x fttdt fttdt row a 2x fee 2 fx 2 reat 2x fx fx xdt 0 0 t Exercicio 2310 Determine fx se fx x0 Solucao Exercicio 2311 126 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II sepi 2 1 16 Se ft dt az determine valores de a de modo que Fa F ax 5 Solugao 2 1 3 2 td ye MO az Morey 3x 1 am 5 1 3 2 16 3 2 Quando x 1 temse que f a a logo 4 16 a 3 16 a a2a Assim a a20 implica a 2 ou a 1 Exercicio 2312 Suponhamos f eg fungoes continuas no intervalo a b tais que satisfazem a desigual b b dade te dx oo dz Responda as seguintes questées justificando sua resposta Solucao b 1 Sempre ue gxdx 0 Resposta 2 Necessdriamente fx gx x a b 3 Necessdriamente fx gx para algum z fa b b b 4 Sempre oa ol b b 5 Necessdriamente Jiro dx oeyae b b 6 Sempre fx dx gx dx Exercicio 2313 Determine Fx se Fx Je f tdt 0 Solugao 127 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Fx Jovseoa Fr toate ofte 0 0 Exercicio 2314 b Mostre que se f é continua em a b fx dx 0 entao fx 0 Vz a d Solugao Exercicio 2315 td reer Calcular Fx para a fungao Fx at p 7 1sent Solugao f dt d 1 Seja gx l entao 7 Theta Por outro lado como dt sec xdt sec xdt 1 tan x Se atctan 1 cos t sec x 1 V2 tankx V2 V2 at dF dtd g Fz F2 2 1 sent 2 dx 1 gxP dx 1 1 Fx x Thess 1 sen Lf oA os Exercicio 2316 12 dt Determine Fx onde Fx a 1 Solugao dt os Seja y Fx temse que y 7 entao y Lnx Lnl logo x e isto é 1 F7lx e Portanto Fx e Exercicio 2317 Anal cio anteri funga dt ndlogo ao exerctcio anterior para a fungao 1 Solugao 128 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja y Fx temse que y lz entao y arcsenx arcsenl logo 7 jay que y Fo y log 1 seny 5 isto 6 Fx senx 5 cos az Portanto Fx cos x Exercicio 2318 b Suponhamos que f seja continua em a b e que fxdx 0 Responda as seguintes questoes justificando sua resposta Solugao 1 Sempre fx0 Vaela db Falso Por exemplo se fx senz no intervalo 5 I 30 7 3x Temse que sow dx cose 0 porém fz senz 0 no intervalo 3 3 2 n 30 2 Sempre fx0 paraalgum z la db b 3 Necessdriamente so 0 b Sim pois se 0 0 b 4 Sempre fx dx 0 b 5 Sempre fx de 0 b 6 Necessdriamente fz 1dzx0 Exercicio 2319 Determine gx se gt dt senx x 1 Solugao 129 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II COs x d gtdtsenrx2 gcosxsenzx qq sen x 1 cosx lcosx 1lcosx 1lcosx J sents 1 cosx V 1 cosa 12 Portanto ortanto gx ids Exercicio 2320 Se ft dt 2V1senz determine fx 5 Solugao COs X 1 senx cosx senz I V1 senz I V1 senx 1 Portanto f2 Exercicio 2321 cos 2 Sef fltdtgle Fle determine oF e dtgx e fx determine g 4 Jr1 IS 1 Solugao cos 2a 1 cos 2 gx Fay ta ved 2Vcos 2x 1 2V2senx 1 Logo aS 22i onde i YI Exercicio 2322 tan x Se fsdsgx e fx 21 determine Solugao tan x fsdsgx gx ftanzsec x 2 2 l 3 gx tanx1secx gx 3 tan xtanxzC 1 1 a a 1 33 J3 l tan tan C C 0g0 9 3 tan on 3 57 3 T 8V3 Portant ji ortanto Ie a7 130 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2323 Determine o valor das seguintes integrats Solugao 2 1 2 1 T odo jo 0 4 le 2 2 1 2 65 2 r e1ar 712 4 1 4 1 d 2 1 3 0 6oL lxs aresena arcsen 05235987756 0 f d x dx 1 2 5 4 fin n So pint a Iny5 1 1 0 1 5 f 1 2 la l2 1 1 0 f d d 1la1 1 1 0 1 eee foo In12 21 1Lne1 0 12 la 1 0 1 0 5 20 5 4 6 r oe w po ae 2 xa 1 x21 2 3 3 4 5 xrA4 xrA4 I5 daz 5 d lwoer ue lwer 3 4 4 5 2 2x 9 20 9 2 I aS dy Ji saqlee S pool 3 4 92 4 24 5 I fin daretan foarctane 1n 26 I Ln 9larctan 5 2 arctan 4 arctan 3 131 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II T 3 T 7 T cose de P fcoszde cosede 0 0 z Ly 1 2 1 1 x z141 1 8 I der dr 1ldrx a z1 ic ql 0 0 0 1 1 I1 Lnx 1 Ln2 2 0 2 1 1 9 P f tnede Lue 1 1limeLne 1 1 0 e0 0 Exercicio 2324 COs I I Se fwdwax 5 tane calcular F5 Solugéo Derivando em relagao a x temse COs x I I fwdwa 5 tans fcosxsenz 1 5 Sec 2 1 1 V3 1 1 2V3 Y122 enta Quando x 3 Segue quef5 5 5 entao FS 3 Exercicio 2325 x 1 Se ftdt x V3 determine f 17 V2 Solugao Derivando em relagao a x temse e241 1 t dt 3 2 1 2 fot Vexvi fle 1r57 V2 1 Quando z 4 segue que f17 30 Exercicio 2326 x a1 Dado ftdt a determine f2 arcsen6 Solugao 132 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Derivando em relagao a x temse x 1 ftdta fax41 82 2r 1 arcsen6 1 Quando z 1 segue que f2 5 Exercicio 2327 x22 Seja fwdwx6 Calcular f 3 25 Solugao Derivando f21 f31 Exercicio 2328 Se ure ftsentdt5 e fa 2 Calcular f0 0 Solugao Integrando por partes uw ft sent dt ro sent dt ftsentdt 0 0 0 ft cos ro costdt ft sent ro cost dt 5 0 0 0 0 fm cosa f0cos0 fz senm f0sen0D5 21 f015 f03 Exercicio 2329 Determine todas as fungoes ft que verificam a relagao ro dt sf 2 0 Solugao Derivando ftdt 5 fx em relagdo a x temse 0 d x 1 f2 lefl sla 2f 2flx a fx x3 3 133 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II de onde file 2 2 2fiaafv7 FF dz dz SOL Say a fay J Lnff2LnrCLnf2C fa 2C Exercicio 2330 Calcule a drea limitada por os eixos de coordenadas e a parabola x y Va Solugao Observe queOaa Oya Seja A a area pedida temse A va vade a2Vaye ode 0 0 4 1 4 A ax Javx3 a 3 2 0 a2 Portanto a area pedida mede Se Exercicio 2331 Calcule a drea compreendida entre as pardbolas y 2px e x 2qy Solugao 4 Resposta 32 3 Ph Exercicio 2332 senx 3 Se fsenx f sent cosa dx 5 fQ 1 Calcular f 1 0 Solugao Sejassenzr 0a Osl 2 2 i 2 le teon f senx cosa dx Fs rs ds 0 0 1 1 1 1 3 s s 1 J teois SP as teas S7s sFeyas 2 2 2 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 5 tos Gra ses teas 0 0 134 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Portanto f1 2 Hsas 1 0 135 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 24 Mudanca de Variavel em uma Integral Definida Exercicios 24 ky Exercicio 241 2 Desejamos calcular a integral evidente J pu mediante a mudana x t 5t4 0 Quais sao os posstveis valores dos limites da integral Mostre que em todos os casos sempre voltamos a calcular J Solugao Inicialmente em J temse 0 x 2 quando x t5t4 sege 0 5t4 2 logo 0 45t4e P5t42 P5t40 A OP5t46 S 1t2 V 3t4 2 2 Por outro lado dx 2t5dt Logo J fu 2 J fi 5dt 2 0 1 Para o intervalo t 3 4 observe que dx 2t5dt 0 na integral inicial dx 0 4 com x 02 Logo J cote 5dt 2 3 Exercicio 242 Calcular as seguintes integrais mediante a substituigao indicada Solugao d x 1 3a 28 1 V3x 2 1 2 2 Resposta 1 3 Ln 3 5 Ln8 d x 2 J ev41f ver1 Ln3 3 Resposta 2 Ln5 136 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senh1 3 Var741dzr x senht 0 Seja x senht dx coshtdt por outro lado sabemos que cosh t senht 1 logo Vx 1 Vsenht 1 Vcosht cosht Sendo0asenhl Otl senh1 1 1 1 I Ver21dr osu coshtdt 5 leosutae 1dt 0 0 0 rai h2t 4 senh2 2 5l5sen on sen d x x 4 tan t 22cosx an 2 0 Resposta 4 arctan esposta arctan va V5 d x 5 oo tanz t 0 4 Resposta 5 1 6 vee x1 2sent 1 Resposta 6 7 Exercicio 243 b b Verifique se a formula é verdadeira to dx tc b2dz Solugao Seja x abt quandora tbquandorb tae por ultimo dx dt substituindo b a b T f fleac f pasbtdt flarb2at a b a Como o calculo de uma integral é independente da varidvel de integracao segue o resultado 137 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II b b Portanto tae fatbxdz Exercicio 244 Aplicando o Exercicio 243 mostre que 2a zx x 3774 cos x dx 1 1 2ax x23 1drx 2 eee ron Zax 2 arccos a 16 S 4 0 0 Solugao 2a 24 x 3m a 1 Ian 723 1 dx vi ax x3 arccos 7 x 16 0 5 3 5 cos x dx senx 1 sen x 2 Seja ji1 7 cos x senx cos x senx 2 cos x senx 0 0 0 senxda Sej enta ea Pe cos x senx ona 37 3 T sen5 2 Cos x 0 4a at cose 2 senk0 5 2sen052 cosasen3x Assim obtivemos 5 5 1 sen x 1 cos 1 eee 2 cos x senx 2 cos x senx 2 0 0 5 cos x dx 1 Portanto cosxsen3x 4 0 Exercicio 245 Mostre que Solugao 1 Sejat arcsenr sentx2 dxcostdtquandor1 t d v2 tt n uando 7 d 2 4 i d tdt Portanto r f fe fe arcsenxv t x v2 t i 2 138 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2SejiaatLnr xe SS dx eldt quaandore t 2 quando te tl1 e 2 2 dx Portanto Luz t x e 1 1 Exercicio 246 3 Mostre que iattan xr dx 0 0 1 1 1 Sugestao tanx cot x eLn jeot 5 x Ln1 Ln jtans 2 Solugao 3 3 Temos pela sugestéo J iattan x dx J tatoot xdz isto é 0 0 Novamente pela sugestao 3 2 2 1 1 1 I J talootS 2dr Jina Ln jtant 2 dx tn jtant x dx 0 0 0 7 7 1 SejarO5 dxdtquandor1 t 57 quando t 3 t 0 Na ultima igualdade 5 0 5 I tn jtant 2 dx tntvan ae f tintan tdt I 0 0 2 Portanto J tnttan dx 0 0 Exercicio 247 2a a Determine se a identidade tora lifeaa dx verdadeira Obtenha 0 0 uma identidade quando fx f2a 2 Solugao Exercicio 248 2 3 7 2 5 3 Sem calcular a integral verificar que J SS dx 0 9 Solugao 139 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 7 995 4 pd Observamos que fx oS f2 isto é f é uma funcao impar 2 a Aplicando a Propriedade 212 c temse que J SS dx 0 a Exercicio 249 b b ab Se fiab2 fx mostre que ore dxz te dx Solucao b Seja J Je fx dx e consideremos x a b t entaéo dx dt quando 0 ra tbquandorb ta logo da hipotese fab x fz b a T fo fede a01 fa 01dt a b faro8F0 dt asd f peat ft Fe ae b b b b b b b ab ab f peae fe pte fo ae A Heae Exercicio 2410 Mostre que b bc a d b d ed tf faav fee de 2 fF4 Ff a ac 1 1 1 bc b 3 fo dx cf we dx Solugao b bc 1 J foae Hee de a ac a b ab fea faye t t jt 1 1 1 140 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II be b 3 J foae e f fv ae Exercicio 2411 2 E posstvel calcular J Je V12dx mediante a substituicéo x sent Justificar 0 sua resposta Solugao Sejax sent dz costdt quandor0 t0quandor2 2 sent isto é impossivel pois 1 sent 1 Entanto sem a substituicao 2 3 2 3 J pow adr gvil 2 gt 3V3 0 0 Exercicio 2412 Calcule as seguintes integrais pelo método de integracao por partes Solucao 1 1 vedx 0 Resposta 1 1 1 arcsenr 2 dr jo 0 Resposta 2 nV d 3 fe cos x S 1 Resposta 3 qglorv3 9Ln3 4 Lnx dx 1 Resposta 4 e 2 a 5 esenda da 0 141 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 44 Resposta 5 55 Y ee 1 2V3 Vai274 6 dx x 2 2 24V3 Resposta 6 V2 Ln posta 6 2 Ln 7 Je Lna dx 1 2 1 Resposta 7 1 8 Je arctanx dx 0 nr 1 Ri ta 8 esposta 8 175 7 9 02 cos2ada 0 7 8 Ri ta 9 esposta 9 3 5 10 et cosn ae 0 1 Resposta 10 alv e 1 5 11 xsenx dx a Resposta 11 2 2 12 a cosx dx 3 Resposta 12 0 Exercicio 2413 1 xP dx 1 1 Prove que a integral I Y Sugestao 14 27 4 12x4 qsen 4 t 0 Solugao 142 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2414 2 2 Mostre que para a integral I soe dx ross dx neEN valida a 0 0 formula I In2 Calcule Iz Solugao Exercicio 2415 1 Mostre que para a integral I fe e dx n EN é valida a formula I 1 0 4nI1 e Solugao Resposta Exercicio 2416 a 2 Suponha que os dx a calcular o valor da integral P dx em 0 0 fungao de a Solugao Seja 2x t entao 2dx dt quaandox0 tO quando x tT Logo 3 a t t a a de ee hat sent dt c1 1 2 2 t2 0 0 0 I cost f cost at 5 1 4 a 2L t2o t 2 212 a2 0 a Portant d 3 1 4 ortanto dx a r1 212 2 0 Exercicio 2417 Calcular as seguintes integrats Solugao 0 1 dx 4x 84 x 1 1 R ta 1 esposta 1 i6 143 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 9 dx V2 22 0 Resposta 2 o 3 senha senx dx 0 1 Resposta 3 5 senhm d xv 4 v2 Ax 5 1 1 Resposta 4 g unas 1 5 Je e dx 0 2 5 R ta 5 esposta 5 3 30 5 6 dz Vax 0 51a R ta 6 esposta 6 6 3 7 dx x 765 x6 1033 R ta 7 esposta T5300 3 8 tan x dx 3 Resposta 8 0 2 9 x dx 1 x33 0 8 Resposta 9 9 144 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 0 10 a W1 23 da 1 128 Ri ta 10 esposta 5007 1 11 Jo V1 23 dx 0 20 Ri ta 11 esposta 556 1 12 vive ede 0 Resposta 12 1 T 13 Ve ade V22 0 Resposta 13 J2 Ln1 V2 d 14 vera 142 0 2 Resposta 14 1 15 Ji az dx 0 1 Resposta 15 Ln2 5 1 16 tae 1lz Resposta 16 a 3 17 oo x Lnsenz dx z 1 3 2 Resposta 17 ritn 3 pn2v2y 2 2 2 145 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II q 18 tan x dx a 3 Resposta 18 5 Ln2 19 Vtan x dx Vtanz cot x 6 Temos i Vtan x dx p Vcot x ax wf Vv cot x Jax Vtanxz Vcot x Vtanxz Vcot x 6 JVtanxz Vcot x 6 6 é 7 Consideremos x 5 t rat Vcot x Je 7 I cotF t Jat a LFS tr cr Ww Wu 6 Vtanz Vcotx 6 tanF t cotF t é 6 rat Vtant dt yy in rat 6 Vtant Vcott 6 12 é Vtan x dx 1 Portanto VtanxVecotx 12 é 20 20 senz cos x dx 0 Resposta 20 42 21 a ede 1 cos x 0 a Resposta 21 7 Exercicio 2418 Calcular as seguintes integrats Solugao 146 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II i 1 lottsento 6 dx 4 Resposta 1 37 2 2 leh 28 oVT Fa de 2 Resposta 2 12 1 3 fecint2ae 0 Resposta 3 1 4 J costsenc In 3a 4 dx 2x 4 Resposta 4 4 Exercicio 2419 3 Calcular o valor de Se cost dr Sugestao x Tt cos x xsenxr 2 6 Solugao Temos I COS x dx i 4Senx d T 4Senx d cos ysenx COS Z senz 6 VCOS x ysenz é é é 7 Da sugestéo x 5 t 17 senx Jar2f sen t Ja 6 cos x senx 6 vcos t senZ t é é BC rt ee 57 5 pat 6 VcostVWsent 2 12 S 3 Seosa d Portanto SS ycosx vsenz 12 6 147 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2420 Calcular f0 se f7 2 e ue fxsenaz dx 5 0 Solugao Integrando por partes 5 ue fxsenx dx J fopsene dr J osencae 0 0 0 5 J tasene dx fxsena ro cosrda 0 0 5 tasene dx fxsene F 2 cos J sosencae 0 0 0 0 5 frsenm f0sen0 fz cost f0cos0 5 fx f0 Portanto f0 3 Exercicio 2421 Determine a area da figura limitada por 2 1 O grafico das curvas fx x e gx at 2 2 Os graficos de fx x7 gx 2 rler1 3 Os graficos de fx x gx 2 2x4 4 0 eizo vertical Solugao 2 1 O grafico das curvas fr x e gx 7 2 2 Os graficos de fx x gx 2 rlevl1 3 Os graficos de fx x7 gx x 2x 4 0 exo vertical Exercicio 2422 Calcule as seguintes integrais definidas Solugao 148 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 dx 1 v445 0 1 5 1Ln Resposta 1 1 n3 1 9 dz z 1 0 a R ta 2 esposta 2 16 v2 2 dx Vl2z 0 2 Resposta 3 21 jl wv Ly 1 4 va 0 VI 1 1 5 Resposta 4 1d ty 3 2 5 5 sons dx 0 2 Resposta 5 3 6 p de x 1 Resposta 6 1 cose 3 7 cot xdx é Resposta 7 V3 tt V3 6 1 8 costa dx 0 1 1 Resposta 8 5 le e1 149 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 sont dx 0 Resposta 1 Resposta 9 qbenh2n 2r d 10 x 1 Resposta 10 Ln2 i d U1 de x 1 0 1 Resposta 11 at Exercicio 2423 x se 1 2 1 Se fx 2 se 2500 caleular fx a dx a se 0 2 3 12 Solugao Exercicio 2424 Aplicando o segundo teorema fundamental do cdlculo calcular as sequintes integrats Solugao 4 1 4 231 1 0 2dx 04 2 Jo dx at x rl 1 d x ax 4 2 ee 2 Vx29 0 0 f 1 a ie Jw 4dy Gy 2y8 8y 1 Resposta 1l 6 4 so dx 0 1 R ta esposta 75 150 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 Vl2zdz 1 42 Resposta 4v2 3 4 1 6 or dv v 1 Resposta 2Ln2 3 151 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 25 Integrais Improprias Exercicios 25 ky Exercicio 251 Calcular os seguintes limites Solucao 00 1 a Pe 1 Resposta 1 00 dx 2 x 2442 Resposta 2 7 d x 3 x Ln 0 Resposta 3 00 d x A 1 x Ln Resposta 4 5 5 cot x dx 0 Resposta 5 00 6 arctan x dx x1 0 Resposta 6 d x 7 1l2 0 Resposta 7 152 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 8 8 2e vad 0 Resposta 8 9 Je dt Resposta 9 00 d 10 Ter 1 2 1 1 Resposta 10 7 00 d U1 dv 1 a 0 Resposta 11 2 i 12 de V4 x 0 Resposta 12 7 00 d x 13 r x 1 1 Resposta 13 1 7 00 14 e dx 0 Resposta 14 00 4 1 Resposta 15 00 16 senz dx Resposta 16 div 0 153 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d x 17 4x 1 Resposta 17 00 d x 18 ver 0 Resposta 18 2 00 19 x le dr Resposta 19 1 d 20 Is VeX 5V4 Resposta 20 vt d x 21 SG 9 Resposta 21 div f d x 22 VI2z 0 Resposta 22 fd 23 ae 1 cosx 0 Resposta 23 div 00 d 24 Ter x2 9 0 Resposta 24 esposta P 18 f d 25 ly Vot1 9 Resposta 25 3 154 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 26 e senx dx 0 b Resposta 26 eap 4 0 d 27 s 73 0 Resposta 27 div 00 28 ecosxdx 0 Resposta 28 0 esposta ae sea 00 29 ede J v1 x3 Resposta 29 div d 30 de 1 senx 0 Resposta 30 div d arctan x dx 31 z 2 Resposta 31 00 d 32 ar r 0 20 Resposta 32 P 5 Fa 00 33 el dx Resposta 33 2 00 d x 34 rV x2 1 7 Resposta 34 2 155 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 35 vi Va 1 Resposta 35 22V2 1 d x 36 x 5x 0 Resposta 36 div 00 37 1 2x dx 3 Vaa 1 Resposta 37 div 00 38 vee dx Resposta 38 div f d x 39 Vl2 9 Resposta 39 3 1 40 dx x 1234 Resposta 40 div 00 d AL de e e Resposta 41 00 d 42 ade 1 a4 Resposta 42 0 1 43 Sd x 1 Resposta 43 div 156 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 Var 1dx 44 rA 1 1 Resposta 44 3 00 d 45 a J rVv12x3 Resposta 45 div 00 d xv 46 a bb x 0 Resposta 46 ssposras 2aba b Pf a2 p22 47 wer a Vea 0 Ta e R ta 47 1 esposta 47 1 5 00 48 ev dx Resposta 48 1 i d 49 las J V4a x Resposta 49 7 50 senx dx V1lcosx 0 Resposta 50 22 d 51 ae J Vu x Resposta 51 7 d 52 a x 1a 84 15 0 Resposta 52 div 157 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d 53 a 628 9 1 Resposta 53 Ta V3 00 5 d 54 wd Jv 1 2 4 Resposta 54 9 4 55 ede V16 x 0 Resposta 55 4 2 i 56 sS Vvx1 1 157 R ta 56 esposta 35 00 57 ae dx 0 Respostia 57 esposta P 97 i d x 58 x2A4 1 Resposta 58 div 00 59 xv edx 0 Resposta 59 n Exercicio 252 00 d 00 d cosx dx 1 senx dx Sabend determi ist lor de J abendo que Ji V5 etermine se existe o valor de Ja Solugao 158 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Como z 000 wu 000 onde u z logo 00 00 00 00 V5 cos x dx cos u du 2u cos u du 9 a ee 2 cosudu 2 Vu u u 0 0 0 0 logo 00 1 9 a du4 21 cosudu 5 V5 21 0 Por outro lado integrando por partes seja U sent e dV x entaéo dU cosadx e V 2a TP sene de 2 Pcosa d senx dx sem cos x dx COs J 2 042 d a el 2 ye 942 Spree 0 0 0 Voltando a varidvel x u e substituindo 21 resulta 00 00 9 00 1 j042 f Star2 SE ai a coswdu45 2 Vi 0 0 0 Portanto JV27 Exercicio 253 00 d x Se Ha determine H0 H1 e H2 aa 0 H1 eH 0 Solugao 00 d x 1 H0 ee O amare 0 00 d x 2 H1 1 James 0 00 d x 3 H2 ama 0 Resposta 3 H0 H1 A2 Exercicio 254 159 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d 00 9 d Sabendo que oat calcular o valor de J senw de x 2 x 0 0 Solugao Como z 000 wu 000 onde u z logo oo 00 00 00 T senx dx senu du 2usenu du senu 2 x u2 u2 u 0 0 0 0 logo 00 9 senu 7 du 22 au 4 22 0 Por outro lado integrando por partes seja U senz e dV x entao dU 2x cosadx e V a271 00 2 d 2 60 00 9 d 00 y f r Sur v2 ft Cos 042 cossde x x lo x 0 0 0 Resposta z 2 Exercicio 255 00 2 3 Seja fx ma se as determine m de modo que fa dx 1 0 se a3 Solugao oo 3 3 00 feae teaes f floae fa 50 oo 3 3 3 3 00 1 3 odes fmetde f 0dx zna 18m1 3 oo 3 3 Portant rtanto m ortanto 13 Exercicio 256 00 4x d Determine o valor de a para que a integral Ja exista Xx Solugao 160 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Pdxde f 2 2 Leak x x 2 2 00 Ja wl Jay ele Lae 1Lnx 1 eR m 1 m1 a2 1 Ja lita Lula Jim Lal ead Lnl Inlay ER se e somente se a 1 Portanto a l Exercicio 257 Uma bola cai de uma altura de 46 metros Cada vez que ela cai de h metros ela quica e sobe até uma altura de 081h metros da altura anterior Encontre a distancia total percorrida pela bola Encontre o tempo que a bola do leva para parar Solugao Resposta 13126 metros Exercicio 258 1 e dx Seja K SS expressar cada uma das seguintes integrais em funcao de K x 0 Solucao 1 Sejaz7use0Ox1 Ou1 logo considerando u x 1 5 1 1 ce dx ledu 1 etidu 1 Ia2 Jf 214u 2f ul1 2 0 0 0 Solucao 2 Temse queala2a 12a 0 entao considerando u x a logo vutl a a 0 1 e dx oe foe es xraI1 xra1 u1l v2 a1 a1 1 0 Resposta 2Ke 1 x d 3 i x 1 0 Resposta 3 kK 1 5 161 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 A etna 2de 0 Resposta 4eLn2 K Exercicio 259 Estudar a convergéncia das seguintes integrais Solugao Td LT 1 1 1 al x x1 1 de FIn 0Ln lw if lo aa ve inl alls 405 2 2 od 11 A integral er converge a qin 2 1 2 ie v3r4 Resposta 2 conv 00 c1dzx x 1 1 Resposta 3 conv 00 c 3dzx 4 xt1 1 Resposta 4 conv 00 d x 5 x x 1 Resposta 5 conv 00 6 dx a Var 4 Resposta 6 conv 00 3 1 xu 7 dx Var1 2 Resposta 7 div 162 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 8 e 7 dr x 3x5 1 Resposta 8 conv 00 9 dx eVae2x41 Resposta 9 div 00 10 e senadx 0 Resposta 10 conv 00 2 11 e dx 0 Resposta 11 conv 00 d 12 ar x1 e 1 Resposta 12 conv d 13 ae J rv 25 x Resposta 183 div 1 91 14 x sen 9 dx 0 Resposta 14 conv 3 15 a 1 dx Va21 Resposta 15 conv Exercicio 2510 Calcular as seguintes integrats Solugao 20 1 i sen a dx 0 Resposta 1 2m 2 163 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e1 2 4 2Lna 1 de 0 Resposta 2 2e 3 5 3 ie ae ae 1 413 Resposta 3 TT d x A Joe 1 15a 44 Resposta 4 ory 96 V3 3 5 dx J 20 1Va 1 Resposta 5 a 4 Xx 6 d 2216 3 Resposta 6 Exercicio 2511 Calcular o valor das seguintes integrats Solugao 1 A integral é indeterminada aplicando LHospital t1dt J sen sena 1 1 senu 1 kao lim lim rl 1 x zl 31 x 3u30 yy 3 5 dx 2 1 tan xv Exercicio 2512 i senn x SenéN qualquer numero determine o valor de dz sen5 0 Solugao 164 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta Exercicio 2513 Calcular a drea do segmento da pardbola y x que corta a reta y 3 2x Solugao Exercicio 2514 Limitar as seguintes integrais Solugao 1 Fi Qn Fi 3 x x senx 1 2 3 d 5 luo x 0 0 Exercicio 2515 Calcule as seguintes integrais definidas Solugao Fa x 2 1 2 cost dt 3 Je 2x 3dx x 2 0 1 4 1 3 1 1 1 4 a 5 l 6 Yy f25 3x w 3x2 1 0 0 Exercicio 2516 Determine a convergéncia das integrais 1 oo 1 tnede 2 8 le x 0 2 Solucao 1 O integrando Lnz tem uma singularidade em x 0 A integral impropria de segunda 1 1 espécie I f Lnadzx é por definicgao 0 limite J lim J Lnadz Integrando por 0 e0 partes 1 1 1 1 I lim tarde lim xLnal lim poga lim Lne11 e0t e0t e e0 x e0 Como I 1 entao a integral converge Solucao 2 165 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 logt a A integral dzax é divergente paraa 0 p 1 como se pode mostrrar sem x 2 dificuldade ar Lnz 1 Aplicamos o critério do limite as fungdes fa e gx temos x x L fv Ine tne 00 quando x oo gt x Tanto como sao fungdes nao negativas em 2 00 00 00 00 00 1 Lnz Dado que gxdx dzx é divergente também o é fxdx a x 2 2 2 2 166 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 26 Revisao Capitulo IT Miscelanea 11 ky Miscelanea 211 548 Sn1 Sn Seja uma sucessao S definida por S a Sp b S3 a S a onde a e b sao ntimeros reais quaisquer Associamos Un Syn Sn1 Mostre que un a expressao geral de uma progressao geométrica Calcular sua soma quando n 00 Solucao 2b Resposta ar 3 Miscelanea 212 1 92 32 wae 2 Determine o valor do limite L lim jae n00 n Solucao 12 1 Sabese que 12743n may Dens logo 1274274374 2 12 1 1 L lim pe be ee im MetV2n1 1 noo n3 n0o 6n3 3 1 1 O limite converge a 3 isto é LD 3 Miscelanea 213 Mostre que cos3 kr 1 cos xcos3 nz sen3 senzsen3 na sen3 2 21 cosx k1 Solucao Miscelanea 214 1 1 1 22 Mostre que fm 5 cos X 1 cos 2u on cos na ae cost Solucao Miscelanea 215 Célculo Diferencial em R pagina 45 do mesmo autor 167 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Determi t i I io 1 e eH et etermine se a soma representa um nimero real ou nao 4 1 p V4 W499 W16 Justificar sua resposta 75 fi p Solugao Miscelanea 216 Determine o valor das seguintes somas Solugao 1 3 k1 4 n Resposta 1 4l3 1 2 20S k1 1 1 Ri ta 1 esposta 5 3 tate te vie ee 2 22 Vor 2 Resposta 3 v2 V21 5 4 7k1 k1 35 Resposta 4 eB 1 5 92k1 k1 Resposta 5 2k 3h 6 5k k1 Resposta 6 Miscelanea 217 b i Mostre que ea 7 considerando partigoes em n subintervalos iguats e usando a formula Soa i1 Solugao 168 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 218 1 Estime a integral V121 23dx mediante a desigualdade de Cauchy Bu 0 niakouskt Solugao Miscelanea 219 E verdade que se fx to dt entao fx 0 0 Solugao Nao 6 verdade af dy Como fz ft dt entao an fx logo an onde y fx assim x x 0 d d a oe fa LnyrC Ss ye y y Assim fx et 0 Miscelanea 2110 Determinar os valores médios das seguintes fungdes nos intervalos indicados Solugao 1 fv2 O021 2 fzsenx OaKa 3 fzabcosxr amauKt 4 fxsenx O0ar Miscelanea 2111 Limitar as seguintes integrais Solugao 1 i a 1 s 2 oe Viana ae 1 0 Miscelanea 2112 Sejam p q Z tais que q 2p Mostre que Solugao 1P12 1 sent2p2 senqx dx PP eenta 0 169 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabremos que 2senAsenB cosA B cosA B logo 3 1 3 I J sentepn senqx dx 5 lees20 qu cos2px qu dx 0 0 1 1 1 3 I sen2p qx sen2p x 3p 9 2p q pha 2p q2 1 T T I Dap gy PP qsen2p 9 5 2p gsen2p 5 T pp 2psena5 cosym 24 c080senpr nq 7 osqsenp7 Dap gay Li Psenag cost qcosq5senp Supondo p inteiro quaisquereq2a Vae Z 1 1 2p1P 1 I ap ey 2p senag cospm gp eng 2 2 sent2p2 senqx dx pel 1 cosq 0 Pela primeira parte destre exercicio P ss 20sen 5 cospr acosg senpr 2psenq cospm cosq Dap gay li Pesenag costpr 4 c0sq5senp t Miscelanea 2113 Para cada uma das seguintes fungoes calcular g2 se gx continua para todo x 0 Solugao 1 Aplicando o teorema Fundamental do Calculo integral ow dtv712 gu2x3x g2 16 0 2 Aplicando o teorema Fundamental do Calculo integral a2 ow dt2712 2Qaga2r430 2V2g2 2V2432 0 170 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 3V2 Portanto g2 2 ave gx 3 Pedtr12 gagx 2r4327 glaa ax12 0 Portanto g2 V36 x 12 4 gtdtx2 ga1aQ2e3271 5 5921 0 1 Portanto g2 5 Miscelanea 2114 cosh x h h Mostre que Vt1dt 5 1 Solugao cosh x Seja Fx Vt1dt Fx Vcosh x 1 senha senhz 1 1 1 11 Fz 3 cosh2e l F 5 cosh2x 1dx 5 l5senh22 cosh x 11 Fx vt1dt 5 l5 2senhx cosh x a 1 cosh x h h Portanto Vt1dt ar 5 1 Miscelanea 2115 cosh x cos t Determine os pontos de extremo para a fungao Fx a dt quando x 0e Oa 9 Solugao Miscelanea 2116 Aplicando indugao matematica Vn N e integragao por partes mostre a igualdade 2 aun FY Fy roa tf hat n 0 0 Lo 0 171 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao Miscelanea 2117 1 Determine todas as fungoes fx que satisfazem ft ft ro dt 0 Solucao Miscelanea 2118 Determine uma formula para as seguintes somas Solucao 1 S1acosxacos2z a cos3a a cosnz Sabemos que e cosx isenx logo 2cosx e e e 2isenx e e onde i V1 Temse 1 aren 1 aren SSiS in 2 TUCO 1 Fee dae 1 ae 1 acosx ai senx ge 1 ae1 acosx aisenz 7 1 acos x a senx 7 1acosnx ia sennax1 acos x ai senz 7 1 2acosx a 1 a cosnx1 acos x a sennzsenz i S 1 2acosx a 1 2acosx a ga 1 a cosnx acosx at cosn 1z 4 ile 7 1 2acosx a 1 2acos x a Queremos somente a parte real desse numero complexo portanto g 1acosnx acosx at cosn 1x a 12acosx a 2 senz asenx h asenx 2h asenx nh 1 3 S53 5 cosxcos2xcosnx Da primeira parte deste exercicio quando a 1 segue S1cosxcos2x cos34cosnz a1 172 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 cosna cosx cosn 1a Sy a 1 e601 12cosx1 7 1 16 5 1 cosnx cos x cosn 1ax 2 oe 21 cos x 1 cosnx cosxcosn1e 1 21 cos zr 2 1 lr Portanto cosxcos2xcosnz cosn 1a cosna 2 21 cos x Miscelanea 2119 b dx Mostre que b2 converge se0Op1e diverge se p 1 2x Solugao d d x 1 x b Temse I f 7 ee lum lp b2Pla 1 1 b 1 1 1 P Tp 62 la 3 oo a nao existe logo diverge 1 1 b Sep1 Top bool lim Lnb m Lnb a 00 nao existe logo diverge 1 b 1 Se0 p 1 I b bb ba e0p ay ol bo 1 7 a existe logo converge P Miscelanea 2120 Estudar a convergéncia das seguintes integrais Solugao 1 L de x x4 0 Resposta 1 div 2 9 J G1 D7 5 Resposta 2 5 v3 1 173 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 3 a V6xr x 8 2 Resposta 3 7 4 tt xLnx 1 Resposta 4 div 2 5 x dr V4 2 0 16 Resposta 5 3 2 3 6 dx xV9x 1 3 Resposta 6 e2 7 dx Joa Vv Lnz Resposta 7 2V2 1 Sa J Jae Resposta 8 7 2 1 dx 9 eos 3 0 Resposta 9 div 1 cos 0 Resposta 10 conv a i ve V1lx4 0 Resposta 11 div 174 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 32 12 pees dr e 1 0 Resposta 12 conv d 13 tanz 2x 0 Resposta 183 div d 14 e COSx 0 Resposta 14 div 1 15 senx dr Vx 0 Resposta 15 conv d 16 fx 4x3 0 Resposta 16 conv 00 17 econ de 0 Resposta 17 div 1 18 dx Var21Vrt1 Resposta 18 conv 00 19 ee da x 1 Resposta 19 conv 00 d 20 I e 503 a2a1 0 Resposta 20 conv 175 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 2121 2 2 Demonstre que J floenna J flocs xdx 0 0 Demonstracao Sejassenr V1s cosx também ts dz Quando x 0 s 0 V1s 1 e quando x 38 1 Logo 5 1 I J fleenzae re as 23 V1s 0 0 Sejatcosxr vV1 senzr também a dz Quando x 0t 1 V1 1 e quando x 3 t 0 Logo 3 0 Fi 1 F t t I coszde i 5 t 24 J toss 1 Eg 1 Ss 24 0 1 0 5 3 Portanto de 23 e 24 J flecnzaa J floes xdx 0 0 Miscelanea 2122 2 3 Provar que I senrLinsens dx Ln21 e que J cose Lntan xdz 0 0 Ln2 Solugao Integrando por partes 2 so I sow Lnsenx dxz cosa Lnsene mh ae de 0 senx 0 0 2 Icosaz Lnsenx my lesex senzdx 0 0 I cosz Lnsenx Ln1 cos x Lnsenz cos 2 x 0 176 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I cos x 1 Lnsenx Ln1 cos x cos a K 0 T lim cosm 1Lnsenm Ln1 cosm cosm m I lim cosm 1Lnsenm Lnsenm Ln1 cosm 1 m I lim 1 cosmLnsenm Ln2 1 m Lnsenm OS I lim Ln21 lim 3 In21 m0 1cos m m0 1cos m T 2 T lim Sm GO mesmo ny tna 1 m0 1 cos m 5 Portanto so Lnsenx dx Ln2 1 0 Por outro lado 3 3 5 J ose Lntan x dx ose Lnsenz dx ose Lncos x dx 0 0 0 pela Miscelanea 2122 3 3 3 J ose Lntan x dx ose Lnsenz dx sous Lnsenz dx 0 0 0 Integrando por partes e utilizando resultado da primeira parte 3 J senz Lnsenx ew de Ln2 1 0 senx 0 J senz Lnsenz senz 7 Ln2 1 0 L J lim senz Lnsenz Ln2 lim Ensena Ln2 m0 m0 CSC a Miscelanea 2123 Calcular a dérea da figura limitada entre a hipérbole equildtera x y 9 o eizo x e o didmetro que passa pelo ponto 5 4 Solugao E qualquer corda que passe pelo centro O hipérbole equildtera x y2 9 6 00 4 A equagao do diametro da hipérbole é y BP 177 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 y Quando y 5 na hipérbole temse y 4 A area pedida é 4 1 5 1 A 2 Ivo y quay 25lvv9 y 9Lnfy V9 y aw 0 Miscelanea 2124 Determine a area das duas partes em que a parabola y 2x divide o circulo x y 8 Solugao Temse y2xr e 2y 8 entao logoxr2 e y2 Logo a menor area A pedida é 2 2 1 1 A Ws 5 ley 2 iver sy ly 2 0 1 1 2 8 A 2sluv3 yt Saresen 7 au Ar 3 Como 0 raio do circulo é 22 sua are total é 87 8 8 A area maior pedida é 8a 4a 3 4 3 Miscelanea 2125 Calcular a drea da regiado R limitada pelas retas x 12 2 y 3 eacurvay 2 Solugao Temse que x 32x para todo x 0 3 consequentemente em x 1 2 logo a a area pedida é 2 3 1 4 13 A 3a adx 2 5 2 1 6 1 Miscelanea 2126 Calcular a érea da figura limitada pela pardbola y 4x x e o eixo das abscissas Solugao A parabola y 42 2 intercepta 0 eixoz em x 0 e x 4e é definida positivamente no intervalo 0 4 logo a area pedida é i 32 1 514 A i adx 2x 5 3 0 3 0 Miscelanea 2127 178 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Determinar a drea da figura limitada pela curva y x a reta y 1 e a vertical r8 Solugao 1 1 1 3l A os ydy 8y Ww 7 jim 8m 7m 00 Miscelanea 2128 Calcular a area da figura compreendida entre a curva y tanx 0 eixoy e as retas 1 0 x eLs Solugao 5 z A area pedidaé A vonede Lncos Ln2 0 0 Miscelanea 2129 Achar a area da figura limitada pelas pardbolas y 2px e x 2py Solugao 2p 9 1 2 1 2p A A area pedidaé A v2 2 dx 2pvV 23 2 2p 3 6p lo 0 Miscelanea 2130 00 Mostre que para a 0 a integral de Euler la fe 2 dx que define a 0 funcao gamma Ta converge e estabeleca as seguintes relacdes Solugao 1 Se a é um numero inteiro entao Ta 1 al Como a 0 sejaa n EN Se n 1 entao aplicando LHospital segue 00 x 11 7 ray ewe dx e 10 0 0 00 00 00 Sen2 PQ feted 0e fetedr1 0 0 0 00 00 2x 31 22 Foe x Sen3 r e dx xe v2fe cdz1 0 0 0 13 21P2 21 2 179 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suponhamos paran h seja h h1Ph1 h1h221 h1 Seja n h1 entao 00 00 00 Tih1 eg Dl dy ahe h e a dx 0 0 0 Dh1 ATh hh 1h 2321 A Portanto se a é um numero inteiro entao a 1 a 1 Lo 2 5 n Observe 5 pera ae Seja fa u dx 2udu 0 Quando x 0 entao u 0 assim 1 00 aw 00 5 2udu 2 edu 0 0 1 2 00 00 00 00 ri a a 4 ee dudv 0 0 0 0 A regido de integracao é 0 primeiro quadrante sejam urcosé vu rsend logo u v r e dudv rdrdé assim 2 5 00 5 1 2 2 FO ri 1f fe Prdrao 2 dd n 0 0 0 0 1 Portanto M5 JT 3 Ta1aIqa para qualquer a 0 00 Pela definicgaéo da fungéo gamma Ia eadxondea0 aeR 0 00 00 00 Tiat1 ea dr ae a ex 1 dx aTa 0 0 0 180 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 A 5 vn Aplicando o item anterior deste exercicio 3 1 11 1 Ja I P Ivr P 5G 5v7 5 1 Jr 5 Tnt 3 1357 2n 1 Mostramos que I aeTa1aTq entao 1 1 1 1 T41 P2 T v G 0550G5v 1 3 3 3 ol Ti2T41Ts xv S42 PGD5 PQ 35v 1 5 5 5 5 3 1 P3P24272 22 ave S3P50D5PQ555v7 1 Suponhamos h 3 1357 Qh yt h N Entao 1 1 1 1 Dh1 5 Min5 h 5Th5 1 Jr VAs h 5 AB67 2h YF 1 8 57 GA 2h Ysa 1 Portanto Tn 3 1357 Qn yt Miscelanea 2131 00 oe 1 few Mediante a substituigdo u t mostre que a du ef fu 0 Solugao Pela definigao da fungao gamma no exercicio Miscelanea 2129 temse que Ia 00 00 e dx 60 mesmo Ia et dt Quando a x segue 0 0 00 00 dt Ix fetta fours 0 0 Consideremos u t t wu entéao 0 t 00 implica 0 u 00 assim 1 1 Lnut du dt assim x Leu dt ae if 1 ray fete Sa fee SE A yet foe ao t vu eeu x ww 0 0 0 181 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 Portanto Tz Lf ortanto x du xr u 0 Miscelanea 2132 00 Mostre que a integral de Fresnel senx dx é convergente 0 Solugao 182 01012023 o Capitulo 3 31 Aplicacgoes Geométricas Comprimento de Arco de uma Curva Exercicios 31 ky Exercicio 311 Calcular a drea da figura limitada pela curva y xx 1a 2 0 eixo x Solugao Temse de xx 1x 2 x 3x 2x logo a area A é dada por 1 2 1 rol 2 A ois0 2nyaes x 327 2xdx G22 2 Gata 2 0 1 0 1 1 1 1 A48444 774 844 555 A area mede unidades quadradas Exercicio 312 Calcular a area da figura compreendida entre uma semionda da sinusdide y senx e 0 e1x0 x Solugao 183 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Uma onda da sinusdide y senxz acontece quando x 77 A semionda acontece quando x 07 A senvde cos 1l2 0 0 A area mede 2 unidades quadradas Exercicio 313 Achar a drea da figura compreendida entre a hipérbole xy m as verticais x a e xr3a aO0 eo eizo x Solugao Seja A a area pedida 3a 9 3a A eu mLne mLn3 x a A area mede mLn3 unidades quadradas Exercicio 314 Calcular a drea da figura limitada pela curva y x a reta y 8 e 0 eixoy Solugao Observe que 0 y 8 seja A a area pedida 8 3 38 A Yidy Wai 12 0 0 A area mede 12 unidades quadradas Exercicio 315 Calcular a drea da figura limitada pelas pardbola y 2x x e a reta y 2 Solugao Determinemos o ponto de intersecao da parabola y 2 x e areta y x De Q2nxa27x 0 wv 3 logo a area pedida é f 3 1 27 27 27 3 A Ix x7 dx Sx 20 SS le22 ajde 50 50 F 0 9 A area mede 3 unidades quadradas 184 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 316 Calcular a drea da figura compreendida entre a pardbola y x e a reta y 2 Solugao Seja A a area pedida a regido mostrase na Figura 31 entao 2 1 2 1 44 16 2 e A ydy Fy 45 3 vi 5nd GV8 We F 4Gve 5 e Qe 4 Aa de A 4 area mede 1 3 3 lf 2 hf a Bf afl sep ee itx4 o 2 a x Figura 31 Figura 32 Exercicio 317 1 Achar a area da figura compreendida entre a curva de Agnesi y Tage E a parabola 2 x yr 3 Solugao 1 a 22 2 2 2 Temse de 3 a 4a20 5 a 1a20a x regiao mostrase na Figura 32 logo a area A é dada por f 2 1 x 1 3 7 1 A2 5 Sue arctan x 32 773 0 nr 1 Aa de A area mede 173 Exercicio 318 2 Calcular a crea da figura limitada pela hipérbole y1 eas retas y 2 a Solugao Temos 2x a1 a Area a ser calculada esta limitada pelas curvas gy 185 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II tay1 y eas retas y 2 A area a calcular é 2 2 A ta f VIF Pay 2alyV1y Laly V1 vill 0 A 2a2V5 Ln2 V5 Exercicio 319 Determine m de modo que a regido acima de y mx e embaixo da parabola y 2xx tenha drea igual a 36u Solugao Temse de mx 2427 22m20 xxm20 logoa area A é dada por 2m 1 m 2m m 1 A2 Qe2made 23 1 2 m 2m3 36 2028 made 0 3a Bd 1 Dy m 3 2m 0 1 1 2m36 4 2m5 5 m O valor esperado ém 4 Exercicio 3110 A drea da regido compreendida entre a parabola y 12x 6x 0 eizo x dividida em duas partes iguais por uma reta de passa pela origem Achar a equagao de tal reta Solugao A area da regiao compreendida entre a parabola e 0 eixox é 2 2 A for 6xdx 6x 20 8 0 0 Param 0 seja y mx a reta que passa pela origem em corta a parabola nos pontos 12 00 e ab logo quando y mz 12x627 m126r ve a AS fion 622 malde 62 20 mr ba 20 lc m 59 x 6x xdx x x Io a a 5 0 m 12m 12m m 12m 262a4 624 3 ogo a362a7 2162 2 4 assim m 62 W4 186 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A equacao da reta procurada é y 62 WAar Exercicio 3111 O grafico de x y 8 divide em trés regides a circunferéncia x y 16 Determine a area da cada uma das regioes Solugao O grafico das areas a calcular mostramse na Figura 33 observe que as areas A A3 ea area Ay 71747 2A Calculemos Aj 2 2 Ay We 8 ydy 2 Vie 84 ydy 2 0 1 1 2 A 215 Vv 16 y LGaresen 7 syv8 y 8Lny V8 v 8 Ay 37 8Ln2 8LnV2 V6 3 1055 Logo A A3 381055 e Ap 16m 23 1055 44 05444 Aeon léy4 a A A 1 3 fy f x ycosE Vv VV Tt I A 10 Zo 10 BX xV8 ty Figura 33 Figura 34 Exercicio 3112 Para cada um dos seguintes exercicios desenhar a regiao D e determine a area da mesma se D esta limitada pelos grdficos de Solugao 7 7 1 ycosx t era ety 0 A area a calcular mostrase na Figura 34 a2 a2 1 A cosindsr senc l1 r6 2 6 1 A area pedida mede A 5 inidades quadradas 187 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 y2r3427v2r0ey0 22 Resposta 3 3 y92 yr 1 64 Resposta 3 r 2 4 Y Tye O w 1 w 2 1 8 Resposta 1 arctan 2 gine 5B y3a2y22 8 Resposta 3 2 6 c0 ytanz y 3 COs 2 7 Intersegao procurada de y tanx com y 3 cos x acontece em x 6 logo a area A mede 6 3 2 2 76 3 A JG cos xz tanadx zsenz Lncos 3 Ln 0 1 V3 A area pedida mede A 3 Ln inidades quadradas 7 yorar0y2 y0 5 R ta esposta 8 yLn2 yLn4 r0 Resposta 4 e Ln4 9 ecexr0y0 yLn4 Resposta 3 3 10 yarctanz y arccos y 0 2 14 R ta Ln esposta 5 5Ln3 ll yarcsenz y arccosx 1 Resposta V2 2 188 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 120 ya2 32 2742 y 22 4742 37 R ta esposta 75 13 D éaregiao de menor area limitada pelas curvas x 2y 0 2 8y 0 y 3 16 Resposta 5 52 14 y4Lnr1 yLnr 1 c0 Resposta 2e 3 15 Déaregiao de menor area limitada pelas curvas x y 20 y 22 Intersecao procurada de x y 20 com y 2x acontece em x 2 logo a area A mede 2 1 2 A2 i 20 a2V223dxr 25 ev 20 20aresen V2V 05 0 0 1 8 A 20arcsen J5 5 1 8 A area pedida mede A 20arcsen inidades quadradas J5 5 16 D é a regiao interior da elipse bx ay ab Resposta ab 17 Déaregiao de maior Area limitada pelas curvas 5x 4y 0 e a elipse com focos nos pontos 0 6 e 0 6 e cujo comprimento do eixo menor é 6 1 Resposta 9V5m arcsen P ey 18 yx0y2ry2 1 4 Seja A a area pedida A Je xdx fee 2Vadx 0 1 1 2 1 1 2 4 49 A jet Sv0 2x 50 SVx5 52 3Ve8 2 st 3V03 D 49 A area pedida mede 2 inidades quadradas Ar x x 8x 48 na Sooo 19 y 4 Se e200 y 16 Se t0 x se O 2 32x 3 se x 0 189 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A area pedida A é dada por Figura 35 0 4 1 1 8x 48 A e3radr f fu ee Fe 48 4 16 075 0 0 4 1 A 4x 3dax 16 ic 8x 52xdx 075 0 0 1 5 4 251 A 2x 3x 48 4a 22 20 30 og tg Bet ae r oy 251 A area pedida mede yr inidades quadradas 40 076 xe 40 1 4 20 10 4 10 10 20 30 aa Figura 35 Figura 36 20 y4 422 y0 x0 Resposta 20 Ln4 21 yaxn4 y2 y8x2 Resposta 22 yeye r1 1 Resposta fe e 23 y2r42ry41r0 y0 7 2 42 Resposta 15 we 24 yr227170r71 7 3 65 Resposta 6 25 y vV23yr1 y0 3 Resposta gins 190 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 26 ysenz 2a 0 27 yxa0 x 2p Resposta 22 7 x 4 2 7 y oe 3 7 3 y0 Resposta 28 yarcsenz y arccosx 0 Resposta V2 29 yarcsenz y arccosz y 0 Resposta V21 r 327 2 30 yra0y f Htdt onde fx mee 2x1 se xr2 167 Resposta30 z 3 1 31 ytanz y0 w a x0 3V3 Resposta 31 Svar 32 x7y2y4r172 9 Resposta32 z 33 yx y8e Resposta33 34 ya22 ysenrz 4 1 Resposta34 nm 2 350 y a2 307 42 y2 4 6x 25 Resposta 108 36 y2 y827 y4r412 Resposta 64 37 x 4yy r2y5 32 Resposta 3 38 ysecz ytanz x 0 Resposta a 1 2 191 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 39 y2 2y 27 y 2x Resposta 4 40 ty 5 OS Tye 9 R t nr 1 esposta poe 2 3 Exercicio 3113 Determine a drea caso exista da regido ilimitada D Solugao 1 ysechz e sua assintota Resposta z 2 64 2 y sua assintota x 16 Resposta 167 3 427y 2 e suas assintotas verticais Resposta 27 4 yarctanz 2y770 Resposta nao existe 5 ysenh z e sua assintota vertical 7 Ri ta esposta 7 2 4 a 6 y I Tea I Tye Resposta 37 Exercicio 3114 Determine a area da figura limitada pelas Solugao Seja A a area procurada 1 Curva y Lnz e as retas x e 0 eixo Z e2 e2 A tnvde xLnz 1 eLne 1 eLne 1 e 192 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 2 2 Interior a elipse 5 Pp 1 b 4b 1 9 xLo A4 Va2dr 7 Ig ev a 2 a aresec 2ab arcsenl abr a a a lo 0 3 Pardbolas y 47 e x 4y 16 Resposta 3 4 Pardbola y 22rearetayx2 9 Resposta 2 27 x 5 6S urvas G9 CU f 27 2 27 2 3 x x GT xls A dr 2 dzr 227 arct iat ge a5 g ae 227arctan 73 3 0 Aa de 275 rea m Area mede 579 2 2 4 3 6 Curvas y 2pre y gt P po 56 R ta p esposta TEP 7 Circunferéncias x y a x y 2ay a eareta y a Resposta a 8 C a ax urvas y y 0 ixo y Ue ee Bete 4 a Resposta at 2Ln2 9 Pardbola xa 2pyb pelo eixo y e a tangente mesma no ponto de abscissa rc cp0p0 2 Resposta 6p 10 Curvas y e 1 y e 3 x 0 1 Resposta 2Ln2 3 11 Pardbola y 3 2x x 0 eixo 32 Resposta 3 193 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 12 yarcsenz e as retas 7 0 y 5 Resposta 1 13 Circunferéncias x y a7 a y2aya a 0 Resposta a 14 Curvas 7 1y2 2exy2 3 Resposta a7 2Ln2 15 A curva y Lnz e sua tangente no ponto x e 0 eixo e Resposta 37 1 Exercicio 3115 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela funao indicada Solugao a Va x aa 1 fx aLn Va re le qi x Suponhamos a 0 mostrase a curva na Figura 37 1 1 Parametrizamos xt asent onde t larcsen aresens entao atacost tacost e yt aLnt a cost xt yt a Ln 2 ta sent cost asent yt alsent csct y 7 l1cost sent Y arcsen L arcsen i 4 4 t cos L a cost asent esctdt a at sent arcsen arcsen 6 6 194 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II arcsen arcsen 1 L a cost alsent csc tdt a ee dt alnsent sent arcsen 4 arcsen 3 arcsen é 1 1 L aLnsenarcsenz aLnsenarcsen aLn5 3 O comprimento do arco mede La Ln5 unidades lineares a0 20 10 x 246 8 10 12 Figura 38 Figura 37 r3 x 1 2 fr Gr TE 1 3 entao fx 7 Byt O grafico da curva mostrase na Figura 38 i 2 1 i 2 1 fa 1 x x x 414 de 2de de L HG 53 de 5 5 3da IG 53 de 1 1 1 x 1 13 27 1 1 il 728 L Ss Ke 5 él 5 160 5 6 162 364 O comprimento do arco mede L BL unidades lineares 3 1 3 fr Ju ve x 0 1 entao fa Ja ve O grafico da curva mostrase na Figura 39 vx vx vx 1 x 1 x 1 x L 1 dx dt d ly O ye Noe Gate 0 0 0 Vx3 1 Ve 145 3 lo 3 195 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 O comprimento do arco mede L 3 unidades lineares ova 06 o5 o4 O35 o2 o1 3 ve 23 8 5B Figura 310 Figura 39 e2t 4 fx Ve1 arcsene 1 x 0 4 entao fx fe VFA 0 4 enti fe et e2t e entao f ve 1 O gra 1 e 2a f e2e J e2re2r fico da curva mostrase na Figura 310 4 4 4 L vi Ve 1dx Vea ea e1 0 0 0 O comprimento do arco mede L e1 unidades lineares er 1 x 1 2 Ti TDS 2 5 fe Gta we l2 5 Temse fx ZG rEl2 5 x 1 x 1 x 1 JiPP11eP e p e fa 1 3 393 x x 5 1 2 ik Lf Pde 5 ppalde e oF 20 2 2 393 O comprimento do arco mede L 30 unidades lineares 1 6 fx Ln2 2x V8 V3 entao fx O grafico da curva mostrase x na Figura 312 V3 V3 V3 1 24 Vaz1 c 14 de ae Vi ine x x x V8 Vv8 V8 196 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 454 30 25 20 20 15 10 10 5 i 30 02 oy 2 3 4 6 B a Figura 311 Figura 312 1 yv3 1 3 Ve 1 Live 1 2 5Lna 1bLn 2 V8 2 2 1 3 O comprimento do arco mede L 1 alas unidades lineares 1 3 7 fx qaresenx 7v1 2 0 v3 4n 2 Ri ta esposta 16 10 A 6 ie a Ze w 2 oe g 2 Bll Figura 313 Figura 314 1 8 fx 5 E Va 1Lna V2 8 5 Mostrase a curva na Figura 314 1 x rtV221 2 Pa1 oe x Vx 1 He 5s Jeol Vea ier Veal fe 5 5 1 5 b fie v itde f de 504 8 3 3 3 O comprimento do arco é 8 unidades lineares 35 3 9 c EVP FV y 0 1 197 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Mostrase a curva na Figura 315 Entao da Vy tL 1 1 c 1 VP a VP ay EVE FV 32 32 5 4 0 0 Avy 0 Avy 27 O comprimento do arco é L 0 unidades lineares a ee we ee f ey 4 Figura 315 10 y 19 V23 w 1 2 d V9 Wx Mostrase a curva na Figura Entao oy V9Vva dx wx JoVr2 3 9 oral t Va Fry 2 1 1 9 O comprimento do arco é L 5 v4 1 unidades lineares 1 3 3 ll fx x4 3 areson 2 x 0 1 2 2 2 14 Resposta 3 1 12 fx 1Lncosz 2x e 0 qi 3 Resposta Lntan I 198 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 fx arcsene x 0 1 Resposta Lnle Ve 1 316 Figura 316 Figura 317 x 14 fx acosh 2x 0 J a b Resposta asenh a 2 y 1 15 x L 1 e 5 x 1 hhy Y 1 e dx y 1 Mostrase a curva na Figura 319 Temse logo dy 2 2y L 142 1 2 ay Lwin f ei 1 n 2 ay YX DPT GF Oh WaT 1 1 1 O comprimento de arco mede L re 1 unidades lineares Figura 318 Figura 319 Exercicio 3116 Determine o comprimento do arco das curvas indicadas Solucao 1 O comprimento total da circunferéncia x y a 199 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sejam xt acost yt bsent at asent yt acost no plano todo 0 t 2z 20 20 L V xt yt2dt asent acostdt 0 0 20 20 ca dal 2aT 0 0 Portanto o comprimento do arco mede 2am unidades lineares 2 O comprimento total da astréide x acost yasent A curva mostrase na Figura 320 Por outro lado xt 3acos tsent yt 3a sent cost onde t 027 Logo 20 zg L 3a cos tsent 3a sent cos tdt 12a sent cos tdt 0 0 L Gasen 6a 0 Portanto o comprimento do arco mede 6a unidades lineares y Figura 320 a a y 3 Ocomprimento do arco da parte direita da tractriz x a Pally Ve y desde y a até y bonde0ab a Va asent Seja y asent entao x Va asen2ta Ln tye ae sent logo asent 1 t xt acost aLn peest 2t asent acsct sent 200 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e yt acost Logo L Vv at yt2dt asent acsct acostdt d b t b caf ata f alm aLn sent Yy a a b Portanto o comprimento do arcomede LaLn unidades lineares a 4 O comprimento da curva GP 1 do primeiro quadrante Figura 321 a Sejam xt acost yt bsent at 3acostsent yt 3bsen7t cost no primeiro quadrante 0 t 3 2 L V xt yt2dt 3a cos tsent 3bsent cos tdt 0 0 5 5 L3 cos tsent V a cos t bsent 3 cos tsenta b asent 0 0 seja u a2 b asent 2udu 2b asent cost logo 3 9 1 33 2 ab bap tdu a b asent ab ab Portanto o comprimento do arcomede L ab ab unidades lineares a Figura 321 Figura 322 5 O comprimento total da curva de equagao 4x y a 3Va48y Resposta 6a 201 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 O comprimento total da curva 8y x 27 Observe 8y2 2224 8ya27127 S larl 1 1 122 Temse y 245 2 r ye aft Consideremos 0 caso y 0 Po of fsa 320 op B 222 81 27 8 2a 3 2x visa gl2 sl 1 1 1 Y 1 2 YS 1 2 3 22 2 1 cae a S pviF dx 4 12 4 V1lx 1 1 22 1 2 L ve 5 ev la arcsen aresens von 1 Para o caso y 0 e como o grafico é simétrico respeito o eixo2 também o compri 2n mento mede a Portanto o comprimento do arco pedido mede L 2m unidades lineares 7 O comprimento da curva 9y 3x x desde x 3 até x 0 3 1 242 Temse y2 2 4 22 y ro 9 YO 342 Consideremos 0 caso y 0 fia f aGaereP fp arap 222 2 L 1 2dy Ne ME de aa yd 43 2 4342 3 3 3 Lf 4tan If 1 2 c5 w 5 ViFe dx 2 V342 2 V32 1 2 0 L5 vere 254s 23 3 Para o caso y 0 e como o grafico é simétrico respeito o eixo2 também o compri mento mede 23 Portanto o comprimento do arco Amede A 2L 43 unidades lineares 8 O comprimento do arco da parabola semictibica 5y x compreendida dentro da circunferéncia x y 6 202 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II De 5y 2 e a y 6 segue y lex V5 O grafico da curva é simétrico respeito do eixoy suficiente considerar 0 x Vo5e0 y 1 De dx 1b y 35 By a we Ht 5y VL logo y Yy 2 ag 7 V9 los Consideremos 0 caso x 0 V5 4 4 4 3V5 5 8 5 at fyfi4 vara f Sudy Se Su Pvird ydy Tae Qf lt 7 52 0 0 Para o caso x 0 e como o grafico é simétrico respeito do eixoy também o com primento mede ror Portanto o comprimento do arco Amede A2L unidades lineares 9 Calcular o perimetro da regiao de menor area limitada pelos graficos de y 2x e xy 20 Resposta 2 10 Da curva y a7 Lnyz desde x 2 atéx 3 Resposta 11 Da curva y Vx x arcsenZ Resposta 2 12 O comprimento total da curva dada por y arcsenz 1 2 Resposta 8 2 2 3 13 O comprimento do arco da curva y 3 1 compreendida dentro da parabola 8 575 y Resposta 85v5 1 3 922 14 O comprimento do arco da curva dada por x t 2sent 2 cost y 2 t cost 2t sent desde t 0 atét 7 3 Resposta un 3 Exercicio 3117 Determine o perimetro do triangulo curvilineo limitado pelo eixo x e pelas curvas de equacdes y Lncosx se x 5 4 e yLnsenz se x 0 aI Solugao 203 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observando a Figura sao vértices do tridangulo curvilineo sao os pontos O0 0 m V2 1 V2 ACs Ln e Bs 0 lembre que Ln é negativo O perimetro a calcular esta dado por LOBOAAB q 3 La 5 f vistatade f V1 cote de a L 5 Inv21 Lnv2 1 O perimetro é P Ln3 2V2 204 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 Areas de superficie de revolucao Exercicios 32 ky Exercicio 321 No tempo t uma particula encontrase no ponto Pcosttsent senttcost Achar a distancia percorrida desde o tempo t 1 até o instante t 7 Solugao Em coordenadas paramétricas seja xt costtsent e yt sent t cost logo xt tcost e yt tsent logo 7 L tcost tsentdt tdt ou 5 7 1 1 1 1 a oly A distancia percorrida é a 1 Exercicio 322 No instante t a posicao de uma parttcula x 1 arctant y 1LnvV1 Achar o percorrido desde o instante t 0 até t 27 Solucao Em coordenadas paramétricas seja xt 1 arctant e yt 1Lnv1 logo 1 t ut Tap yt TPP logo 27 20 Jy 4 pat it Lnt VIF P n 1 1 V1 0 0 0 A distancia percorrida é Ln2a V1 4 47 Exercicio 323 Para cada um dos seguintes exerctcios achar a area da superficie de revolugado que se obtém ao girar entorno do eixox a curva dada por Solucao Seja AS a area pedida 205 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II l y 2cosh5 desde x 0 até x 2 2 2 x x x x AS an f 2eosh5 1 senhdx tn coshS 1 senhdx 0 0 2 2 AS tr f coshSda 2n f cosh 1dx 27senha v 0 0 A area pedida é me e 4 3 I 2y2 desde t 0 ate x 5 3 3 AS an f oy 1 82dx an f oy 1 9a4dx 0 0 25 du mw 2 16 AS 2 vel S wf vas 53 1 617 Aa dida 6 drea pedida 6 37 3 bx ay ab b ba Temse y Va22 consideremos sé a parte positiva oa 0 Va ue do radical logo rb bx be f at AS aon f Ve 1 Pde ae a Bede a 0 b 4 4 a b 4 4 AS an x4 5 w Saresen5 an ay 5 aSaresen0 a c A area pedida 6 2rbb arcsen onde c a 0 c a 4 x tsent y 1 cost Area engendrada pela revolugao de um arco Temse x 1 cost y sent logo A 2n fa cost1 cost sentdt avin 1 costv1 cos tdt 0 0 206 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II fat tt t 2 gt 32n A 8 dt 1 cos dt 8n2 5 500s S sr f sen nat ar f cos 5 sen gat 87 C08 5 3 COs 5 0 3 0 0 32 Portanto a area pedida mede A unidades quadradas 2 2 1 1 1 5 fx 3f x 02 Temse AS 2 3 V1 adx 2 3t V1 dx 0 0 V17 V17 Seja w1la2 As 5 f wdu Fu S17V17 1 1 1 Portanto a area pedida mede A a i7vi7 1 unidades quadradas 5 6 fx cosxz we 5 sh AS on coscv sen2rdx 3 Sejausenr ducosrdrassimxzFuler5 u1 1 2 1 AS an f vi udu uve 14 Lnut Vu 1 1 1 Portanto a Area pedida mede AS 27V2 Ln1 V2 unidades quadradas 7 Um laco da curva 8a7y ax 1 1 V2 a 227 2 42 14 74 VA Temse y gt 342 y 7 Jen Consideremos 0 caso y 0 pr 2 8aa x a 22 AS 2m f vy 1 ydx an f ta V a2 a See ey Py dx 0 0 On 23a2 202 Qn 3a 20 AS ver f a2x x 7 S dz ver f a2x a a ax a aa x a a x JQ 3 2 a JQ AS va 12 g2a2 4 Vet 5 4a EG a Io 2 2 Portanto a 4rea pedida mede AS ven unidades quadradas 207 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II er 8 Curva 6axy x 3a desde x a até x 2a Temse y bal on logo a x ng 2 2 2 ng 2 12 2 x a x a x a a AS 2 1 dr 2 3 d 5 Da om 2 an ge 7p os 202 23 4 6 2 2 x arr arr a 12 x ae 24 AS 29 4 Ide 2 5 5 faa 2a2x 6 ax aaa a liga 6 D a 37 5 1 Portanto a 4rea pedida mede AS 5 le 7 unidades quadradas 2 1 1 9 y 4a 2Lny desde y 1 até y 2 Temse x gly 4 logo 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 AS 2 Lny y1 ydy 2 Lny y yd 8 2m f Ging Gu Go Suddy 2m f Gin eG Gul 1 1 i L 1 1 1 2Ln 2 AS Ga SY y 2yLny ySJay Fn Lay 9 yPLay Gy 4 y 4 47 1 7 9 27 Portanto a 4rea pedida mede AS qin 4Ln2 7 unidades quadradas 10 cacost yasent Temse x 3a cos tsent y 3asen7t cost logo AS 20 Jo cos t3a cos tsent 3asen2t cos t2dt Ga cos tsentdt 0 0 6a77 7 AS cos t S 5 cost lQa2r Portanto a area pedida mede A unidades quadradas 1 11 x e sent yelcost det 0 até t 5 Temse x e sent e cost y e cost e sent logo 2 2 AS 2n ieseay etsent e cost e cost esentdt avin f cMsentat 0 0 208 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 2n7V2 AS 2v2ne 2sent cos AV 26 1 0 2n7V2 Portanto a 4rea pedida mede AS AV 208 1 unidades quadradas 12 ye x0 Temseye yl e 0a400 00 9 1 AS 20 e 1 e2dx Slerv 1e4LneV1 0 0 AS a lim eV 1 e Lue V1 e V2 La1 V2 Portanto a Area pedida mede AS mV2 Ln1 V2 unidades quadradas t 13 acost Lntan ah y a sent Resposta 13 47a 14 y tanz desde 0 0 até 7 1 222 Resposta 14 V5 V2 Ln posta 14 eal 15 O laco da curva Yay x3a x Resposta 15 37a 16 27 yb a 0ab touro de revolucao Resposta 16 47ab x 1 7 y t 1 3 y Gta TELS 208 Resposta 17 Te 18 y2x x 0 2 Resposta 18 87V5 19 y 4ax desde x 0 até x 3a 56 Resposta 19 20 ya we 1 8 Resposta 20 209 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 324 Achar a area a superficie gerada pela rotagao entorno do eixoy de cada uma das seguintes curvas Solugao lvy ye 0 3 3 3 AS 2m f yi 3ydy an f yi 9ytdy 0 0 V730 2 V730 AS st udu su 18 27 1 Portanto a area pedida é slV 730 1 2 Garry x 3a desde x a até x 2a Resposta 720 Ln3 3 2y aVax 1Lna V2 1 x 2 5 Resposta 3 787 ey 5 Considere x fy iv 16y y 4 4 logo a area do elipsoide gerado é 4 25y2 100 3 AS 2n 16 y 41 dx 2716 arcsen 8 28 FV TS ee ers 5 4 100 Portanto drea AS 2716 3 arcsen q q q 5 yx we 1 2 Resposta 210 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 yvVexi xe l 8 Resposta Exercicio 325 Achar a area da superficie de revolugao formada quando a curva indicada gira entorno do eixo dado Solugao 1 yvz23 x 1 8 entorno de y 1 2 yo 4st ref 2 entornmode y1 yatGe 2 entornode y1 3 y2 x 1 2 entorno de y 1 4 yLnr1 2x 21e entornoder1 Entt r1e e Quandorx2 y0 rlte y2 2 1 2 AS an f1be1 vi edy 2n let 1 e7 Lne V1 i 0 0 2 1 4 Portanto a area pedida é AS 7eV1e4Ln orvirey V3 1 2 5 0 y4e x0 1 entornodey4 y e 1 1 1 AS an f e4v 1 edx 27 levi e Lne V1 4 0 0 JTree Portanto a drea pedida é AS aleVv1e Ln oe VI 1 2 6 y2r x 0 2 entornodey1 y 2 2 l a V5 peo 4 AS 2m 2 114 22dx 2V5r q2e 1 9 75 1 0 0 Portanto a Area pedida é 12V5z Exercicio 326 211 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Achar a Grea da superficie chamada catenoide engendrada pela de revolugao do arco da catendria 2y cosh2z Oa 3 entorno do eixo x Solugao 1 Temse y 5 cosh22 y senh2zr 3 2 1 AS an 5 cosh221 senh22dx r cosh2nae 0 0 3 T m1 3 1 AS 3 cosh4x 1daz 5 lgsenh4z a m5senh12 3 0 Portanto a area pedida mede AS senh12 12 unidades quadradas Exercicio 327 Determine a drea da superficie da elipsdide formada pela revolucao da elipse 427 y 4 entorno do eixo x Solugao Temse y2V1l22 3 y a V1 2 1 1 2x AS 27 2V1271 eax Ar 14 32dx 9 a 0 1 1 1 5 AS 2aav1 4 30 Lna V1 3 274 Ln3 1 5 Portanto a area pedida mede AS 274 Ln3 unidades quadradas Exercicio 328 Determine a area da superficie formada pela revolugao entorno do etzo x do arco da curva 3y x compreendida entrex 1 e x 1 Solugao Exercicio 329 I 2 Mostre que o comprimento do arco da espiral logaritmica r e Lr ver m C onde C depende da origem do arco Se consideramos este ponto como a origem de V1lm coordenadas mostre que L m Solugao Resposta 212 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 3210 Determine o comprimento da curva y 2V2Va 1 V1 a Solugao Resposta Exercicio 3211 Determine o comprimento da espiral de Arquimedes r a desde a origem até a ponto A 27 Solugao Exercicio 3212 Calcular o arco da curva x fsen f cos y f cos f sené onde fq designa uma fungcao dada Solugao Resposta Exercicio 3213 A curva y Ln corta o eizto x ema Determine o comprimento da curva AM sendo M o ponto de abscissa x Solugao Exercicio 3214 Seja f continua no intervalo 01 V t0 e suponha que existem constantes M 0 00 ey 0 tais queV ted ft Mr Mostre que e ft dt convergente 0 para s g Solugao Outras respostas 5 8r In2 V3 6 aV21 748 8 82 Ln 487 J3 9 31a 4 Ln1 V2 213 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 33 Volume de um Corpo Exercıcios 33 Exercıcio 331 A base de um solido e um cırculo da raio r Todas as secoes transversais do solido perpendiculares a um diˆametro fixo da base sao quadrados Determine o volume do solido Solucao Resposta 16r3 3 u3 Exercıcio 332 Um solido tem como base um cırculo de raio r 1 e sua interseccoes com planos perpendiculares a um diˆametro fixo da base sao triˆangulos retˆangulos isosceles cujas hipo tenusas sao as respectivas cordas dos cırculos Determine o volume do solido Solucao Resposta 2 4 3u3 Exercıcio 333 Achar o volume do solido S que e a parte comum aos cilindros circulares retos de raio r supondo que seus eixos cortamse perpendicularmente Solucao Resposta 3 16r3 3 u3 Exercıcio 334 A base de um solido e uma elipse cujos eixos medem 20 e 10 unidades A intersecao desse solido com um plano perpendicular ao eixo maior da elipse e um quadrado Calcular o volume do solido Solucao Resposta 4 32000 3 u3 Exercıcio 335 Achar o volume do solido S cuja base e um cırculo de raio 3 e cujas secoes planas perpendiculares a um diˆametro fixo sao triˆangulos equilateros Solucao 214 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta 36V3u3 Exercicio 336 A base de um sélido é a regiao entre as pardbolas x y ex 3 2y Achar o volume do sdlido se as secdes transversais perpendiculares ao eixo x sao quadrados Solugao Resposta 6 6u Exercicio 337 Um cilindro circular reto de raio r cortado por um plano que passa por um diametro da base sob um dngulo a respetto do plano da base Achar o volume da parte separada Solugao 2r t Resposta ul Exercicio 338 Para cada um dos seguintes exercicios calcular o volume do sdlido gerado pela rotacao da regiao D entorno da reta L indicada Solugao 1 CL eixo x D limitado pelos graficos de y x e y 4a 2048 Resposta 1 15 2 Ly0 D ye41r1r0e y0 r 1 9 3l VS 1 Pde Sae 1 8 f e1Pae Fle 1 3lr a Portanto o volume mede VS 60 unidades cubicas 3 Ly0 D yax5x748r4e y0 2 2 VS a Jee 52 8x 4dr n x 10x 41x2 402 642 16dx 1 1 1 10 Al 64 2 201717 VS law 78 2 1024 273 16 S mae g tee eta 105 20171 Portanto o volume mede VS oR unidades ctbicas 215 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 Ly0 D 2y3P1 O grafico da curva é uma circunferencia de raio R 1 e esta acima da reta y 0 logo fz 3V12 e gx 3V1 2 neste caso 1arl 1 1 VS r ie V1 2 3 V1 2dr tan vi dx 1 1 1 1 VS 127 glev la aresena 6r 1 Portanto o volume mede VS 6x unidades ctbicas 5 Leixor D y2yb0 bc0 O grafico da curva é uma circunferencia de raio R c e esta acima da reta y 0 logo fx b V2 2 e gx b Vc a neste caso c VS r Ve x b V2 x2 dx tor Vc x2dx 1 c VS 4br gltv C2 e Carcsen 2be7n C le Portanto o volume mede VS 2bcx unidades cibicas senr 1 27 Lei Dy t 6 elxo Yy lnwsn 5 ex 3 vs x jae Resposta 6 Ln5 7 Leixorz D yesenecr00e r In 2 Resposta 7 cos 1 ve 8 Ly4 Dy4227 e r0 1282 Resposta 8 Sve 1 9 Leixor D ysenrzy0r0e c 5 a Resposta 9 7 216 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 10 Lxr45 D atyl Resposta 10 87 ll Lx2 Dyrvervy A497 R ta 11 esposta 30 12 Ly1 D yarccosz yarcsenr e x1 Resposta 12 13 Lx0 D y241073r4e y0 2 Resposta 13 2626 19V19 7 14 x20 Dycoszy0r0e n Resposta 14 1 15 Li y0 D y Var1r14e y0 Jr Resposta 15 aLn4 33 16 Ly0 Dy0y2700c r VVy4 2V21 Resposta 16 i6r 24 7 17 Lyl1 D yarcsenz y0 ef Resposta 17 18 Lyl D yv2r3yr41ley0 Resposta 18 1 T 19 Lx0 D y 404 ec y0 cos x 4 Resposta 19 7 20 Lx0 Dyax22r1le xr0 167 R ta 20 esposta 1B 210 Lx1 D ye2r3y41072e r4 Resposta 21 22 Ly0 Dyrt2e y3y2zr 45 Resposta 22 on 217 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 Leixoy D ysenzr 2x7 2x 37 e y0 Resposta 23 47 2 24 Ly0 DyV42 y170e Yy3 Resposta 24 Exercicio 339 Para cada exzercicio determine o volume do sélido que satisfaze as condicooes 1 O triangulo de vértices O0 0 Aa b e BO 6 gira entorno do eixo y Achar o volume obtido Solugao 2 tab Resposta se 2 A base de um solido é um circulo de raio 3 Todo plano perpendicular a um diametro intercepta ao sdlido em um quadrado que tem um lado na base do sélido Calcular o volume do sélido Solugao Resposta 12 144u 3 A base de um sélido é a regiao limitada por y 12x y 12 As sec6es transversais do sélido determinadas pelos planos perpendiculares ao eixo x sao quadrados Achar o volume do sélido Solugao 4 Em um certo sdlido as secoes transversais perpendiculares ao eixo y sao circulos cujos diametros estendemse sobre a curva y e areta x y Calcular seu volume Solugao Resposta14 8 Pome 120 5 A base de um solido é um circulo limitado por x y 25 e as secdes transversais perpendiculares ao eixo y sao triangulos equilateros Calcular seu volume Solugao 6 Determine o volume do sdlido de revolugao gerado pela rotagao em torno do eixox da regido infinita compreendida entre a curva y 0 yWx 1 ex 1 Solugao O grafico da regiao mostrase na Figura 323 logo temos que 1 3 Vq7 Fa dra au 4dt3n 1 1 218 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto o volume mede 3π Figura 323 7 Um cilındro reto cuja base e uma elipse esta cortada por um plano inclinado que passa pelo eixo maior da elipse Calcular o volume do corpo engendrado sabendo que o comprimento do eixo menor da elipse e 8 e o compreendo do semieixo maior e 10 Solucao 219 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 34 Aplicacoes a Mecˆanica e Fısica Exercıcios 34 Exercıcio 341 Para cada um dos graficos achar o centroide da lˆamina homogˆenea de densidade ρ segundo a forma mostrada Solucao 1 A area total da lˆamina e 128cm2 esta formada por dois retˆangulos O retˆangulo de ver tices 0 0 10 0 10 8 0 8 e o retˆangulo de vertices 14 0 14 12 10 12 10 0 Considerando os eixos coordenados como indica a figura os centros de massa de cada dos retˆangulos R1 e R2 sao 5 4 e 12 6 respectivamente Logo Mx 80ρ4 48ρ6 608ρ My 80ρ5 48ρ12 976ρ Portanto o centro de massa x y e dado por x My m 976ρ 128ρ 7 625 e y Mx m 608ρ 128ρ 4 75 6 X Y 0 10 0 0 8 14 12 Figura 324 6 x y 0 4 4 4 4 10 10 6 6 2 2 Figura 325 2 A area total da lˆamina e 104cm2 esta formada por cinco retˆangulos O retˆangulo de ver tices 4 0 4 0 4 2 4 2 o retˆangulo de vertices 6 2 6 2 6 3 6 5 o retˆangulo de vertices 6 5 4 5 4 9 6 9 o retˆangulo de vertices 4 5 6 5 6 9 4 9 e o retˆangulo de vertices 6 9 6 9 6 10 6 10 220 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Considerando os eixos coordenados como indica a figura os centros de massa de 7 21 cada dos retangulos R Ro R3 Ra e Rs sao 01 0 5 57 57 e 0 respectivamente Logo 7 21 Mz 16p1 36p5 87 807 36p 6832p My 16p0 36p0 8p5 8p5 36p0 0 M M 632 Portanto o centro de massa 6 dado por 0 e y oF m m 104p 607 3 A area total da lamina é 1007 48cm esté formada por quatro regides A regiao R do semicirculo que passa por 0 10 100 100 a regiao Ry de vértices 06 86 010 a regiao R3 de vértices 80 100 86 e a regido Ry de vértices 00 10 0 10 0 48 36 Ri ta 3 esposta 8 55 9 r 12 y itty 8 6 a 2 as ee x a ea Equacao da elipse 16x 25y 400 Figura 326 Figura 327 4 A area total da lamina é 197cm esta formada por quatro regides A regiao R da semi elipse que passa por 0 4 5 0 4 0 a regiao Ry de vértices 00 2 0 2 421 0 4 4 4 a regiao R3 de vértices 2 zV21 20 2 gVv21 02 earegido Ry de vérti 4 4 ces 2 zV21 2 gv21 0 4 40 8 Para a regiao R 0 60 centro de massa pois y 0 sendo mr 107 segue ns 0 0 1 4 4 8 140 E avV25 x sav 25 2 dx aV25 xdx 107 5 5 507 on 5 5 221 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 Para a regiao Ry 0 6 0 centro de massa pois y 0 sendo mr dx segue 2 5 5 1 4 4 Zz ZZ E ev 25 2 saVv25 xdx av 25 2dx 220 5 5 220 222 2 2 Resposta 4 0 esposta 0 Pp 19 d Exercicio 342 Determine o centro de gravidade de cada uma das regides limitada pelas seguintes curvas Solucao 1 y a2 4 y 2x 2 As curvas se interceptam em 7 le x 2 i 1 29 1 2 M Q2x 2 a 4dx 2 423 162 2 2 1 2 1 i 2 2 2 21 M J 20 22 a 4de Ga Fat 440 1 2 9 2 M flex 22 a Ade 0 50 40 9 1 1 21 29 L ty 2 y 32 y 27 y 1 y2 As curvas se interceptam em 0e x 3 11 1 67 1 1 2 M 2 y2 56 0 76 1 i 2 1 1 1 2 Me yvo guldy GV cy 2 72V2 53 ulva guldy Vi G8 Ge T2V2 53 1 229 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 2 14 1 m lvi Gulla G Ve 5 G8V39 3 3 6 li 6 1 L 9 67 272V2 53 ogo zy y 1882 7 1582 7 3 y Va 2 y0 As curvas se interceptam em 7 ae xr a lf 1 Lgja 2a Me 5 lva a 0de Sax 508 a I a My 2 Y Bae 38 2 0 a I a M Va Far sieve 2 aParesen sa a a 4a Logo z y 0 3 1 4 yLnz y4 y 442 A curvas se interceptam em y 0 4 1 1 1 1 1 1 4 y2 2 ip24y 22 8 My 5 ler Gv t wy 5 5e gay 5v G9 0 i 4 1 1 2 4 6 Mz ful jv aly y13 Vw S Vw Bet 0 4 y 1 1 ali 4 m fle 5V4yldy e sVE9 et 0 M M L ty 1461 345 ogo a9 F4 1461 345 5 y 2yu2 223 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II As curvas se interceptam em 7 0e x2 5 1 11 1 2 1 p22 22 a8 2 4f 2 Ms 5 le vy wy de 50 52 HR 192 0 1 1 3 1 M fale a adx 52 5 06 0 1 2 23 1 M ue 22dx 5 se o 0 1 1 L ty ogo 29 5 5 6 y241y2170r1 Resposta 6 7 c4yyye 12 3 R ta 9 esposta 9 5 8 y2 4 22 0 eixo yey 3 9 y 20x x 20y As curvas se interceptam em 0 e x 20 i 1 1 20 1 16000 1 20 M 0x x22Id 5G20 7 0 sou 5 v2 597 de 3S 907 3 0 i 1 V20 1 2000 20 M ele 59 Lae e at 16v5 3 0 20 M vV202 de V5a 400V5 20 60 lo 3 0 5165 3 Logo y 4035 1 go 9 B38 1 z se xl 10 y2 y 5 xX2 x se x1 224 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 1 1 11 1 2 29 M 2 2 t 22 2 5g0 30 5 fe alan 5 f 02 aPlae 5 Ga 50 5 0 1 1 2 2 1 1 2 83 M Joe 2da oe 2dx 3 Ge 5 0 1 1 2 1 1 ij 28 M Je 2de Je 2 dex 1 203 sl 2 i 6 0 1 M M 83 48 L ty 4 11 e y3 y0 x 0 9 9 R ta 10 esposta 10 3 2 12 yr 2 4171r72 y0 13 e ry 20 ry0 Resposta 183 9 9 14 y senxz y cosx y 0 desde x 0 até x 1 Resposta 7 12 v3 482 15 c2y80 7 3y50 r274 88 50 Resposta 15 35 39 Exercicio 343 O centro de gravidade da regiao limitada pelas curvas x 4y y mx é um ponto de abscissa igual 2 Determine o valor de m Solugao Resposta m 1 Exercicio 344 Os vértices de um tridngulo sdo A0 0 Bia 0 e C0 5 coma 0 Calcular o volume do solido obtido pela rotagao entorno da reta y x a da regido limitada pelo triangulo Solugao 225 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5V2ra R ta 4 esposta 5A Exercicio 345 A regido limitada pelos graficos de y x7 y 5 gira em torno de uma reta obliqua que passa pelo ponto 1 0 Determine a equagao da reta si o volume do sélido gerado é igual 4077u Solugao Resposta 3x24y30 Exercicio 346 Para os seguintes exercicios determine Solugao 1 O momento estatico da sinusdéide y senz 0 x 1 respeito do eixo z Resposta 1 2Ln1 v2 2 O momento estatico e momento de inércia respeito do eixo x do arco da curva y e 0a 1 1 1 Resposta 2M glev 1e2V24LnV21ev1 e I glv1 e2 V8 3 O momento estatico e momento de inércia respeito do eixo x de uma onda da cicldéide x at sent y a1 cost 32a 256a Resposta 3 M I P 3 15 4 O momento estatico e momento de inércia da semicircunferéncia de raio a respeito de seu diametro 3 ma Resposta 4 M 2a I 5 Os momentos estaticos respeito dos eixos Ox Oy do arco da semicircunferéncia r 2a cost situado acima do eixo polar Resposta 5 M 2a M 7a 6 O centro de gravidade do arco da catendria yacosha O2 a Consideremos a densidade px 1 constante temos y acoshz logo y asenha Os momentos estaticos respeito dos eixosx e y do arco da catenaria y acosh 0 xasao M J ecost rV1asenhxdr 0 226 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 4 5 asenha V1 asenhx Lnasenha V1 asenh7 0 1 M 3 asenha v1 asenha Lnasenha V1 asenh7al A massa do arco é L V1fa dex 0 1 sa Resposta 6 a1 tanh 3 y gleschl cosh 1 7 O centro de gravidade da astréide x a cos 3t y a sen3t situado acima do eixo Ox 2a Resposta 70 7 ez 8 As coordenadas do centro de gravidade de um arco da cardeoide r a1cos O0 O 7 4 Resposta 8Y 5 9 O centro de gravidade da curva y Va 2 Resposta Exercicio 347 Mediante o Teorema de Guldin determine o centro de gravidade do arco da astroide xacos3t ya senst situada no primeiro quadrante Solugao 2a 2a 2a R ta 90 9 esposta 9 0 9 Exercicio 348 Mediante o Teorema de Guldin mostre que o centro de gravidade de um triangulo esta afastado de sua base a uma terceira parte de sua altura Solugao 227 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 35 Outras Aplicacoes Exercıcios 35 Exercıcio 351 Suponhamos que um corpo se movimento no eixo x desde x 2 ate x 5 unidades em metros e suponha que a forca exercida segue a lei fx x2x Determine o trabalho total realizado Solucao Resposta 1 99 2 Exercıcio 352 Determinar o trabalho realizado ao empurrar um automovel ao longo de uma estrada plana desde um ponto M a um ponto N distante 20m de M exercendo una forca constante de 300 kg Solucao Resposta 2 6000 mkg Exercıcio 353 Determine o trabalho realizado para extrair agua de um recipiente cˆonico cuja base e horizontal e encontrase embaixo do vertice sendo o raio da base r e sua altura h Solucao Resposta 3 πρgr2h2 4 Exercıcio 354 Uma piscina cheia de agua e tem a forma de um paralelepıpedo reto de 5 pes de profundidade 15 pes de largura e 25 pes de comprimento Achar o trabalho necessario para bombear a agua ate o nıvel de 1 pe por encima da superfıcie da piscina Sug w peso de 1pe3 de agua Solucao Resposta 4 65625w pelbs 228 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 355 Um tanque que tem a forma de um cilındro circular reto de 8 pes de alto e 5 pes de raio basal esta cheio de agua Achar o trabalho realizado ao bombear toda a agua do tanque ate uma altura de 6 pes por encima da parte superior do tanque Solucao Resposta 5 124800π pelbs Exercıcio 356 Um elevador de 3 000 lbs de peso achase suspenso num cabo de 12 pes de compri mento pesando 15 lbs por pe linear Determine o trabalho necessario para elevalo de 10 pes enrolandose o cabo numa roldana Solucao Resposta 6 31050 pelbs Exercıcio 357 Um tanque cilındrico vertical de 1m de diˆametro e 2m de altura esta cheio de agua Ache o trabalho necessario para bombear toda a agua a pela parte superior do tanque b atraves de um tubo que se eleva a 1 20m acima da parte superior do tanque Solucao Resposta 7 a 500π J b Exercıcio 358 Um elevador que pesa 1 380kg pende de um cabo de 3 65m que pesa 21kg por metro linear Aproxime o trabalho necessario para fazer o elevador subir 2 75m Solucao 8 4052 J Exercıcio 359 Um aquario tem base retangular de 0 6m de largura e 12m de comprimento e lados retangulares de 09m de altura Se o aquario esta cheio de agua pesando 1000kgm determine o trabalho realizado ao bombear toda a agua pela parte de cima do balde Solucao 9 2916 J 229 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 3510 Um balde de agua e icado verticalmente a razao constante de 45cms por meio de uma corda de peso desprezıvel A medida que o balde sobe a agua vaza a razao de 100grs Se o balde cheio de agua pesa 11kg no momento em que comeca a ser icado determine o trabalho necessario para icao a uma altura de 3 6m Solucao 10 3816 kgm Exercıcio 3511 Um bote esta ancorado de modo que a ancora encontrase 100 pes diretamente embaixo do cabrestante em que sua cadeia esta enrolada A ancora pesa 3 000lbs e a cadeia 20 lbspe Qual e o trabalho necessario para levantar a ancora Solucao 11 400000 pelbs Exercıcio 3512 A face de una represa adjacente a agua tem forma de trapezio isosceles de uma altura 20 pes base superior 50 pes e base inferior 40 pes Achar a forca total exercida pela agua sobre a face se a profundidade da agua e 15 pes Solucao 12 2988281 8 lbs Exercıcio 3513 Um gorila de 180kg de peso sobe em uma arvore de 5m de altura Determine o trabalho realizado se ele chega ao topo da arvore em a 10 segundos b 5 segundos Solucao Resposta13 a 900 N m b Exercıcio 3514 Exigese uma forca de 9 libras para distender ate 8 polegadas uma mola cujo compri mento natural e 6 polegadas a Determinar o trabalho realizado ao distender a mola ate um comprimento de 10 polegadas b Determinar o trabalho realizado ao distender a mola de um comprimento de 7 polegadas ate um comprimento de 9 polegadas Solucao 14 a 36 pullb b 18 pullb Exercıcio 3515 Se uma mola tem 30cm de comprimento compare o trabalho W1 realizado ao distendˆe la de 30 para 325cm com o trabalho W2 realizado ao distendˆela para 35cm Solucao 230 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta 15 w2 w1 Exercıcio 3516 Uma mola de 25cm de comprimento natural sofre uma distensao de 38cm sob o peso de 35N Ache o trabalho realizado ao distender a mola a De seu comprimento natural para 35 5cm b De 28cm para 33cm Solucao Resposta 16 a 507J b 2533 J Exercıcio 3517 Uma mola tem comprimento natural de 12 polegadas Quando se estica x polegadas puxa para atras com una forca kx pela lei de Hooke A constante k depende do material do arame etc Se sao necessarias 10 libras de forca para mantˆeo esticado em 12 pole gada quanto e o trabalho realizado para esticalo desde seu comprimento natural ate um comprimento de 16 polegadas Solucao Resposta 17 160 pullb Exercıcio 3518 As extremidades de um cocho de agua de 2 5m de comprimento sao triˆangulos equi lateros de 0 6m de lado Se o cocho esta cheio de agua ache o trabalho realizado ao bombear toda a agua pela parte superior do cocho Solucao Exercıcio 3519 Determine a forca de pressao que exerce a agua sobre uma placa triangular vertical de base a e altura h submersa na agua com o vertice para abaixo de forma que sua base se encontre na superfıcie da agua Solucao Resposta 19 ah2 6 Exercıcio 3520 Um tanque de vidro para ser usado como aquario tˆem 3 pes de comprimento e extre midades quadradas de 1 pe de lado Estando o tanque cheio de agua determine a forca exercida pela agua a sobre uma extremidade b sobre um lado Solucao Exercıcio 3521 A face de uma represa em contato com a agua e vertical e de forma retangular com 50 pes de largura e 10 pes de altura Achar a forca exercida pelo lıquido sobre esta face 231 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II quando a superfıcie do lıquido esta a ras da parte superior da represa Solucao Resposta Exercıcio 3522 Supondo que v e p estao relacionadas pela equacao pv4 1 C onde C e constante e que p 60 lbpul2 quando v 10 pes3 achar a v quando p 15lbspulg2 b o trabalho realizado pelo gas ao expandirse ate que sua pressao alcanca este valor 15lbspul2 Solucao Resposta 22 a 10 7 45 b 2160001 7 42pelbs Exercıcio 3523 Uma chapa com a forma de trapezio isosceles de base superior 4 pes e base inferior 8 pes achase submersa verticalmente na agua de tal forma que as bases tˆem posicao paralela a superfıcie Se as distˆancias da superfıcie da agua as bases superior e inferior sao 10 pes e 6 pes respectivamente determine a forca exercida pela agua sobre um lado da chapa Solucao Resposta Exercıcio 3524 Um tanque cilındrico de 6 pes de diˆametro e 10 pes de comprimento achase apoiado deitado sobre sua superfıcie lateral Se o tanque esta cheio ate a metade de oleo pesando 58 libras por pe cubico determine a forca exercida pelo oleo sobre a parte lateral do cilindro Solucao Resposta Exercıcio 3525 A taxa de depreciacao de certa peca de equipamento no intervalo 0 3 pode ser aproxi mada por gt 1 t2 9 com t dado em anos e gt em R10000 Determine a depreciacao total ao final dos seguintes perıodos a 6 meses b 1 ano c 18 meses Solucao Resposta Exercıcio 3526 Duas cargas opostas de e1 y e2 unidades eletrostaticas atraemse com uma forca e1e2 r sendo r a distˆancia entre ambas em unidades apropriadas 232 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II carga e1 7 P 4carga e2 1 20 r Figura 328 A carga positiva e1 de 7 unidades mantemse fixa num certo ponto P ver Figura 328 Qual e o trabalho realizado ao mover uma carga negativa e2 de 1 unidade desde o ponto situado a 4 unidades da carga positiva ate um ponto situado a 20 pes dessa carga ao longo de uma reta r em sentido oposto ao da carga positiva Solucao Resposta Exercıcio 3527 Uma companhia estima que a venda anual de um produto novo sera de 8000 unidades Suponha que todo ano 10 das unidades independentemente de quanto forem produzidas param de funcionar Quantas unidades estarao em uso apos de n anos Supondo que 25 das unidades param de funcionar a cada ano qual e sua resposta Solucao Resposta Exercıcio 3528 Determine o trabalho necessario para distender uma mola ate 5cm se a forca de 1N o distende em 1cm Solucao Resposta Exercıcio 3529 Um foguete levantase verticalmente supondo que a forca de atrito e constante e a aceleracao aumenta por causa da diminuicao do seu peso segundo a lei j A a bt onde a bt a Achar a velocidade do foguete em qualquer instante t se sua velocidade inicial e t 0 b determine a altura que alcanca o foguete no instante t t1 Solucao Resposta Exercıcio 3530 A velocidade de movimento de um corpo e v t e001tms Calcular o caminho percorrido pelo ponto desde que comeco a movimentase ate ficar quieto por completo 233 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 3531 Se aos x anos de idade una maquina industrial gera ingressos a razao de R Rx 6025 x2 por anos e seus gastos acumulamse a razao de R Cx 400 15x2 ao ano a Por quantos anos o uso da maquina es lucrativo b Qual e o lucro lıquido gerado pela maquina ao longo do perıodo encontrado no item a Solucao Exercıcio 3532 Um tanque tem a forma de cone circular reto invertido com eixo vertical se sua altura e 20 pes e raio da base 5 pes Determine o trabalho realizado para bombear a agua pelo topo do tanque sabendo que o tanque esta cheio de agua Solucao Resposta Exercıcio 3533 As extremidades de um deposito de agua de 8 pes de comprimento tem a forma de um trapezio isosceles de base menor 4 pes base maior 6 pes e altura 4 pes Determine a forca total sobre uma extremidade quando o recipiente esta cheio de agua Solucao Outras respostas 18 39208 J 20 a 900 N m b 21 a 36 pullb b 18 pullb 23 12333 3 lbs 24 1044 lbs 234 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 36 Revisao Capitulo IIT Miscelanea 31 ky Miscelanea 311 Para cada um dos seguintes exerctcios desenhar a regiao D e determine a area da mesma se D esta limitada pelos graficos de Solucao lL Va24 8y Wa 8a3 2 74 rv ay Y 7 4 dae 3 y20r22 y0 4 vxy2y d5y4 6 x 2y 5x2 y 6 3 a 6y arcsen2z v3 6 yar yx 8 7 Y Tag Y r074 8 yaa ed 2 y A 9 yr1 ya2770 7 2 100 yVrt1Vr1271r1 Miscelanea 312 A curva y Lnx corta o eixox em A Determine o comprimento da curva AM sendo M o ponto de abscissa x Solucao Miscelanea 313 Seja f continua no intervalo 01 V t0 e suponha que existem constantes M 0 00 eaO0tais queV t0 ft Me Mostre que e ft dt convergente 0 para Solucao 235 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sendo f continua em 0 1 e pelas hipdrese da limitacao segue ft ft Mr Assim e ft eft e Mer 00 00 00 00 I ef tdt el ftdt ec M edt M e SM dt 0 0 0 0 M 00 M M I en l lim eW sam soa SoO 0 SoO mo0 SoO 00 Portanto e ft dt é convergente para s 0 Miscelanea 314 Determine a area da figura limitada pelas 1 Curvas y Lnxz 2 y 2Lnz y 0 2 Decada uma das partes do circulo x7y 2ax dividido pela parabola y 2axra Solugao 1 Curvas y Lnxz 2 y 2Lnz y 0 Resposta 4Ln2 1 2 De cada uma das partes do circulo x y 2azx dividido pela parabola y 2ax a mw 2 4 mT 2 5 Resposta 5 34 eS 34 Miscelanea 315 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela funao indicada 1 fx Lneoth5 xlab aO0 er 1 2 4 refi J feS 42 rely 3 2 Wa y3 aw a al l 4tl y 5t te0 1 5 cesent yecost t 0 7 Solugao 236 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 2b Resposta z Resposta Ln ab 1 fx Lncoth5 xlab aO0 er 1 2 4 refl 2 fieSp rely 1 Temse fx x rnd VIF POP e FoF k oI Aa Aa 2 1 1 12 59 L 2 sla 50 ic 7 3 ie 1 24 1 59 O comprimento do arco mende L 5 unidades lineares 111 3 2 1Wa y3 aw a al Resposta 3a Li 4tl y 5t te0 1 1 Resposta 5lv2 Ln1 V2 5 cesent yecost t 0 7 Resposta V2e 1 Miscelanea 316 Determine o comprimento do arco das curvas indicadas Solugao 2 1 Da curva y 37 Lnyz desde x 2 até x 3 2 Da curva y Vx x arcsenx 237 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 O comprimento total da curva dada por y arcsenx 1 2 9 2 3 4 O comprimento do arco da curva y 3 e 1 compreendida dentro da parabola 2 2 y 3 5 O comprimento do arco da curva dada por x t2sent2tcost y 21 cost 2t sent desde t 0 até t 7 Temse 2t cost yt t sent entao VJ at yt Vt cos t t4 sen2t 0 2 2 2 l 3 7 Je OP Opa Pat 5 0 0 0 1 O comprimento da curva mede 3 unidades lineares 2 l 6 O comprimento da curva y Ln1 x desde x 0 até x 5 2x 9 Ax 1 27 Temse y Tp 7 1 y 1 a2 G2 Comprimento pedido é 1 1 i 122 i 2 lx 1 2 b f Agate la Mae Ln Ln3 1 2 12 l2 0 2 0 0 O com primento mede 160 unidades lineares Miscelanea 317 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela fungao Solugao t t 1 v Pe y Be desde a origem de coordenadas até o ponto mas z z 1 1 proximo onde a tangente é paralela ao eixox sent cost x Temse at oY t entao sent cost 1 Et 2 t 2 an VieP W OF y 238 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d t A tangente sera paralela ao eixox quando oy yt 0 isto acontece quando t Zz dx xt 2 assim 1 t5 L V2O yt Pat Jaw t 2 Io 0 0 O comprimento da curva mede Ins unidades lineares 2 x acosttsent yasent tcost t 0 al Temse xt asent tcost sent yt acost sent t sent entao VJ at yt a2t cos t a2t cost at L Je P ypat atdt mt 0 0 0 aa O comprimento da curva mede unidades lineares Miscelanea 318 Calcule a area da superficie formada pela revolucao entorno do eixo x do arco da curva 6y V7a 12 entre os pontos x 0 e da intersegao da curva citada com o eixo x Solugao Miscelanea 319 Achar a area da superficie formada pela revolugao do bucle da curva x at 1 y 31 entorno do eizo x Solugao Miscelanea 3110 Determine a drea da superficie formada pela revolugao do arco da curva x a3 cost cos 3t y a3sent sen3t Ot entorno do 1 eixo x tt eixo y Solugao Resposta i 97a Resposta ii 247a Miscelanea 3111 Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao da regiao D em torno da reta L indicada Ly0 Datyl1Jr y Solugao Miscelanea 3112 239 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Det limit inferi I dx rmine um limite superior e inferior para I coer SUPE P 3 2cos x 0 Solugao Resposta 0020 I 0023 Miscelanea 3113 5 0 Mostre que dx dx Sugest Na ultima integral x 1 u x x 0 2 Solugao Miscelanea 3114 1 Estabeleca uma formula de recorréncia para a integral I fe sen7xdx Mostre 0 que I 0 quando n 00 Solugao Miscelanea 3115 Determine o centro de gravidade de cada uma das regides limitada pelas seguintes curvas Solugao 1 y342x227 os eixos coordenados limitam duas regides Determine o centrdide da regiao de menor area As regides sao Ray eR y342rx2 lx0 menor area Ro ay eR y342r27 023 maior Area 5 Temos AR ec 2x xdx 3 1 0 0 M ot gxdx oc 24 x 0dx 1 1 1 1 f 1 53 Me 5 fa 9P de 5 8 222 de 2 2 30 1 1 240 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo x My AR1 7 12 5 3 7 20 e y Mx m 53 30 5 3 53 50 Portanto o centro de gravidade esta no ponto P 7 20 53 50 2 yx2 4a2 8a3 e o eixo x regiao infinita 3 A regiao limitada pelo laco de y2 xx 42 4 A regiao limitada pelo laco de y2 x43 x 5 y arcsenx y 0 x 1 6 y2 4x2 x3 y 0 no primeiro quadrante 7 y x2 2x 3 y 6x x2 3 8 y x3 3x y x sobre o lado direito do eixo y 9 A regiao limitada por b2x2 a2y2 a2b2 no primeiro quadrante 10 y senx 0 x π y 0 11 y cosh x y 0 x 1 x 1 12 y arccos x y π x 1 Miscelanea 3116 Seja D a regiao do plano limitado pela parabola y x2 1 e a reta y x 1 Determine o volume do solido obtido pela rotacao da regiao D entorno da reta y x 1 Solucao Miscelanea 3117 A regiao limitada pelos graficos de y2 20x x2 20y gira entorno da reta 3x 4y 12 0 Calcular o volume do solido gerado Solucao Miscelanea 3118 Demonstre o Teorema de Pappus Solucao O volume V de um solido de revolucao gerado pela rotacao de uma area plana entorno de um eixo externo e igual ao produto da area A pela distˆancia d percorrida por seu centroide em uma rotacao completa entorno do eixo Sejam duas funcoes fx e gx contınuas e definidas no intervalo a b de modo que fx gx que delimitam uma regiao plana de area A O volume V do solido de 241 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II revolucao gerado pela rotacao desta regiao entorno do eixox é calculado usando o método b do anel resultando V r flfeyP gxde Por outro lado calcular a coordenada y do centroide de uma regiao planar delimitada pelas curvas fx e gx é usada a equacéo b b J Fx gx Fx gxdx JS F 9P dx i a A 2 ff glade Uma vez que A é a area compreendida pelas duas curvas Portanto a equacao de volume deve ser reescrita como V 2Ay O que completa a demonstracao Se o calculo se referir 4 coordenada 0 calculo é semelhante exceto que neste caso b v 2n 2 F2 glade Miscelanea 3119 Demonstre o Teorema de Guldin Solugao Miscelanea 3120 No ponto 33 da curva xy2x3y6 0 temos reta tangente e normal Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao entorno das reta y 3 da regido limitada pela tangente a normal e o eixo y Solugao Miscelanea 3121 No ponto de abscissa 6 da pardbola y 12x existe uma reta tangente Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao entorno do eizo x da regiao limitada pela tangente tracada o eizo x e a parabola Solugao Resposta Miscelanea 3122 A fungao densidade de probabilidade da duragao de chamadas telefonicas de wma de terminada cidade é fx 05e onde x representa a duragao em minutos de uma chamada selecionada aleatoriamente a Qual é a porcentagem de chamadas que deve du rar de2 a3 minutos b Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar 2 minutos 249 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ou menos c Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar mais de 2 minutos Solugao A a porcentagem de chamadas que deve durar de 2 a 3 minutos esta dada por 3 a P2xr3 05e dx 0 1448 Corresponde ao 14 48 2 A porcentagem de chamadas que deve durar 2 minutos ou menos é 2 2 b Px2 seo dxz e 0 06321 Corresponde ao 63 21 0 0 A porcentagem de chamadas que deve durar mais de 2 minutos é CO c Pa2 05e dx 03679 Corresponde ao 36 79 2 Miscelanea 3123 Dentro de x anos um plano de investimentos estara gerando um lucro em razao de Rx 100 x reais por ano e um segundo plano a razdo de Rzx 220 2x reais por ano a Por quantos anos o segundo plano seré mds lucrativo b Qual o lucro excedente que se ganhard investindo no segundo plano ao invés do primeiro por um pertodo igual ao de a c Interprete o lucro excedente encontrado em b como a Grea compreendida entre as dos curvas Solugao Resposta a 12 anos Resposta b R1008 00 Miscelanea 3124 A base de um sélido é a regiao entre as pardbolas y x y 32x7 Achar o volume do sdélido se as secdes transversais perpendiculares ao eizo y sao tridngulos retangulos isdsceles cada um deles com hipotenusa sobre o plano xy Solugao Miscelanea 3125 O ponto de intersegdo das diagonais de um quadrado de lado varidvel movimenta se ao longo do diadmetro fixo de uma circunferéncia de raio 3 0 plano do quadrado permanece sempre perpendicular ao plano da circunferéncia entanto os vértices opostos do quadrado se movimentam pelas circunferéncia Achar o volume do corpo assim gerado Miscelanea 3126 Um pequeno fabricante de componentes eletronicos estima que o tempo necessario para que um operario construa um determinado item depende do numero de items construtdos por ele Se o tempo em minutos necessdrio para construir o nésimo item esta dado 243 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II pela funcao fx 20n 104 3 determine aproximadamente o tempo em minutos necessario para construir as seguintes quantidades a 1 b 4 c 8 d 16 Solucao Miscelanea 3127 Em uma una fabrica de radios depois de t horas de trabalho um operario produz Q1t 602t12 unidades por hora entanto que um segundo operario produz Q2t 50 5t unidades por hora a Se ambos chegam ao trabalho as 8hs quantas unidades o primeiro operario tera produzido mas que o segundo ate as 12hs b Interprete a resposta encontrada em a como a area compreendida entre as duas curvas Solucao Resposta a 12 244 01012023 Capitulo 4 FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 41 Espaco tridimensional Exercicios 41 ky Exercicio 411 Achar a distancia nao orientada entre os pontos P eQ e 0 ponto médio do segmento de reta que os une Solugao L dPQ V1F GHF OB 3 792 2 5 3 2 dPQ V4 2 3 3 25 11 zy 2 1 0 5 1 13 oe 5 1 V201 1 39 4 dPQ 255 1 5 4 z 9 2 2 2 2 42 PO ae 9 3 5 dPQ V33P OTPHOF2P 27 H21 5 5 Exercicio 412 Mostre que os trés pontos P1 1 3 Q2 1 7 e R4 2 6 sao os vértices de um triangulo retangulo e ache sua area Solugao 245 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observe dPQ 2 1 1 1 73 V21 dQR 4 2 21 67 V6 dPR 41 2 1 4 63 V27 dPQ dQR dPR V21x V6 321 Area A 37 a Portanto os pontos sao vértices de um triangulo retangulo de lados 21 6 e 27 A area 3V 21 do triangulo mede Beh unidades quadradas Exercicio 413 Determine se os trés pontos P311 Q721 e R642 sao os vértices de um triangulo retangulo e ache sua area Solugao Observe dPQ 3 7 21 141 v21 dPR 3 6 1 4 1 2 V27 dQR 6 7 42 21 V6 laPQ2 AQRle aPR V21x V6 321 Area A 37 a Portanto os pontos sao vértices de um triangulo retangulo de lados 21 6 e 27 A area 3V 21 do triangulo mede fe unidades quadradas Exercicio 414 Uma reta é tragada pelo ponto 642 perpendicular ao plano yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 10 unidades do ponto 0 4 0 Solugao O ponto de intersecéo da reta com o planoxy é 640 o vetor direcao da reta é uw 001 A equacéo daretaLl xyz 6 4 21001 teER Seja P642 t para algim t R um ponto da reta L de tal modo que a distancia dPQ 10 onde Q0 4 0 Logo dPQ 60424t10 t6t10 Portanto P648 ou P648 estes pontos estao fora da reta L 246 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 415 Resolva o exercicio anterior se a reta for perpendicular ao planoyz Solugao O ponto de intersegéo da reta com o planoyz é 042 o vetor direcao da reta é a 100 A equacéo daretaL xyz 6 4 21t100 teER Seja P6 t42 para algim t R um ponto da reta L de tal modo que a distancia dPQ 10 onde Q0 4 0 Logo dPQ 6t042210 t4V66t4V66 Portanto P4V642 ou P4V642 estes pontos estado fora da reta L Exercicio 416 Uma reta é tragada pelo ponto 4 20 ao plano perpendicular yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 8 unidades do ponto 020Uma reta é tragada pelo ponto 4 20 ao plano perpendicular yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 8 unidades do ponto 0 20 Solugao Exercicio 417 Prove que os trés pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sdo colineares PrimeiraSolugao Os trés pontos sao colineares se os vetores PO e PR sao paralelos isto é 1 POkPR 912K1824 k 5 Portanto os pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sao colineares Segunda Solugao A area do triangulo formado pelos trés pontos tem que ser igual a zero Sabemos que a area de um triangulo determinado pelos vetores UW PO ev PR é dado por 1 1 Area sl xV Area 59 1 2 x 1824 0 Portanto os pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sao colineares Exercicio 418 Ache os trés vértices do tridngulo cujos lados tem os pontos médios em 3 23 1 1 5 e 0 3 4 Solugao 247 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 419 Para o tridngulo com vértices em P2 5 3 Q1 7 0 e R4 9 7 ache 1 o comprimento de cada lado 2 0 ponto médio de cada lado Solugao Exercicio 4110 Mostre que toda equagao da forma x y2GurHyJzL 0 pode ser posta da forma x hyk zlPK Solugao Exercicio 4111 Mostre que toda equacao da forma Ax By Bz GxrHyJzL 0 pode h k 1 ser posta da forma w hy yay Gay 1 a C Solugao Exercicio 4112 Nos seguintes exercicios determine o grafico da equagao dada Ll oe ty28y46z250 2 ety4284y42z240 3 ty42xy32420 4 a ty4276290 5 a ty 278r41l0y424130 6 aty426r2y 424190 Solugao Exercicio 4113 Nos seguintes exercicios ache a equacao da esfera satisfazendo as condigées dadas 3 Ela contém os pontos 0 0 4 2 1 3 e 0 2 6 e tem seu centro no planoyx Solugao 1 Um diémetro é 0 segmento de reta tendo extremidades nos pontos P6 2 5 e Q4 0 7 O ponto médio do segmento PQ é 0 centro da esfera 64 042 547 xyz a 1 1 rVvV 52 2 6 v 62 Aesferaé x1y1z1 V62 Também podemos escrever na forma 7 y 2 2x 2y2z590 248 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Ela é concéntrica com a esfera de equacdo 2 y 27 2y8z90 Esta ultima equacao tem a forma x y 1 2 4 V26 Pelo fato ser concéntrica a nova esfera tem o mesmo centro podendo ter outro raio Assim 2x y1z4 R é a nossa esfera procurada De outro modo ety 4 2 2y824 17 R 0 3 Ela contém os pontos 0 0 4 2 1 3 e 0 2 6 e tem seu centro no planoyz O centro da esfera é da forma Cab0 Sejam os pontos P0 0 4 Q2 1 3 e S0 2 6 Logo dPCVP44R dQC2a137R dSC Va 266CR Exercicio 4114 Prove analitticamente que as quatro diagonais unindo vértices opostos de um paralele pipedo retangular se interceptam ao meio Solugao Sem perda de generalidade podemos considerar os vertices de um paralelepipedo como A000 Ba00 Cab0 D0 60 E00c Fa0c Ga bc e H0 bc Sao suas diagonais AG BH CE e DE a0 b0 c0 abe P 1 A é onto meio de AG é x Dee 2 5 3 5 a C a Cc P i BH é6 onto meio de é 2 p20 02 55 5 a C a Cc P i E é onto meio de C oC 2 re 5 5 Ponto meio de DF é 5 5 5 Podemos observar que as diagonais unindo vértices opostos de um paralelepipedo b retangular se interceptam ao meio no ponto 5 3 5 Exercicio 4115 Prove analiticamente que as quatro diagonais de um cubo tém o mesmo comprimento Solucao Sem perda de generalidade podemos considerar os vertices de um paralelepipedo como A000 Ba00 Cab0 D0 60 E00c Fa0c Ga bc e H0 bc Sao suas diagonais AG BH CE e DE O comprimento de AG 6 AG a 0 b 0 c 0 V2 2 4 e 249 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O comprimento de BH é AG a 0 0b c0 Va P 4 O comprimento de CE é AG 0a 06 c0 Ve4RP4C O comprimento de DF é AG 0 a b02 0c2 V P 2 Podemos observar que as quatro diagonais de um cubo tém o mesmo comprimento Va b c Exercicio 4116 Nos seguintes exercicios i 123v 4 3 1 w 5 35 e 216 Ache 1 6450 TW5z 7wI 50 7w 5ei 2 2uw 406W 27 2uwl 4e4 6w 2z 3 Ache os escalaresa e b tais que ai Vv 4 Ww 4 Ache os escalares a b e c tais que av bU cw Z Solugao Exercicio 4117 Para os seguintes pontos ache os cosenos diretores do vetor U PO e teste a resposta verificando que a soma dos seus quadrados é 1 um a P314 e Q724 b P265 e Q241 c P4 31 Q2 4 8 d P135 Q2 14 Solugao Exercicio 4118 Utilizar os pontos do exercicios anterior e ache o ponto R tal que a PO3PR b Pk 20h Solugao Exercicio 4119 Dados P324 eQ542 ache o ponto R tal que 4PO 3PR Solugao Seja Ra bc entao APO 3PR Se 48 26 3a3b2c4 323a9 8 6 3b 24 3c 12 Al 2 de onde a b c 12 3 41 9 Portanto R 12 3 3 250 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 4120 Dados P5 4 2 e Q3 2 4 ache o ponto R tal que 3 PQ 4 PR Solucao Seja Ra b c entao 3 PQ 4 PR 38 6 6 4a 5 b 4 c 2 24 4a 20 18 4b 16 18 4c 8 de onde a 11 b 34 4 c 13 2 Portanto R11 17 2 13 2 Exercıcio 4121 Para os seguintes pontos ache os cossenos diretores do vetor u PQ e teste a resposta verificando que a soma dos seus quadrados e 1 um 1 P3 1 4 e Q7 2 4 2 P2 6 5 e Q2 4 1 3 P4 3 1 e Q2 4 8 4 P1 3 5 e Q2 1 4 Solucao Exercıcio 4122 Ache uma equacao do plano satisfazendo as condicoes dadas 1 Perpendicular a reta que passa pelos pontos 5 1 2 e 6 2 3 e contendo o ponto 2 2 4 2 Paralelo ao plano x 4y 2z 1 e contendo o ponto 12 5 2 3 Perpendicular ao plano 2x 7y 3z 8 e contendo os pontos 1 2 4 e 1 2 3 4 Perpendicular a cada um dos planos 2x 3y 4z 10 e 4x 2y 5z 9 0 e contendo o ponto 4 1 2 5 Perpendicular ao planoxy contendo o ponto 2 1 1 e fazendo um ˆangulo com o plano 3x 2y 4z 8 0 com medida de arccos13 radianos Solucao Exercıcio 4123 Ache a distˆancia entre as duas retas reversas x 1 5 y 2 3 z 1 2 e x 2 4 y 1 2 z 3 3 Solucao 251 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 4124 Identifique geometricamente as superficies definidas pelas equacoes Solugao 1 Em R 2 7 4 é uma circunferéncia Em R é um cilindro 2 Em R 2 2y 9 éumaelipse Em R é um cilindro 3 Em R 227 y 0 sao duas retas Em R sao dois planos 4 Em R 22 27 1 é uma hipérbole Em R é um cilindro 5 oo Qy 277 46 6 274 2y 22 10 6 um elipsoide 7 27 2ry 27 0 6 uma uma esfera de raio r 1 e centro 100 8 y4y4 272006 9 atyz506 2 x 10 y26 y77e 2 x ll z 76 z7e 2 2 2 x y Zz 12 416 1 69 Exercicio 4125 Identifique e faca um esbogo grafico de cada uma das seguintes superficies quadricas 1 2 42y21 20 w29 3 ety 27 22 4 y42 5 z4P e 4y 6 y2 z2y 7 4 8 2 42y 27 1 9 ey29 r2 Solugao Exercicio 4126 Represente geometricamente o sdlido S definido pelas condicoes 1 w4yr2227y 2 rty4 e xy z6 3 ety 1 e 0zay 4 0z2 e ry2l 252 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao Exercıcio 4127 Faca um esboco da secao transversal transversal do cilindro dado no plano indicado 1 z ex no planoxz 2 x y no planoxy Solucao Exercıcio 4128 Para cada um dos seguintes exercıcios ache uma equacao da superfıcie de revolucao gerada pela rotacao da curva plana dada em torno do eixo indicado Faca um esboco da superfıcie 1 x2 4z2 16 no planoxz em torno ao eixoz 2 x2 4y no planoxy em torno ao eixox 3 9y2 4z2 144 no planoxz em torno ao eixoz 4 y2 z3 no planoyz em torno ao eixoz Solucao 253 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 42 Funcoes de varias variaveis Exercicios 42 ky Exercicio 421 Determine o volume em funcao deh er 1 Um depdésito de graos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e rato r com teto cénico 2 Um deposito de gas tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto uma semiesfera Solucao 1 Suponhamos a altura total do depésito seja h e a altura da parte conica x h entao 1 1 o volume é dado por V mrh x gtr e istoé Vhrx gir 3h 2r 2 Suponhamos a altura total do depésito seja h e a altura da parte esférica r h entao 4 1 o volume é dado por V mrh r gn isto é Vr h arh 3 Exercicio 422 Expressar 0 volume z do cone como funcao de sua geratriz x e sua altura y Solucao Exercicio 423 Expressar a area S do triadngulo em funcao de seus lados x y e z Solugao Exercicio 424 Determine os valores das fungdes arctanx y 1 V3 13 lL z para x y arctanx y 2 2 200 gent9 nara x y 3 gay a para H 2 y 2 2 2y1 x1y2 Solucao 254 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 425 Dada a funeéo Fx y flxgy gle Fy fxygxy Achar Fa Em particular considerar ft t gt t e calcular Fa a a Solugao Exercicio 426 Seja a funcao f de duas varidveis x e y O conjunto dos pares ordenados da forma tY tY P z tal que z se e somente se fx y ry cry Determine a f34 b fxy fayfzy 4 fla y e o dominio de f f a imagem de f Solugao Exercicio 427 Seja a funcao g de trés varidveis x y e z O conjunto dos pares ordenados da forma P w tal que w x y 22 4 se e somente se gx y z Vr ty 224 Determine a g1 1 1 b gza 26 c2 c laxy 2 gx2 y 22 d odominiodeg e aimagemdeg f Trace um esbogo mostrando como um sélido sombreado de R Solugao Exercicio 428 Nos seguintes exerctcios encontre o dominio e a imagem da funcao f e trace um esboco mostrando uma regido sombreada em R como o conjunto de pontos do dominio de f Solugao 1 fx y Lnzy 1 20 ft y V92 9 3 fx y arcsenx y 4 fx y Lnx y 5 fz y V162 y 6 fz yVury1 7 fx y V2 4y 16 8 fx y Vu 3y 1 9 fz y V2 y 16 255 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II uy 10 fx y tY LL fe 9 y y 16 4a 4y 12 fx y arcsenx y Exercicio 429 Determine o dominio e a imagem para cada uma das seguintes funcoes Solugao LYyz 1 x Y 2 I ys 2 uUytzZ LYyYz 2 fxy z tY 3 fx y 2 16 4a y 42 4 fx y 2 z arccosx 1 y 5 Fx y 2 6 fay 2V9vy2 7 ft y 2 yvz2 y 8 fa Y 2 zlexp Exercicio 4210 Para cada um dos seguintes exercicios encontre 0 dominio e imagem da fungao f e trace um esboco do grafico Solugao 1 fx y 9a 4 2 fx yV2ry 3 fx y 4y 2 4 fx y 16 42 y 5 fx y 362 y 6 fz y9ay 256 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 4211 Nos seguintes exercicios trace um esbogo do mapa de contorno da fungao f mostrando as curvas de ntvel de f para os valores de k dados 1 A fungdao do exerctcio 52 para k 10 8 6 5 e 0 2 A fungao do exerctcio 54 para k 8 6 4 2 e 0 3 A funcao do exercicio 55 para k 6 5 4 3 21 e 0 4 A fungao do exercicio 58 para k 16 9 4 0 4 9 e 16 5 A fungao do exercicio 56 para k 9 8 7 0 6 e 12 6 A funcao f para o qual fx y 42 y para k 8 6 4 2 e 0 r3 7 A funcgao f para o qual fx y Tg bara k 4 21 12 14 0 e 14 Yy Solugao Exercicio 4212 Sao dadas as fungoes f e g Determine hx y seh fog Determine o dominio de h Solugao Solugao 1 ft arccost ga y 422 y 20 fte ga y aLny 3 ft arctant ga y Vy 2 257 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 43 Limite de uma funcao Exercicios 43 ky Exercicio 431 Para os seguintes exercicios estabeleca o limite encontrando 6 0 para qualquer 0 de modo que a definigao de limite seja valida Solucao 1 Queremos que x y 8 2 6 Sabemos que le 3 V3P y 2 6 ey 2 V3P y 2 6 logo lf x yL 874y17 3a34y2 3x34y2 3646 76 Portanto lim 324y 17seesomente se Ve 0 4d tal que 874y17 yo sempre que z y 32 6 2 Queremos que z y 2 4 6 Sabemos que le 2 V2P y4P 5 ely Vw 2 y4 logo lf x yL 53y22 5a243y4 5a23y4 5636 86 Portanto lim5a3y 22 se e somente se Ve 0 4d 5 tal que 523y22 yd sempre que z y 24 d 5 3 Queremos que x y 24 6 Sabemos que 2 V39 Fu 5 e ydiV3 sus a 258 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suponhamos 6 1 entao x 2 1 e y4 1 de onde x y 2 6 logo fx yL a2ayy4 xy2ey2 xy2 x 2 y 4 26x y 2 266 e Portanto lim a 2xry y 4 se e somente se Ve 0 36 tal que x 2ry y A e sempre que a y 2 4 6 onde 6 min 1 oh 4 lim22 y 22 Queremos que x y 3 2 6 Sabemos que le 3 V3P y 2 6 ey 2 V3P y 2 6 Suponhamos 6 1 entao a3 1 e y2 1 de onde x3 7 e jy2 5 logo fx yL 2ay 22 2a3 y2 223a3y2y2 14x 3 5ly 2 19 e Portanto lim 2xy 22 se esomente se Ve 0 46 tal que 27 y 22 sempre que Il29 32 6 onde 6 min 1 ot 5 limx y 0 Queremos que zy 1 1 6 Sabemos que le1V1Py1d ec lyi V1Py1P 6 Suponhamos 6 1 entao ja1 1 e y1 1 de onde x1 3 e y1 3 logo fy L x y 0 1e1yyDIs x Ife 1 lyt 1 ly 1 3a 13ly1 65 Portanto lim x y 0 se e somente se Ve 0 46 tal que x y 0 sempre que 11 6 onde 6 min 1 ot 259 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 lim 2 y 4x 2y 18 Queremos que z y 3 1 6 Sabemos que lz 3 Vx 3 y1d e ly ti 3y16 Suponhamos 6 1 entao x3 1 e y1 1 de onde x7 11 e y3 5 logo fxy E u y de 2y 18 3 7 y y3 x 3a7ly lly 3 123 5y1 166 e Portanto lim x y 4x 2y 18 se e somente se Ve 0 36 tal que a y422y18 sempre que z y 3 1 6 onde 6 min1 at Exercicio 432 Calcular os seguintes limites Ln1 ty 4 1 tim FEE i ee 3 lim wt yoo kL lauty a 2 2 1 2 2 4 lim 5 lim jee 6 lim ae mel ty mele mt ary 1 2 7 lim 2sen 8 lim 9 lim aresenry 2 aed y 20 er yt arctan3ry 6 Solucao Exercicio 433 y 2 ay Seja fx y S Verificar que lim fx y 0 ja fx y Pao at ficar q nm FC y Solucao Exercicio 434 y 0 Seja fx y r se ae Verificar que o limite lim fx y nao existe 1 se r0 v0 Solucao Exercicio 435 260 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Nos seguintes exercicios encontre o dominio da funcao f e trace um esboco do grafico 1 fa y 42 8y 2 fx y16a2y 3 fx y 100 252 4y 2 se Ay 4 ftyVaty 5 fla yV10a2y 6 fx y 0 se ry Solucao Exercicio 436 Nos seguintes exerctcios sao definidas as fungoes f eg Encontre hx y seh fog bem como o dominio de h Solucao 1 ft arccost ga y Va y1 2 ft arcsect ga y Vy 2 Exercicio 437 Para os seguintes exercicios verifique que para a funcao f dada o limite lim fa y yO nao existe Solucao 1 Sejam Si tyER yxeSzy ER y2 bar dara 2 lim 5 5 im oe 3 230 ge Sy foe we 5x 3 dary Ba 4 lim ED lim ELA 5 20 a OY fog 5x O limite nao existe 2 Sejam S ayR ykr KER eQeyeR c Vy i x i x i x 1 im lim lim ee i a il xl1k 1F 2 2 a a ae a ee ae O limite nao existe 261 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 x y3 lim x0 y0 xy9 x2 y62 lim x0 xS1 xx9 x2 x62 lim x0 xS1 x10 x2 x62 0 lim x0 y0 xy9 x2 y62 lim x0 xS2 y3y9 y32 y62 lim x0 xS2 y12 2y62 1 4 O limite nao existe 4 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 y x2 lim x0 y0 x2y2 x2 y43 lim x0 xS1 x2x2 x2 x43 lim x0 xS1 x4 x2 x43 lim x0 y0 x2y2 x2 y43 lim x0 xS2 x2x4 x2 x83 lim x0 xS2 x6 x6 3x12 3x18 x24 1 O limite nao existe 5 Sejam S1 x y R2 y x2 e S2 x y R2 x y lim x0 y0 x2y4 x7 y7 lim x0 xS1 x2x24 x7 x27 lim x0 xS1 x10 x7 x14 0 lim x0 y0 x2y4 x7 y7 lim x0 xS2 y2y4 y7 y7 lim x0 xS2 y6 2y7 O limite nao existe 6 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 y x2 lim x0 y0 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 lim x0 xS1 x4 x4 2x4 x2 x22 lim x0 xS1 4x4 x2 x22 1 lim x0 y0 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 lim x0 xS2 x3x2 x2x4 2xx6 x2 x42 lim x0 xS2 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 0 O limite nao existe Exercıcio 438 262 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para os seguintes exercicios calcule o limite indicado usando teoremas apropriados 1 lim 3a ey 247 2 lim yva 2y y3 yo ey 3 lim 4 lim 407y xyz 12272 7 Cosa seny woe Z4 5 lim y a 6 lim pneu sane 29 U 2 28 seny 2 20 yo 7 lim e tye 27 8 ey e e e z0 Solucao Exercicio 439 Para as seguintes funcoes f determine se o limite lim fx y existe yO x 3y wy e ay 1 ft y sa 2 fx y 1 3 fx y o 8 fle 8 3a2y Qay roy aty 4 fey 5 fees 6 fey 4 fz y ay fz y Ppp fx y Pip ry xy 7 It 9 e 8 I 0 aa 9 fx y Solucao Exercicio 4310 Representar graficamente as funcoes e estudar a continuidade na origem de coordena das ry xy Vea D senx y 3 Wy aa SE xy A 00 f00 1 4 fey YZ se xy 00 f00 0 iY 72 4 y2 oY Exercicio 4311 Um paraleleptpedo retangular tem as seqguintes dimensoes a 2mb 3m ec6m Achar aproximadamente a magnitude em que varia o comprimento da diagonal se a aumenta em 2cm b em lcm ec diminue em 3cm Solucao 263 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Lembre um metro equivale a 100 centimetros Inicialmente com essas medidas temse que a diagonal d é d 200cm 300cm 600cem 700 cm Depois da mudanga a nova diagonal mede d y200cm 2cm 300cem lem 600m 3cm 487 81 cm 698 44 cm A diagonal diminue em 156 cm Exercicio 4312 Determine os pontos de descontinuidade das fundes 1 f 2 f LY 2 XY z rye Y rp ef etipra 1 1 3 Me Bae 4 M0 Sa ay 1 5 M2 aa a 6 fz y z Solugao Exercicio 4313 Determine os pontos de descontinuidade das fundes 1 1 Lge s et x 1 y1 Sena seny z Inl oy 1 xy 1 AW y k gp 4 6ns sg S senna sen7y x yy x x y 1a y 1 Solugao Exercicio 4314 Um cone truncado de altura h 30cm tem como ratios R 20cm e r 10cm Como varia aproximadamente o volume do cone se R aumenta em 2mm r em 3mm e h diminue em Imm Solugao Exercicio 4315 Determine o volume em funcao deh er Solugao 264 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Um depésito de graos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto conico 1 O volume do coné de raio r e altura s é dado por V gts eo volume do cilindro de altura h e raio da base r é dado por V mr7h aqui 0 s r 1 O volume do depésito mede V mrh s gts mr ae Portanto volume do deposito mede a 8h 2s unidades ctbicas 2 Um deposito de gas tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto uma semiesfera 4 O volume da esfera de raio r é dado por V rue e o volume do cilindro de altura h e raio da base r é dado por V rr7h 14 O volume do depésito mede V arh 5lg7l 2 Portanto volume do deposito mede mrh 31 unidades cubicas Exercicio 4316 Seja x R Uma fungdao fx e dita homogenea de grau n Z se para todo t 0 ftx t fx Verifique que as seguintes fungdes sao homogéneas e determine o grau Solucao 1 fvy 32 5ryy ftaxty t325ryy t fx y homogénea de grau n 2 2 fry ay fltety G5 FF ey homogénea A xry x x omogénea de grau n 2 3 fxy V2 sen ftaty tirt yesen t fxy homogénea x x de grau n 1 x y z 9 y homogénea de grau n 2 5 fey2 ftastytz Fa y 2 homoge LY 2 xtytz xyz homogé J ry2 J ryt2 J nea de grau n 1 5 fxyz we W f ta ty tz ae Pf xy z homogénea de grau n 2 265 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 4317 Seja f Rn Rm Prove que f e contınua se e somente se para todo o aberto A Rm se tem f 1A Rn aberto onde o conjunto f 1A e definido como sendo f 1A x Rn fx A Generalize este resultado para funcoes definidas num subconjunto arbitrario de Rn Solucao Exercıcio 4318 Mostre que a funcao u x y x y para x 0 y 0 pode se aproximar a qualquer limite dependendo como se aproximem a zero x e y Dar exemplos que mostrem as variacoes de x e y para que 1 lim u 1 2 lim u 3 Solucao Seja S x y R2 y kx k R lim x0 y0 x y x y lim x0 xS1 x kx x kx lim x0 xS1 x1 k x1 k 1 k 1 k Se k 0 segue lim u 1 Seja S2 x y R2 y 1 2x lim x0 y0 x y x y lim x0 xS2 x 1 2x x 1 2x lim x0 xS2 3x x 3 O limite nao existe 266 01012023 Capitulo 5 51 Derivadas parciais Exercicios 51 ky Exercicio 511 Determine as primeiras derivadas parciais para cada uma das seguintes funoes Solugao O O 1 fz y2seny OF Qeseny OF 2xseny cosy xsen2y Ox Oy O O 2 fxy2 al yet 5 Qyr Lux 2 22 2 22 3 wfry arctan 353 tarw Zap a4y tan w ao y Ow Ow y x y 2 22 2 2x tan w t 2a y tan w sec wa ee Ox xa 42 Py por outro lado Ow Ow y xy y tan w 2x y tan w sec ey y By pP Of y Of x 4 t so SS Ss fx y arctanxy Ox 1 ay Oy 1427y 267 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 2 senLnzy O 1 O 1 0 SL 2senLnzycosLnzy Le sen2Lnzry Ox x Or O 1 O 1 e a 2senLnzy cosLnzy Fi a F sen2Lnzy 0 0 6 weVeepee OL FL Ox Va yP 2 Oy VaeryPte Of dz P P y Of 1 of x 7 t S Ss J y are anT Ox ry Oy xy 8 weetleely Ow ely dw tv el dw el Ox y Oy y Oz y 0 1 0 1 9 fxy aresenay Of of os Ox 1xy Oy V1ayP 10 wHatYt Low 22 y 2Lne 1 0 24 24 2 a e oelLnr et ae gt tr tl Eng ta ty 22 w Ox x x 1 oO 0 Sadying Ss S dye Lae w Oy Oy 1 Ow 2zlnz Ow QeaP tht Ene w Oz Oz x1 Oz 1 Of 1 We LnInr1Lnfy1 Sa S nye nx 1 ny 1 Ox axi Oy y1 2 weH ryz Of yale y 27 2xyz yzly 2 27 w y 2 Ox x y 27 x y 27 of xzx 27 y of yxy 2 2 Oy a y 27 Oz a y 27 rety2 Of aety ey2 aety 2 13 fa yaye an Ue Y aye TY 2x7 ye TY 1 22 0 0 oF ye 1 4 22 a veh 1 2g 268 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 x Of 2 x x x 14 zcosee an 3cose esene e e xv O O ol 3e cose esene e s 3e cose esene e 15 fx y x y arcsen J ly Of OF Or SyPa Oy Ly f y 2 16 fle yzeVee OF me EN OF ye x e i SS EES y Ox a2y Oy Vx 4 i a a 17 z pew OZ esen OZ eseny Ox Oy 18 w a yLny2 y 2 Exercicio 512 O O O Seja fx y z apie verifique a igualdade x u5 ae f Solucao Temse fx y 2 ta emse fx y 2 ss entao a etyt2 a ee ee a 2 2 2 Ox a y 27 Ox x y 27 0 2 0 2ry Of ery OF Pry 52 Oy a y 27 Oy a y 27 0 2 0 2x2 Of ere OF 53 Oz a y4 27 Oz a y 4 27 Somando 51 52 e 53 temse a a a 2 92 92 992 ox pf yy OF OF mel ay a aay Pe Ox Oy Oz a y 27 x2 y2 22 a2 4 y2 2 Exercicio 513 2 a ae Ow Ow Oz 2 Determine se a fungdo w xzyx zy verifica que ayz Ox Oy Ox Solucao 269 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabese que vx y4 2 2 y 22 2xy xz yz Por outro lado O O O ae 2 Qyz oy x 2zy 2rzy O O O de onde 30 By Oe 2 2yx x 2zy Qezy ay 42 Sim a funcao verifica a igualdade Exercicio 514 OZ Oz Sejaz414 274 1y2 Determine yo 0 e 5 0 0 t y Solugao Sejazfry 214241y logo z00 V2 e Oz Oz y 22 24 e 22 Ox Oy 1y Oz Oz 0 Assim 2V2000 e 2v7200 9 an ay Te Zz Zz Portanto 0 0 0 e 0 0 0 ortanto 50 0 0 50 0 Exercicio 515 1 9 Of Of Seja fx y Ln 2 y 5 Lnx y mostre que a tua 1 t y Solugao Temse fx y z Lnx 4 y entao Of 1 Qu Of x Ox 2 a 7P Oar x y 54 Of ly of y Oy 2 xy Oy ay Somando 54 e 55 temse 0 0 2 x Ox Oy y xy Exercicio 516 Para cada uma das fungoes calcule o determinante We Un Uy Vy Solugao 1 ou costar v senta U cos2 Uy cosy U y y 270 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senz Uy seny logo Un Ux cosx senx 5 cos xseny senz cos y senx y Uy Vy COs y seny 2 Temse u coshy uy xsenhy v senhy vy xcoshy 2 Ux h h We Me yy CSN Se x cosh y xsenhy 21 x Uy Uy xsenhy xcosy Exercicio 517 O O O Dada a funao w sen2 4 verificar que co y 2 0 Zz Ox Oy Oz Solugao Temse O 1 O Oe gg ZEY e a co ZY 56 Or 2 z OL z z Ow 1 xy Ow y xy 57 Oy 2z cost Zz Or 2 cost Zz 57 Ow x y xy Ow x y xy De cos ta cos 58 Da soma das igualdades 56 57 e 58 temse a igualdade procurada Exercicio 518 O O Dada a fungao fx y a verificar que 22t yet fx y xy Ox Oy Solugao O O 2 Of yletyty Of ty 59 Ox x y Ox y O O 2 af astm Ofte 20 Oy x y Oy y Na soma de 59 com 510 of of vy yeu vy Bo YR Soy Hoa FT SE YY Ox Oy ay xy aty Exercicio 519 O O O Dada a fungao w Wayne verificar que or 5 a w0 Solugao 271 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Podemos escrever na forma xy yz xzw z de onde y zw xy yz xzw x 0 x w x y zwx xy yz xz x zw xy yz xzw y 0 y w y x zwy xy yz xz x yw xy yz xzw z 1 z w z z x ywz xy yz xz na soma xw x yw y zw z z x ywz x zwy y zwx xy yz xz xw x yw y zw z z w2xz yz yx xy yz xz w Portanto xw x yw y zw z w 0 Exercıcio 5110 A area A de um retˆangulo de base b e altura h podemos expressar na forma Ab h b h Determine A b e A h e dar uma interpretacao geometrica para cada resultado Solucao A b h significa a taxa de variacao da area A em qulquer ponto b h na direcao do eixob Isto e a rapidez com a que esta mudando b A h b significa a taxa de variacao da area A em qulquer ponto b h na direcao do eixoh Isto e a rapidez com a que esta mudando h Exercıcio 5111 Seja u Ln1 x y2 z2 Calcular ux uy uz para x y x z 1 Solucao Temse ux 1 1 x y2 z2 uy 2y 1 x y2 z2 uz 2z 1 x y2 z2 Assim ux uy uz 1 2y 2z 1 x y2 z2 Quando x y z 1 segue que ux uy uz 5 4 Exercıcio 5112 Seja fx y x3y y2x Determine f x f y f x f y Solucao 272 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O O Se fx y xy yx entao of 327y y of x 2yz logo Ox Oy Of Of 2 2 3 Of Of 2 2 3 4 82y 2yxr 82y 2 dnt By 32y y a 2yx dx dy 3ay y a 2yx Of Of 5 a 3 2 42 Ox Oy x d3xy2ryy Portanto of Of xy3x4 Tx 2y Ox Oy Exercicio 5113 y Qual o dngulo que forma a tangente a curva no ponto 2 4 5 e na y4 diregao positiva do eixo das abscisas Solugao Oz Temse que 7a 2 4 5 1 logo o angulo que forma a tangente 4 curva 6 a 774 x Exercicio 5114 212 Qual o dngulo que forma a tangente a curva 1 tery no ponto 1 2 V6 e na direcao positiva do eixo das abscisas Solugao Oz y Oz 2 Temse que assim no ponto 1 2 V6 temse 1 2 V6 ee Oy 122y ay v6 2 logo o Angulo que forma a tangente a curva é a arctan Ve Exercicio 5115 O Seja fx y aa y e9 quando xy 4 00 Calcuar 0 1 xv Solugao 1h0 f10 Temse PF 110 lim f h 0 FUL 0 Ox h0 h 1 mal h2 02 sen1h0 1 1 hy 1 ag LEM AP O tg EAP H1 h0 h h0 h Of Portant 10 3 ortanto 5a Exercicio 5116 Verificar que as seguintes funcdes sao homogéneas Achar seu grau Solugao 273 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Sejamt ER t0e fz y ax by temse ftx ty ata bty Pax by t fa y E homogénea de grau m 2 2 2 ayx bxy 28 tER t40 y temse ejam ZO0e fx y rty atytx btxty 4 ayx bry 9 ta ty ae 8 Pe Ef ez ft ty TE fle y E homogénea de grau m 2 3 Sejam te Rt40e fz y vx 6y4 temse f tx ty 5f y Vte4 6ty4 Wt x4 6yt Vt fa y 4 E homogénea de grau m 3 212 4 Sejam t R t 0e fz y Ln 4 temse ta ty vty 6 tx ty Ln Ln fz Fee ty bn tn SE 0 Flow E homogénea de grau m 0 5 Sejam t R t 40e fa y z 50rvyz temse fta ty tz Stax V ty Wtz St Vay Pz t fz Y z E homogénea de grau m 1 3 Sejam t Rt 40e fa y z 5rvy WZ temse f ta ty tz 5VtxV ty Vtz dt VarVyPwz t fe y 2 E homogénea de grau m 1 y3 6 Sejam te Rt40e fz y Faw temse ta ty 3tz 4 tx ty tz itt Natt Y 274 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II E homogˆenea de grau m 1 Exercıcio 5117 Verificar que z a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 e z a1x b1yαa2x b2y1α sao funcoes homogˆeneas logo verifique o Teorema de Euler em cada caso Solucao Sejam t R t 0 e z fx y a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 temse ftx ty a1txα1ty1α1 a2txα2ty1α2 t a1xα1y1α1 t a2xα2y1α2 t fx y E homogˆenea de grau m1 Por outro lado xz x a1α1xα1y1α1 a2α2xα2y1α2 e yz y a11 α1xα1y1α1 a21 α2xα2y1α2 A soma x z x y z y a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 1 fx y m fx y Logo satisfaz o teorema de Euler Sejam t R t 0 e z fx y a1x b1yαa2x b2y1α temse ftx ty a1tx b1tyαa2tx b2ty1α tαa1x b1yαt1αa2x b2y1α t fx y E homogˆenea de grau m1 Por outro lado xz x αa1xa1x b1yα1a2x b2y1α 1 αa2xa1x b1yαa2x b2yα yz y αb1ya1x b1yα1a2x b2y1α 1 αb2ya1x b1yαa2x b2yα A soma xz x yz y αa1xa1x b1yα1 αb1ya1x b1yα1 a2x b2y1α 1 αa2xa2x b2yα 1 αb2ya2x b2yα a1x b1yα xz x yz y αa1x b1yαa2x b2y1α 1 α1 αa1x b1yαa2x b2y1α xz x yz 1 fx y m fx y Logo satisfaz o teorema de Euler Exercıcio 5118 275 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para que valor da constante α a funcao z x3 αxy2 satisfaz e igualdade 2z x2 2z y2 0 Solucao Temse z x3 αxy2 entao z x 3x2 αy2 z y 2αxy 2z x2 6x 2z y2 2αx 2z x2 2z y2 0 6x 2αx 0 x 0 ou α 3 Satisfaz para α 3 Exercıcio 5119 Seja z 1 y2 α2x2 Mostre que 2z x2 α22z y2 Solucao Temse z y2 α2x21 z x 2α2xy2 α2x22 2z x2 2α2y2 α2x22 8α4x2y2 α2x23 2z x2 2α2y2 α2x2 4α4x2 y2 α2x23 2α2y2 3α2x2 y2 α2x23 511 Por outro lado z y 2yy2 α2x22 logo 2z y2 8y2y2 α2x23 2y2 α2x22 α22z y2 2α2y2 α2x2 8α2y2 y2 α2x23 2α23y2 α2x2 y2 α2x23 512 2y2 α2x2 2y2 α2x2 2y2 α2x2 2y2 α2x2 276 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 52 Derivadas de ordem superior Exercicios 52 ky Exercicio 521 Determine as equacgodes do plano tangente as superficies no ponto P indicado Solucao 2 y 83 a y 1 3 P225s 34 5s 9 1g PU 3G Seaue 9 16 Oz ou 4 Lt o2 2 dx 9 Oy 8 dclp 9s Oyle 4 ig 4 1 4 1 83 i 4 x 2y2 01 A equacao do plano pedido é 16x 9y 36z 133 0 2 zakny P1 1 0 Oz Oz Oz Oz S arL Sat S5 S 0 Cone SY Ox ny Oy sy Ox P OyP i jk m1 0 0011 O1ly11z00 011 A equacao do plano pedido é yz10 Oz x 72 72s se 2 3 z 42y P1 1 V2 Temse On Jin eae Oz y Oz 1 Oz 1 OY ogy OH A 82 Oy V4 2 y Ox P J2 OylP J2 ij ek 1 5 10 1 1 1 1 i 1 3S r1y14 1z V2 0 v2 FR Zs Va aw 1 0 1 V2 277 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A equacao do plano pedido é yV2z40 4 z 327 y22 P1 29 Segue z32y2 5 Oz Oz Oz Oz 60 S wy S 6 S 4 Ox Oy y Ox P Oy P i jk 1 0 6 641 3 6x14y2 41z9 0 01 4 A equacao do plano pedido é 6 4y250 5 2 e cos3y P1 e Segue zecos3y Oz Oz Oz Oz 92 3y 3e7 3 2e 0 An e cos3y Dy esen3y Aap e By p ij k w 1 0 2e2 2e01 2x1 0y ze 0 0 1 0 A equacao do plano pedido é 2e2 z e 0 6 zLn24y P3 4 Ln5 Segue zLnry Oz x Oz y 3 4 Ox a2 y2 Oy ar y Oxlp 25 Oyle 25 ij k a1 0 824 2e3Sy4 41215 0 25 25 257 25 25 01 A equacao do plano pedido é 3a 4y 25z 251 Ln5 0 7 zesenty P2 10 Segue zesenry Oz ry Oz Seosry 0 esent Te cost 7e Ox Yn Oy 4 Oxp OyIP 278 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ij ok m10 0 wv07e1 Oa24mey1z0 0 0 1 7e A equacao do plano pedido é mey z7e 0 8 zxy2Lnzy P1 12 Segue zxy2Lnry Oz 2 Oz 2 Oz Oz Fauj4e Suiy s 3 3 Ox x Oy y Ox P OyP ij k m1 0 3331 3413y141220 0 1 3 A equagao do plano pedido é 3 4 3y z40 9 24 2 yp PX h 4 Segue r wp Uf er yy pe J2 J2 g po Oz x Oz ay oe 1 oe ave Ox oe Oy ht drip s Oyle ij ik avV2 a aV2 a m1 0 1041 S 1e4yh 12 0 4 S50 e Su e 0 1 ave h 2 A equacao do plano pedido é v4 ey 2 2ya0 Exercicio 522 Determine os pontos da superficie onde o plano tangente é paralelo ao planoxy Solugao ey 2 x Oz Qy Oz Oz x Ro 424221 S 4225 0 2422 0 Logo a 9d 9 1 on 9 ay 18 Ox dz Oz J tor normal 7 é seu ve Oy Qz ij ok ct Y 1001 0 0 n 1 0 4z oS 9x 0 9 Xv O01 279 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Os pontos procurados sao 0 0 1 e 0 0 1 Oz Oz 4 2 zseny 0 e cosy seu vetor normal 7 é Ox Oy td 2k 1 m10 0 0 cosy 1001 y CRE keZ 0 1 cosy T on Os pontos procurados sao A 3 2kr 1e A 2k 1 onde A é constante ek EZ O O 38 zryeytery ry23r2y e a 7712 2y seu x y vetor normal 7 6 7 xy2 324 2y 21x2y 1001 ry2322y0 a1x22y 0 513 3 0 Resolvendo 515 os pontos procurados sao 0 y 0 a 0 0 e 5 e 0 we R yeER 3 3 Oz 3 Oz 3 4 zaxl2Qry8y W321l2y e 24y 122 seu vetor normal Ox Oy n é ij k m1 0 32212y 32 12y 24y 12x 1 0 0 1 0 1 24y 122 r4y on r24y S 4yHr4y yy10 Os pontos procurados sao 0 0 0 e 2 1 8 Exercicio 523 Mostre que todo plano tangente ao cone x y 2 passa pela origem Solugao Calculo do plano tangente Oz Oz Oz Oz y Q22 ce wax S2 Ox Or 2 Oy Oy Zz 280 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Calculemos 0 vetor normal no ponto 29 Yo Zo ijk x w1 0 m2 1 0 Z O11 Z0 A equacao do plano tangente é x y x 29 y yo 2 2 0 0 0 ror 5 yoy Yo 202 2 0 2xr yoy 27 0 Como o ponto 0 0 0 satisfaz a equagao do plano entao passa pela origem Exercicio 524 Determine o adngulo entre a reta L 2 5 12 44 1 3 te Rea normal a esfera x y z7 121 no ponto de intersecao da reta e a esfera Solucao Determinemos o ponto de intersecao da reta com a esfera 24 4t 54 123t 121 3t20 t1 t2 Quando t 1 a reta e esfera se cortam em P2 6 9 Quando t 2 a reta e esfera se cortam em Q6 7 6 Oz A calcular o plano tangente em P2 69 z 1212y logo in x x Oz y OZ 2 Oz 2 ce Assim e 12122y2 Ox 121 x y Ox P 9 OylP 3 O vetor direcgéo a reta L é U 4 1 3 o vetor normal ao plano tangente no ponto Pé7 e seja a o angulo entre estes dois vetores ij ik 5 5 zl10 2 21 3 nv 13 n 9 M as 35 COS a S SOF TT 2 93 aiel 1126 0 1 3 O angulo de int ao da ret f to P2 69 é S angulo de intersecéo da reta e esfera no ponto 6 é a arccos 6 P 11726 Para o ponto Q6 7 6 temse que o angulo de intersecéo da reta e esfera nesse ponto 13 é 6B arccos p al Exercicio 525 281 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Em que pontos da superficie x 4y 1627 2xy 12 os planos tangentes sao paralelos ao planoxz Solugao Exercicio 526 Determine um vetor tangente dé curva de intersecdo das superficies x 3azyz 1 e 3xry 2yz60 no ponto 1 2 0 Solucao Exercicio 527 x 5x Mostre que as superficies z ez se interceptam en angulo 4 y V reto no ponto 1 2 1 Solugao Exercicio 528 Mostre que o plano tangente a esfera x y z 1 no ponto Pox0 Yo 20 tem por equacao xXy YYo 2 1 Solucao A esfera podemos escrever como a uniao das superficies z fxy 12y ezgtyV1l2y Para a parte superior da esfera temse O x O x Of re OF Or 12 y Oy Vla Vlay Vl2y A equacao do plano tangente na parte superior da esfera em qualquer ponto Po29 Yo 20 é dado por 29 yo a 279 AY y yp SE 2 1 0 isto 6 como z fx yo Vl xz2y 242 2 XLXO 22 XH Yo 2 cero yuo 20 0 5 o w 0 vo o 9 o YyYyot 2 1 0 0 Para a fungao z gxy parte inferior da esfera verificase a mesma igualdade Exercicio 529 22 42 2 2 42 x Zz x Zz Andlogo ao exercicio anterior para os hiperboloides 4 Fe le YY Fy a C a Y C Solucao 282 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II gt oy Para a superficie 5 1 seja z fxy logo a b c a 2 9 2 2 2 Of te OF ue PE Ey Ox za Oy 2b za zb A equacao do plano tangente 4 em qualquer ponto Po29 yo Zo da superficie é dado por a 00 yw OS 2 sa1 0 XL X9 ys 2 1 0 Zot YY Yo xb 0 2 22 2 22 LLOC XGOC Yor Yc to é 4 Ys 2 D logo za za en zd 5 eto Wo 220 Ct WO 7 Zz a2 b C zw az ob TXQ YY 0 rr an Portanto 1éaequagao do plano tangente a superficie a b c aa ib 1 em qualquer ponto Exercicio 5210 Achar a intersecaéo com os eixos coordenados de cada plano tangente superficie Vx Pt VE Ve Solucao Exercicio 5211 02 Oz Oz Seja zfxy suxy taxy Verificar que dn OP 4a Solucao Exercicio 5212 Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funcoes 1 zLn2y 2 2 arctan 3 zer 1xy x y 4 2 5 warytyz eu 6 zIn xcy x 7 w 8 wsenx y 2 9 ze EytzZ Solucao Ow Qx Ow 2y 2 1 L 2 2 SSS Ss Tale Ox a y Or a y Ow 2ay De modo andlogo 2a Oye 22 y22 x 20 z arctan2 1 xy 283 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 30 zer 40 z uy Ow Ow B wrzytyztee y27 Ox Ox Ow Ow D d Al 0 0 e modo andlogo ap 52 2 y 6 In einX 7 wae EytzZ 2 24 22 Ow 21 24 22 8 wsenay2 Dp 2x cos y 27 xv Pw 2 2 2 2 2 2 2 a2 2cosa y 2 4xsenx y 2 a De modo andlogo 5a 2cosa y 2 4ysena y 2 y Pw 2 2 2 2 2 2 2 D2 2cosa y 2 42sena y 2 Zz 9 zeru Exercicio 5213 1 1 1 Sea u 4 determine se UY Yr 22 udu du au au au Ox Oy OA Oxdy Oydz Ozdx Solucao 1 1 1 De u segue UY YyYrrz 22 Ou 1 1 Ou 1 1 Ou 1 1 Ov 22 ay Oy w yy yz Oz yz 22 Ou 2 1 2 Ou 2 1 2 Ou 2 1 2 Ou wy z28 Oy y 28 wy OO z 8 y 298 284 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Somando estas trés ultimas igualdades ru Oui Ou 2 2 2 2 4 oy og 4 514 at aft ba 2 Gop tae a en Por outro lado Ou 2 Pu 2 Pu 2 Oz0x zx 23 Oxdy x y8 dyOz y2z8 de onde ru ru Oru 2 2 2 So 4 Sy Dy 515 Oz0x t OxOy t OyOz x3 t x y3 t y 515 ru Oui Ou ru ru Oru S do 514 015 lta 4 4 2 4 0 omando 514 e 515 resulta 7 ap F22 par Dyde a Exercicio 5214 Oo Oo 1 Seja uaxLnx z z onde z x y Mostre que ae ae Tye Solucao 0 2 9 Temse uabLn41zz n Ln z tn oF assim obtemse 9 9 Ox 1 1 3 re Ox UL z Zz x L L 2L Ox nx 2 ure Ox net 5 L 2 ac nx 2 L 2 Por outro lado 27 22y Fg SY Ox fx y2 Oy Vx 4 Pu 1 zZ Or atz x2 Oz O La OO De modo analogo Oy ay q Exercicio 5215 Calcule as derivadas parciais indicadas 2 y2 Orz Oz 1 fy vy Fee Fyy 20 zer Or ay Oz Oz 3 Ln1 awa O A 4 3y4 3 rus zLnl2y Da2 Dip gxy 4ay Y Gros Iyy Solucao 1 fxy ry fr 307y fea 6xy fy 2xy tuy 2x 285 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 z ex2y2 z x 2xex2y2 z y 2yex2y2 2z x2 4x2 2ex2y2 2z y2 4y2 2ex2y2 3 z Ln1 x2 y2 z x 2x 1 x2 y2 z y 2y 1 x2 y2 2z x2 21 x2 y2 1 x2 y22 2z y2 21 x2 y2 1 x2 y22 4 gx y 4x3y4 y3 gx 12x2y4 gxx 24xy4 gy 16x3y3 3y2 gyy 48x3y2 6y Exercıcio 5216 Nem sempre as derivadas parciais mistas de segunda ordem sao iguais Considere a funcao f dada por fx y xy3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Verificar que 2f xy 2f yx em 0 0 Solucao f x y5 x2y3 x2 y22 se x y 0 0 lim h0 fh 0 0 h 0 se x y 0 0 f y 3x3y2 xy4 x2 y22 se x y 0 0 lim k0 f0 k 0 k 0 se x y 0 0 2f xy 6x2y4 3x4y2 y6 x2 y23 se x y 0 0 lim h0 f y 0 h 0 h 0 se x y 0 0 2f yx 6x2y4 3x4y2 y6 x2 y23 se x y 0 0 lim k0 f x0 k 0 k 1 se x y 0 0 Assim verificarse que 2f xy 2f yx em 0 0 286 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 5217 Seja u 4x2 y 22 Mostre que Ou Ou Pui 2 OLnu OLnu dLnu 1 lL s5agtaap 200 ot et Ox Oy Ozu Ox Oy Oz u Solugao 1 Dadou fae yt2 SS War 4y42 Ou Oru dul ru xy quot o CHa1 s 5 1F Ov Ox oe Ox u Ou Oru du Oru yy Qu dy Cea Ss 5 17 Ay y Oy Te Ox u Ou ru du ru 272 gut aor Shu S Ss 7 1 Oy O02 on Ox u Somando estas trés ultimas igualdade temse au Pu Pu fattvee Ox Oy O02 u2 Portant Ou Hu eu 2 ortanto Ox Oy Oz ou 2 Dadouay24 22 Lnu Lnia t y 27 9 Jlnu Qx OLnu y 27 2 Or xt yr4 2 Ox a2 y 22 9 JLnu 2y OPLnu a 27y Oy wtyt Oy a y 2 9 JLnu 22 OLnu y 4 27 dz xt y 2 Oz a2 y2 22 Somando estas trés ultimas igualdade temse OLnu Fin Finu Yee4W42yyrte 1 Ox Oy O22 x y 27 u OLnu OLnu OLnu 1 Portanto or aye 2 2 Exercicio 5218 Determine quais das seguintes funcgoes sao harmonicas Solugao 287 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II of Qx Of 2y 2 1 Iny Boe GD w fxy nx y dx 2 yp ax2 x y of 2y Of x y De modo andlogo temse ay ey Oy y Oo Oo Somando as duas ultimas igualdade os of 0 Ox Oy Portanto fxy Lnx y é harmonica 1 9 1 20 fzy2 Consideremos u 5 de onde obtémse Jrpt 2 eyr z Ou x 1 Ou 3 ru 35205 Oo Oo De modo andlogo temse ot yb 3y7u Ot 43 4 32205 Oy Oz Somando as trés tiltimas igualdade OF OF OF 3u432y27u 0 Ox Oy Oz 1 As Portanto fxyz Jeu é harmonica Exercicio 5219 or OP Seja fxy xye Mostre que x as y a 0 Solugao O Oo 2 Temse fxy xye ol xye vt tere Of 8y42 Of 3yx 27 at Me Tt ot af Wet fo 2 a3 ep ey ta Pp erly 516 2 3 2 3 2 Ow OF Byte oy yy OF BUF oy 547 OzOx OyOx y OyOx y or OP Somando 516 e 517 segue que z a Yy iB 0 Exercicio 5220 Oo Oo Seja za yyerY Verifique o seqguinte x indy y a 0 Solugao Exercicio 5221 Oo Oo Seja fxy Lna y tanx y Mostre que a ae Solugao 288 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Temse Of 1 2 Of 1 2 dn ry seca4y de yp 2secx y tanx y 518 Of 1 2 Of 1 2 dy bay secxy a yp 2secx y tanx y 519 Of Cf De 518 e 519 segue que On Oy Exercicio 5222 Oz Oz Orz Sejazfxzy sxy taxy Verificar que On Op 4a Solugao 202 Os dz We DW dx Os Ox Ot Ox dx Os ot Oz 0 2 ay 4 2 Ofz Os Oz Ot 2 Ot dx Os dx Ox Os Ot ds2 Ox OtOs Ox Ot Ox Osdt Ox Oz O72 Oz 02 O27 Or Ta D BGs a DF Bae y Oz Oz Oz Or a 02 asat S OP 620 ded As Oz De De de dy Os Oy Ot Oy dy Os Ot Oz 80 dz Oz Oz Os Oz Ot O27 Ot Oz Os 1 1 4 J 4 a 4 Oy Oy Os Ot Os Oy Otds Oy Ot Oy Osdt Oy Oz O72 Oz 02 O27 ay a Fas e aaa Oz Oz Oz Ox Oy O82 Osdk OP 621 Oz Oz Oz De 520 e 521 segue que de Op 4D 289 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 53 Diferenciais Exercicios 53 ky Exercicio 531 Calcule o diferencial total das sequintes funcgoes Solucao hog ee th SS dz Qre dr 2ye dy 20 ze4y3ry dz3aydr4 3y xdy 1 1 1 3 uLnryz du de dy f dz de dy dz LYyZ LYZ LYZ x y z 40 zx27y dz 2rydx 3x7 y2dy 5 utanry2zcosy dusecx 4 ydx secx y zsenydy 2z cos ydz 2 22 4 2 4 2 6 254 dz 9 dy dy a y x2 y2 x2 yp x 7 2 arcsenry 3 4 dz 3 Ln3ldze 04 Ss lar Fs 3 Ln3jdy 8 cytY dzyrx dr 2 yxLnaxdy Exercicio 532 Calcule um valor aproximado para Solucao 1 102301 2 1020 97 3 sen47 cos 44 4 405 2 93 Exercicio 533 Calcule o diferencial total e o acréscimo total da fungao z xy no ponto 2 3 se Az 01 e Ay02 Solucao 290 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O diferencial total de z xy e dz z xdx z ydy ydx xdy no ponto 2 3 se x 0 1 e y 0 2 temse dz 30 1 20 2 0 7 O acrescimo total de z xy e z fx x y y fx y no ponto 2 3 se x 0 1 e y 0 2 temse z f2 0 1 3 0 2 f2 3 2 13 2 23 6 72 6 0 72 Exercıcio 534 Determine para a funcao fx y x2y o acrescimo total e o diferencial total no ponto 1 2 se Solucao 1 x 1 e y 2 O diferencial total de z x2y e dz z xdx z ydy 2xydx x2dy no ponto 1 2 se dx x 1 e dy y 2 temse dz 2121 112 6 O acrescimo total de z x2y e z fxx yyfx y no ponto 1 2 se x 1 e y 2 temse z f11 22f1 2 224112 16 2 14 2 x 0 1 e y 0 2 O diferencial total de z x2y e dz z xdx z ydy 2xydx x2dy no ponto 1 2 se dx x 1 e dy y 2 temse dz 2120 1 110 2 0 6 O acrescimo total de z x2y e z fx x y y fx y no ponto 1 2 se x 1 e y 2 temse z f1 0 1 2 0 2 f1 2 1 122 2 112 2 66 2 0 66 Exercıcio 535 Determine a taxa maxima de mudanca para as seguintes funcoes nos pontos indicados Solucao 1 fx y z xy2 x2z P03 1 2 2 fx y z ex cos y eysenz P01 2 2 3 fx y z x y2 z2 xy 2z P02 3 2 4 fx y z xz zx yz zy P04 1 1 5 fx y z xz y2t P01 0 3 2 291 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 536 Determine as diferenciais para as fungdes 2 1 zgbLny V2 2 y tan 3 u ry x A z Lncos 5 z222 327yy 6 224 2ry y Exercicio 537 Achar o incremento total e o diferencial da funcao z x xy y se x varia de 2 até 21 e y varia de 12 até 122 Solugao e O acréscimo total de z 2 xryy 6 Az fx AzyAy fxy no ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 02 temse Az f2 0 112 02 f 212 2 1 2 112 2 12 2 24 24 144 12763 124 363 9 Oz Oz e O diferencial total de z 2 xyy édz a tt ta dy 2rydx2yxdy t y no ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 02 temse dz 80 1 220 2 36 Exercicio 538 Achar o incremento total e o diferencial da fungao z Lnx y se x varia de 2 até 21 e y varia de 12 até 129 Solugao O O 2ad 2yd O diferencial total de z Lnx y 6 dz 5 de a aap 2a no 401 2409 ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 09 temse dz 1632 Exercicio 539 Seja e Calcule um valor aproximado para a variacéo Az em z quando x 1 aumenta em 1 e y 1 aumenta em 0 2 1Calcule um valor aproximado para z correspondente ax 101 y1002 Solugao Exercicio 5310 V A energia consumida num resistor elétrico dada por P Qiatts Se V 100volts e R 10o0hms calcule um valor aproximado para a variagao AP em P quando V decresce em 0 2volt e R aumenta de 00lohm Solugao os V Sendo a energia consumida num resistor elétrico P R pelos dados do problema R100hms AR 001 ohms assim como V 100 volts e AV 02 voltss 292 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II OP OP OP V OP 1 Sabese que dP api ay iV Observe que aR OV PR logo dP10 100 100 001 02 0001 002 0 021 10 10 A energia consumida no resistor P esta diminuindo em 0 021watts Exercicio 5311 Calcular o valor aprozimado de 001 302 3 14 Solugao Exercicio 5312 O comprimento C a largura L e a altura H de uma caixa variam com o tempo A certo instante as dimensoes da caiza sao C 5m L 3m e H 10m onde C e L estado aumentando a uma taza de 025ms ao passo que H esta diminuindo a tara de 05ms Nesse instante determine as taxas nas quais o volume e a area da superficie estao variando Solugao Exercicio 5313 Determine o erro maximo no calculo da area da superficie e no calculo de volume de uma caixa aberta retangular com altura 25cm largura 30cm e comprimento 70 cm com erro maximo de 03cm em cada dimensao Resposta dv 1380cm3 e dA 120cm Solugao Exercicio 5314 O periodo T em segundos para oscilagdes de wm péndulo simples que tem pcm de largura dado pela formula T anf onde g a constante de aceleracao da gravidade g Sabendo que p 13cm eg 98cms e que foi a leitura incorreta com p 1295cm e g 985 cms encontre a variagao do pertodo T Resposta dT 001027 segundos Solugao 293 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 54 Diferencial exata Exercicios 54 ky Exercicio 541 Para cada um dos seguintes exercitcios determinar quais sao diferenciais exatas Caso seja diferencial exata determinar a funao da qual diferencial total Solucao Aqui C R é uma constante OM 1 aydxa2ydy0 Mazyay Nxy 2 2y logo Oy 1 ON e 1 Logo é diferencial exata Ox OF Seja dFxy w ydxx2ydy0 Dg ew x y de onde xv 1 Ploy o yde vy 52 y oly OF 1 Por outro lado Dy y ayvy 2y assim vy sy y 1 E diferencial exata da funcao Fx y gl yPyJC 2 2 327ydra23ydy0 M2y 224 327y Nazy 22 y OM ON Assim 327 32 logo é diferencial exata Oy Ox OF 3 2 Seja dF xy a ydxx2ydy0 Dp ey x 3xy de onde xv 1 Fxy Jo 30yda uy Fa 2y oly OF 3 3473 I 4 Por outro lado Oy y a uy 2y assim vy q a x 1 4 3 1 4 E diferencial exata da funcao Fz y q2 aPy q C e y Po 3 Sp 3 5ay 0 Mzy Nay OM ON Oy Ox Logo 294 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4A ye2rydrre2dy0 May ye2ry Nx y ve 27 OM ON Logo yt eY yre4 2 e or eY rye 2y Assim é diferencial y x exata 9 OF Seja dF xy ye 2aydx xe xdy Dy ey ye 2xry de x onde Fx y lve 2axyldx uy fe xy vy OF 2 d 2 2 Por outro lado Dy y te 2 ae ay uy assim reY 2 y y re x y logo vy y E diferencial exata da funcdo F2y e a7yyC 5 ysecadr tanady0 M2zy ysec2 Nzy tanz Assim OM ON secx sec 2 logo é diferencial exata Oy Ox 3 OF Seja dFxy ysec rdxtanrdy Da y ye2ry de onde Fx y x usec xdx vy ytanaz vy OF Por outro lado Dy y tanzvy tang logo vy C y E diferencial exata da fungao Fxy ytanxC 1 1 1 1 6 2ydx2edy0 May2y Nay 2x4 Assim zt y zt y OM ON 2 2 logo é diferencial exata Oy Ox 1 1 OF 1 Seja dF xy 2y ae 2x yy Dg ey 2y 7 de onde 1 Poy fy 2dr oly Bary Lua oly OF 1 Por outro lado Dy 6h y 2a0y 2x logo uy Lny y y E diferencial exata da fungao Fx y 2ry Ln C x 5 3 3x7 5 3 327 7 3aLny x2dx dy0 May 3xLny 2 Nzxy y y OM 32 ON 6 Assim a a logo o diferencial nao é exata Oy y Or sy 8 xcosxtanydrrtanzcosydy0 Maya24cosrtany N2zy OM 5 ON 9 xtanacosy Assim cosxsecy 1secxcosy logo nao é Oy Ox diferencial exata 295 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 x2 2xydx y3 x2dy 0 Mx y x2 2xy Nx y y3 x2 Assim M y 2x N x 2x logo nao e diferencial exata 10 x2senydx x2 cos ydy 0 Mx y x2seny Nx y x2 cos y logo M y x2 cos y e N x 2x cos y Como M y N x segue que x2senydx x2 cos ydy nao e diferencial exata Exercıcio 542 As equacoes xu yv x2u2 y2v2 3 e xu2 x2u yv2 y2v 2 podem ser resolvidas para obter x fu v e y gu v Achar x u x v y u y v utilizando derivacao implıcita Solucao Exercıcio 543 A altura de um cone e de 14 cm e aumenta na razao de 0 03 cmsg O raio e de 8 cm e aumenta na razao de 0 04 cmsg Determine a taxa de variacao do volume em relacao ao tempo Solucao O volume e dado por V r h 1 3πr2h pelos dados do problema temse h 14cm r 8 cm dh dt 0 03 cmsg e dr 0 04 cmsg Sabese que dV V h dh V r dr logo dV dt V h dh dt V r dr dt dV dt 8 14 1 3π820 03 2 3π8140 04 assim dV dt 8 14 3 627π A taxa de variacao do volume em relacao ao tempo sofre um incremento aproximado de 3 627π cm3sg Exercıcio 544 A voltagem V de um circuito eletrico esta decrescendo a medida que a bateria se descarrega A resistˆencia R esta aumentando devagar com o aumento de calor do resistor Use a lei de Ohm V I R para achar como a corrente I esta variando no momento em que R 30 ohms e estiver aumentando 0 15 ohmss e V 26 volts e estiver diminuindo 0 25 voltss Solucao Sendo a voltagem V I R I V R pelos dados do problema R 30 ohms R 30 ohms assim como V 26 volts e V 0 25 voltss 296 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabese que dI I RdR I V dV Observe que I R V R2 I V 1 R logo dI26 30 26 3020 15 1 300 25 0 00433 0 00833 0 01266 A corrente I esta diminuindo em 0 01266 ampressg Exercıcio 545 A lei do gas ideal e dada pela formula PV kT onde P pressao V volume T temperatura e k constante de proporcionalidade Encontre a taxa de variacao da pressao em relacao ao tempo no instante em que o volume do gas for 400 cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume aumenta a razao de 0 1 cm3s e a temperatura diminui a razao de 0 018 graussg Supor k 10 Solucao Pelos dados do problemas temos que PT V kT V tambem V 400cm3 T 40 dV 0 1cm3 e dT 0 018 graussg O diferencial total desta funcao e dP k V dT kT V 2 dV entao dP40 400 10 400cm30 018 graussg 1040 graus 400cm32 0 1cm3s dP 0 0007 dinascm2sg A taxa de variacao da pressao em relacao ao tempo e de 0 0007 dinascm2sg decresce Exercıcio 546 A resistˆencia de um circuito eletrico e dada por R E C ohms Sabendo que E 18 volts e C 6 ampres porem foi feita a leitura de E 17 985 voltas e C 6 125 ampres determinar a variacao da resistˆencia Solucao Sendo a resistˆencia de um circuito eletrico R E C pelos dados do problema E 18 volts E 17 985 E 0 015 volts assim como C 6 ampres e C 6 125 6 0 125 ampres Sabese que dR R C dC R E dE Observe que R C E C2 R E 1 C logo dE6 18 18 620 125 1 60 015 0 625 0 00025 0 065 A resistˆencia R diminuiu em 0 065 ohms 297 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 547 Um tanque cilındrico tem as seguintes dimensoes interiores raio da base R 2 5m altura h 4m e a largura das paredes l 1dm Determine aproximadamente o volume do material gasto para fabricar o tanque Solucao Exercıcio 548 A potˆencia consumida numa resistˆencia eletrica e dada por P V 2 R watts Se V 12 volts e R 6 ohms determine o valor da variacao da potˆencia se V e aumentada de 0 015 volts e R e aumentada de 0 002 ohms Interprete o sinal do resultado a potˆencia e reduzida ou aumentada Resposta dP 0 052 watts Solucao Exercıcio 549 Denotemos por z 2e x2 e3y2 a altura de um morro na posicicao x y Em que direcao desde 1 0 deveriamos comecar a caminhar para escalar o mais rapidamente possıvel Solucao Exercıcio 5410 A temperatura de cada um dos pontos de uma placa quadrada vem determinada pela funcao Tx y x13y22 Se deseja conhece quais sao no ponto 0 0 as direcoes de maior crescimento e decrescimento da temperatura Solucao Exercıcio 5411 Sejam g R2 R f C1R e gx y fx2y Sabendo que f 2 1 determine g y1 2 Solucao Temse g y f x2y x2 entao g y1 2 f 2 12 1 12 1 Exercıcio 5412 Seja f R2 R g C1R tal que f 1 e 1 1 e seja gx fx3 ex Determine g1 Solucao Exercıcio 5413 Seja f R2 R uma funcao diferenciavel tal que fu 0 0 e f0 v v para qualquer u v R Seja gx y x2 x y y2 x y 1 Mostre que h fog e diferenciavel em R2 2 Calcule h2 2 Solucao 298 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 5414 Uma partıcula deslocase em R3 sendo as suas coordenadas no instante t dadas por x et1 t y et1 t e z cost 1 Considere o movimento da partıcula em instantes suficientemente proximos de t 1 1 Sera possıvel atraves de uma medicao da coordenada x da partıcula determinar o instante de tempo t e as suas coordenadas y e z Em caso afirmativo calcule a derivada de t em ordem a x no instante t 1 2 E sera possıvel determinar x z e t com uma medicao da coordenada y perto do instante considerado Solucao 1 No instante t 1 temos que x y z t 2 0 1 1 A trajetoria da partıcula e determinada por trˆes equacoes em quatro variaveis F1x y z t x et1 t 0 F2x y z t y et1 t 0 e F3x y z t z cost 1 0 Seja F F1 F2 F3 Temos entao DFx y z t 1 0 0 et1 1 0 1 0 et1 1 0 0 1 sent 1 temos portanto que quando t 1 DFx y z t 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 As colunas correspondentes a y z t sao independentes logo pelo teorema da funcao implıcita e possıvel localmente suficientemente perto do ponto 2 0 1 1 escrever y z t em funcao de x Ou seja existem funcoes g1 g2 g3 tal que y g1x z g2x e t g3x numa vizinhanca de x 2 com Fx g1x g2x g3x 0 Queremos calcular g32 Seja hx x g1x g2x g3x Temos Fhx 0 para todo o x numa vizinhanca de x 2 Logo fazendo a derivada desta funcao composta obtemos DF2 0 1 1 Dh2 0 Ou seja 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 DF2 0 1 1 1 g 12 g 22 g 32 Dh2 0 Temos entao 1 2g 32 0 ou seja g 32 1 2 que era o que querıamos calcular 299 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observacao Tambem e possıvel resolver este problema usando o teorema da funcao inversa do seguinte mododx dt 1 2 0 Logo pelo teorema da funcao inversa local mente numa vizinhanca de t 1 podemos escrever t em funcao de x e depois usando esse fato escrever y z tambem em funcao de x Obtemos entao dt dx2 dx dt 11 1 2 o que concorda com o calculo feito acima atraves do teorema da funcao implıcita Alias e imediato de ver que xt e injetiva pelo que existe inversa global Solucao 2 Da linha anterior observamos que as colunas de DF2 0 1 1 correspondentes a x z t nao sao linearmente independentes Logo o teorema da funcao implıcita nao pode ser aplicado e nao podemos garantir que seja possıvel escrever x z t localmente em funcao de y Na verdade podemos observar que a funcao yt et1 t tem um mınimo em t 1 pelo que um valor de y perto de y 0 determina dois valores de t e nao um so indicando que a resposta a pergunta e negativa Exercıcio 5415 Considere o sistema de equacoes x cosyz 1 xsenyz 0 x y 2 Mostre que existe uma vizinhanca de x y z 1 1 0 onde este sistema tem uma solucao unica Solucao Seja F R3 R3 Fx y z x cosyz x sinyz x y Tratase de uma funcao de classe C1 que verifica F1 1 0 1 0 2 logo o ponto 1 1 0 e uma solucao do sistema de equacoes O Teorema da Funcao Inversa garante que na vizinhanca da solucao x y z 1 1 0 temos uma solucao unica desde que det DF1 1 0 0 De fato temos det DF det cosyz xzsenyz xysenyz senyz xz cosyz xy cosyz 1 1 0 zx2ysenyz cosyz zx2ysenyz cosyz xy cos2yz xysen2yz xy 300 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo no ponto 1 1 0 obtemos det DF1 1 0 1 0 portanto existe uma vizi nhanca deste ponto onde F e invertıvel e podemos concluir o que nos e pedido 301 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 55 Derivada direcional Exercicios 55 ky Exercicio 551 Determine o valor de para o qual a derivada direcional de fxy seny no ponto Po072 seja maxima Qual é esse valor maximo Solucao Observe Lalfxy eylnseny SF yLnseny de modo ans serve Lufxy ryLnseny ybLnseny de modo ana fxy Ox log of Lnseny ryt ogo rbLnseny rytany assim fay Oy q Exercicio 552 Para cada um dos seguintes exercicios determine Dzf no ponto P para o qual u um vetor unitdrio na diregao PO Solucao 1 fz y 2 2yy P1 2 QC 3 Seja w Q P 0 1 por outro Of Of ado De xaty Oy u 2y Logo Def 2a y x 2y 0 1 x 2y 2 fxy earctany P0 2 Q1 3 Seja w Q P 1 1 por outro lado Of aret Of e e arctany Ox v Oy l1y e 1 Logo Dyf e arctan y 1 1 earct ogo Dzf e arctan y i Tp 1 1 e arctan y ear a fy z2jVeryte P11 Q7 80 SejawQP 67 1 Of x Of y Of Zz por outro lado Ss Or fx ye Oy VePryPte 02 VP yPtH7 Logo x y Zz 6x Ty z Di SS a 67 1 Vrrtyte Sarpy 2 far y 2 Vr ty 2 302 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 fx y ecosyesenz P10 Q3 2 Sejaw Q P 4 2 por Of oa Of 2 outro lado e cosy e cosx eseny esenxz Logo Ox Oy Dif e cosy e cosxz eseny esenz 4 2 Dif 4e cosy e cos x 2eseny esenz Dif 2eseny 2 cos x 2esenx 2 cos x Exercicio 553 Achar um vetor unitério i no ponto dado Py tal que Dzf Po alcanga seu valor ma xiumo Solucao Como Dif Po V fll z cos onde 6 é 0 angulo entre V fz y z e wv segue que acontece o maximo quando 6 0 logo u tem que ser paralelo ao vetor gradiente 1 ft y 2 a ayztyz Pol 1 2 Temse Vf2yz 2x yz 2yz xz y ry Como Vf1 1 2 4 6 1 tio t e 1 pelo fat lel 6 1 entao uv pelo fato ser paralelo V53 53 53 P P 4 6 1 O vetor procurado é u P 3 V53 53 2 fa y z Vr y22senz Po1 1 1 Temse Vi a y z x senx 4 Ja ty 2cos a y senz Zsenxv Very 2 fer yt2r Var ty 2 senl senl senl Vfi 1 1 v3 cos 1 fC FB Ja V3 senl senl senl Entao V3cos1 seja K v BB Ja V3 sej Io 1 3 1 1 1 Portanto w Sent v3 cos 1 as a é o vetor pedido V3K V3K V3K L 3 fxy 2 A 2 4 z 1 1 L 11 1Ln2 Temse Vf u2 525 Como VF124 G 54 1 1 14 Ln2 1 entao u Re 8K onde K 16 21 Ln4 Ln2 1 1 1 Ln2 O vet do é vetor procurado é u Cra BK 16K 303 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 fr yaayty Po1 2 Temse Vfzy 2a y x 3y Como Vf1 2 4 13 entao a 4 13 Tiss iss 4 13 O vetor procurado é u P Ass Vv TSS Exercicio 554 A temperatura T graus em qualquer ponto x y 2 no espaco R e Tx y z 60 stancia é medid d Poppe ps A distancia é medida em polegadas 1 Achar a rapidez do cambio de temperatura no ponto 3 2 2 na diregdo do vetor unitario U 2 3 6 2 Achar a diregao e a magnitude da rapidez maxima da mudanga de T no ponto 3 2 2 Solugao Exercicio 555 d Calcular se z e 3Y ondextant e ytt Solugao d d2 d3 Temse z con 0y 2 ay Portanto 7 ePtant3P3t9 sec t 6t 3 Exercicio 556 Calcular o vetor gradiente das seguintes fungoes no ponto indicado Solugao 9 9 1 1 fx y 0 Ln ry 2 1 VF2 1 9 2 fa y 2 2aLny27y 110 Vf1 1 0 0 2 0 1 1 v2 3 fa y Ln 5 V2 VF5 V2 xy 5 2 Lz V2 V2 V2 4 111 111I fa Y z Ja ty Vi A 9 A 9 9 Exercicio 557 Achar o gradiente de f nos pontos indicados Solugao 25 5 1 fa Y 2 V x y 4 Po2 l 0 VE2 l 0 Oe 2 1 304 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 fxy z sen3z cosxtanz Py0 72 74 Vf0 72 74 3 fxy 2 Ln2y 22 Po113 Vf1 1 3 4 fxy 22erseny PA0 72 2 V0 72 2 4 0 4 vill vill 3vi1il 5B 6 Oofay za4274y B211 VF 1 1 11 11 11 Exercicio 558 Para cada um dos seguintes exercicios se as superficies se interceptam em uma curva achar as equagoes da reta tangente e a curva intersecao no ponto indicado 1 y2 y1627 4 16 0 20 a 422744y0 2 y226270 0 1 2 3 2costyz y1senrxz Solugao Exercicio 559 x Byrd D d 1 a an 5 ada a fungao fx y z arcsen 6 5 b4 9 1 Achar a equagao do plano tangente a superficie de nivel fx y z 6 no ponto 1 13 4 2 Em que proporcao variam os valores funcionais quando comeca a se movimentar desde o ponto 1 13 4 para o ponto 2 52 2 Solugao Exercicio 5510 Sejam fxy 244 y gzy 14 pxy Demonstrar que g no es diferencidvel na origem porém que hxy fgxy sim é diferencidvel na origem Calcular a derivada direcional maxima de h na origem Em qual diregao maxima Solugao 305 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 56 Revisao do Capıtulo V Miscelˆanea 51 Miscelanea 511 Mostre que a funcao z fx at y bt onde a e b sao constantes e solucao da equacao em derivadas parciais z t az x bz y Solucao Sejam u x at v y bt entao z t z u u t z v v t z t z u a z v b z x z u u x z v v x z x z u 1 z v 0 z u z y z u u y z v v y z y z u 0 z v 1 z u Portanto z t az x bz y Miscelanea 512 Seja Fx y f x y y x Mostre que xF x yF y 0 Solucao Miscelanea 513 Seja ft g2t2 2 5t Expresse f t em termos das derivadas parciais de g Solucao Miscelanea 514 Suponha que ft2 2t t3 3t Mostre que f x1 2 f y 1 2 Solucao Temse ft2 2t 3tt2 3 seja x t2 e y 2t logo ft2 2t fx y y 2x3 entaof x y 2 quando t 1 x 1 e y 2 f x1 2 2 2 1 Por outro lado f y 1 2x 3 quando t 1 x 1 e y 2 f y 1 2 1 3 2 1 Portanto f x1 2 f y 1 2 306 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 515 Seja z fuv vu Mostre que Oz 0 0 joes a Bu Solugao Sejam suvtvu entao Oz Of Os Of Ot Oz Of Of du Os Ou Ot Ou au as Yt ae OD Oz Of Os Of oat Oz Of Of a0 Os Ou OF Be au as Dt oe Oz Oz Portanto 0 ortanto Du Dv Miscelanea 516 Seja f uma fungao de uma varidvel real diferencidvel tal que f1 4 Seja gx y x Og Og Og Og Calcule 1 1 1 2 1 1 3 fl Cateule 1 S801 SP 1 oS u Sle w Solugao Miscelanea 517 Para cada um dos sequintes exercicios achar uma equacao do plano tangente e equacao da reta normal a superficie no ponto indicado Solugao lL a2 y217 2 2 3 2 42 y227 26 1 2 3 3 2 y3z2 2 4 6 4 2 2 1 2 uy 5 yecosaz 1 e 0 7 6 x esen3y 0 6 1 7 VafyvVz24 411 8 zx ay yz 18 0 2 3 9 Vr2 yr V2 14 8 27 1 10 22ry2x7y 1 1 1 307 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x 33 2 2 Oz 2 Oz 2 2 11 Da expressao z xy 3xy3x temse an 3x 6xy6x e Dy 3y 32 x O O no ponto 1 1 segue que 5 lL 1 32 e ay 1 0 ij k O vetor normal ao plano tangenteé7i 1 0 3 3 0 1 01 0 A equacao do plano tangente 6 IL 3410y1412 sx z10 A equacéo da retanormalé R 2 y z1 1 2t301 teR 120 22ry27y 1 1 1 Miscelanea 518 Uma funcado f R R é chamada harménica se satisfaz a equacao de Laplace Of Of oe a Prove que as seguintes fungdes sao harménicas Ox Oy 1 ft yayay 2 fx y e cosy 3 fx y e seny 4 fr y ery 5 fz y arctan 6 fx y senz cosh y uy x 1 7 fa y Vety 9 fx ylnV2y 9 fxy Solugao Miscelanea 519 Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funcoes 2 2 ry x 1 zLna2y 2 z arctan 3 z2er4 1xy x y 4 z 5 warytyz eu 6 zIn xcy x 7 w 8 wsenx y 2 9 ze EytzZ Solugao Miscelanea 5110 Seja fxy cosxy xy a Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de fxy b Determine as derivadas parciais de segunda ordem de fxy 308 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao a Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de fz y Para os pontos fora da origem temos que O at ysenry 327y O asenry 3x4 Portanto Vf xy ysenxy 3ay xsenxy 3xy b Determine as derivadas parciais de segunda ordem de fz y O f Temos que a2 ycosxy 6ry a a 2xcosxy 6xy Oo Oo a senxyrycosxy 9xy 5 Miscelanea 5111 O O O Seja fx y z aapre verifique a igualdade x at tug 20t f Solugao Miscelanea 5112 Seja f fungdo real de uma varidvel real e continua com f3 4 ry2z24 Suponha que gx y z ftdt Calcular 0 Og Og Og lL 1 11 2 111 3 066 1 11 Da Dy ml 9 9 Solugao Og 2 04 Og Soi getyte 2011F0 Og 2 44 Og 27 9 1 1 1 21f38 Sea fete F011 20f8 Og 3 2 4 Og OF 4 feyte 01 1 40f816 Oz Ox 309 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 5113 Se4 ba te P ru Oz 02 Oz eja u e e e Provar que e J q OxOy OxOy Ox Oy Solugao Miscelanea 5114 ru Pu Pu Seja u ye xe Provar que dandy d20y Dean 0 Solugao Miscelanea 5115 Oo Oo Oo Seja u xLn Provar que x ae 2095 a y ae 0 Solugao Miscelanea 5116 Para as seguintes fungoes supor que w fungao de todas as outras varidveis Deter mine as derivadas parciais indicadas em cada caso O O 1 3774 2y 6w xy 12 af a Ox Oy O O 20 2 Qry 2ew 3y w 21 a a Ox Oy Ow Ow 3 r4s h 0 w r s coshrw Dy De O Ow O O 4 a4 3a7y 227t 42t zrw 8yw 0 Sn By a Solugao Miscelanea 5117 Determine dfxy e Afxy para a funcao fx y 2 2yy em x y 2 1 quando Ax 001 e Ay 002 Solugao Miscelanea 5118 Determine dfxyz e Af x y z para a fungao fxy z senx y cosa 2 seny 22 em 2 y 2 5 20 quando Av Ay 5 Az2n Solugao Miscelanea 5119 Mostre que as seguintes funcoes sao diferencidveis 1 ft y ay 2 fr yaty 3 fr y 2y 1 1 4 x y 5 x y 6 tyay fx y vy fx y aty fx y y 310 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao Miscelanea 5120 d Calcular a seuxyz ondex t1lyLnt e ztant Solugao Miscelanea 5121 O Determine an sezy onde y 2 x Solugao Miscelanea 5122 Determine dz se z fu v onde u sen y Solugao Miscelanea 5123 dz dz 9 3 Calcular e sezfu v ondeuLnay e v zy dx dy Solugao Miscelanea 5124 O O Mostre que a fungao z y ycosx y satisfaz a equagao o CFF Ox Oy sy Solugao Miscelanea 5125 O periodo T em segundos para oscilagdes de wm péndulo simples que tem pcm de largura dado pela formula T anf onde g a constante de aceleracao da gravidade g Sabendo que p 13cm eg 98cms e que foi a leitura incorreta com p 1295cm e g 985 cms encontre a variagao do pertodo T Resposta dT 001027 segundos Solugao Miscelanea 5126 Seja um retangulo com lados x 30cm ey4cm Determine a variagao aproximada da diagonal deste retangulo sabendo que o lado x foi aumentado 0005 cm e o lado y diminuindo 0004 cm Resposta dD 0 0002 cm Solugao Miscelanea 5127 Considere a funeao f A R com A xy R vy 022 4 y definida por 1 L Fley neus5 1 Determine os pontos xy A em que f é localmente inverttvel 311 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Sabendo que f11 01 determine a derivada da fungaéo f no ponto 0 1 Solucao 1 A funcao f é de classe C no seu dominio O Teorema da Funcao Inversa garante que f tem inversa local em torno do ponto xy A desde que o determinante det Df x y seja nao nulo nesse ponto Temos y x ry ry 2 det Df xy det Y ty ae xry2x y 2a y 2a y O determinante anulase nos pontos xy em que y 2xz Como estes pontos nao pertencem ao dominio podemos concluir que f tem inversa local em todos os pontos xy A Solucao 2 Notese que temos 1 1 det Df 11 det 3 2 1 Sendo f invertivel no ponto 11 e sabendo que f11 0 1 obtemos 1 1 afi 1 DF01 Df17 anwar 4 1 2ft ah Miscelanea 5128 senasenysenz Calcular o gradiente da fungao fxy z wtdt no ponto 00 0 xy Solucao Seja a R uma constante tal que zy a senzsenysenz entao a senxsenysenz senasenysenz xy floy2 funds ff war fF wemae f voat ry a a a Of Temse an wsenxsenysenz cosasenysenz senysenz ywary xv Of ay wsenxsenysenz cosasenysenz 7 cosysenz xybxy y Of a wsenasenysenz cosasenysenz 7 cosysenz cos z y 312 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 5129 Seja fx y 2ex2 e3y2 a altura de uma montanha na posicao x y R2 Em qual direcao desde o ponto 1 0 deviase comecar a caminhar para escalar o mais rapido possıvel Solucao Miscelanea 5130 Seja a funcao fx y xy 1 Usando a definicao da derivada direcional demonstrar que as derivadas parciais na origem sao nulas e nos pontos 1 0 1 0 0 1 e 0 1 sao as unicas direcoes para as quais existe derivada direcional na origem 2 E contınua em 0 0 3 E diferenciavel em 0 0 Solucao Miscelanea 5131 Escrever a equacao do plano tangente a superfıcie z r cos3θ coordenadas cilındri cas no ponto correspondente a r 1 θ π 3 Solucao Miscelanea 5132 Seja u a b um vetor unitario dado Calcular f u0 0 onde fx y x3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Solucao Note que f0 at 0 btf0 0 t a3t3 ta2t2 b2t2 a3 a2 b2 t 0 Como u a b e um vetor unitario entao u a2 b2 1 Logo f0 at 0 btf0 0 t a3 a2 b2 a3 t 0 Assim f u0 0 lim t0 f0 at 0 btf0 0 t lim t0 a3 a3 Portanto para todo vetor unitario u a b temse f u0 0 a3 Miscelanea 5133 313 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja ux y x2 y2ϕx y onde ϕ R R e uma funcao diferenciavel de uma variavel real Mostre que x u x y u y 2u Solucao De ux y x2 y2ϕx y segue u x 2xϕx y 1 yx2 y2ϕx y Por outro lado u y 2yϕx y x y2x2 y2ϕx y assim x u x 2x2 ϕx y x y x2 y2ϕx y 522 y u y 2y2ϕx y x y x2 y2ϕx y 523 Somando 522 e 523 segue x u x y u y 2u 314 01012023 Capitulo 6 Aplicacoes das derivadas parciais 61 Maximos e Minimos Exercicios 61 ky Exercicio 611 Identificar os extremos das seguintes fungdes de modo algébrico apdés de completar quadrados logo verificar estes resultados usando derivadas parciais Solugao 1 fa y a y 42 6y 5 2 fx y a y 8r44y11 3 fx y 214 422 y 4 ft y Vr ty4fa y Vv y44 1 5 fa y 91449 22y2 1 6 fz y Vertyetd Exercicio 612 Para os seguintes exercicios determinar os extremos relativos de f Solugao 2 lo za 54 ry 315 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O O 2 2 182 32y36r 128y 110 36r36 64y 128 Ox Oy O O quando a 0 0 Ss rH 1 y 2 logo 1 2 é ponto critico Ox Oy 360 OO A12 2304 0 0 64 Logo 1 2 16 é ponto sela para da superficie z 18x 32y 36x 128y110 1 8 3 2 ry zt y 4 zsenxy senz seny 1 4 8 5 y cy xy xy O O O 6 wHety4246y22 a 2x 4 2y 6 222 Ox Oy Oz O O O quando ov 0 ow 0 or 0 r2 y3 z1 logo Ox Oy Oy 2 3 1 é ponto critico 2 0 0 A2310 2 080 0 0 2 Ow Logo como a 2 0 entaéo 231 é ponto de minimo da superficie w xv xy 2 4a by 22 O O 7 2 4ry222ye a Ay dry 1 Sry 2x quando Ox Oy O O 90 0 5 2e4yxz 0 x 0 ou wx 4y Quando Ox Oy 1 r0 y 5 o caso 4y nao satisfaz 1 Logo 1 5 sao pontos criticos 4y 8y4a 1 1 Aay Al160 A148 0 v9 ae 15 5 1 1 ys 2 2 Logo 1 5 e 1 5 sao pontos de sela para da superficie z 4ay 2ay x 8 z2y 3ry 18x4 y 316 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 fx ya2 y82ry 4y 10 fa y 2y 5x 8ry By 11 fz y22yy 3x by 5020 12 zxzy r0y0 zt y 13 fz y2 3ayty 14 fx y 1202 120y ry 2 7 of Ax Oz 2y 1b ft y Y2ryP Ss 2 ee SL f y y Ox 2a y Oy 2a y 0 0 quando co 0 0 S 0 on y 0 Logo 00 é ponto critico Ox Oy Nao podemos aplicar o critério hessiano Como f00 fxy Vr y R segue que 00 6 ponto de maximo absoluto para a superficie fx y 2x y 16 fx y 20 yer It fx y 12 y4 18 fx y 9 2 y 3 19 fz y z a y 2 2y Zz 2 20 fla y 2 et 24245 Ly 2Z Exercicio 613 Determine a distancia minima da origem de coordenadas ao cone z x 1 y 2 Solugao Exercicio 614 Determine constantes a e b para os quais Fa b sone ax badx seja 0 minima Solugao Observe Fa b loon ax br dx sent 2senxax bar ax br dax 0 0 317 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Fa b sentode 2 f sensax bxdx cs brdx 0 0 0 i 5 ab P Fa b sontude Qlan ba 4a oe st aT 0 logo OF 7 OF 2 at 2an 2 p 72 S aq TS et ay hh Fy 2 97 23 am 5 2am 27 0 br n20 ab0 5 3 2 Por outro lado OF 7 OF 2 OF OF r 272 27 n 0 n2 Ss aa 2 B 3 Dead 9 baa 2 7 In IAr Fn3 2 AFwy 2 5 727 a apooy s0 0 om 0 x Quando a b0a F00 atinge seu minimo Exercicio 615 Achar trés ntimeros reais positivos de modo que sua soma seja 24 e seu produto o maior possivel Solucao Sejam x ye z os numeros Temse z 24xye seu produto fxy ry24xy logo O O OF o4y dye y2 0 OF o4y oye 22 0 Ox Oy xy242y270 wy8 Por outro lado Of Of ef of 9 oF 97 2427 2 UMW2r Ox v Oy a OyOx oo 9s Oxdy yee 2 2427 2 16 8 Afoy S ALB8 0 24 2a 2y 22x 8 16 Logo o produto é maximo quando y z 8 Exercicio 616 Um fabricante deseja construir uma caira de 36cm com tampa Quais as dimensdes a ser consideradas para minimizar custos Sabese que o fundo e a tampa da caixa custam o dobro que os lados por cm 318 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Primeira solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa onde area do fundo e tampa medem xz respectivamente a Area lateral da caixa mede 2xy yz Seu volume é dado por V2y 2 xyz 36cm Por outro lado o custo para a fabricacao dessa caixa consi derando valor do custo do fundo e tampa 2 e custos da area lateral 1 O custo da fabricagéo de uma caixa é dada por S 24z xz 12xry 2yz consideremos a fungéo Fx y z 4xaz 2ry 2yz Axyz 36 OF OF 47 2y rAyz 0 24 2z4 Arz 0 Ox Oy OF OF 4x4 2y Ary 0 360 De a 2y Ary Dr XYZ 2Qyaz0 2ey2z0 S vr2z y22 227736 5S zVI18 Portanto quando dimens6es sejam x z V18 cme y 2W18 cm teremos um minimo de custo em material Segunda solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa onde area do fundo e tampa medem xz respectivamente a Area lateral da caixa mede 2xy yz Seu volume é dado por 3 36 36 Vaxy2z xyz 36cm ry ye Por outro lado o custo para z x a fabricacao dessa caixa considerando valor do custo do fundo e tampa 2 e custos da area lateral 1 O custo da fabricagéo de uma caixa é dada por S 2azaz12yz 2yxrentao Por outro lado sua superficie S é dada por 36 36 72 72 S 224z 122 Saz 4eaz24 x z x z Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 72 Os 72 Ox op Oz 3 de onde x 18 e 2 18 logo x z WY18cm Calculo do hesseano OPS 144 OS 4 OPS 144 Og 4 0x2 OzOnxn 22 aE 144 4 144 4 ASxz yy ASV18V18 18 44 480 4 4 2 18 319 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II OS 144 Como 0 acontece minimo em S Ox 14 Portanto quando dimens6es sejam x z V18 cme y 2W18 cm teremos um minimo de custo em material Exercicio 617 Achar a distancia minima entre o ponto 0 2 4 e os pontos do plano xyz5 Primeira Solugao Seja P qualquer ponto do plano por exemplo P500 e considere o vetor de P a 0 2 4 isto é v 5 24 A menor distancia do ponto dado ao plan o é dado pela projecao do vetor v sobre o vetor normal n 111 ao plano isto é d Projat v e7 I 24e a 11V3 TO i el i 7 v3 3 Segunda Solugao A distancia do ponto P29 yo 2 ao plano Az By Cz D 0 estaé dado pela A B C D 0 245 11 1l1v3 formula d re logo d 0 2 4 5 se lyv3 A2 B24 C2 12 412 1 J3 3 Exercicio 618 Achar nimeros positivos x y z de modo quexy218 e ry2z seja maximo Solucao Seja fxy z ry2 com restrigoes gx y z x yz18 consideremos a funcao Faxyz ryz ax y 2 18 com derivadas parciais OF 7a0 ay Ox OF OF 2y2a0 2ayza0 S 22yzy2z0 yz Oy Oz ae 22 OF 2 22 2 substituindo yz em Br segue que 2xyzy27 0 yz2xz 0 logo Zz 2x z substituindo em OF s ryz180 Oa 18 36 36 segue que f y ez 18 36 36 30233088 9674 58816 1 15 2 900 1 18 36 36 ys ponto estacionario 5 5 é ponto de maximo condicionado Exercicio 619 320 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Mostre que todos os tridngulos com um perimetro dado o de maior area o equildatero Solucao Seja um triangulo de lados x y z e consideremos o semiperimetro p xy Z Pelos dados do problema seja o triangulo de perimetro P 2p sua Area A em fungao do semiperimetro é dada por A ppxpyp z os valores dex y z que maximizem esta area sA0 os mesmos que maximizam A fz yz pp2xpyp z Assim temse a funcao Fxyz pp2xpyp z Aaty4 22p of of pp A0 pp A 0 5p PP yv 2 Bi pp p 2 of of i 0 2n0 5B PP p y ay ety t2 2p Ppzy20 pip2zyz0 pipyz20 reyz 2 Também dexy22p0ry22p0 3S wesy2z 3 3P Portanto os triangulos com um perimetro dado o de maior area é o equilatero Exercicio 6110 Achar um paralelepipedo de volume maximo entre todos os paraleleptpedos retangulares que tenham uma soma dada de comprimento das arestas igual a 12a Solucao Suponhamos o paralelepipedo como mostra a Figura 61 logo 4a y z 12a entao x y z 3a onde a 0 fixo O volume deste paralelepipedo é V xyz entao Vzy y38a x y de onde av av 3ay 2yx y 0 3axr 2yx x 0 Ox Oy z vy x Figura 61 Resolvendo o sistema achamos que 7 y z a Calculo do Hesseano 2a a AV aaa 3a 0 a 2a 321 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II como 2V x2 0 o cubo satisfaz as condicoes pedidas do problema O cubo de lado a satisfaz o problema Exercıcio 6111 Achar o valor maximo e mınimo da funcao fx y Solucao 1 fx y x 2y 5 na regiao limitada por x 0 y 0 x y 1 2 fx y x 2y 5 na regiao limitada por x 0 y y x 1 3 fx y x2 y2 xy x na regiao limitada por x 0 y x y 3 4 fx y xy na regiao limitada por x2 y2 1 5 fx y xy2 na regiao limitada por x2 y2 1 6 fx y 123x2y na regiao triangular no planoxy com vertices em 1 2 2 0 e 0 1 7 fx y y 2x2 na regiao triangular no planoxy com vertices em 1 2 2 0 e 0 1 8 fx y 3x2 2y2 4y na regiao triangular pelos graficos de y x2 e y 4 9 fx y x2 xy na regiao S x y R2 x 2 y 1 10 fx y x2 2xy y2 na regiao S x y R2 0 x 2 0 y x Observe que fx y x22xyy2 xy2 0 x y R2 como f0 0 4 esta no interior da regiao S entao 0 0 e ponto de mınimo Observe que f2 2 2 22 esta na fronteira da regiao S entao 2 2 e ponto de maximo Isto pelo fato 0 x 2 0 y x 0 x y 2 x 2 2 0 x y2 2 22 fx y 2 22 x y R2 11 Achar o maximo e mınimo globais da funcao fx y 2x2y2x2y2 na regiao triangular no primeiro quadrante limitado pelas retas x 0 y 0 y 9 x Observe que fx y 4 x 12 y 12 como f1 1 4 e 1 1 esta no interior do triˆangulo entao 1 1 e ponto de maximo Observe que f9 0 61 e 9 0 esta na fronteira do triˆangulo entao 9 0 e ponto de mınimo Tambem 0 9 e ponto de mınimo 322 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6112 Achar um paraleleptpedo retangular de volume maximo se 0 comprimento da diagonal éd Solucao Suponhamos o paralelepfpedo como mostra a Figura 62 logo xz y 22 d entao z d x y onde d 0 é fixo oe x Figura 62 O volume deste paralelepipedo é V xyz entao Vay ry 2 9 de onde OV yd 2x y 9 OV ad 2y 2 9 Or PR 72 2 7 Oy 2 72 2 7 estamos considerando x 4 0 e y 4 0 logo d 2x y2 0 e d 2y a2 0 de onde tyed J3n dV3 dvV3 dV3 O ponto a8 wi é estacionario para a fungéo V xy O valor de z ws dvV3 Paraxyz ws obtemos volume maximo Exercicio 6113 Determine um ponto dentro de um quadrildtero para o qual a soma dos quadrados das distancias entre tal ponto e os vértices seja minima Solucao Exercicio 6114 Uma caixa retangular esta sobre 0 planozy com um dos vértices na origem Encontre o volume maximo da caixa se o vértice oposto a origem pertence ao plano 624y3z 24 Solucao 323 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sejam x y e z as dimensoes da caixa entao seu volume é V xyz Como o vértice oposto a 000 se encontra no plano 6 4y 3z 24 entao 1 z 24 6x 4y assim obtemos a funcgao fx y gry 24 6x 4y Of 4 Of 8 Of Of 8 8ydryy 8r22xy S4y 4 Ox YI 39 Oy OEE B39 972 y Oy 3 O O 4 Quando of Oe of 0 segue que x e y 2 Os outros pontos criticos Ox Oy 3 achamos quando x 0 y0 Of 8 Of 8 84ry 84r4 OxOy wo 34 OyOu wo 34 logo 4 s 8 64 8 32 3 3 4 a Logo 5 2 é ponto de maximo 4 8 O volume sera maximo quando as dimensoes da caixa sejam 3 y2 z 3 Exercicio 6115 Achar as dimensoes do maior paralelepipedo retangular com trés de suas faces nos planos coordenados e um vértice sobre o plano x 3y 2z 6 sabese que x y sao positivos Resposta comprimento 2 largura 23 e altura 1 Solucao Seja o paralelepipedo com um do seus vértices no ponto Px y z pertencente ao plano x 3y 2z 6 Como suas tres faces estao nos planos coordenados entao seu volume é Vay 2 vyz Consideremoa a fungaéo Fx yz ryzAx4 3y 22 6 e suas derivadas parcias Of Of Of Of A0 3A0 20 3y 2z60 Dz Ye ay LZ Dz ry Dr U ay 22 x x xu2z 3y0 y2z0 23yr0 r2z23y r2 YDe5 Portanto comprimento 2 largura 23 e altura 1 Exercicio 6116 Verificar que a funcao f definida por fxy 2 y tem um minimo na origem e nao satisfaz as condicdes do teorema da derivada segunda Solucao 324 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 6117 Para os seguintes exercıcios use o teorema de Weierstrass teorema de valores extre mos para dizer se e possıvel garantir apriori se o problema de otimizacao possui ou nao uma solucao Solucao 1 Maximizar fx y x y sujeito as restricoes x 0 y 0 x2 y2 1 Respostas 1 Sim 2 Maximizar fx y x2 y2 sujeito as restricoes x 0 y 0 Respostas 2 Nao 3 Maximizar fx y x y sujeito as restricoes x 0 y 0 x2 y2 1 Respostas 3 Sim 4 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 4 Sim 5 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 5 Nao 6 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 6 Sim 7 Maximizar fx y z x 2y 3z sujeito as restricoes x 0 y 0 z 0 x2 y2 z2 1 Respostas 7 Sim 8 Maximizar fx y z x 2y 3z sujeito as restricoes x 0 y 0 z x2 y2 Respostas 8 Nao Exercıcio 6118 Obtenha e classifique os pontos crıticos das funcoes Solucao 1 fx y x3 12xy y3 5 Resposta Em 0 0 temse ponto sela 0 0 5 em 4 4 maximo 2 fx y xy 8 1 x 1 y Resposta Em 2 2 maximo 325 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 fa y 2 y 32 3y 9x Resposta 10 min relativo f3 2 max relativo em 1 2 e 3 0 ponto sela 4 fx y 2 3aryy a uma constante Resposta Em 0 0 ponto sela fa a é minimo se a 0 Exercicio 6119 Determine os valores de maximo e minimo para fx y senz cosy no retangulo R definido porOa2n7 Oy 2rz Solucao Resposta 2 é 0 minimo absoluto e 2 6 o maximo absoluto Exercicio 6120 Obter 0 maximo e minimo absolutos das seguintes funcdes nas regides indicadas Solucao 1 fzy ay 2x7 y1 na regiao x y 1 3 773 f1 0 1 é 0 minimo absoluto e FG 556 0 maximo absoluto 2 fxy 6x 18ry 4y 62 10y 5 no quadrado O x 1 Oy 1 f0 1 1 6 0 minimo absoluto e f1 1 17 0 maximo absoluto Exercicio 6121 Desejase construir uma caixa retangular com tampa cujo volume é de 2744 cm sendo que a quantidade de material para a sua fabricagao deve ser minima Solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por V 2 y z xyz 2744 como na Figura 63 Z 4 yy x Figura 63 Por outro lado sua superficie S é dada por 5488 5488 S2ryt2yz2rz Sxy 2xy zt y 326 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse OS 5488 OS 5488 2y 0 27 0 Ox x Oy y de onde x 2744 e y 2744 logo x y 14cm Calculo do hesseano OS 10976 OS 9 OS 10976 OS 9 Or a Oya Oy2B OO 10976 9 10976 9 ASzy yo976 AS414 4 o97g 120 2 9 2020 y 148 10976 Como TE 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes sejam 7 y z 14cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6122 Desejase construir uma caira retangular com tampa de 64cm de volume O custo do material a ser usado é de lum por cm para o fundo e tampa 4um por cm para um par de lados opostos e 2um por cm para o outro par de lados opostos Determine as dimensoes da caixa de tal manetra que o custo seja minimo Solucao vy Y x Figura 64 Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por Vz y z xyz 64 Por outro lado o gasto com material para sua superficie S é dada por S 2xy 22yz 24rz 256 512 Sxy 2xy r y Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 256 OS 512 Ox x Oy y 327 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II de onde x 16 e y 512 logo x 4 y 8 cm Calculo do hesseano OPS 512 Can 9 OS 1024 Can 9 0x2 a3 yn Oy y OaOY 5012 z 2 on 9 ASxy yo AS48 q994 120 Se 2p 512 ns Como EP 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes sejam x 4 y 8 e z 2cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6123 Determine trés niimeros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja minima Solugao Sejam os ntimeros zyz Z ea funcao fz yz r yz tais que ryz 100 Queremos achar um minimo para fz y z Consideremoa a fungaéo Fx yz xyz2Aryz 100 e suas derivadas parcias Of Of Of Of 14Ayz20 14Arz0 14Ary0 100 0 Dn Ayz dy AxzZ Dz Ary Dy LYz Atyz0 Ayxz0 Azxy O y2 Portanto os ntimeros sao 100 y 100 z v100 Exercicio 6124 Desejase construir um tanque com a forma de um paralelepipedo para estocar 270m3 de combustivel gastando a menor quantidade de material em sua construcao Supondo que todas as paredes serao feitas com o mesmo material e terdo a mesma espessura determinar as dimensoes do tanque Solugao Z Yy ey x Figura 65 Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por Vz y z xyz 270 328 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Por outro lado sua superficie S é dada por 540 540 S2ry2yz2ez Sxy 2ay zt y Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 540 OS 540 24y 0 27 0 Ox x Oy y de onde x 270 e y 270 logo x y 3W10 cm Calculo do hesseano aS 1080 OS 9 aS 1080 OS 9 0x2 Oya Oy yB 7 Oxy 1080 9 1080 9 ASxy og9 AsS1414 270 ipgq 120 2 9 wu y 270 1080 Como 370 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes interiores sejam y z 3V10 cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6125 Determine a temperatura minima num disco de raio igual a 1 centrado na origem sabese que a temperatura T em qualquer ponto xy do plano é dada por Tx y 3y2 27 x2 7 Solugao Seja D zy R 2 y 1 0 disco a funcdo temperatura em qualquer ponto do plano é dado por Tx y 3y 2 x 7 Determinemos os pontos onde acontece temperatura minima OT OT 1 2r10 3y0 0ED Ox Oy 4 5 Por outro lado OT OT OT OT 2 0 2 0 6 0 3 AT 0 Ox OyOx Oy v Oxdy 0 0 nada a concluir 329 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 29 1 ns Porém 5 0 Te T0 0 7 assim 5 0 é ponto da temperatura minima e encontrase no disco D 1 1 99 A temperatura no ponto 5 0 é 5 0 7 graus Exercicio 6126 Determine a temperatura méxzima num disco de ratio igual a 2 centrado na origem sabese que a temperatura T em qualquer ponto xy do plano é dada por Tx y y 2 2x7 2y 8 Solugao Seja D zy R 2 y 2 o disco a funcao temperatura em qualquer ponto do plano é dado por Tx y y x 2x 2y 8 Determinemos os pontos onde acontece temperatura minima OT OT 2r20 2y420 1leED De r Dy y Por outro lado OT OT OT OT 2 0 9 9 2 2 5 0 AT 0 Ox OyOu Oy OxOy 0 2 logo 11 é ponto de maximo relativo Temse que T11 10 assim 1 1 é ponto da temperatura maxima e encontrase no disco D A temperatura no ponto 1 1 6 T1 1 10 graus Exercicio 6127 Uma indistria produz dois produtos denotados por A e B O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela fungao Lx y 602 100y 152 15yxy Supondo que toda a producdo da industria seja vendida determinar a produgao de tal modo que o lucro seja maximo Solugao Temos que maximizar a fungao de lucro total Lz y OL OL 603ry0 1003yx70 v10 y30 Ox Oy também OL OL OL OL 3 1 723 2221 2221 S23 SS AL 80 Ox OyOu OxOy Oy 1 3 330 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo 10 30 e ponto de maximo e o lucro maximo e L10 30 1800 um Exercıcio 6128 Obter as dimensoes do paralelepıpedo retangular de maior volume que pode ser inscrita numa esfera de raio R 1 Solucao Consideremos a esfera de centro 0 0 0 e raio a unidadeUm ponto da esfera x y z satisfaz x2 y2 z2 1 O paralelepıpedo inscrito na esfera tem por lados 2x 2y e 2z e seu volume V x y z 8xyz Consideremos a funcao Fx y z 8xyz λx2 y2 z2 1 entao f x 8yz 2λx 0 f y 8xz 2λy 0 f z 8xy 2λz 0 f λ x2 y2 z2 1 0 y x8z 2λ 0 y z8x 2λ 0 z x8y 2λ 0 x y z Sendo x2 y2 z2 1 3x2 1 x 3 3 e cada lado mede 2x tratase de um cubo de lado 2 3 3 Exercıcio 6129 Determine o maximo e mınimo para funcao fx y z x y z com restricao na esfera B x y z x2 y2 z2 1 Solucao Seja gx y z x2 y2 z2 1 e consideremos a funcao a ser estudada Fx y z x y z λx2 y2 z2 1 F x 1 2xλ 0 e F y 1 2yλ 0 2λx y 0 F z 1 2zλ 0 2λx z 0 F λ x2 y2 z2 1 0 λ 1 x logo x y z Da ultima igualdade segue que x y 3 3 e z 3 3 Observe que f 3 3 3 3 3 3 3 e f 3 3 3 3 3 3 3 Portanto o maximo de f e 3 e o mınimo 3 331 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6130 Um servico de entrega de pacotes estabelece que as dimensoes da caixa retangular devem ser tais que seu comprimento mais o dobro de sua largura mais sua altura nao ultrapasse os 108 cm Qual é o volume da maior catza que se pode enviar com estas condicées Solugao Quando seja maior os comprimentos do seus lados maior é o volume Suponhamos os lados da caixa sejam comprimento x largura z altura y Entao y 108 x 2z o volume da caixa 6 V xyz assim Va z x2108 x 2z de onde av av 1082 2xz 22 e 108 x dear Ox Oz Quando 1082 2z2270 2z1082r 2z 0 de onde x 2 54 Quando 108 a2 4z20 108 4z x 0 de onde x 42 108 Resolvendo o sistema z 18 e x 36 de onde y 36 2z 108 2 4 36 36 Aa 2 TT 1 Ls A36 18 0 108 2x 4z 4x 36 72 OV L como Dap 35 18 36 0 temse maximo em 36 18 As dimensoes da caixa sao comprimento 36 largura 18 altura 36 O volume da caixa 6 V 23328cm Exercicio 6131 Achar os valores extremos de fx y x y sujeita é restricado x y 1 Solucao Resp Minimo 0 maximo 2 332 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 62 Multiplicadores de Lagrange Exercicios 62 ky Exercicio 621 Identificar os pontos de extremos para as seguintes fungoes 1 fa y2 3ryy 2 fxy 3x xy 3y Solugao Exercicio 622 Classifique os pontos criticos de 1 ft yartytaryt4 2 fa y ay 2a 2y a 3 fx y pe 4 fx y a Hy 2a y 5B ft y1Vrty 6 fa y a 2ay ty Solugao Exercicio 623 De todos os paraleleptpedos retangulares cuja soma das arestas constante e igual a B B 0 qual 0 que tem volume mdzimoDe todos os paraleleptpedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a B B 0 qual 0 que tem volume mdximo Solugao Exercicio 624 Determine a distancia minima da origem ao plano x3yz6 Solugao Exercicio 625 Determine o valor maximo da soma dos cossenos dos angulos de um tridngulo Solugao Exercicio 626 Uma caixa retangular tem trés faces nos planos coordenados e um vértice P x y 2 no primeiro octante sobre a superficie x2 y2 z1 Calcule o volume da maior caixa com essas caractertsticas Solugao Exercicio 627 De todos os triadngulos de perimetro fixado determine o de maior area Solugao 333 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 628 Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos 0 0 1 2 2 1 2 3 1 2 e 3 2 Solucao Exercıcio 629 Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos 3 5 1 2 2 1 1 1 5 1 4 3 e 3 4 Solucao Exercıcio 6210 Determine os pontos extremos de fx y x2 y2 tais que y x 1 Solucao Exercıcio 6211 Determine os pontos extremos de fx y xy tais que x2 y2 1Determine os pontos extremos de fx y xy tais que x2 y2 1 Solucao Exercıcio 6212 Determine os pontos extremos de fx y x2 2y2 tais quex2 y2 1 Solucao Exercıcio 6213 Seja um retˆangulo de lados 3cm e 5cm Calcule um valor aproximado para a variacao da area deste retˆangulo quando as medidas de seus lados sao modificadas para 3 01cm e 4 95cm respectivamente Solucao Seja o retˆangulo de lados x 3 e y 5 sua area e A 15cm2 onde Ax y xy e a funcao que representa a area Quando o lado x e modificado para 3 01cm temse dx 0 01 quando o lado y e modificado para 4 95cm temse dy 0 05 Logo a variacao e dada por dA A x dxA y dy logo dA ydxxdy dA3 5 50 01 30 05 dA3 5 0 10 A area diminui em 0 10cm2 Exercıcio 6214 Seja um triˆangulo retˆangulo cujos lados menores medem 4cm e 6cm Calcule um valor aproximado para a variacao da area deste triˆangulo quando as medidas seus lados sao modificadas para 3 99cm e 5 95cm respectivamente Solucao 334 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja o triˆangulo de catetos x 4 e y 6 sua area e A 12cm2 onde Ax y xy 2 e a funcao que representa a area Quando o cateto x e modificado para 3 99cm temse dx 0 01 quando o cateto y e modificado para 5 95cm temse dy 0 05 Logo a variacao da area e dada por dA A x dx A y dy logo dA y 2dx x 2dy dA4 6 6 20 01 4 20 05 dA3 5 0 13 A area diminui em 0 13cm2 Exercıcio 6215 Seja um reservatorio de forma cilındrica de 2m raio e 3m de altura Calcule um valor aproximado para a variacao do volume deste reservatorio quando as medidas sao modificadas para 2 1m de raio e 2 8m de altura Solucao Sejam r o raio da base e h a altura do reservatorio entao seu volume e dado por V r h πr2h Logo dr 0 1m e dh 0 2m A variacao do volume e dado por dV r h V r dr V h dh dV 2 3 2π230 1 π220 2 0 4π O volume aumenta em 0 4π 1 256636m3 Exercıcio 6216 Determine os extremos relativos da funcao dada em cada caso com as restricoes in dicadas Solucao 1 fx y 25 x2 y2 com restricao x2 y2 4y 0 Seja Fx y λ 25 x2 y2 λx2 y2 4y as derivadas parciais F x 2x 2λx 0 61 F y 2y 2λy 4λ 0 62 F λ x2 y2 4y 0 63 2 fx y z x2 y2 z2 com restricao 3x 2y z 4 0 335 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 fx y z x2 xy y2 3z2 com restricao x 2y 4z 60 4 fx y z xyz com restricao 1 x 1 y 1 z 1 Seja Fx y z λ xyz λ1 x 1 y 1 z 1 as derivadas parciais F x yz λ x2 0 xyz λ x 0 F y xz λ y2 0 xyz λ y 0 F z xy λ z2 0 xyz λ z 0 F λ 1 x 1 y 1 z 1 0 logo 3xyz λ xyz λ 3 x y z 3 o ponto 3 3 3 e extremo relativo Observe f3 3 3 27 por exemplo para o ponto quaisquer 4 2 4 segue f4 2 4 32 Portanto 3 3 3 e ponto de mınimo relativo 5 fx y z x3 y3 z3 com restricao x y z 1 Seja Fx y z λ x3 y3 z3 λx y z 1 as derivadas parciais F x 3x2 λ 0 λ 3x2 F y 3x2 λ 0 λ 3y2 F z 3z2 λ 0 λ 3z2 F λ x y z 1 0 logo supondo os tres numeros positivos x2 y2 z2 x y z x y z 1 x y z 1 3 o ponto 1 3 1 3 1 3 e extremo relativo Observe f1 3 1 3 1 3 1 3 por exemplo para o ponto quaisquer 0 1 2 1 2 segue f0 1 2 1 2 1 4 Portanto 1 3 1 3 1 3 e ponto de maximo relativo 6 fx y z w x2y2z2w2 com restricao xyz 1 yw z z2x 5 7 fx y xy sobre o cırculo x2 y2 4 8 fx y z aa xa ya z com restricoes x y z 2a a 0 9 fx y x2 y2 xy x y 4 com restricao x y 3 0 336 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 1 a 10 fx y comrestrigao xry2 y ll fz y wayn4 com restrigao az y 1 V2 12 fx y zy com restrigao x42y1 Exercicio 6217 Achar os pontos da curva intersecao da elipsdide x74y42z 4 e o plano x4y2z 0 que estao mais pertos da origem Achar a distancia minima Solugao Exercicio 6218 Determine trés numeros positivos x y e z tais queexyz 1 e transformem ry yz xz tao grande como seja posstvel Solugao Exercicio 6219 Mostre a desigualdade x z3 a y 23 yc SE D0 y 50220 3 3 Solugao Exercicio 6220 Um container no formato de paralelepipedo tem que ter um volume de 135m3 Apli cando multiplicadores de Lagrange achar as dimensodes do container com esse volume e custo minimo se o prego de construcao da base é R6000 por metro quadrado e os lados e a tampa custam R4000 0 metro quadrado Solugao Exercicio 6221 Achar as dimensoes do cilindro circular reto com drea de superficie minima cujo vo lume Vo unidades cubical Solugao Exercicio 6222 Use multiplicadores de Lagrange para achar as dimensoes da caixa retangular de vo lume mdzimo que pode ser inscritacom as arestas paralelas aos eixos coordenados no linséid oy 1 elipsdide 1 B8OWEI 49 25 Solugao 337 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O volume maximo pedido sera oito vezes o volume da caixa retangular similar no primeiro octante Esta pequena caixa tem como vertices 0 0 0 x 0 0 x y 0 0 y 0 0 0 z x 0 z x y z e 0 y z Estas componentes satisfazem x2 9 y2 49 z2 25 1 O paralelepıpedo inscrito no elipsoide tem lados de comprimento 2x 2y e 2z Seja o volume V x y z xyz da caixa retangular no primeiro octante Consideremos a funcao Fx y z xyz λx2 9 y2 49 z2 25 1 entao f x yz 2 9λx 0 f y xz 2 49λy 0 f z xy 2 25λz 0 f λ x2 9 y2 49 z2 25 0 9 3x2 0 49 3y2 0 25 3z2 0 x 3 3 y 7 3 z 5 3 Portanto a dimensoes sao 2 3 14 3 3 10 3 3 respectivamente Exercıcio 6223 Prove que o produto de trˆes numeros positivos x y z cuja soma e S e maximo quando os trˆes numeros sao iguais Solucao Sejam os numeros positivos x y z cuja soma e S x y z Temos que achar o maximo da funcao fx y z xyz com restricao S x y z Seja Fx y z xyz λx y z S logo F x yz λ 0 λ yz 64 F y xz λ 0 λ xz 65 F z xy λ 0 λ xy 66 F λ x y z S 0 x y z S 67 De 64 65 e 66 temse y x z em 616 segue que x x x S de onde x 1 3S Portanto o produto e maximo quando os trˆes numeros sao iguais Exercıcio 6224 Usar o resultado do exercıcio anterior para mostrar que 3xyz x y z 3 Solucao 338 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6225 Maximize a fungao fx y z com as restrigdes dadas Solugao 1 fxy z xyz com restrigdes xcty232 e rytz0 2 fxy z2y 27 com restrigoes ry8 e r2y4 3 fxy zxy yz com restrigoes x3z20 ce r2y6 4 fxy 2 xyz com restrigdes x 2y0 e 2 4275 Exercicio 6226 Fazer uso dos multiplicadores de Lagrange para resolver os seguintes problemas Solugao 1 1 Obter os pontos criticos de fx y 4 y 3 sujeito a restricao x 5 1 2 2 2 Respostas 22 22 e 1 0 postas 475475 By 5ty5 0 2 Obter os pontos sobre a curva de intersecao do plano y z 1 e a superficie x y z7 1 que estao mas perto e mais longe da origem Respostas 100 e 0 10 sao os mais pertos e 11 1 é 0 mais longe Exercicio 6227 Calcular os extremos absolutos das sequintes fungoes sujeito a restrigao indicada Solucao 1 fle y22 y2 em 0 y eR de 9y1 2 fx y 3ay 2y em x y ER 2a y 1 ey0 3 fxy z 2a yzem rz y 2 ER vy421 4 fxy 2 32 yazem 2 y z ER vy1 2r720 339 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 63 Revisao do Capıtulo VI Miscelˆanea 61 Miscelanea 611 Determine o mınimo local funcao fx y x2 y2 em todo seu domınio Solucao Miscelanea 612 Seja z fx y x2 determine um conjunto infinito de pontos de maximo locais de f Solucao Miscelanea 613 Determine pontos crıticos para as funcoes Solucao 1 fx y x2 y2 2 fx y 4xy2 2x2y x 3 fx y xy 8 1 x 1 y x y 0 0 4 fx y 2x2 y2x2y2 5 fx y x2 y2 x2y2 2 6 fx y z x2 y2 x2 y2 1 7 fx y z 43xyz 3 x y z 8 fx y x2 12 x2y x 12 Miscelanea 614 A temperatura em um ponto x y de uma placa de metal no planoxy e dada por Tx y xy x2 y2 1 Determine a taxa de variacao da temperatura em 1 1 na direcao e sentido do vetor u 2 1 340 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Uma barata em 11 precisa andar na direcéo na qual a temperatura baixa mais rapidamente Determine um vetor unitdrio nesta diregao Solugao xy 1 temse Tz y Pip entao OT yy 2 OT xa y S SS e SS Ox a y Oy a y 2 2 2 2 2 2 x 2 dT x y uy x ua y 2 1 yo Qy 2 x y a y x y Assim a taxa de variacéo da temperatura em 11 na direcao e sentido do vetor a 2 1 édT1 1 0 OT OT 2 Quando Dn Ou 0 segue que x y assim dT x x 0 a temperatura baixa t y rapidamente nos pontos z 2 2 2 A barata caminha na diregao 0 2 ve Miscelanea 615 Calcular os extremos para as seguintes fungdes z fx y Solugao 1 zayt9 20 za2yl2y 3 zyrtaryat 4 2ryxy 5B 2 Qe y43 6 32 y 3ry Miscelanea 616 O7y 0y Seja y fxatgx at Mostre que Be o Fya qualquer que sejam as xv funcoes f e g duas vezes derivaveis Solugao 341 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Ou Seam uxat vxat logo a Ou Ov Ov ot a 1 3 Bn 1 Podemos ecrever y fa at gx at assim Oy Of Ou Og Ov Oy Of Og ai du Ot dv OF oF lau dv Oy Of Ou Og Ov Oy Of Og dx du Oc Ov dx Ot Ou assim Oy OF Ou Hy au OF oo a au2 at Ov at Law Av Oty OF Ou Og dv Oy HF HG Ox Ou Ox OU Ok ot Ou Ov 2 2 Portanto destas tltimas igualdades oY rot Miscelanea 617 Seja z fx g9yaygy Verificar que x oe ualquer J GY YG Y q Varay dy 4 q que sejam as fungoes f e g duas vezes derivdveis Solucao Oz i MN i Temse Dy 9 y 2gy gy yg y yo y Oz O72 P 1 we gt qx or outro lado By fzqy Ady gy Oz Oz P y xygy ortanto x y Dy x ygy Dy Miscelanea 618 Identificar os pontos criticos que limitam a fungao fxy xy com a regido D zy ER vty 1 Solucao Sejam gxy a y1 e FayAaxy Aa y 1 FE or yt2dr0 y2ry 0 68 FE Fatty 0 2 2rry 0 69 FE OF 241 0 wtyl 610 OX Somando 68 e 69 temse x y1 2A 0 logo A 5 ou v y 342 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Multiplicando por x e y respectivamente em 68 e 69 logo somando estes resultados temse 27 y4ry 0de 610 4Ary 1 Substraindo 69 de 68 temse x y1 2A 0 de 610 4Ary 1 logo A ou y ne 1 11 1 1 1 1 1 1 Sao pontos criticos 000 Fe a 5 FR Fa 9 e Fs FoR 9 OF OF OF Opt OyOe OXOe 1 AazyA J KI 1D Dy 2ya4Xay Asa y A OxOy dy JAY OF OF OF 2x 2y 0 Ord AyOX A 2 AiayA 2X Aoxy A 4 Para 4 ys temse A 0 A 0A3 0 logo 4 4 é v2 x 2 Oe NRO 2 2 ponto de maximo Para 4ti4 temse A 0 Ay 0As3 0 logo 4 443 é V2 V2 2 V2 V2 2 ponto de minimo Como A000 0 nada a concluir seja 0 quando x y temse Fxy0 x logo 000 é ponto de mfnimo Quando y x temse Fxy0 x logo 000 é ponto de maximo Numa vizinhanga de 000 temse pontos de maximo e minimo logo 000 é ponto de sela Miscelanea 619 Suponha que x unidades de maodeobra de y unidades de capital sejam necessarias para produzir fx y 60 x3y unidades de certo produto Suponha ainda que cada unidade de mao de obra custe R10000 e cada unidade de capital custe R20000 Se R80000 00 estado dispontveis para serem gastos com a producao determine quantas uni dades de mao de obra e de capital devem ser utilizadas para maximizar a produgao Qual é a produgao maxima Solucao O custo total com mao de obra e ntiimero de unidades de capital total é dado por 100x 200y logo 100x 200y 80000 Temos que achar o ponto de maximo da funcao fz y com restrigao 100x 200y 80000 x0y0 343 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja Fx y 60vxr3y A100x 200y 80000 logo OF y 9 y 451000 A 611 Ox ye 20 ye 611 OF x3 3 a 152000 sas A a 612 Oy Vy 40 y 612 OF Dr 100x 200y 800000 2x2y 800 613 De 611 e 612 temse x 6y em 613 segue que 6y 2y 800 de onde y 100unidades de mao de obra e x 600 unidades de capital Em 600 100 a fungao F tem maximo O maximo da funcado da producao é f 600 100 606003 100 23001 95 Miscelanea 6110 A fungado de produgao de CobbDouglas para certo produto dada por fx y 100ay onde x representa o ntimero de unidades de mao de obra R15000 o custo por unidade e y representa o numero de unidades de capital R25000 0 custo por uni dade Se o custo total de mao de obra e capital é limitado a R50000 00 determine o numero de unidades de mao de obra e de capital que maximizam a producao Determine também a produgao maxima Solucao O custo total com mao de obra e ntiimero de unidades de capital total é dado por 150a 250y logo 150x 250y 50000 Temos que achar o ponto de maximo da funcao fz y com restrigao 150 250y 50000 x0 y0 Seja Fx y 100x3y A150x 250y 50000 logo OF y 1 sy 7544150A0 A4 614 Ox yt 2 yt 614 FP 3 1 3 OF 957 4 950 0 45 615 Oy y 10 y OF Dr 1502 250y 500000 3x5y 1000 616 De 614 e 615 temse 5y x em 616 segue que 35y 5y 1000 de onde x 250unidades de mao de obra e y 50 unidades de capital Em 25050 a fungao F tem maximo O maximo da funcao da producao é f 250 50 1002503 50 13295 74 Miscelanea 6111 344 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O custo total de producao de uma firma produtora de dois bens e dado por Cx y 8x2 xy 12y2 onde x e y representam o numero de unidades de cada um dos bens Determine os valores de x e y que minimizam o custo se a firma e obrigada por contrato a produzir um total de 42 produtos Qual e o custo mınimo Solucao Temos que achar o ponto de mınimo da funcao Cx y com restricao x y 42 Seja Fx y 8x2 xy 12y2 λx y 42 logo F x 16x y λ 0 λ y 16x 617 F y 24y x λ 0 λ x 24y 618 F α x y 42 0 x y 42 619 De 617 e 618 temse 25y 17x em 619 segue que x 17x 25 42 de onde x 25 e y 17 Em 25 17 a funcao F tem mınimo O custo mınimo de producao e C25 17 8043 0 345 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Apéndice Al Formulas elementares de integracao Considere o numero real a 0 en Z d 1 Jewaure 2 Gatnlulsc u yrtt 3 Jeduer4e A peuS e nl n1 5 ord 1 6 soe cosuC Lna 7 oo udu senu C 8 oo udu Ln senu C 9 nud Ln secu C 10 Js udu Ln secu tanu C 11 se udu tanuC 12 ex udu Ln cscu cot u C 13 Joe udu cotuC 14 scoutan udu secuC 15 oscu cotu cscuC 16 sent coshu C 17 J costudu senhu C 18 comtudu Ln coshu C 19 seotudu tanhuC 20 sect tanh udu sechu C 21 cost udu cothuC 22 J eschu coth udu cschu C du 1 u du 1 ua 23 arctan C 24 Ln C lore g arctanT e 2a ml alt du 1 uta du u 25 5qrm ee C 26 las arcsen C 27 tan udu t C 28 ut C an Uadu anuut 2 ese apa d Vu a d 1 29 las ute 30 ls dyaresec tt C u2Vu2 a azu uve a a a 1 1 d 31 sontuau glu psen2u C 32 ls Lnu Vu ta C d 1 33 a LnLnu C 34 sonudu 2senu cosu C uLnu 1 35 cot uducotuuC 36 peed Ayre peena a a 1 37 oot udu 5 cot u Ln senu C 1 38 ow udu 5 tan u Ln cosu C 346 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II n 1 n1 n2 39 tan udu 74 fen u tan udu yrtl ar AI S ty pve re tet oh Le uvu a a u a Vu2aa 1 42 Jv a udu gluv a u aaresen C 1 43 ve adu gluvu a a7Lnu Vu aC 1 4A ve adu g luv aLnu Vu a2C 1 45 eve adu g lula 2u Vu a a Lnut Vu a2 C 2 46 we bu du Tapp lsbu 2aa bu C u 2 47 du bu 2aVat bu C l u apn OU aVa bu Vat bu du 48 du2Vabu fore u ore uva bu 1 1 49 sonra du sen cos u sen udu n n 50 oos udu cos usenu not Joos udu n n 1 2 51 osc udu tanusec u o sco udu n 7 n 74 52 Joe udu cot ucse u oo udu n1 n1 senabu sena bu 53 J senausenbu du ab 2a b C senabu sena bu A dy aE 5 costa cosbu du ab 2a b C cosabu cosa bu 55 sentau cosbu du ab 2a b C 1 56 Je cosaudu sen aul 2 cosau C 1 57 Je senaudu cosau G2 sentau C 2 9 uU 2u 2 58 Je cosaudu 7 seman a2 cosau qa senau C 2 2 2 59 fe senaudu cosau sen au a cosau C 60 J vrsonudu u cosu nf cos udu au et 61 Je senbudu pp asendu bcosbu C au et 62 Je cos budu 2 pp Psenbu acos bu C 347 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A3 Identidades Diversas Identidades para derivadas Sejam C constante n Q a R fx gx funcoes αˆangulo Lnxlogaritmo neperiano logb x logaritmo natural na base b DxC 0 Dxf g f Dxg g Dxf Dxfgx Dxfgx Dxg Dxefx efx Dxfx DxLnf 1 f Dxf f 0 Dxsenx cos x Dx cos x senx Dx sec x sec x tan x Dxarcsenx 1 1 x2 Dx arctan x 1 1 x2 Dxf g Dxf Dxg Dxf g g Dxf f Dxg g2 Dxfn n Dxfn1 Dxaf af Dxf Lna a 0 Dxlogb f 1 f Lnb Dxf f 0 Dx tan x sec2 x Dx cot x csc2 x Dx csc x csc x cot x Dx arccos x 1 1 x2 Dxarcsecx 1 x x2 1 Outras Identidades Equivalˆencia entre graus sexagesimais e radianos α graus α radianos senα cos α tan α cot α sec α csc α 0o 0 0 1 0 1 300 π 6 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45o π 4 2 2 2 2 1 1 2 2 60o π 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90o π 2 1 0 0 1 348 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e Suponhamos b c Rt m Q temse logaN ab Logo i logac logalogc ii logac loga logc iii loga mloga iv loga loga logb e Para ntmeros na base decimal 1 Gia 10a 10 1a10aa9 Funcoes Hiperbdolicas GC 2 9 1 senhxz a 2 cscha 2 e e ee 2 3 cosha 4 secha 2 e e 5 tehr senhx ee 6 ctghr cosh x ee cosha ee senhxr ee Identidades Hiperbdélicas Basicas 1 senhx senhz 2 senh2x 2senhz cosh x 3 coshx coshax 4 cosh2x7 senhx cosh x h2z 1 5 sena cosh 6 senhz y senhz cosh y senhy cosh x h2 1 7 cosh x coshn t 8 coshx y coshz cosh y senhasenhy 9 senx cosh 1 10 tghx 1sechx tgha tghy 11 ctghx1 h 12 tgh ctghx eschx ghx y T the tahy tghx ctghy 1 13 cosh senhz e 14 ctgha y Chee orehy ctghz ctghy 15 coshx senhx e 16 senhx tghr t Vltghz Vctgh1 1 ctghx 17 arcsenhx Lnw V2 1 18 cosha V1ltghe vctgh1 h V cosh x 1 19 arccosha LnaVa1 20 tghr eves Vsenhz 1 cosh x d d 21 senhx coshx 22 coshx senhx de de 23 tghr 1tghr 24 ctghr 1ctghx dx dx 349 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 350 01012023 Referˆencias 1 Abellanas P Perez Beato M Curso de Matematicas em Forma de Problemas Sociedad Anonima Espanola de Traductores y Autores 1960 2 Alvaro Pinzon Calculo I Diferencial Coleccion Harper Editor Torrelara Espana 1973 3 Berman G N Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Mos cou 1977 4 Deminovich B Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Moscou 1971 5 George B Thomas Calculo Vol I e II Editoa PEARSON 2009 6 Kudriavtsev L D at ell Problemas de Analisis MatematicoVol I Editorial MIR Moscou 1984 7 Lang Serge Calculo I Vol I e II Fondo Eduativo Interamericano S A 1973 8 Larson R Hostetler R Edwards B Calculo com Geometria Analıtica Vol II Livros Tecnicos e Cientıficos Editora SA 1998 Rio de Janeiro 9 Leithold Louis Matematica Aplicada a Economia e Administracao Editora HAR BRA 1988 10 Leithold Louis Matematica Aplicada A Economia e Administracao Editora HAR BRA 1988 11 Marsden J Tromba A Calculo Vectorial Editorial Reverte 1983 12 Meza Mitac M Ortega Carlos P Calculo III Editorial San Marcos 1987 Lima Peru 13 Murraty R Spiegel Calculo Superior Colecao Schaum 1973 Lima Peru 351 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 OConnor J J Robertson E F Historia do Calculo httpwwwhistorymcs standrewsacuk 15 Pinedo Christian Q Calculo diferencial em R Universidad Federal do Acre Brasil 2017 16 Protter Murraty Charles Morrey Analisis Matematico Fondo Educativo Inte ramericano 1969 Lima Peru 17 Purcell E Varberg D Steven R Calculo Editorial Pearson 2007 18 Rivaud J Exercices danalyse Livrarie vuibert Paris Tomo I e II 1971 19 Stewart James Calculo de una Variable Trascendentes tempranas Sexta Edicao CENGAGE Learning 1989 20 Spivak Michael Calculus Calculo Infinitesimal Editorial Reverte 1983 21 Swokowski Earl W Calculo con Geometria Analıtica Segunda Edicao Grupo Editorial Iberoamerica 2008 22 Tibirica D Altamirano Curso de Calculo Infinitesimal Tomo I Publicacao da Fundacao GorciexOuro Preto 1962 352 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suplemento de Calculo II Christian Jose Quintana Pinedo possui Bacharelato em Matematica Pura pela universidade decana da America Universidad Nacional Mayor de San Marcos LimaPeru 1980 mestrado 1990 e doutorado 1997 em Ciˆencias Matematicas pela Universidade Federal do Rio de Janeiro Como professor de matematica desde 1977 atuou nas universidades 1 Nacional Mayor de San Mar cos 2 Nacional de Ingenieria 3 Tecnica del Cal lao 4 De Lima 5 San Martin em Lima Peru Christian J Q Pinedo No Brasil atuou nas universidades 1 Unioeste Cascavel 2 Tecnologica Federal do Parana Pato Branco e 3 Universidade Federal do Tocantins UFT E professor associado da Fundacao Universidade Federal do Tocantins e Coordenador do Curso da Licenciatura em Matematica EADUABUFT Desde 2005 pertence ao Banco de avaliadores do Instituto Nacional de Estudos e Pes quisas Educacionais Anısio Teixeira Inep Tem experiˆencia na area de Educacao com ˆenfase em Educacao Permanente atuando principalmente nos seguintes temas educacao matematica matematica historia da matematica equacoes diferenciais e educacao E membro do Conselho Editorial da IES Claretiano em Sao Paulo e da Universidade Federal do Tocantins UFT perıodo 20122014 Christian tem trabalhos publicados na area de equacoes diferenciais em derivadas parciais historia da matematica e outros suas linhas de pesquisa sao Historia da Matematica Filosofia da Matematica Epistemologia da Matematica e Equacoes Diferenciais em Derivadas Parciais 353 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II DO MESMO AUTOR Colecao Licoes da Matematica Livros Licao Paginas Calculo Diferencial em R 01 396 Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis 02 426 Calculo Vetorial e Series Numericas 03 296 Series e Equacoes Diferenciais 04 498 Introducao ao Calculo Diferencial 05 368 Fundamentos da Matematica 06 322 Introducao as Estruturas Algebricas 07 280 Introducao a Analise Real 08 220 Historia da Matematica 09 288 Introducao a Epistemologia da Matematica 10 226 Suplemento de Calculo I 11 476 Suplemento de Calculo II 12 368 Suplemento de Calculo III em edicao 13 250 Suplemento de Calculo IV 14 698 Suplemento de Calculo Diferencial 15 402 Suplemento de Analise Real 16 120 Complemento da Matematica I 17 194 Complemento da Matematica II 18 228 Complemento da Matematica III em edicao 19 246 Complemento da Matematica IV em edicao 20 200 Introducao a Teoria dos conjuntos 21 146 Introducao a Logica Matematica 22 152 Argumentacao e Teoria da Demonstracao 23 132 Notas de Aula 1 Calculo com numeros complexos C 100 2 Manual do Estudante 50 354 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Direitos reservados para lingua portuguesa Janeiro 2023 Palmas Tocantins Brasil 355 01012023
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Colecao Licoes de Matematica Licao 12 S U P L E M E N T O D E C A L C U L O I I Christian Q Pinedo 2023 Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Direitos reservados para lingua portuguesa Janeiro 2023 Palmas Tocantins Brasil Em memoria a meus pais Christian e Noemi i Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Janeiro de 2023 Direitos exclusivos para lıngua portuguesa UFT CAMPUS DE PALMAS Coordenacao de Engenharia Civil 5128 Pinedo Christian Quintana 1954 Suplemento de Calculo II Christian Jose Quintana Pinedo Uni versidade Federal do Tocantins Campus de Palmas Curso de Engenha ria Civil 2023 368 p il 297mm I Suplemento de Calculo II Christian Q Pinedo II Serie III Tıtulo CDD 5128 ed CDU ISBN 978 65 00 63718 2 ii 01012023 SUMARIO Identidades Diversas vi PREFACIO xi 1 ANTIDERIVADAS 3 11 Integral Imediata 3 Exercıcios 11 3 12 Metodos de integracao 11 Exercıcios 12 11 13 Metodo de integracao por partes 28 Exercıcios 13 28 14 Integracao de funcoes trigonometricas e hiperbolicas 38 Exercıcios 14 38 15 Integracao de funcoes racionais 53 Exercıcios 15 53 16 Integracao de funcoes racionais trigonometricas 61 Exercıcios 16 61 17 Outros metodos de integracao 75 Exercıcios 17 75 18 Revisao Capitulo I 82 Miscelˆanea 11 82 2 INTEGRAL DEFINIDA 103 21 Somatorios 103 Exercıcios 21 103 22 Calculo de Area de uma Regiao Plana 114 Exercıcios 22 114 23 Significado Geometrico das Somas Inferior e Superior 122 Exercıcios 23 122 24 Mudanca de Variavel em uma Integral Definida 136 iii Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcios 24 136 25 Integrais Improprias 152 Exercıcios 25 152 26 Revisao Capıtulo II 167 Miscelˆanea 21 167 3 APLICACOES DA INTEGRAL DEFINIDA 183 31 Aplicacoes Geometricas Comprimento de Arco de uma Curva 183 Exercıcios 31 183 32 Areas de superfıcie de revolucao 205 Exercıcios 32 205 33 Volume de um Corpo 214 Exercıcios 33 214 34 Aplicacoes a Mecˆanica e Fısica 220 Exercıcios 34 220 35 Outras Aplicacoes 228 Exercıcios 35 228 36 Revisao Capıtulo III 235 Miscelˆanea 31 235 4 FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 245 41 Espaco tridimensional 245 Exercıcios 41 245 42 Funcoes de varias variaveis 254 Exercıcios 42 254 43 Limite de uma funcao 258 Exercıcios 43 258 5 DERIVADAS 267 51 Derivadas parciais 267 Exercıcios 51 267 52 Derivadas de ordem superior 277 Exercıcios 52 277 53 Diferenciais 290 Exercıcios 53 290 54 Diferencial exata 294 Exercıcios 54 294 55 Derivada direcional 302 Exercıcios 55 302 iv 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 56 Revisao do Capıtulo V 306 Miscelˆanea 51 306 6 Aplicacoes das derivadas parciais 315 61 Maximos e Mınimos 315 Exercıcios 61 315 62 Multiplicadores de Lagrange 333 Exercıcios 62 333 63 Revisao do Capıtulo VI 340 Miscelˆanea 61 340 APˆENDICE 346 A1 Formulas elementares de integracao 346 A3 Identidades diversas 348 Referˆencias 351 Indice 352 Epigrafe 353 v 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Identidades algébricas Considerar abR e mn Z en geral temse e aa qmtn e qinn Va xa aQ0 e a a e Vab a Vb a0 b0 e ab anrbh V Va a a0 aym am e 74 a0b0 GG p b 0 bw m 1 e f gnn e a a0 a a e ab a42abb e ab a 3a7b 3ab 6 e ab a 2abb e ab a 3a7b 3ab b e ab aba ab 0 e ab aba ab0 e ababa 1 a 7b 4 a 3b ab b1 e a b atba ab a 30 ab b quando nfmpar Identidades trigonométricas Considerar a GER e sena sena cosar cos a e sena cosa 1 e senaesca 1 e tana1seca cosaseca 1 e cotatlcsea e tanacota1 1 2 senza 1 cos 2a e cos a a 2 e sen2a 2sena cos a cos 2a cos a senar e sena senacosBsen8cosa cosa 8 cosacos 6 senasenf 2tana tana tan GB e tan2a t ee tan2 e tana itanatanB 1tana 5 t 1 cos2a sen2a B e ana senasenZ cosa 3 cosa 2 senda 1 cos 2a e 2senacos 3 sena3senaB e 2cosacos Gb cosacosa vi 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Identidades geométricas 1 Adrea P perimetro lado r raio Quadrado Retangulo Circulo l l A Abxa Amrr PAl P2ab P2zrr 2 Adarea P perimetro c hipotenusa ae b catetos h altura r raio qa angulo central L comprimento do setor circular Teorema de Pitagoras Triangulo Setor circular Cc c L ae r 7 b 1 1 2 a P Abxh Anra 2 2 Pabc Par 3 Adrea P perimetro B base maior 6 base menor h altura R raio maior r raio menor Paralelogramo Trapezéide Coroa circular b LY B 1 A 5B bh A7Rrh Abxh P27rR7r 4 Adrea P perimetro S superficie total V volume fh altura r raio vii 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Triangulo Equilatero Paralelepipedo reto Cilindro f 7 A V3 4 Vaxbxe Vcrh v3 2 h S 2a bc 2ab S 2arh 2ar 5 Vvolume haltura rraio S superficie Triangulo Cone circular reto Tronco de cone C ZN b 1 A ypp ap bp e Va garh b 1 p S arr h Vaan R rR r h 6 Vvolume h altura rraio S superficie Esfera Prisma ae 4 V gar VBxh S 4rr B Area da base Identidades para derivadas Sejam C constante nQ aeER fx gx funcoes aangulo Lnzlogaritmo neperiano log logaritmo natural na base b viii 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II DxC 0 Dxf g f Dxg g Dxf Dxfgx Dxfgx Dxg Dxefx efx Dxfx DxLnf 1 f Dxf f 0 Dxsenx cos x Dx cos x senx Dx sec x sec x tan x Dxarcsenx 1 1 x2 Dx arctan x 1 1 x2 Dxf g Dxf Dxg Dxf g g Dxf f Dxg g2 Dxfn n Dxfn1 Dxaf af Dxf Lna a 0 Dxlogb f 1 f Lnb Dxf f 0 Dx tan x sec2 x Dx cot x csc2 x Dx csc x csc x cot x Dx arccos x 1 1 x2 Dxarcsecx 1 x x2 1 Identidades diversas Suponhamos b c R m Q temse logb a N a bN Logo i logba c logb a logb c ii logbac logb a logb c iii logb am m logb a iv logc a logb a logc b Para numeros na base decimal anan1 a1a0 10nan10n1an1 10a1a0 Equivalˆencia entre graus sexagesimais e radianos α graus α radianos senα cos α tan α cot α sec α csc α 0o 0 0 1 0 1 300 π 6 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45o π 4 2 2 2 2 1 1 2 2 60o π 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90o π 2 1 0 0 1 ix 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Formas determinadas e Formas indeterminadas lim x fx lim x gx hx lim x hx de modo simbolico 1 fx gx 2 fx gx 3 K R fx gx K 4 K R fx gx K 5 fx gx 6 fx gx 7 K 0 fx gx K 8 K 0 fx gx K 9 0 fx gx 0 10 K fxgx 0 K 0 11 fxgx 12 K 0 0 fxgx K0 13 0 fxgx 0 14 K 0 0 fxgx K0 15 0 fxgx 0 16 0 0 fxgx 00 17 0 0 fxgx 00 18 fxgx 19 0 fxgx 0 20 0 fxgx 0 21 1 fxgx 1 Seja K R nao existem em R K 0 00 K No limite lim x0 1 x lim x 1 x 0 lim x0 xx 1 x 01012023 PREFACIO Estas notas de Suplemento de Calculo II sao o resultado das aulas ministradas pelo professor Dr Christian P durante muitos anos dedicados ao ensino de Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis para estudantes de Engenharia e Matematica O autor apresenta aqui uma abordagem de conceitos e teorias novas para a solucao dos exercicios propostos no Livro Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis confeicionado para es tudantres do primeiro ano da Graduacao Representa assim o esforco de sıntese na selecao de um conjunto de problemas e temas frequentes na continuacao e no aprofundamento dos estudos acadˆemicos esta obra e tam bem a sequˆencia do estudo da disciplina basica para cursos de Engenharia Matematica Fısica Quımica e outros A obra organizada em seis capıtulos destaca ao longo de suas paginas temas como a Metodos de Integracao em R e o Calculo diferencial com funcoes de varias variaveis assim como suas aplicacoes aos diferentes ramos das ciˆencias uteis no estudo das equacoes diferenciais Pormenorizadamente no primeiro capıtulo apresentamse os metodos para o calculo de integrais e fazse uma abordagem pratica com grande variedade de exemplos e tecnicas para a solucao dos mais variados exemplos No segundo capıtulo sao dispostos os conceitos de integral definida no estilo da In tegral de Riemann e sao iniciados os estudos com os conceitos de somatorio como inter pretacao geometrica da integral O terceiro capıtulo esta reservado para multiplas aplicacoes em diferentes ramos do conhecimento cientıfico e o quarto para o estudo das funcoes de varias variaveis passando xi Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II por uma sutil abordagem do estudo das quadricas ate o estudo dos limites continuidade e derivadas de funcoes O penultimo capıtulo dedicase as derivadas e diferenciais com funcoes de varias va riaveis e o ultimo a aplicacao do calculo diferencial na procura de pontos de extremo para funcoes de varias variaveis Assim cada capıtulo se inicia com os objetivos que pretende alcancar e dispoe de exer cıcios em quantidade e variedade suficientes classificandose de menor a maior dificuldade Essa estrutura de organizacao pretende possibilitar que o leitor partilhe da experiˆencia dos autores que atuaram profissionalmente em diversas instituicoes do Brasil e do exterior O presente material cujo teor contempla a solucao de todos os exercıcios aqui propostos outras possibilidades de respostas ou indicacoes para a solucao dos exercıcios propostos podem ser obtidas no endereco christianjqpyahoocombr Esperamos cumprir o objetivo deste trabalho que e o de orientar a metodologia para que o leitor identifique e construa um modelo matematico logo o resolvendo O autor Palmas TO Brasil Janeiro de 2023 A Matematica e a honra do espırito humano Leibnitsz 1646 1716 Nao adianta ter um mar de conhecimentos com a profundeza de um mi lımetro Ch Q Pinedo 1954 1 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 01012023 Capıtulo 1 ANTIDERIVADAS 11 Integral Imediata Exercıcios 11 Exercıcio 111 Determine as funcoes primitivas para as seguintes funcoes Solucao 1 Ant2x8 2 9x2 C 2 Ant5 x 8 x2 5Lnx 8 x 3 Antx6 7x2 2 x Antx5 7x 2 x 1 6x6 7 2x2 2Lnx C 4 Ant1 2sen2x Ant1 1 cos 2x 1 2sen2x C 5 Ant 1 a bx Ant a bx1 2 b a bx C 6 Ante25x 1 5e25x C 7 Ant 1 3 7x Ant 7x 3 3 14 49x2 C 8 Ant 1 cos2 3x Antsec23x 1 3 tan3x C 3 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 1 1 9 Ant Ant2 2241 2 23 2C x 1 5 3 Exercicio 112 Por diferenciagao determine a validade das seguintes igualdades Solugao 1 J Jove 1 arctan C verdadeira 927 8 3 a arctan i4 tL dx 3 3 3014 38 942 2 5 2 r wat Fide YR 5c falsa d 2x 5 d 1 3 V2x 5 f yvert eo 4 faryaec 3 yards 2 V2 dx 6 dx 6 12 2 3 52 1 74 3 r f 5 SF t0 verdadeira Va 24 2 a vatat C a ia a4 sa 44 4a3 ae dx 2 dx 2 4 a2 x4 dx 1 4 4 C Le dadei wo 2ba bax ver eeeenré d 1 d 1 2 1 tC FE I br br b da Dba be da ap 6a be ap at On a be3 6xdx 1 5 t occ tO verdadeira d 1 d 6x C 5 32 5 327 6x dx a4 da vy vy 62 5 347 p22 6 J ela bu ya oy 0 verdadeira d abzx 2a ba 2axb 9 SF e a br 72 7 r f SS ae verdadeira 3V x 8 3 d 8V2 8 cle d 8a7 8 8a 8 20 8x dx 3 dx 3 7 6 322 8 4 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II xdx 1 8 I 4ba ba C oo wee verdadeira d 1 ld 22 2 23 v SSS 2 i dx Aba bn2 Dade t toe Gilat be be 7 aa 3 9 J a bajtae at bey 0 verdadeira d abz 3a br b 9 é a OS a be xvdx 1 10 J La verdad 0 S 2ba bx re Ven eOEER d 1 ld 1 1 2 x 2 dit Se Dp dg Ot OW apa bah bx Top 1 6J to ede tone 0 Le verdadeira d 2 2 tanz 2Csecx 1tan dx 2 3 12 J oer 2 ae wey C verdadeira d a 2 3x 2 Qe 5 5 A NS 9 ral 6 C 5 xx 2 2 3 13 pe ty YE falsa Sx 3 a vo 6 olva vero va va dx 3 7 3 7 Jr 4 J 2x 3de 2Wur23xC verdadeira Jen Be Vv La La d 1 2x 3 4 o G2a 3p 91 2 12 rt3 Te 2 x 32 C 2 5 e 3x2a 3 Jee dx x 15 J arcsen C verdadeira lxs Sa a avesenl c fT 7 2 22 VR a2 dx 22 i 585 22 V8a2 4 2 16 r va Vaid ar VY oc d Arfax x 5 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 443 15 17 e2r41dr2 32 58 O verdadeira a rete sleic 4x 4 x2x 1 dx 3 2 2 2 18 J VxVa Vxdx gavit a Jat V0 Cc verdadeira d 2 2 an ove var ve C aVJz 2a fat V23 JaVa Vx x 242 Qabe 28 19 J badx a a O verdadeira d 2 2 2ab 5 b2 8 SS 4 4 2x 2Qabe Pe 2a be dx 2 5 8 9 bxn3 20 over terar ovat bey C verdadeira n d 2y ba 3 2 3 A 2viat bony C Vat br nba x Vat bar dx 3nb 3nb 2 4 1 21 Var VO ie 27 42x Vax 3ar2aarC falsa Ju 2 a iy 2xvVax 3ax 2aaxC 242 fartee 304202 dz 2 Jax 2ax 2 42Vanr 30402 11 Jar Jar 4 1 Por outro lado vas vo ad daar 6ax 4xax 2 Vr vr Comparando com 11 sao diferentes 1 vl 22 re fas SB he verdadeira x10 210 z V10 d Ltn fo Le z 1 1 1 n a dx 210 10 210 xV10 xV10 210 Exercicio 113 Calcular as integrais dos seguintes exerctcios Solugao 22 2 2 993 1 I d5axrdx 5a eda 3a s 0 1 2 2 2 J 2pxrdx ve wide 3 2p x 3 V 2px 0 6 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 2 141 31 2 3 T xxtaabdx x aba abr dx a2 3 latba Saba 0 4 ion ae YnrC 5 Ff cot nde esc x tdv cotx2C 61 yesievertjde ve1 v2 ve tide ya lax 2 o8 Yar sVOaC dx 7 J 1Inr V44274C Veja formula 27 ere VES We 8 ee Sx Qy2mt35 Agmtnts Qe 2n3 OC 4m1 2m2n1 2n1 9 ee V4 a4 V24V24 2 1 1 1 1 veneer e Vv2P 0 v2 2 T arcsen Ln V2427C V2 dx dx 1 x 100 J S arctan C Veja formula 23 Jaan aaa a Vs adx dx Lo ll FL a abna247C Veja formula 2 ax xa 2 2 1 r tw FS 32 2v43 1 r3 L3 r 424 Jd 1 42041 x3C a eget 5 xLna 13 r f Seo fs f 8 fe fs fe ax B ax B atB ajyarB as ar 6B ax B pay taae 8 Lnax 8 6 a a Ver Integracao e Funcées de Varias Varidveis Notas de aula N02 do mesmo autor 7 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 32 14 J dr 34220 Pelo exercicio precedente a 3 b 1 a 26 3 logo sr 1 3 3 3x ii b 5 9 b 15 I a dz ax 2ab Lnx aC xa xa bdy 16 r fo 2b1yC viy xdx WZ P me 2774 14C Vai21 18 T f 60 804 8de 22 da 30 3e 19 dr 9 pe edz 1413 C dx VJ15 J15x 20 iV Y 40 0 x 75 4B arctan 5 C b 4 b2 7 21 T fa bo fdr ans Se ee 22 I f Gar enc rT Vv 9 9 3 23 we Vx23dax ax v atx av ata 0 x 1x 2 vt22 37 24 ae ee ie V2 Wart 2W2dx 13 7 Exercicio 114 Sejam a eb constantes reais tais que a b determine a antiderivada para as seguintes funcoes 1 senazsenbz 2 cosax cosbz 3 senax cosbz Solugao 1 1 Antsenaxsenbx 3 Antcosax bx cosax bx 1 1 gAntcosa bx cosa ba 5 es 8 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 Antcosaz cosba 3 Antcosax bx cosax bx 1 1 b b gAntlcosa bx cosa ba 5 Ss 1 3 Antsenax cosbx 5 Anisenax bx senax bx 1 1 b b 5 Antsena bx sena ba 3 ee See Exercicio 115 Mostre calculando de duas maneiras que 2 ly 1 2 tan x sec xdx 5 tan rC 5 see xrCy Solugao 2 lg e tanzsecxdzrz tan x dtanx 5 tan rttCy 2 1 2 vane sec xdz seow seca tanzde secu alsocde 5 eC LC Exercicio 116 Mostre calculando de trés maneiras distintas que 1 1 1 senx cos xdxz 5sen rC 3 cos 7 Cy Z cos 24 C3 Solugao 19 e senzcosxdx senxdsenz yen 2 Cy 12 senzcosxdx cosxdcosz 5 608 r Cy 1 1 1 e senx cos x dx 5 2senxz cos x dx 5 sen2rdx 4 cos 2 C3 Exercicio 117 Determine uma fungao cujo grafico possui maximo relative em x 2 e minimo relativo em x 6 e passa pelo ponto 0 3 Solugao Pelas condigoes de extremos sabemos que f20 f2 0 f60 e f6T0 9 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II entao a derivada de alguma fungao tem a forma fx Ca 2a 6 onde C 40 6 uma constante logo a antiderivada fx ec23ae C Je 8xr12dr 1 Observe que pelo fato o grafico da funcgao fx passar por 0 3 temos que f0 Portanto fx Clza 4x 122 3 10 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 12 Métodos de integracao Exercicios 12 ky Exercicio 121 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadetras Solugao E suficiente derivar a parte direita das igualdades 2 1 I fve5de 5Ve 5040 Ls verdadeira d 2 d 2 iV23 5a4C oa 524 C Vr5 dz 3 dz 3 2 T eae verdadeira 1 cosh 4 31 cosh x d 1 d 1 f rs SH YE h 3 dx eed dx 3 cosh 2 1 coshxsenhx Senha 7 1coshz4 VP 3 da 23 3 p 3A A te verdadeira 23 2 5 271 5 Ve ge 4 28 a 2A foe 5 2s toeotong dx Ln3 Ln3 dx Ln3 2x Sx 1 4 contin aye zsen7x 4 C verdadeira lo son7x 4 C TcosTx 4 cosTx 4 Fg 7oen7z 7 cos7x cos7x 225 1 2x5 ar dx 3 C verdadeira dl a5 oes 2e5 xv 2 ax 9 a Tn Fe c 5 18dx 2 2 a443 6 J bLn4C fal Joa 23 nl arse d 2 2 3 2 2 6 2 32 9 2 22x 27 dx 73 naa P 3 ae 3 x a 9 3xx 9 11 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II yee 7 4e 7 r ae d sa tO verdadeira d 4e 4eLn4e dix ot 1in4 7x 16 3 x 4 8 e 9 arctan5 r C d 3 4 in 5 arctan 5 a c dx tan 5x 9 J 1C a dadei lcosl0zr 10 cmiae d tan5xz 5sec 5a 1 1 1 dx 10 r 10 2 J cost 5a 14 cos 10x d 1 10 lat 7 tan 4x C oo wee verdadeira d 1 1 1 tan1 4x C sec1 42 4 dx 4 an w 40 4 cos1 42 d 1 11 r fo pote verdadeira d 1 d 1 1 C Lnz4C Lnz dx Lnz r dx Lar C Luz xbne Vx2 2 1 D 12 ee Ber ee 2 d 5 2f1 c dx 2 13 ine 1e7 dx Je Luz IJdxa2C verdadeira d a C Lnx 1 Ix xLnax dx Qr 3 3 6 1 14 e 55 F en tas verdadeira d3 6 1 de EG Tn Ins c senx eta e 1 15 SS M21 oO verdadeira cos x 2 d 1 tan x is pews cl eC tanrsec x 12 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Qn QV x3 16 r f Valet tae EL verdadeira Qn QV x3 oy 2va V0 Lo V4 VER Vale dx 5 3 Tdx x 17 7arcsen C V5 x Iz d in raresen c 3dx 1 x1 18 I flas sls C oo wee verdadeira d jl 1 d 1 3 Ln4 C IL 1L 5 Cc dx net dx ULne Ente 5 x 4x 5 dx 1 senx 195 dsr tanzsecxrC verdadeira 1 senz cos x d 9 1 senx tan x secx C sec x sec x tan x dx cos x vdx 162 8 20 L C law 8 x t d 16 x 8 dx Vx get 21 fer Lnxdx C d get 410 dx 2 r 3 2 22 p f EE sone S 40 Lo verdadeira 1 senzx 2 d senr 1 senx cos x senz C cos21 senz dx 2 lsenzx 1senz 93 ds 3cot x 1 LC senxcot x 1 2 d 3cot x 1 oo C dx 2 4 2 24 le daresen C V 4x 20x 9 4 2 raresen cl 13 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 25 V4a 124 5dx ql 2x 3V4a 129 5 saresen C d 1 2x 3 fe J 472 ate de lee 3V4a 12 5 4arcsen 5 JC 26 2LnaV1l27 C verdadeira 1 2Lna V14 2 d in 2 yine Vila27 c es j 4 re 4Lna V1 4 2x et vi tx V1 2 1 Lna V1 4 27 arctan x L 2 1 1 1 27 SSE dx e 4 Tn a 1 arctanreC 1 2 4 verdadeira d arctan x 1 2 2 emctane aLna 1 1 ale gina 1 arctane C o Sy yr we F 7 28 eS dx arcsen arcsenh C V4 x4 V2 V2 d x x arcsen arcsenh C 4 aresen 5 e dx 1 29 l 13 134C dadei Se giv x 8 a 13 verdadeira d 1 13 1 13 3C 5ve F1 Ve 1 i ge Vem e 5 Fiver vea Exercicio 122 Calcular as seguintes integrats utilizando regras principais e formulas de integragao Solugao 1 1 1 1 1 senxdr 5 1 cos 22 dr gl gsen2z C ee sen2xr C 2 I 2 I 2 I secaxbdr Bee udu a tanax b C t 3 Sa 2 f tam udu 2Lncos u C 2Lncos Vx C 2 1 zl 4 I senhxdxr 5 cosh 2x 1dx 3 qoenh2x C dx 2dx e dx du I CO 2 quxXx 2 2 x 5 cosh x ev e 1 e 1 u arctane C 14 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senha 6 I tanhadx dxrLncoshrC cosh x dx x oe 7 I escdx a cscudu Veja formula 11 sen a x x x I aLncsc u cot u C abncsc cot Ca Lntan C a a a dx 1 ps 8 I cscar bdx cscudu Veja formula 11 senax b a 1 1 b I Lncscu cotu C Entan C a a 2 1 1 1 9 I zxsen1l 2dx 5 senu du 7 cosutC 5 cost 2 C 10 r f tanede ae Lncos a7 C cos d d 1 11 f S waz 800 nde Lntan 2 C sen COs senx cos x sone 1 12 J cot paz sen cos Jd a bLnsen C 3 1 3 Tog 14 13 I sen6xcos6zdx senucosu du senu C sen6z C 6 24 24 1 14 sonte cos6xdx 5 isenox 2x sen6x 2xdax 1 1 1 1 I 5 sense sen4zdr 53 cos 8x 708 Ax 1 1 Portanto cos4x cos82 C 8 16 vt 2 2 15 J a Vien sect we vid av 3 tants C cos x sen3x dx 1 16 J Ln3 C xz 3 n3 cos 3a 1 sen3x 2 1 A ostag tt sec 3x sec3z tan3xdx 3 itan 3x sec 3a C 23 1 18 J aE Lnbacot3xC bacot3z 3a Ver Integracdo e Funcoées de Varias Varidveis do mesmo autor 15 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 1 D5 5 19 J 5 Fan 5 via a Vue pV O 2P u 52 20 r Seat 473 dx 1 du ol arctan Pas TP Prep A eee eG C ux 3 V24 3x V6 rv6 J3 V6 21 J 73m arctan gz aresenh C 2 22 T f Va Bede 5 Va bay 23 J oy Ir V2 arctan C fp at 20 J2 2 1 2 24 P f har 0 5 4 2ine 1 C z1 2 2 25 P f hae 0 ine 1 2x1 x 5a 6 2 4 5ar2 r 2 0 fa ot ge eee fp a sae 6 Pad dx Pad dx Ji Saat pag 5 2x 1 5 x I 2 dax x Lnx 4 i pu Sf eat Jena 5 na aretan C dx 1 ye 27 f xarcsenx45 C ls Jd 7 dx V14 aV14 28 I 728 5g aretanh 7 C 29 ip 4 Enw 1 C Grip t 4 nx 3 2a 335 rV35 1 t 2 a ove Sn 52 30 Jiawe 35 arctan 35 5 n5a 7 C Exercicio 123 Determine o valor das seguintes integrais mediante mudanca da varidvel apropriada Solugao 1 1 J sonar senbr de 5 cosa jr cosa b Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo 1 1 1 senaba senaba du du C sac osu sep seme 51 nab 16 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 J cosae costir de 5 cosa Bj cosa Bxdz Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo I du du 3ab cos udu Nard cos udu 1 senabx sena bx pel ane a TE 1 3 sonar cost dr 5 ena bx sena Beda Fazeruabx evatbu duabddz e dv atbdz logo page fomute rg faennte 3ab senudu arb senvdu Il cosabx cosa bx Peal as TE 4 senie cose de ida sont C Mudanga wu senx 1 1 b b 5 t f 2 ff Sa 6 ax b aj axb a ax b e I t lax Jax bLnarbC Mud 4b dr ax nga u 7 aa a pltt alae nax udanga u ax 1 1 6 evita 5 vidu 3V Cl 223CMudanga u1 2 2 1 1 1 1 se 5 atu LnuC Ln2aC Mudanga u 2a xa 3 u 3 3 8 t Fae fsecotanede asecc secrC cos a 1 9 ba3dx ap ba4C 10 J ee vanesec xdx vd lana C Mudanga u cos 2 tan x Pp 11 a inzyr se p1 e LnLnzse p1 x ptl 12 J et arctane C Mudanga u e 1 e 17 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 ree Ln1eC Mudanga u1e ev cosxdx 1 14 T lILnabsenzC Mudanga ua ba absenr 6b arcsenx 1 150 J dr vd arcsenzC Mudanca wu arcsenx aresens 3x 1dx 1 9 16 In32 24 54C Jeo 2 n3x e5 dx 1 17 1 LnzC a Lua 9 Ena 1 18 OS dr du arctansenz C Mudanga wu senz 1 sen2x 1 19 de Lnz C arcsen aV1Lna dx 20 2t C rey 20vE 2 21 e Ln1 cos x C 1 cos x L 22 poaea senLnz C x 2 23 feos Vit sent de 5 I F sen 1 24 J see Oe de Fazer u1cos2 dusenz cos xdz logo 1 cos x 2 senz COS 1 1 1 1 9 25 roots dx Lncot x csex C 1 26 oe 62xa 1dx Fazer u 3262 gt x 1dz logo I 32 6r3a 1dx udu iy C 372 6rC 6 24 24 n 2 1 27 I ae dx Fazeru142 yuu xrdxz logo 1 1 1 2 T pita a U yt plt oe dx 5 eau ne e 5 C 18 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 28 oie tC x Vl2 senx Cos senx COs 29 FL ade e att 34sen20 CESS I senz cos de senz COs de J 22 sen 2senrcosxcosx J 22 senz cosx Sejau senzcosr du senzcosxdzxr substituindo I senz cos x d du 1 du du Se aFE COC 2 senxz cos x 2 u 4 ut2 u2 1 1 1 2 5 Enu 2 Lnw 2 5 Enu 2 Lnw 2 Fn Portanto senx COSH A lin senx cosx 2 3 sen2x 4 senz cos x 2 dx 30 arcsenr C V1l 2 d 2 31 J Fazer cv aVu2 gave ldu dx logo 2 du 2 2 x I 3 Vilw 3 aresen 3 aresen ox C 32 de 2arctan Vz C 2arctan Vr x 1x x 1 33 dx arcsenx C v14 2 3 34 ve de Vz Va x aarcsen C Jr a 26d 1 d 35 r fo Fazeru22 du327dzx logo t3aa a 76 3 au 1 1 1 1 a 2 Ss 4 du LnC 6a lisx Bou o baa ces Exercicio 124 Calcular as integrais dos seguintes exercicios Solucao 19 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x ax x ax 9 x xa x ots pigdr arn peat ee 2 1 2 toa 5 ode fade F frau F onde ua2 a x 2 u 2 la a 2 2 Portanto I 5 5 Lna 7 C dx J2 2142 2 dr arcsenh C V7 82 4 7 dx 1 a bx 3 i aarctanh C 00K waptacoe eet 2x 5 1 5V6 v6 4 a de Ln32 2 nZve Jgeae 5 n3x 6 arctanh 5 C 3x 1 BV5a2 1 V5 5 yy aresenhV52 C Vda 1 5 5 x 1 dx Ln 6 enu 5 na 5C 7 ae ina2a 0 2arctan rap 5 ax arctan x 1 327d 1 1 1 3 8 Ji 3 Tp a8 t3 Tat 3 arctan u 3 arctanx C 2 9 dx 3 V aresens C 2x 10 Sar VeC 1 6J oemar Seme C m 12 J Jee edt e e C a b 1 a b 13 SO ty 5 2 3 a b dx na Lnbp 7 re 14 Je eM da ae C Varctan 2 1 1 15 OSS e gba 4x 3 V arctan 22 C 20 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e 1 16 J aot ia Lne 1 C Considerar ue 1 e U vd 1 Lnad 1 7 I Tame Lna Te Ing arctante C Considerar u a 3 18 wer Verda WVVe14C e 1 1 1 1 e e 19 J dt dt dt 9 a 5 fl Te fis aL 1 1 1 1 et41 1 t Portanto J 5 bncoth 3 C 20 J cos pte cost 5sen C Considerar u a V5 V5 Vr 21 J te 2 cos udu 2senx C Considerar u 2 xL Exercicio 125 Resolver as seguintes integrais Solugao x arctan 2x x arctan 22 1 J Sie ee She Considerar u 2x 1 2x arctan 2 1 u 1 arctanv T der der du Sd 5 om Ss ilies 5 14 I 2 1 2 I ghnl u q arctan vC I 2 I 2 Portanto J gba 4 ri arctan 2x C LnL 1 1 2 EnLn2 7 tnd Lnu LnLnz C Considerar u Lnu xLnax 2 2 Portanto J 4LnLnx C dx 1 f 232dx 1 2 dx 3 T a dr d x5 sf 2 3 e lene 1 1 Portant a Ln243C ortanto gle Ind n2 3 21 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d Qud A ls wD Considerar u Ve 1 2du I 2arctanu C 2arctan Ve 14C uw 1 Portanto J 2arctan e14C 5 I senzcosxdx 1 2senz Cos vy 1 2senzx COS x d SO OC O02 O02 2 senta 2 V2sentx 2 22 sen2xr 1 d 1 2 I 3 a 5aresen C onde usenx 22 yp V2 6 T dx dx sec xdx J 445sen22 J cosa4secx5tanx J 41tan25tan2 1 sec ada 3sec xdx 3secrdt J 449tan2x 3 44 3tanz 3 224 3tanzx 1 du 1 u 1 3tan x IT 5 Pam 6 arctan 5 arctan 5 C 1 3t Portanto J 5 aretan C Considerar u 3tanz 7 eH dx dx esc dx J 445cosa2 J sen2x4cesc2x5cotx J 414 cot x 5cot2 1 cs rdx 3csc adr Bese rdx J 449cot2 3 44 3cotxr 3 224 3cotr 1 d 1 1 3 cot I 3 Pye arctan5 arctan C 1 3 cot Portanto J 5 aretan C Considerar u 3cot x dx e dx 1 4edx 1 du 1 IT qx q qx L 1 8 a oe io il gin 1 Portanto J glad 4eC Considerar u 4e Ln32z dx Ln3x 9 oS Considerar U Lnbdx 3 Rpta zlLnLndz LnzC 22 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Lna Va 1 5 1 10 J 442 2 Seja u Lna V14 27 entao du Via logo Lna Va 1 Vj Lata V2 1 I Ny f Sd Vudu 3 Vise 2 2 3 I gVuiC 3 Lna va 1 C 2 Portanto J 3V Ln2 V2 1 C Considerar u Lnx Va 1 V1 senzx cos wu r Vit dv f VIF sen senxdx sena Jasons Jasons x I 2utC 2V1senr C Ju Vl cosx senx 12 JvVv1 dx v1 ef cos rax cos x 7 cosn 7 cosn d r 4 2uC 2V1cosxC Ju d vd 13 J ae ates moe Considerar u e logo e e e1 e 1 e Portanto J arctane C dx 4 14 Rpta r 134a71C VVi1 3 t 15 FS4u Rpta arctan z C Vu 2x 4 2 16 J eae Consid wort ou mati Considerar u rVax1Vaa241 x S x 1 2 2udu 3 pit 2Quadu x 2dxr Como rw a2241 el1le1lwv SS arl27vVl1lv assim r x 2dx 2uxdu 2 du rVvx1Vaa241 xV1u xu Vlvw 23 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Jex1 I 2arcsenu C 2arcsen pa C x sen8x dx 2sen4z cos4rdx 1 du 7 l Consid 9 sen4x 3 sen4z 4 37 u oneness u sen4r 1 24 u sen4x I 43 arctan 3 C D arctan 3 C 18 Jose xdxz osce esc x dx Considerar u cotre Veja formula 45 1 V1 cot xcse xdx V1ludu 5luv u 14LnuVu 1C 1 Portanto I 5lesex cot x Lncse x cot x C Qe e dx 19 Sa se 4e Rpta LnW3e2 4 73 4e2 C Luna dx 1 20 a Rpta C x3Lna 18 pes 2xLnx 1 r 1 ode x 15e4 Rpt C Pe Aa Dre 22 etver 2 dr 6 e Sejau e72 2udu edz substituindo na integral 1 2 4u 4 9 pa fe ae Eau 2 f du 2 fau4 2 4u 4 u 4u 1 2 Ver 2 I 2u daretan 5 C 2Ver72 arctan C 3 I cos ztan x 1 in cos xsec 2 in sec x de senx cos x cos atan x 1 tana 1 d 1 1 r f Gpep e onde uwtanxr41l u u 14tanz 3Ver Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis do mesmo autor 24 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II o4 1tanadx 1 tan xdx sen2x J sen2a1 tanz 1 Rpta 5 LLncse 2x cot 2x tana C 25 J a ela Lng VLnaVLnr00 2 Sejau Lnz VLnzVLinr00 wu Lnzru logo 2u1du 1 dx dz assim du entao x x2u 1 dx dx JS lwo pau ue Portanto J Lnz Lnz VLnr004C 3 1 32 32 a 26 I secxdr Z 7 tanesec x 31 secrdx Veja formula 53 1 1 I 5 tan x secx 3 Lunsecx tanxzC 27 eer oone 0 cose Lnade Sejau 28m Lnu 2senzLnz Calculando a derivada du 1 2senxz1 2cosrLnx2senz du2 2x cos xLna 2senxdx u x 1 1 1 2 2senx 5 ju 5u C 52 C pe ra Bde fetes de ft tot gy x3 8 x3 8 x3 8 x3 8 8 327 xr 8 2 3 r fe do 5 f olde 5 Sinz 8C 99 r cos 6a 6 cos 4x 15 cos 2x 10dx 7 cos 5x 5cos 3x 10 cos x e cos6xz cos 4x cos5x x cos5a x 2cos 5a cos x e cos4a cos 2x cos3x x cos3x x 2cos 3a cos x e cos2a 1 2cos x 25 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I cos 6 cos 4x 5cos 4x cos 2 10cos 2x 1 n 7 cos 5a 5cos3x 10 cos x 7 I 2 cos 5x cos x 52 cos 3x cos x 102 cos x d 5 727235305058 cos 5a 5cos3x 10 cos x 2 5x2 5cos 3x 10 r 2 cos xcos 5x 5 cos x 10 cos dr 2 cosinde 2senr C cos 5x 5cos 3x 10 cos x Exercicio 126 Uma fungao continua real de varidvel real satisfaz as seguintes condigdes f1 0 e fx ae Achar f x Solugao Suponhamos 1 x 0 entaéo f elize 1 de onde fr P ae gD 7 arctanz C Como f1 0 entao f1 arctanl C 0 implica que C 7 2x 1 Por outro lado suponhamos que 1 x 0 entao fx Pal assim x 2 1 2 1 2 7 arctan x see 1la Portanto fr 4 Lna1arctanzrC se la Exercicio 127 Ache uma equacao da curva que contém o ponto 23 e tem declividade m 7x 3x 5 em todo ponto xy Solugao dy dy 2 Seja y yx a curva procurada como a m entao in 7x 3x 5 logo x x 2 7332 y Ta 438r45dx yax 3 5 d5aC 733 359 35 O ponto 23 pertence 4 curva logo y2 32 32 52C C 3 7 3 35 A curva pedidaé yx 3 La 5a 3 Exercicio 128 d 6a Determine uma fungao y fx que satisfaz oy Pte e passe pelo ponto 2 4 dx JY Solugao 26 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 6x Dado que i a ydy x6x7dx integrando 2 1 3 JSydy a vV6xdze 3Vu 5 22 C 3 3 1 assim y 4a 34C 4 33 1 7 A curva passa pelo ponto 2 4 logo 4 5 2 3 2 C C 3 1 7 Portanto y a a 2 ortanto y Ge 52 3 27 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 Método de integracao por partes Exercicios 13 ky Exercicio 131 Mediante integracao por partes resolver as sequintes integrais indefinidas Solucao 1 1 J Lnadz Sejam u Lnz e dv dz entao uw e v2 logo x 1 P ftnedealne f 2de fJ2ablnrx74C x 2 2 x 1 l 3 2 J x bnadz Sejam u Lnx e du xdxz entao u e v ge logo x 1 1 1 1 1 P f oLne de pole 5 f Dade 27Lnr2C 3 3 x 3 3 1 5 orn dx Seja p 1 e sejam u Lnz e dv xdz entao u e x 1 1 1 1 1 l 1 v 2 logo l xLnx dx 2Lnx 2 dx ptl pl1l plJ 2 1 1 I 11 0 weet L C a2PbLnx sari pl1Lnr1C pl p 1 pai L 1 1 1 4 a de Sejam u Lnz e dv dz entéo u e v logo x x x Qu 1 1 1 1 1 LnL 1 1 a prea Sejam u LnLnz e dv dz entao u e vLnz x x xrLnx logo 1 I LnzLnLnz Lnrdr JLnzLnLnz 114C xrLnx d 6 J ae V1427dx Sejam u Lna 127 e du dz entao 7 28 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e v2 logo V1l2 x IcbnavV14 2 Arun rvVv1427V1l4274C ie et vita x1 x xl 7 Ln dx LnC Je Me a la 8 fe cos x dar cos x2senxz cos x 2 C 9 Soe inloser cot 0 senx senx 100 J J eseneade Sejam u xz e dv senzdz entao u dx e v cos 2 logo I xcosx Jc coszdx IxcosxsenrC 11 6J Je cosx dx Sejam ux e dv cosxdz entao u dx e v senz logo I xsenx conoae IxsenrcosrC 12 J senlinzae 5 senLna cosLnz C ax 13 etar SD ee a 27 x2 14 2dx 40 Ln2 Ln2 ae 15 vsenecosr dra 4 DOE OOS EF OOS 4 4 2 146 J sxcsone dx Sejam u arcsenz e du dx entao du Fade e v logo x P aaresenr f dr xarcsenr V1l24C V1 x 1 17 exctanc dz Sejam u arctanz e dv dz entao u Top e v42 logo x x 1 2 I cxarctang dz arctanz Ln142C 14 2 2 29 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I 2 18 cosh x senha dx 3senh rC 19 J exesenhe dx xarcsenhr V1274C 9 x x 1 3 20 x arctan dx GZ aretang ebal 2 C I 21 xarctanaz dr 5 1arctanzC 22 eva 2eVa 1C 1 23 J elarctan xdx 5 x 1 arctan x Lna 1 awarctanr C 1 24 eo 2x25e dx 5 ae 2x 4r 18C d 25 J ve Pae Sejam u Va2 e dv dz entao i e v 2 logo IT2Va nf w d Va x Su IVA 2X 00 2V ar So Ja x2 Ja x2 2 l2Va mf Var Fda dx sVa xILn4Vv a 2 qe x2 1 Portanto I gltv a x aLnax Va x C arcsena arcsenw 1 26 Se arctan 7a C 27 eos Ln1 4 cos x dx senx 1 Ln1cosaC x dx 28 oo v tance Lncose C cos x 1 29 oe tanto de x tana 5 x Lusec C ez 30 Jo 5x 2edx ye 142 14x 1 0 x 31 J x adz Sejam u Vx a e du dz entao u dz e FE ue Si eT ars v 2 logo TaV2 c w dx 2V a a m ax f a dx Vax a Vax a Vax a 30 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 a Tate 1 f Aae MWaVra4a7Lne Va a Vere e Va a 1 Portanto I gltv a 2 aLnx Va x C x 32 J Vx atdx Sejam u Vx2a e dv dz entao u dz e Vu a v 2 logo Jpo x JPo x a a Il2 Poe dea Poe an ae Vx a Vx a Vx a 2 a TaaVP 14 f de MW a2Vx a aLn2 V2 a maa e Vara 1 Portanto I 5ltv a x aLna Va x C 1 33 VERT de 504 VERE C 1 3 33 1 34 ViBe 2de 30 1 e3e 2 VO VGE SD zx 2C 1 1 35 xsenax dx senar x cosaxC a a 1 2 1 34 36 eta 1dx ge Lna l1 3 sla C 2x 2 2 2x eC 1 v ve 37 Je e du LG pt alte 38 Je cosh5 dxz 2x senh5 4cosh5 C x 2 e COSx 2 39 e cos dx cos x 2senz e C 40 Js cosa dx 2 cena Ln3 cos x C 14 in33 Al retde ee 420 E 42 fe cos bx dx api senbz b cosba C 9 9 ez eX 43 Je senx dx 7 senzsenx cos x 3 C 31 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 44 fess dz r V127C 1 45 some cosxdxr 3 cosh x cosa senha senz C est 46 ee ae S00 62 2 C AT hie Sede 86 Slo 4 92 540 162 Lnz 48 dr 2VxLnr4rC Jr 49 Je senx dx 5 sene cosa C x 1 1 50 xarcsenx dr 5 aresens 7 arcsent giv la4C 2 I 9 I 51 x 5a 6 cos 2a dx ric 10x 11sen2x qe 5C 52 oxeseneaz x arcsenr 2V1 x arcsenr 2x C arcsenyr 1 1 538 J dz sejau arcsenx edv entao du Vina veel TS T ap 1 aJa e v21 2 logo arcsenyr 1 1 I po dx 2V1 rareseny f 2Vi Vl2x 1Jr 27x 1 2V1 rarcsenyx Va 2r 2V1 x arcsen x C xL Portanto 2a 21 x arcsenx C 54 inte de 0 Und 20 Lue 20 C e 55 ee dxz ae I 0 Ln Lnx 2L 2 56 Ae a Ste x x x x x 1 an 57 2204 3ine de 2 30knn 5 82 32 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 2 58 Se F cos de 2 sende 5 C ew 10 69 tanx de arct 40 arctan x dx arctan x x arctanx dx 5 arctan x a 1 x dr 9 x 9dzr 9 dx 6 pa 22S feet ef 2 VR ae 3S V9 x V3 2 1 9 V9 x I Qarcsen aV3 4 Qarcsen C arcsen yea 2 2 2 x dx 61 2cotxLnsenz C senx 9 x x 1 9 62 Je arctan 3x dr 3 arctan 3x 18 Teg une 14C Exercicio 132 Se Px um polinédmio em x e P P P indicam as derivadas mostre que ax P Pp Pp 1 Pljetae p44 a a a a senax PY PAP 2 P dx P 4 x cosaxdx 1 2 aa at 1 cosax 2 pl 1 P a a a Solucao 1 1 1 I Petar Pxre Peas a a 1 11 1 TP az pl ax Pp ax gf 7 xe xe 7 xe 1 Pp 11 1 IT ax P p ax pl ax sella S42 eptojets f Pm ojettae 1 Po Pp 1 j1 1 ITeP Pmojes f Peaerde a a a ala a 1 ax P Pp pl 1 iw ax e p o a fp xe da por rrecorréncia mostrase que 1 an P Pp pl Pw PY h 1 h an 33 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao 2 Sabese que e cosx isenv onde i 1 i 1 it 7 7 1e iir3 7j para n 0 Consideremos A ai logo ewPtoyas emPae assim da primeira parte deste exercicio 1 Aw P Pp pl Pw PY h 1 h an Fe Pp55F5F 1 ae Pre dx 1 P Pp pl PY PY 1 L e Pp 4 5 1 Pr ed ag Po tag ta Gat a at pf revere 1 iP iP iP iP iP a L ei gPp 4 5 i 1 Pr ed pang PE ae aa ae a oD ape reetae 1 P 4P pl 4p Pv 4p Pr L jP4 2 452 yp ty 1 zcosax isenar iP 7 2 3 A a as 7 J n a mr ax I 1 Pp 1 P 4P 1 pl 4p 1 Pv 1 4p Pr 1 cosax i 4 ta a a a a a a a 2 Pp 1 P iP 1 pl 4 pw 1 Pv 1 4p Pre 1 isenax i a a a a at a ajo at n a mr ax I 1 Pp 1 P 4P 1 pl 4p 1 Pv 1 4p Pr 1 cosax i 4 ta a a a a4 aa a i Peg eee ie pe 1 senax i i i i i a a a a3 at a a a n a mr ax 1 p PP P 1 Pp pl P I senaz PS Se te tet cosa jE 4 Fe a a a a a a a a parte imagindria Ia Pera ai Sendo J ew pteyax costar Pe i senaxar entao queremos somente a parte real Pr PA Pp Portanto Po cosaxdx senlar p a WT Gr 4 34 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 cosax 2 pl 1 P a a a a Exercicio 133 Suponham 1 en 1 deduzir a formula de recorréncia para cada uma das integrais 1 1 I fore de satisfaz I ee a a 2 I in dx satisfaz I aLnx nIy1 gintl n 3 7 per Lnzdx satisfaz Ir Tom Lnx mal pnt e e 1 4 d ti J x satisfaz ner 1 5 I Jo bxdx satisfaz np1I a bx anp In1 Solucao 1 1 Sejam u 2x e dv e dz entao du nx dx e v e logo a 1 1 I Lyre tear Let Ty a a a a 1 Tr ax n Portanto J ax2e I4 neN nFl a a 2 Sejam u Lnz e du dx entaéo du 4Lnxdx e v 2 logo n 1 n1 n I Lna n xLnxdz x Lnx nlIn1 x Portanto J xLnz nIn1 neN nl 1 3 Sejam u Lnz e dv 2dz entao du Enz dx e v 2 logo x m1 1 n 1 gmt n y m1 L nr m1 L nlg AL nr prt mai Lnz wale I nz x may ne main gmt n 1 Portanto Tam Lnx mal mneEN n41m4l 1 4 Sejam u e e dv ax dz entao du edx e v oan logo n 1 1 1 e 1 e I 12 e edz eeeeCOsdrtésCd ln ae grt n 1ar ae 35 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e 1 Portanto J I one n 1ar r n1 5 Sejam u a br e dv dz entao du npbxa badrx e v 2 logo I a ba nba badx I a ba oa nap npbxa ba dx I ua ba nap a bxdx np a bx a bxdx 1 npIn a ba nap a bx dx xa t bx napIn1 Portanto J orvaryrae satisfaz np1I xabaxanp11 Exercicio 134 Determine senx dx de dois modos diferentes primeiro utilizando a formula de reducdao e logo utilizando a formula do senx Solugao 1 Por partes I sons dz sons senrdx senxrcosx 3 senx cos xdx I senx cosx 3 sena1 senxdx senx cosx 3 sena 3 3 30 4 1 300 1 4 senxcosxxsen27 J senxcosxx sen2z 2 2 4 8 2 1 3 3 I qsena COS X gr esen2e C 4 2 2 2 1 2 2 J oo xdxr oo 1 cos xdxr oon x 7sen 2Qxdx 1 1 1 1 5G cos 2x gt cos4xdx gt qsen2z gp senda Cy Exercicio 135 Combinese as duas solucdes do exercicio anterior para obter uma identidade impres stonante Solugao 36 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Pelos resultados do exercicio anterior temse 1 3 3 3 1 1 l qsene cos a 3 1g en2e C 32 qoen2e gp cena C 1 3 1 1 qsena CosSx gsen2 qsen2z gp send C sen Ssen2e senda C sen27 sen qsens cosz Fasen2z zsendx Portanto sen4xz 4senz cos x 8senz cos x Este resultado impressionante obtémse pelo fato nos considerar as constantes de in tegracao C 0 Na verdade 0 sena a se 0a também se obtém resultados andlogos para os outros intervalos de a Exercicio 136 d Expressar tatine dx em funcgao de Je as duas integrais nao sao nx posstveis expressar como combinagdao de fungdes elementares Solugao 1 Dada iatne dx seja u LnLnz e dv dz entao du sla e xLnx v x Logo 1 I LnLnz dx rbLnLnz d nLna dx xLnLnz Je Las 1 Portanto J LnLnz dx Lnz 37 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 Integracao de funcoes trigonométricas e hiperbolicas Exercicios 14 ky Exercicio 141 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadeiras Solucao E suficiente derivar a parte direita da igualdade 1 0 6J sors dx verdadeira d 2x 2 1 1 2 Cl q 2cos2x sen 2 I J cost52 dx verdadeira d 10 h10 1 1 10 fet sents C 5 10 10 cosh 10a a cosh 5a sen 1 3 dx C costa 3cos8z tanh 4 tenn ede 0 tanh 4c dx 5 tanxrsecrC verdadeira 1 senx d 1 tan x secx C sec x secxtanz f sone dx cos x es lsenz 1senz dx lsen2x 1senr1senr 1senr dx 6 2VvtanrC Vsenx cos x sen2x sen8x 7 sen3z sen5x dx C 4 16 6 4 l 7 l 9 8 tanh sechs de tanh tanh LC 38 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II J2dx 2 9 LV tane5 tan x C i 10 sen2x cos 2a dx Foon 20 F con 20 C 12 16 2 11 1 cos 4x3 dx V2sen2 WP cena C 3 3 1 5 1 3 12 tan 3x sec 3x da 7 sec 3x 9 sec 3x4 C 1 1 13 cost 3xzcoshx dx 3 cosh 54 qoenh2x C senx dx 3 14 SS cosx 3C V cost x 5 4 2 15 Vcot x cos x dx 2senz 5V senx 9 senx C 16 senx cosa da 2 cos 2x 2 cos4a cos6r C 16 32 48 cos x 1 4 17 dx Lnsenz senx senz C senx 4 3m d 18 Lnsenz senz C senz senx 2 19 fen dx 5 tan5 2tan52C 20 os dx 3 sen2 3sen C falsa cos5 3 5 6 3 Lk a d 3 5 1 5 an Foon 3sen5 c 5 cos cos 1 5 1 1 35 ost cos cos 5 cos cos5 cos cos 5 cos 21 I vai 3 v 2 3 0 eiVxr27 3 Ox 2773 1 22 EFF Sev Le VIF d 1 Vu 2 23 l zarcsecx 1 ves C x13Va242x 2 2a 1 39 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senx dx 24 Lncosx 24 vVecos x 4cosr1C Vcos z 4cosx1 2 1 3 2 25 ls dxz 5 Ln 2 gt 4 Sarcsec C d 1 V3V4 x 26 lr 1 yo wsvi LC a2 34a22 2 Cx V3V4 2 d Vx21 97 lan es tnf tv thie a 1a Va 1 Vu1 xdxr x79 28 7 dr 19 CO Vx 9 5 V1l Vx 3 2 7 29 pS te 28 Fine 3 ave 8 9 6 d Var 3 2 7 f NE oP F465 4 20 Stn2r 3 42V2 32 2 C dx 4 8 var3r2 0 Qe3520 7 2 4Jau322 8Va 3x4 2 44 2e3542x 7 44 2e35 42x 7 8Va 3442 8221 2 Va24 30 everiac Sw 2 senh5 C x dr Va24x 5 15 r2 31 SF 6 cosh 1 C Vu 4x 5 6 2 3 e dz e 32 lS V 3e7 18 V19e2 2 xd Vu 3 33 VP Ft ay 19 0 Var3 5 Exercicio 142 Calcular as integrais de funcdes trigonomeétricas e hiperbodlicas Solucao 1 T sone de 2 2 2 I 2 I oo x1 cos xdx oo xdx ifs Qrdx 40 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II T 1cosaxdx 1 cos4xdx 2x sen2x sen4x C Y sen sen 5 cos2xda cos4xda 5x 7sen2x s5sen4e 3x sen2x sen4x P p io ortanto 3 1 oy 9 3 5 2 pcos dx senr 2 4 SE 5 2Vsec 2Vcos 3 to Vesta dr O 4 Yow Sc 6 ls lg A tan ede tan tan xtanz2C 7 3 cos x 9 5 es xsena dx 4cos x5C 2 4 1 2 2 I 2 6 J sen3xcos 3xdxr z sen 6x cos 3x dx g sen 6x1 cos 6x dt 1 1 12 36 a tes I2ade5 sen6xrcos6xdz er ain a tC 7 T cot xde cotoese e1de f cotrese x 2ese x 1dr S 1 SS Z esc x esc x Lnsenx C 1 8 os 2xcos7x dx 5 leostte 2x cos7x 2xdx 1 sendx sen9x I 545 S 5 Ieos9 c0s 5eda 10 18 C 2 9 sect Veote de 2Veot Vian C 3 I 2 10 sont xdxz 3 cosh zcosh x 3 C 3 3 I 3 I 2 11 J senxcosxdx 3 sen 2udx 3 1 cos2xsen2xdxr 1 1 1 Fazer t2x logo I T6 sent cos t sentdt Te cos t 3 008 tC cos 2x cos 2 Portanto 4C ortanto 18 16 41 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senh7x senh3xz senhdx 12 h2xr cosh5zxda 4 so xzcosh 5x dx 38 D2 10 3 tan x 13 tan x dx Lncos x C 9 14 sen4z cosdxdx 22 SP Gg 2 18 senllx sendz 15 a 5 sen8x sen3x dx 59 10 cos 16 sente de cose h5 h3 17 sonnta senhz dx cost coshet C 10 6 1 18 sow sen2x sen3x dx 5 senseloos2e 2xcos2a2dr 1 1 1 I 5 sen3zcos x cos 3udx 5 sen3x cos rdxz 5 sen3z cos3rzdzr 1 1 4 2 6 I sen et2senrade5 f senbeds te 4 t3 19 eae cots 4c tan x 3 2 2 d 20 t fo PES ee oectraes sen2x cos x sen2x cos x sen2x cos x 1 Jo tan x sec xdx tf es0222 tanz 3 tan x 2cot2r C 1 cos x dx i COST cos de sen2x 4senrcosxr 4 senz senx 4cosx 1 1 4 cos x 1 1 senx 4cosx senx IL i L d 4 nsenz 16 sent 4cosx 4 nsena 16 senxz 4cos x da 1 x 1 senx TL 4 J OS 12 4 nsenz 16 mrs 7O1 12 Por outro lado 1 1 cos 1 1 cos x 4senxz 4senz IL d 4 nsenz 4 senz4cosx 4 nsena 4 senx 4cos x da I Lnsenz 4Lnsenz 4cos x 13 Lnsenz Lnsenzx cos x 4 sen 4 senz 4cosx 42 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Multiplicando por 16 a equagéo 12 e somando com a equacao 13 resulta 9 1 17l qbusenz x qbusenz 4cosx Ci Cy Portant I En rt Ln 4cosxC rtan Lnsenr Lnsenz eee 68 17 68 22 cot de cotr2 C 8x sen2x sen6x senl0z 23 27sen724xd 2 senow semen senda Sen C 3 costar sented 1 30 3 78 30 f sen2 cos2de at f sendx f E882 24 r f sen7 cos7 dv 5 f sen av7 5 dx Portanto J 2s C 8 8 2 25 fe dxz 3 tan5 2tan5aC d 26 l 2cotrC Vsenx cos x 27 es Ja ee Ss 3 5senxz 3 cos x 31 cosa 5sen5 cos 5 Te dar sec oda es 6 cos 5 5sen5 cos 5 6 5 tan 5 2 sec dx Adu x T de u tan las low One ENS 4 x Portanto I pial 5 tan5 C sen 72 9 1 28 dr tanrzsecrxdr cos 72 1 I eo 2 tan rz 1 secaav Jo udu onde wu tan72 1 1 tan tan Portanto 1 jtana2 tan 2 C T 3 5 2 1 x T 1 29 cot xcsca dx Lntan cotacscxC 2 2 4 2 43 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II sen2x dx 1 cosx2cosxt2 6 30 oo Lan aarctan1 C cosasentx1 5 a 1 cos x 5 an1 cosa Exercicio 143 Obter a formula seca dx do modo seguinte 1 Escrevendo 1 COs COS 1 cosa COS sec x COs cosz 1lsena 21senz 1senz 2 Mediante a substituigao t tan5 Solugao 1 1 T f secxix sft Sle 2 1lsenz 1 senr 1 1 senz I gba senz Ln1senx C Ln C Lnsec x tanx C COs 1 1 sec 2Qdt 2 T fsccede ae ep aete ge COs cos 5 sen5 1tan 5 1t 1 1 t1 t1 senS cos I dt LnC Ln C Ln 0 i a nq pot sen2 cost 1 senx I Ln Lnseca tanzC cos x Exercicio 144 Mediante substituigao trigonomeétrica calcular as seguintes integrais Solugao x dx 1 J Seja sena 2 entao cosada dz logo V1 x 6 x dx sen7a cos a 1 I ta senada 5 1 00820 da is 2 1 1 1 1 Onde I 5 sec a 1da 50 p senza C 5l0 sena cos a C 1 1 Portanto J parcsene atv ax74C 44 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Ji 1 2 J ow Considere tana x 1 logo seca x e secatanada dz x Vi 1 Assim I Sw senaseca tan ada ow ada x Onde IJ eta lda tanaaC Portanto J Vx 1arcsenz C Jd 7 3 ore 2 arcsen5 a 2 0 4 a vV14 x Considere seca V1 x2 logo tana x entao sec ada dz dx sec a Sec a tituindo J da da Substituindo i ip l coca a a Isto 6 I ea J cotecscada cscaC sena Tae Resposta J wie x d 2 2 5 laa v2 arctan Yt C x1V1a 2 V1 2 3 V2x2 7 6 aes Sette V2u 7 6 d 7 ls arcsen C 8 I 4 5 de x 2a 28 Considere seca x 1 1 logo tana x 1 e sec ada dz 1 4a 5dx 4tana9secada 4tana 9 da Od a 22 23 sec a sec a 4x1 9 I sena9 cos ada 4cosa9senaC Aer 9 eg Va141 V141 4x 13 Portanto J C Va 2x4 4 2 45 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2x 3 31 9 2x 3 dx de3 LO J a 24 38 27x 4 2x 3 a 72 10 en i de x Observe que x 4x x 2 2 Considere 2tana Vx 42 logo 2seca x 2 ou 2seca22 entao 2secatanada dz de onde I Ax dx ees 1 seca tan a SCCti SO i Se 10 x 8seca 18 4 J seca 1 i sec a tan a do sena do cos 2 dle 4 J sec a1 cosa 4 J 1 cosa 4 2 cos 1 1 a a 1 a 1 1 cosa da tan sec da tan C C 5 tan Ssee Sa 1p 9 Tyeosa 1 xrA4 Portanto J C ortanto 1 y 4 5 ul wd Gg J42 204 2 a 253 dx a 25 12 Vea a YY xe 125x 13 r fvi Sa wae f yv9 12 1l2 Considere sena entéo V2cosada dz Logo V2 1 I V2cosa V2 cosada Jo cos2ada x gsen2a I ite 2 v2 1 2 arcsen V2 V2 V2 x 1 xctl Portanto J v1 2a 2 arcsenC 14 1 4 x 93 Considere tana 5 entao 3sec ada dx Logo T 5 costa 8800 ada 5 f Iphada C n 57 cos a 8sec ada cosalphada Fsena 46 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x Portanto J 4C 9Vx9 3 d 4 2 15 Ss 8421 Via 3 2x 4 1 1 16 Se arcsen C V3 4 2x 2x 2 17 vy 4 vy 4 0 y y 12y3 18 J a x 2a 58 Observe que x 275 x 1 27 Considere 2seca Vx 2x 5 de onde 2tana x 1 entao 2sec ada dx Substituindo dx to 1 da J a 2a 53 2 seca 8 J seca 1 1 1 e0seda sena C 4 4 Ayx 2a 5 Portanto J tah C J a2 27 58 Ava 2445 Jr 2 19 lS arctan C a 1 Va 2 x Qu 1 1 x 14x 20 dr Yarctan C rn ap w 75 9 arc an5 2 7a dx x 21 arctan C lanes Fi x dx 1 Qx xl 1 23 32 22 Of I 0 Ge 1yt 32 Ge 7 FG aglGa al x dr 1 x 2x4 27 23 Os t s C Gea gglerctans aaa t d 27 9 24 J EE Considere tan a oe logo sec ada 2xdz a 2V at 402 5 1 x dx sec ada 1 1 1 I Sf ft gy escada x 2Vax4 4a 5 2tanaseca 2 sena 2 A7 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 1 x 2 1 1 3 nlese a cotaC ln oa a5 C 1 Vut 472 51 Portanto J Ln veces C 2 x2 Qa dx 1 Vat 4x51 Va 1 25 lax 5 Ln35 C Seja tana TT entao seca x e secatanada dx Substituindo aa integral 2x3 dx 2sec a seca tan ada sect a tan a T oe ef eee ag fe da x 14 tan a tan a 7 2 2 14g 1 I 2 tan atan a 1secada 27 tan a g tan aC T cotta 2cotaC 5 cotta 3 cota 2x 2 et de e2 2e 58 Temse que e 2e 5 e 1 2 Considere 2seca Ve 2e 5 de onde 2 tana e 1 entao 2sec ada edx Substituindo r e dx Og OT Ly e2 2e 53 2 seca 8 sec 1 1 1 et1 22 2senacosada sena2 cosaC C if ri 1 Je der eB Jee de pS 2x d co Portanto J lS 7 C e2 2eX 58 Ave Qe 5 27 V2 PF ae Seja 2cos6 441 2senGx1 5 2cosbdb dx I VG 2 PF ae ve a 1 da 200588 2008 348 16 cos Bdb ifa cos 23d8 fu 2cos 26 cos Bd3 1 I 46 4sen26 2 Jo cos43d8 46 4sen28 26 qsen46 I 66 10sen cos 6 4sen8 cos 6 C 48 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 1 I Garesen 5 u 1441 gle 414 1C x dx 28 V7 14C Va21 d 29 a rte B Ve Fal c Vx px q 2 1 30 ve 27 5dx arcsen C r 22 8 dx 2x41 31 271 x 9 arcsenC IS xx J5 2 1 9 2 1 32 vee te SVT JaesenF 0 33 1 V1 cos x dx Vl cosx dx V4cosx 1 cos x cos x 22 V3 2 Considere seca a logo V3seca cosxz 2 entdo V3secatanada senrdz assim V3secatanada V1 cos xdz Substituindo na integral 1 V1 cos xz dz 3 seca tan ada 4 cos a 2 V3 v3 tan a I secad Lnseca tanaC Portanto J Lncosx 2 Vcosa4cosx1C d 1 Vx a 34 l aresen ve C ee x2 qa 2a3 2 xe dt 1 4v16 35 l Ln C t16t 4 t 6 992 a2 Joa 8273 2 723 36 e pde 4 faresen8 e ial Vat 2 Sat ya a ve J a a a 248 2441 37 oredr avayery SE Ac Vi5 Vr 5V5 38 dx 2e54V5Ln C x Jrt5vV5 49 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx 1 39 Joxte 3 arctan3z 1 C 2441 2 40 aa eet i xv1 x x dx a a bax a bax Al VO father jaar Gg ax b3 b a a ba a4 13 1 2a41 42 pp de Fa Vae 1 3Ln Vert 1 2 VF jc x x q2 72 43 Ve ae a aesen 40 ax a a 24 7 dx 2a 7 24 7 24 7 7 ta LETT te yy SBOE VET SET VE x 7V7 V7 V7 V 20 xLna dx 1VJ12 eee ae VI 2 1 VS 45 aa 11Lnz Ln C d 1 2441 46 SS aresen C V1l222274 2 J2 2x 1dx 2x 1 47 erie tl i J 402 1228 V4a 4122 xu 5 2 72 p72 2 Resposta 48LnaLn2x2V 2 x 1 4g 0 2 Vo Aye Qe 5 6x Exercicio 145 dx Resolver a integral I Solucd J rVuat4 olugao 1 3 Temos que 721 4 5 Sp logo nossa integral original podemos escrever d Vu 1 na forma f 1 I 13 onde I ee rVuat4 x 1 1 x dx l dr e k 2 Varur41 Vr2a41 Temos que a solucao da integral J é muito trabalhosa por isso vamos omitir o seu desenvolvimento nao acontecendo o mesmo com as outras duas integrais que sao imediatas usando as formulas da pdgina 6 Assim 1 1 1 1 In 5 dz bn ut stvetetl vw P 8 50 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x 4dx 1 3 n f SH tet ae Sp vereerl ye 5 8 1 2 1 2 2 I va a14 arcsenh 5v3 t arctan 2 gv art 9 Wa a1 Portanto 1 2 1 2 2 1 1 I arcsenh V3x arctan Ln 2 Vz a i C 2 5 aa 2 2 Exercicio 146 Mediante integragao por partes mostre as seguintes formulas de redugao 20 sen xcosr n1l 5 1 sorte de OSE Ef sented n n cos txsenzr n1 9 2 cost dir ESE BEL cost x dx n n 3 dx x 4 2n3 dx a2 1 9 2n1a 411 An1 J a2 1r1 Solugao 1 J senteae sent x1 00s xrdx sen tede senx cos x da sen x cos x 1 1 I sen xcosx cosa dx so xsenxdx n1 n1 assim nel T f sont e de COST 1 I n1 n1 h n1 12 sen x cosa Portanto J senx dx sen x dx n n 2 I Joos xdxz oo a1senxrdx Joo ede cos xsenxda cos senz 1 1 I cos xsenz senx dx cos xcosxdx n1 n1 assim nel T feos xdn4 zsent I n1 n1 h n1 no cos x sena Portanto J cos x2dx cos a2dx n n 51 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 Ja dx a 1dx 2x xdxr 1 dx a 4 1r a 4 1r1 a 2a 4 1r1 x 4 1r1 J 1 ee i ft de 2 na21r ae x 1 a 1r1 1 1 dx 1 on Taz apy i dx 2n1 dx x v241rt1 Qn a2 1 2na 1 Sejaa mnl nmi1 dx 2m3 dx x 7241 Am1 J e241 2m1a2 1 Portant dx x 4 a dx ees SF G2 FIP Wn Daz An1 J 1 52 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 15 Integracao de funcoes racionais Exercicios 15 ky Exercicio 151 Mediante diferenciagao determine a veracidade das seguintes iqgualdades Solucao dx 1 1 tC ii 31 dx 1 2 1 2 arctan C lates q arctanS dx 1 3 5 C 2x 33 A2x 3 r dx V2 x2 4 arctanh C Jes g arctanh7 x2dx 1 x3 5 hLn C rx3 3 nl x t x 2 2 x 6 dv 2 Lnf 4 C a oe ze aa dx 1 x3 7 eose 3 arctan C dx 1 x x1 8 Ln C a2 273 4 aS 2 2xx 2 r a 1dx 1 a 1 1 x 9 7 nf arctan x arccot C lees 16 naa a g arctan x Syareco 3 Temos falsa pia 1 Ln2 9 caret arceot2 C Lnx Lnx arctan x arccot dx 16 8 24 3 Lf Qe ae J tf tj ty 8 y 16 fa 1 22 9 8la2 24 922 il x x 1 1 1 1 8 a10 0 2249 2241 2249 53 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4045 4 x 1 Ax 1x2 9 7 a2 12 9 xdxr 1 72 x 10 Po r sul arctan5 C Exercicio 152 Calcular as seguintes integrais sabese que 0 denominador tem ratzes reais distintas Solugao x xdx 37x 35 1 po feuee 7 4 2 99 Ss e Gries 37235 A 1 B Ax5 Bx 1 r1e5 21 25 x1x5 1 75 37a 35 Ax 54 Bx 1 2AB5AB A5 B 1 1 79 1 t fern 4 Be e oe1 toe 2 75 1 Portanto 72 Lnx 5 5 Lnx1 0 2 5 7 2 2 PO F tte t ine 3 0 L3 2 xdx 9 1 OO rt Lnx 3 Lnx 1 3 JS5 w 5 nx 3 5 nx1C dx 1 xb 4 nC b lair ab malt af xdx 1 1 5 nC lost 2 al De elt 2x 5d 1 V24 V3 gf QB Side 1 ye VBE VB 4 rt5a6 23 2 V2x V3 x 1dr x 7 9 Lar Ln2 1 Ln2 1 7 ina rl nx 16 n2x 1 16 n2z71C x 1dx 5 9 ATTA gy OL 4 8 aaee 5 nv 324C dx 3 2 1 LT 1 Ln2r 3 L wwrtee pyar 1 gghn2r 3 ghne C dx 1 x 10 Enj 0 oe 2 nal 54 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5a 2 110 J d xv 5a 4x 5a 2 25a 20x 2 Temse que ss 5 Usando fracgoes parciais 2547207 2 A B C 5 Temse 3 ba 442 r rT1 7d de onde 25x ae Ax 1a 4 Bua 4 Cux 1 Fazendo x 0 obtémse A 5 quando x 1 7 161 obtémse B 3 e para x 4 obtémse C 3 5a 2 12 73 1616 Assim P f 22 de sare Pare Aare Ear x 5a 4x x x1 xrA 1 7 161 De onde I 5a but glue 1 Gq tale 4C ya a 4161 Resposta 5a Ln Vx 1 5 4 8d 3 2 12 PRR ES 4 Sete ane stale 2 3hnle 2 x dx 1 2 13 n2 1 L 2 C le jg Wnr t 5 Lala 2 x dx 1 x 2 14 A pf 40 a 2 neat x dx 1 x2 15 Ln L 2 C asa 3 bal ql a 2 2x 41x 91d 14x 4 pe CEM de eM g x 1a 3a 4 x 3 2 52 6dxr 17 J 2Inr 4 Lx 1 C QS 18 x 204 30 9a 4 dr x 1 bn 2 VJ x 1x yy LC x 5a34 2 xr2 32x dx 19 Jn 2 1 6Ln22 3 5Ln2 5 C Jame n2x 1 6Ln2x 3 Sin 2x 5 Exercicio 153 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes reais miultiplas Solucao 55 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 r By Sf Ea xz1 x xx 1 a2 A 1 B 4 OC Ave 1 Be Ew 1 aa12 x1 12 0 xa 1 vc 2 Arw1 BrEa1P A3 B9 E4 9 Portanto J 4Lna 3Lna 1 polit 2x 3 dx 1 gq Soe er TG eots a2 32 2p 52 172 18 5 dx 1 3 3 3 J L 1 2 C a 13x 2 Ne wp bale Yer 2 1dx aes r 4 T Aa J SNS ff fT 4 J x3 x x x ie 1 r1 AB EB Ava1 Bx 1 Ex wx1 2 2 41 xa 1 a1 Axrx1Bx1C2 xAEaBAB B1A1E2 P fis S de 0 Lae 2 Bne 1 7 x x 41 7 x 1 1 Portanto f22 InfY V4 x x a 3x 2 dr x 6 5 f Se Lf 4 0 SS pal teat 2 6 6x 9 dv OD 1 LO x 3a 1 223 22a1 dx 1 1 sa1 4 LD fi a e zt Waal x dx r4 5a 12 8 I Lot pf ac oaseop nyo Pbrt8 x 62 Ila 5 dx 1 1 9 eo 5 Ht Li 2 HC x 2 oop tM 2 3G opt 1 21 x 2 2 3 10 dy 5 A c icon v 3302 Gaip apr ett x dx 4 11 HL 1C e r42 nx 1 56 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1D r x 223dr x 2x 3dr e J w1a3 42 32 J ax 1x3a1 J ax 3 x 1 wer 3 A a a dD aa3a12 x 23 x1 x1 a 2243 Ax 3x 1 Bxx 1 Exx 3x 1 Daax 3 Quandor1 22D logo D1 Quandoxr0 33A logo A1 Quandor3 612B logo B12 Quandor1 6 161 412 8E 41 logo F 12 I fis S ale LneLn23Lna1C 7 x 3 21 41 2 2 x1 1 Vx 1a3 Portanto ry Ve Ve 3 C z1 x 32 1 dz 2x 13 Ga ate x 27744dr 1 x 27 1 1 14 EO Inf 03 2 pal oe a T 2 6x 9x 7 dx 3 15 L 5C eae ea tine 9 7x 9 dx 3 5 47 16 FFE Ht KCL 20L 3L 2 6 ee gg f ghne 20Lna 3 Pina 2 6 x dx a 2 1 9 31 17 OLA Ee 1 CO Joye 7 tie ip await eine Y dx 1 xA4 1 x1 1 r3 18 a Ln Ln C0 1 10 40a gg ea t pelea Exercicio 154 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes complexas distintas Solucao dx 1 dx 1 1 x 1 3X 1 f Rm IJ arctan arctanC lars 5 arctan Vag eta FR aw 43 3 3 x dx 1 21 2 I V2 2 1 arctan C le nVa a 4 1 Vig etal FB 2x 3x 3 dr V a2 24453 1 r1 AEE a Oe ae ss 3 oes n eo 5 arctan 5 C 57 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 1 1 1 A pga bale 2 nfo 20 4 arctan x1dr x 1 x6 5 nf C m1 41 16 Gr ars 22 243dxr x 23 1 2741 6 Ln S arctan 4 C yee Tae LT V3 V3 dx x 7 La C resales 8 p Oe vi4 we 2Q x2 AxrB 4 DiF wi4 a444e2 4449 o2 4227 2242420 a 2Ar Ba 2 22x Dr Fx 24 22 Sex0 22B2F Quandor1 5S 3A4845DF Quandox1 325BAFD Quandor2 62 22AB102DF 324B52DF 1 1 Resolvendo temse A0 B5D0 F 5 logo 1 1 1 I ld 5 feat eee 1 Portanto J 5g larctanx 1arctanx 1C x1dax x 1 x1 9 So 4 La arct C ees 2 Teper arctan eS dx 1 A Bx D 10 pa e ef 5 ee 4 es laecos ittae Sle 1 Ax a2 1BrDx41 1 2 Sexl A3 Quandorx0 D 1 Quandoxz1 Bas 13 a3 23 1 v2 p 4 de EL 1 a Jigar le gine 3 fla aya 58 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 1 3 ILnv 1 d nv 1 fis Poel 1 1 1 2x 1 I gunle 1 Ln2 2 1 5 Z arctan 1 1 1 2 1 Portanto J Ane We aretan C 2 1 LL SS u Se x 4xr7 Vax2Ar7 327 243dr 1 Vx1 7 12 Wee Ln tang C ewes gin ay aretane Ca xdx 1 x1 1 2x41 13 La arctan C 3 3 a peal J3 J3 x a 1 da l 31 292 24 l v cos a dx 1 senx 3 15 a arctan C lacs V3 an J3 xdx 1 lta 1 16 Ln 6 3 Z nls 5 arctan zs C dx 1 1 1 17 oe HL 1 Lnx2 1 C oars gine 1 ghne 1 soy 3 2 18 a5x1dx uu x 241 dx Qdx T2241 Ide otf x laa Portanto J 32 Lnx 2arctanz4C x 2dx 1 9 2 5x 1 19 Ln 5 2 1 arctan C lea jg bnba 2x 1 arctan 5 5a3dx 5 3 x5 20 L 10 29 11 arctan C 2a 2 nla 10x 29 arctan 2 I 2 22 4r4dr x 2 9 dix 1 rta21 v2 rV2 1 22 Ln arctan arctanxC sa 42 2 aVdaL 2 Tg 2 Sugestao adicionar e substrair 2x ao denominador 59 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 93 dx lL xt 1 tant eC i Lf arctan a 1a2 4 a141 2 Exercicio 155 Calcular as seguintes integrats 0 denominador tem ratzes complexas miltiplas Solugao dx x 3x 32 x 1 OP ONE ctan 2 C la TDF BG poe BG pd bg MAMA x dr 1 r 2 arctan C Jeass 32 J2 2x 3 dx x 7 1 x1 3 Se FO sats SS arctan C eS Sa pores 7 1g tant 60 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 16 Integracao de funcoes racionais trigonométricas Exercicios 16 ky Exercicio 161 Calcular as seguintes integrais o denominador tem ratzes complexas distintas eee 2 dx 3 dx 2 2 J 2 98 J a4 2a x dx 5 x 1 dr 6 ee J a 14 J a 2a 28 J a 6x 13 Solugao Exercicio 162 5a 12d Calcular a integral I eee Solugao Exercicio 163 Mediante diferenciagao determine se as seguintes igualdades sao verdadetras Solugao E suficiente derivar a parte direita da igualdade 3 2 1 T de falso 2senx 3 cos x 12x 5 dy 12 53cosax 2senz S Tn3 9 Cw BL 2208 tT ese eI 33 12 nSsenw 2 cosa dx 13 123senxz 2 cos x dy 1443senz 2cosx 658cosx2senr 562senx 93 cos x dx 1563senz 2 cos x 1563senr 2 cos x d 2 oyw verdadeira cos x 2senx cos x 2senx dy 2sec x Seja y arctan2t IC ejay arctan2 tan 1 dx 12tanxz1 dy sec x sec x dx 142tanr2tanx sec xcos x 2senzx cos x 2sen2z 61 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 1 2t 3713 gf te senx 3senzcosx cosx 13 2tanzv3 V13 cos a dx 1 senx 5 4 Zn J HO la Ss 4 Mme 1 t senx dx 1 cosx 1 5 arctanf C 9 re an 2 I dx 1 tanx42 6 Ln C meee es 4 liane 6 dx x 7 2tanC leon an5 d 1 2tan4 5 V21 2osent 21 2tan 5 V21 d 1 21tan4 9 e Ste cosxsenz V2 V21tan d x a eee 1 senxz cos x cos5 sen5 3 2 u x dx la LC J1 2x78 2V1 22 4 3 12 la Se x 2 3 8x 2 x3 dx 1 32x 130 arctan C loa Vibra d 3 14 Sr mle 2 FTP EFT Slnlt VF T Le 3 cV1427dxr 3 15 22 rt W144 25 0 V14 2 5 d 1 2x 4 16 S rp rite rVa24a4 2 Vx 4x 4 a 34 Wx 2 124 Wx 28 17 Je a Va 234C dx 1 xrA 18 ss n 14 C 2 32 a dx 19 nfvlrdg2r2x2Lnlvl42422 4C oa 62 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 22 3322 20 dr 4 C laa Qan A Sa r Exercicio 164 Calcular as seguintes integrats indefinidas Solugao 1 de 4 3cosx v7 tan Resposta 1 arctan 24 2 de 2 senx 2 2tan1 Resposta 2 arctana ea h V3 V3 3 dx 2 senz 3cos x 6 tan14 V6 Resposta 3 V6 tanta 1 v6 6 tanZ 1 V6 4 de 5 3cosx 1 x Resposta 4 5 arctan2 tan5I 5 senx dx 1 senz Resposta 5 2 esposta x P 1 tan2 6 dx sen44x tan 4x 1 1 tan 4x Resposta 6 cot 4 arctan posta 6 cot de p arctan senx dx senx senzx 7 rT R EE Cc R ideo a senz cos x T tess 1cosny senz cos x dt Considerar t tan x logo dx 1 p ee eee 8 pee ve dt J lcosx J sexti J tanx2 J 242 14 1 2 1 1 V2 t I aa a3 dt glaretant arctan75 C 63 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 2t gle ve arctan 2 C tan x Respuesta 7 V2 arctan x p a 1t 14t 1 SS 8 e Rsenxcosx Ff tan 1 Etec Rsenx cos x 1tanz ltanz 1l1 dt Considerar t tan x logo dx 1 1tanz 1t dt 1 t 1 T ae 4 18 4 St 41 le ere nlt5 in 1 1 I 5 Lnsec x Ln1 tanzCLn fed C Resposta 8 Lncos x senza dx 1 9 W R 3 senx cos x senx cos 3 senx cos x R Rsenz cos x 3 senz cos Considerar t tan x logo dt sec x dx T dx sec xdx sec xdx J 34sen2xcos2 J 3se2xtan2x1 J 4sec2x2 dt 1 dt V2 t foes arses arctanV2r C 422 4 PGPo 4 2 Resposta 9 ve arctanV2 tan 2 10 a 3cos x 2 1 5 tan Resposta 10 inf vot tan V5 V5 tan UL sen2x dx senx cost x Resposta 11 arctancos 22 12 a senx 5senx cos x 1 Resposta 12 ball 5cot x 64 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 senx dx 1 senzx Resposta 13 tanz x seca 4 ee 3senx 5 cos x 1 ot Resposta 14 arctanY3t8 V15 V5 15 de 3 2senxz cos x Resposta 15 arctantan5 1 dx 16 4sen2x 7 cos x 1 2t V7 Resposta 16 1p tame ava 47 2tann 7 17 a cos x 5cos x 6 2V3 3 2 2 Resposta 17 ova arctan2 tan v2 arctanY2 tan 2 2 2 2 18 sen 2 cos oe senx cos x 8 ot Resposta 18 32 arctanY 32 V6 V2 dx 2t 2 19 ge i g de dt Ja sens 14 oe 1 dx 1 2 2 1 d dt dt a lal seo lea dx 1 2 t1 dt 2arctan C 2 ase pa aS d 2V3 2tan1 Portanto J 2v3 arctane ma 1 C 2 sena 3 J3 20 senx tana dx sen cos x 1 Resposta 20 3 bntan x 1 4 4 91 on sen cos x Resposta 21 Lnsec 27 tan 22 senz 65 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 99 1tan x dx 2senx COS 1 Resposta 22 5 Ln csc 2a cot 2x tan a sen2x dx sen2x 2senx COS 23 R a 14 4 cos x senx cos x 14cosz 14cosx 2senz cos x 144cosz Rsenz cos x Considerar t tanz logo dt secadxr dx a I sen2x dx 2senz cos 2tan x d aE SO dt 1 4cos x 1 4cos x sec x 4 2tan x 2t dt 1 t t IT d AAAaa 5 ss TT Oo dt lars lus 1 5 Lc a 1 t t 1 IT dt Ln 1 Lt 5 C sf lac as gine 1 Int 5 C T Entan x 1 Lntan2x 5 C L sec C Lntan x Lntan x Ln 4 4 tan x2 5 l 2 Resposta 23 qual 4 cos x 24 senhx cosh x dx senh4r x R ta 24 esposta 35 3 25 sonnt20 h2 h2 Resposta 25 a 6 2 dx 26 cosh xz 1 Resposta 26 cscx cot d 27 senhx cosh x Resposta 27 2coth 2z 28 cost 3x dx senh6x x R ta 28 esposta D 53 66 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 t 29 PH cote i 1 cotz Resposta 29 Lnsenz cos x 30 4 cos xdx 2 3cosx 2V5 5 tan Resposta 30 4 2v5y Vo tan5 3 3 V5 tanZ 31 cost x dx 3 h2 h4 Resposta 31 oa 32 vVcoshx 1dzx Resposta 32 2V2 senh5 2 3cosxdx 33 SUNY Ean EEG cos z1 4cos x 5 5 V3 tan Resposta 33 2Lnsecxz tan x V2 inf 2 V3tans 3 V5 V3 tan3 34 coth x dx coth x Resposta 34 Lnsenhz 7 35 Jsenx dx cos Ri ta 35 L jit sent t esposta 5 nly ag T aretansensz 36 2 cos xdx senz1 cos x 1 x 3 5 Resposta 36 5 batan5 cot 5 37 tom x dx tanh Resposta 37 x tanhxz 38 tan x dx 1 cosz 1 Resposta 38 Ln 8 cos 67 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx 39 7 SE SEE ST Se bsenx a cos x 1 bt Resposta 39 arctan ab a 40 reds senx Resposta 40 Lnsenz x cot 2 AL ae senz tan x Resposta x 1 cosx textbf41 Lntan Tn an5 21 cos 1 1 cosadx 1 2acosx a Resposta 42 arctan tan2 arctan tan esposta 5 t arctan tan5 43 ae senx sena tan cot Resposta 43 seca pn fanla cot tan cot AA senx dx cos senx 1 Resposta 44 arctan5 3 Lucos senx 45 ae 1 senz cos x Resposta 45 Ln1 tan5 dx M46 cos x 1 1 Resposta 46 50 Lncos x 1 AT cot x dx senx 1 Ri ta 47 Ln Ensenx 1 esposta nsenz Lnsena P 7 7senx 1 48 a sen5x1 cos 52x 1 cos 5x 1 1 R ta 48 Ln esposra 20 Mos 5a i t 10cos 5a 1 68 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 49 ae 12 5tanz 5 12x Resposta 49 I69 Latte 5tan x Lnsec x tan x dx 50 a btan 4x Resposta 50 LnVa b cosa b a b cos a 51 de 4 2cos3x 1 1 SHG Resposta 51 arctan tan p sg metals tan Exercicio 165 Calcular as seguintes integrats Solugao 1 dx Via4 1 Wla24 24 Resposta 1 Ln posta DT at 9 dx vJ142 Qe 1V1 Resposta 2 20 Dvd a 323 3 a VJ a 2x 33 1 Resposta 3 Vu 244 3a1 Va 2x 43 4 x dr Vvxl1 Qax1 6a 1 Resposta 4 ave i eve 2 4 18 2Vax1 5 dx xVl2 1 1 3 2 Resposta 5 ai vs arctan I onde u VW12 6 dx Vi V ve Resposta 6 31 Vx3 69 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 7 dx Va t Va Resposta 7 2x 3x 6Wx 6Ln1 Wz 8 Jx dx at Vx4 10 10 3 Resposta 8 2x wve 10 Wx 10 arctan Vx 5a 20x 24 9 dr Va5 Resposta 9 2a 5 20V 4 5 2Va 5 1 10 dz Vee 1 Ava AW 23 Resposta 10 we we 2 r4 47x 2Ln1 Vz 11 dz evita Vl 1Vi2 Resposta 11 veo Ln x x 12 eS de 4422 5 Resposta 12 darctanhWvx 1 3 13 wd V1l 2 1 8 Resposta 13 a V12 3q 14 Va da e1p BVa2 3 Resposta 14 727 Vat Ver 9LnWx 1 15 a Vat 13 ta 18 V2xe 5 Resposta 15 820 5 15 16 de x1 4 28 V1l42 x Resposta 16 P ETA 70 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II TEBE V 22 3 Vr 2 Resposta 17 a 2 9Wz 29V3 arctan I 18 dx la41 a 2 JJTt et x2 Resposta 18 arctany 7 x 19 de V8x3 27 1 27 19 823 275 8823 272 Resposta 19 30 V 8x3 27 13 V 8x3 27 20 a w 25 2 1 2525 Resposta 20 100 3 5 2 2 1 On J 1 238 2123 2 Resposta 21 P 3 38V1 23 29 dr evy1a3 nT 4 732 Resposta 22 Yi oy 2x7 23 ve V2 Wx2 de 1 Resposta 23 EV 2 Wx5L0W x 16 Tp oA cosxsenax dx 1 senx v1 4 1 Resposta 24 viysent 2 2V1sen4x 2 Sz 25 v2 ve de Vr 22 Jz Resposta 25 ven 372 71 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 26 vit ve Va Resposta 26 21 Wz 27 Je 1 4 27 dx 3 Resposta 27 Or v14 23 3 28 ae V1 2 1 Resposta 28 3 1 x2x 2 29 ie a1223 1 1 Resposta 29 arctanh P a ral 30 vo Vx dx 8 4 7 Resposta 30 a7Va 4V1 V2 31 de 1 28 Resposta 31 V12 Vx2V 22 1 Resposta 32 3 arctan Wz 33 ae x a3 14 114237 Resposta 33 tr 2 x3 3q 34 Va da Ver BVe2 3 Resposta 34 War Yeti 9Lnzx 1 3 35 VJ vrt1dx wr 6 3 5 3 3 Resposta 35 BV Wa 1 2y 47x 13 72 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 36 a Ver det 4 1 e 2 Resposta 36 arcsen p 5 Ja a dx 3 37 xrV142 1 1 3 2 1 Resposta 37 ai v3 arctan onde 14 2 u 1 38 Jo WT de zi1 2Vz71 1 Resposta 38 waar at 5 Lule Va 1 39 ae 72 32 23 22 Resposta 39 2 2 23 40 a viV1 x Q21la V142 Resposta 40 3x 3x3 41 ne Ve1A123 Resposta 41 2 arctanVx 1 42 ak Vsec a 2e tan a 4 t Resposta 42 arcsen 2 sec Exercicio 166 A partir da integral I fe cosax dx mostre que x ngr nn 1 L I 7 senax 2 cosax 2 2 Solugao Exercicio 167 Mostre que a integral I pp dx cumpre a seguinte identidade senx a la I nm senn 1 t I n1 73 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao Exercicio 168 cos 8x sen7x sen3z sen2x Mostre que 4C Sugestao sen3x senx1 1 cos 2x 2 2cos 22 Solugao t Exercicio 169 O prego de revenda de um Fusca decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso Quando a maquina tinha t anos a taza de variacéo por ano era 960 Ve reais por ano Se o Fusca foi comprado por R500000 quanto custard dentro de 10 anos Solugao Resposta 11 R4849 61 Exercicio 1610 4 3 Estimase que a valorizacao de um objeto ddse a uma taxa de regis 100 2x4 8000 por ano Se o valor desse objeto R50000 quanto serd o custo dentro de 10 anos Solugao Resposta 12 R510 56 74 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 17 Outros métodos de integracao Exercicios 17 ky Exercicio 171 Resolver e verificar as seguintes integrats a 1 1lyV 1 of v dx ph arctan senz C 2 1 acosx dx senx LO a cos 6sen2x3 Vacos b senx edr 2 3 J e 2Ve7414C Vet 1 3 4 P f VINE de Ine VF VIEF 5 f S35 te Sugestao Vla7a24t 2 Vice a dx 1 2t 1 6 P f Saret onde Vlaaxt Qa 1Vax 41 V5 V5 d 2V3 2t1 1 7 ref 2 8B acta 0 onde t 212712 3 V3 lx V2 8 J Vtanxdr g arecoscos x senx Lncos Vsen2x senx C Sugestao Considere tanx u Solucao Exercicio 172 Resolver utilizando a mudanea de varidvel indicada Solucao br d lL a bat de t4be xvcu a ba 1 bx Resposta 1 seavesen 75 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d 9 t 1 2V1 32 4 32 Resposta 2 dx 31a23 I Fs yer 1 1 2t1 Resposta 3 Lnat 1 arctan posta 8 5Lno 1 z avetan dx a 4 t la p2n 2n Resposta 4 ve nara2 Exercicio 173 Determine um polinémio quadratico Px tal que P0 1 P0 0 de modo que Padx func onal seja uma fungao racional x312 J Solugao Resposta Px 1 x Exercicio 174 Resolver pelo primeiro método de Ostrogradski Solugao 1 va dx 1 vz 6Vx Resposta 1 ove 2Vxr 6Wax arctan Wz 9 dx Vai2ax1 1 Resposta 2 Lna 5 Va 21 3 dx V1 22 W1 2x Resposta 3 V1 2x2 W1 2x 2LnW1 22 1 dx x1 A Resposta 4 arcsen a Resp 4 arson 5 5x 3dax Va 4a 5 2 Resposta 5 13aresen Va 4x 5 76 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3a 2 dx 1 1 6 Resposta 6 3Va4424 Lnla4 Vaa4 4 2 Va x42 P 2 2 7 dx x 2Va 2x x R ta 7 esposta lay 8 ee ry 2a 241 zi1 Resposta 8 arcsen P Vv x 1dx 9 Resposta 9 ae yl x 2x 3dr x xr2 10 Resposta 10 5V2 4x 13arcsen SHAE Resposta 10 G 5V om UL oda Vr1 241 3 Resposta 11 evry 2V12 12 ie u2xe1 Resposta 12 2 arctanhV2x 1 Exercicio 175 Resolver pelo segundo método de Ostrogradski Solugao dx x x 1 1 R ta 1 L 1 Gti pay Resposte Yar ai gine 4 9x 9 2 a x 2a 2 xr3 Resposta 2 a a re 2Lna2 2 2 arctanzx 1 3 ie x 14 15a 40x 33 15 Resposta 3 a ae 3B arctan 7 1 at at 40 2 x3 x 1 1 Resposta 4 Pa 1 Lnv2 1 77 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 x 2dr a 2 1 2 2 1 4 2x3 2 Resposta ante arctan 2Lma 2042 7 5 br dx 6 woR 3 1 Resposta 6 3 arctan x Woy gel ratl 7 soxae x1 120752 1 Resposta 7 6Ln 2a21 8 4x 82x dx x 1a 1 3a 2 2 1 R ta 8 Ln spots Co pan eer 9 324 4 dx x a 13 54a 10307 32 57 Resposta 9 eae arctan 7 10 x 1 dx x 1a 4 1 zi1 r2 1 Resposta 10 a2 12 dx 1 A arctan 2 W a 2 dx a 2x 28 32 1 3 18x 1 R ta 11 arc 1 esposta 11 Foo poeta 1g retanle Ca opp ae dx 12 lac 1 2 etl 1 1 Resposta 12 Ln esposta 12 3 LnlS 33 3G pa 9dx 13 OT 3 5x3 2x3 jae at 3 1 1 V3aV2 Resposta 13 4 Ln P 755 secaep talons 78 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 nd OR 14 ww 26a 240 29 a 4a 5a 4 x 2x 5 1 x Resposta 14 8a2 4 2a 4x 5 16 arctan arctanx 2 15 de x 2x103 1 ct1 3a 1 18a 1 Ri ta 15 tan SE esposta 15 Fie larctanS Sy oe ei0 2 bln lope 16 5 3a 6x 5a x4 de xv a 203427 41 3 7x 2x Resposta 16 ae 2221 3Lna Vx A Exercicio 176 Resolver por distintos métodos Solugao r3 1 dx Vu 4 Resposta 3 Va 4 3Lnx V2 4 2 veine 9 x Lg Resposta 2 2x2 glbn x 4 2 1 3 ete x1 x Resposta 1 7 a x 2x 3Lnzx 1 A x dx 2x2 3 1 Resposta 4 qln2x 3 5 x dx ok 74 1 Resposta 5 arcsen 2 a 6 x dx JVx 1 1 Resposta 6 3 Lala Vx 1 79 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II arctan 7 2 1d 4 x 1 L9 Resposta 7 zaretan 8 feo dx Resposta 8 1 yoar 3Ln4 a 1 9 du va 2 var 1 R ta 9 esposta inal 3 aah 10 Je 7 dx Resposta 10 te esposta ny 11 pe vate ae 2 Resposta 11 35 V a be 5ved 9 5Vve 12 Resposta 12 Ts ee dr 13 1 e 1 tte Resposta 13 spina 14 sexe bx dx 1 Resposta 14 b cosa ba 15 da sen Resposta 15a Lntan a 16 Jicos ax senax dx 1 Resposta 16 x cos 2a 2a 2 17 cos xdx Resposta 17 5 80 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II L 18 pe dz Resposta 18 cosLnz x d 1 19 3 Resposta 19 3 tanx 20 1 d 1 dx seny 2x 1 Resposta 20 cot V2z P V2 21 oo x dx Resposta 21 Lnsenz 22 Je cota 1 dx l 2 Resposta 22 5 Lafsena 1 x x 23 sen d J cosZsen x Resposta 23 5sen 24 ood dx x Resposta 24 5Lnsen 8 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 18 Revisao Capitulo I Miscelanea 11 ky Miscelanea 111 Determine as funcoes primitivas para as seguintes funcdes 1 cos x 2senzx cos x senx 2 cosa x cosa x sena x sena 2 Solucao 1 I cos x 2senz cosx senxdx costae sen2xdx 1 Jo sen4xdx x ri cos4a C 2 I eesa2 cosa2senaasenaadz coslat2aaldz 1 I costanae psen22 C Miscelanea 112 Calcular as integrais seguintes com a mudanga de varidvel indicada 1 Solucao 1 r SejatVrt1 Pl2 Ss 2tdt dz logo virl ee 1 1 2 Portanto J 3V 2 13 2r14C 2 a yl xax b x L L L n1Lnaz Resposta a a Enact be be b bn bn 82 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II dx dx 3 J Seja ta24 dt dz logo ls lS dt t Jenn aresen C arcsen C ax ra Portanto J arcsen C arctan C a 5 nm senx COs de 3 sen2x 1 1 Resposta J jn tan 2tan 3 qin 3 tan 2tan 1 241d 1 5 itijd 1 ava ax 1 x 1 2 1 1 2 x Resposta J garesenh Gvsce garctanh dx 6 Seja t V2r1 412r tdt dz logo rv 2x 1 2t dt 1 laa lum arctan t Portanto J 2arctanV2x2 1C Miscelanea 113 Verifique o calculo das seguintes integrais Jet 1 earctana Ln2 4 1vrrer 2 Jet 1 Be ee o dt 1 emrctane qi e 1arctanrC 2 H ee senz 4senx 1 2 2 Atan1 arctan C StanS1 515 V15 1 sena 4 senx 1 Sugestao AA msesna senz 4senxz 1 sena 4sena 1 e Ve 42e7e7 2 1 3 J Sa i n2 e Ve 44C 2e 2Ver 4 2 Solugao 83 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 114 241 709 Determine antiderivada de gx ae de modo que passe pelo ponto P0 5807 Solugao Resposta 3 6 3 6 V e150 24 5l 2 5 cvla Miscelanea 115 Se fx a fx e gx b gx onde a e b sao constantes positivas achar o valor da integral I t gx dx Solugao Por parteas te g x dz seja u fx e du gxdz entao v gx logo T f logvde flog e f eg ea0 esta ultima integral por partes u fr e dv gxdz logo v gx e segue I t gadx fxgx fxgx Paan I bf fa gx dx fxgx fxg2 fa Flagvae I Portanto I f fx gx de 5 F0 9 f gla Miscelanea 116 Substituindo tané o mostre a seguinte formula a fe cos bx dx 4 e cosbx 6 JV4P Solugao Pela formula 62 do Apéndice segue ax et I Je cos badx pp Osenba acosbxr C Sendo tané p send be cos logo a Vato Jee I ert cost dz wb senbx a cos br C Var b Va BP Va P 84 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II et I e cosbadx sené senbx cos cos bx C Var im 1 Portanto e cos ba dx e cosba 8 Va b Miscelanea 117 Sey fx ex fy mostre que t ax fw dyaxyC Solugao Sey fz dyfxdxe x fy logo r f fav f tyay Uf f wae fae fade x fa Portanto dx rw dy xyC Miscelanea 118 Seja a integral I pum dx onde v a derivada nésima da fungéao v qual é a formula obtida apés den integragoes por partes Calcule uma primitiva para a expressdao uv vu Solugao Resposta uv vu Miscelanea 119 Resolver por distintos métodos Solugao 1 dx ver 1 Resposta 1 2 arctan Ve 1 9 Ln2z dx xLn4x Resposta 2 Lna Ln2 LnLnz 2Ln2 3 e dx ver 1 2 Resposta 3 3 e 2Ve 1 4 r 8 ee n fe an sen cosa dx cos x 7 COS cosa 2 2 I 2cosx 5V cos 7 5 cos x 5cos x 85 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 oT W Seina t d 2 ad Seja x tana x sec ada sena cosa rVu 1 Jr 1 Vr 1 sec ada I cscata Lncsca cota tana Vtana1 1 cosa sena x I Ln Ln Ln ni sena cosa na 6 x dr V2 x 2 Resposta 6 v2 x 7 dx rV4 x Jd 72 Resposta 7 ve Ag 8 V1l2 dx 1 Resposta 8 5 Va az paresens 9 vere ae 2 Resposta 9 SV a x 5 Lnw Va x 10 de xr Vu 1 1 Resposta 10 arcsen x Var21 11 VE de x 1VJ21 Resposta 11 Vz 1 Lyf x 12 ae x Vu 2 1 2 Resposta 12 arctan v2 J2 x dx 13 x 7x 13 86 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 2x 7 Resposta 13 arctan posta 18 S arctan sec x tan x 14 dr Vsec x 4 1 Resposta 14 senhsec x 1b sec x dx Vtan x 2 Resposta 15 Lntanz tan x 2 16 r fie eB Pede fle ber 2de e e 20 C 17 cot ax dx 1 Resposta 17 cotax 2 a dx 18 1 cos x R t 18 1 t fanz esposta arctan P V2 V2 19 ae 3cos5x 7 Resposta 19 Lnsec52 tan5x esposta 75 Lulsec5x 7 anSx 7 2 20 ode Jr ae 1 Resposta 20 gltve aaLnx Vx a 21 de xV12 1 Resposta 21 V1 2 arctan 22 ae x 1Va 2 1 Resposta 22 Vx 24 Ln V2 2 arctan p V c V2 2 aS dx 9 23 4 cse2xdx 4 cot2x C senx cos x d Portanto 4 cot2x C senx cos x 87 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x dx 1 244 V1 2 dx V1 2 x 1 I arcsenz glev 1 x arcsenz xdx 1 Portanto farcsenr 7V1 x7 C S3 vi 72 2 25 J dx sejaxasecB dxasectan dQ logo x sons asec Btan 8dB a tax BdB a sec 1d8 72 a2 72 72 I altan86C 7 a arctan C a a 72 2 Portanto J Vx aaarctan C a 26 oo 3 dx Sejau5223 du 10zrdz logo a52 3 dr yf w 1c 10 80 1 Portanto oe 3 ddr 39 38C 27 J ecosta 3dz Sejau273 du 2zxdz logo 1 1 x cosha 3dx 5 coshu du 5 senhu C hx 3 Portanto veosha 3dr senha 3 C Miscelanea 1110 As seguintes integrais requerem aplicagao de métodos estudados resolver cada uma das mesmas Solugao t 1 1 J i dx Sejauarctane dudz logo 1 2 14 2 t 1 pa fae furdu su c 1 2 2 88 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portant I Po d L tan2 rtan dr arctanz ortanto Tag de plarctane oT lence de Sei t sg 1 de dz Seja u arctanx u sdzx logo 1 x3 lta S t 1 1 P Edu fu senucost udu ju0osu 5 f cos udu 1 11 I qu cos u Te 1 2cos2u cos2udu 2ucostuut Qu 35 f 4ud u cos u u sen2u cos4udu 4 16 16 32 1 1 1 I que cos u 35 qesen2u Tog sen4u C t Resposta 2 x 4arctanr 2 arctane esposta x 4arctan x arctan x P A1 22 8 81 22 1 3 P f invitee de 5 fina 2 de 9 2x Sejam uLnlaedvdr duzdt v2 12 1 9 2x I Ilnv142dx abn1 2 sdr 2 1 2 Ln1 27 2dx 2 ax Ln1 2 2x 2arct 5 een x Xx Tp gett 5 ln x x arctan 2 1 Portanto uw 12dr gthal aaarctanz C 4 a x 1 1 V3 2V3r1 1 Resposta 4 arctan Ln arctan2x V3 arctan2x p 5 Fal ge glavectan2n v3 v3 5 ott Fe te 89 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II l 2 2 Resposta 5 5 Ln1 2 6 x 1dxr x 1 1 24 Resposta 6 7 x dx x senx Resposta 7 8 sxcseny dx 1 2x 1 Resposta 8 gVt x 5 aresenv2 9 few z cos ve sens de cos x Resposta 9 e x sec x Miscelanea 1111 Calcular Jo 2dx sendo y x2 24 0 Sugestao considere y tz Solugao Suponhamos y tz como y x 24 0 logo v3 a2 a270 P12 r10 dx3tdt T fytade fot1de 3 aes a eat 1 1 1 1 T3t 0 Pdt 3at t 6 0 OE FBO dt sit ot oth atl t 2 fat 7 28 288 2 ae 2 3 To Ft H2 1 28 6 28 2 Miscelanea 1112 Resolver por distintos métodos Solugao L oT x dx 1 dx 1 du 1 u fe aresen Jat x4 2 a2 x 2 a2 yp 2 a2 x dx 1 x IT ls greens C 90 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 T eog2 2 J van8G secl de See pweSte 3 3 cos43 cos43 sen sen x x ee com 2 TEBE 3 sec3 T SE ar cotaxseclarde 1 f cotar seeard ar seeax dz cotaxsecaxdx cotax secaxdax secax sen2ax a a Vt d 2 4 r fers Vian sec de VtanxC COs 3 5 cos ax senax de senaxr cosh x 6 J othe dz dr Lnsenhz C senhx dx 7 ae 8 esente 3cosh 5xdx 9 dx senhz cosh x xv dx 10 r5 UL senx cosx dx cos x senx 12 e Sw xcos xz xcos xz 13 poeta dx 14 a 3 15 wt kk zrt1 16 tt aLns 17 eS we sen3x 18 po cosx dx 91 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 19 de Va3 1 x dx 20 2 ic Qu a 1 1 sen4 21 oa dz senJ 99 ede V1 x4 93 sec x dx V4 tan x 24 tan ax dx 95 de cos 3 26 dr x x dx 27 x22 28 veda senx 29 Pe conde dx 30 senx cos x dz senz cos x 2 31 l2dzx x1 2 5 3 32 dx V4 3x d 33 a e 1 34 Ee fM soc 7 dx d 35 ee senax cos ax 36 eda Vez 2 92 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 37 x4 Lnx arccos 38 dx V4 x arcsenz x 39 dx V1 2 Qu 1 2 1 2 40 3 dsen2z Ln V5 sen2x LC 4cos2x 2 5sen2x 45 V5 sen2x atghx dv gtgha 4 T 5 3sech fama hx C cosh w pe sechrdx tghx a3 Miscelanea 1113 Mostre a seguinte identidade I ls 2 y 232 4 Ve P20 2 2 13r 2Ve F140 Vit24V7xr41 15 15 Sugestao Multiplicar o numerador e denominador pela conjugada do denominador Solugao qT I x dr See 5 emse OCT SY TY Vrit24Vxr41 Ja 2 vx 1 I fovexde ove4T de Pela formula 46 da Tabela de integrais 2 2 qplise 424 x3 piss 214 23C 2 2 I qplise 42224 23 7p lise 21a2V424C Miscelanea 1114 Deduzir as formulas de redugao das seguntes integrais Solugao 1 1 x 2n3 1 lL l a 5 x a oe On 2a t 2n 2a x a 1 1 f 2 a 2 IL edt fe At J I 14 x a Ye x a oe 2 14 1 x a 1 1 1 x onde n5 ateea ape b ceeapte ota integral por partes 93 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sej logo du da ed dr enta eja u 2 logo du dx e dv dz entao v assim 6 x a2 2n a2 a2 1 x x 1 dx h ae 1 S CS a J x 4 a 2an 1a2 a1 a J 2n 1 a a1 Em 14 1 2 2 1 d naa ws a 3 ee 5 a J x 4 a 2an 1a2 a7 a J 2n 1 a a x 1 2n 3dx Portanto I oma 2an 1a a1 a 2n 1a ar nl1ly 2 JI sere eee i senza n n I sos senrdrz cosxsenx n 1 sows cos xdx I cosasenx n1 sen x1 senxdx I cosx sen ax n1 son 2a n1 sortede T1 n1 cosaxsenx n 1In2 n1 Portanto In eee ma n n dx senx n2 dx 3 Tn ee qd cosx n1cosx t n1 cos 7 d sc xdx score sec xdx cos x I tanzx sec a n 2 one sec x sec x tan xdx I tanx sec a n 2 sco x sec x 1dx In 2 I senz sec x n 2 sco xdx d 2 d Portanto JI ae foe cosxz n1cosx n1J cos 2 4 I eretay ae oredr O4 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 1115 Resolver por distintos métodos Solucao r3 x 3 lL f dte de dt Formula 32 ls Vaz 4 Vu 4 I V2 44 38bLna V2 44C L 1 L 1 2 rm EE ae dee ae ayet Sins x Jr x 2 4 2 1 3 3 p fT ea lta poe 4 24 ae z1 z1 4 3 I ty ta 20 3Lne 1 xdv 1 4xdx 1 fd2z73 1 9 4 hn2 3 eS i aes i meg 7 gener 3 xdzr 1 2x dx 1 d2x7 1 Lo 5B P Se Oe ff arcesen C Jat x4 5 a22 x2 5 a22 a22 2 6 x dr Vx 1 1 Resposta 6 3 Lala Vx 1 arctan nf 1 Ly9 Resposta 7 qaretan 8 feo dx Resposta 8 1 yess 3Ln4 azt 1 9 dz va 2 vat 1 R ta 9 esposta wl 3 Tal 10 Je 7 dex Resposta 10 Le esposta 7 P 2n7 95 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 11 eva ae 2 Resposta 11 35 V a be ve 12 pS de Sx 25ve R ta 12 esposta Ins ee dr 13 1 e 1 tte Resposta 13 sla 14 sexe bx dx 1 Resposta 14 5 cosa ba 15 da sen Resposta 15a Lntan a 16 Jicos ax senax dx 1 Resposta 16 x cos 2a 2a 17 cos x dx R t 17 x 4 sen2x esposta P 9 4 18 peo de x Resposta 18 cosLnz x dx 19 3S x I 2 Resposta 19 5 tanx 20 1d 1dz sen 2x 1 Resposta 20 2 cot V 22 P i 96 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 21 oo x dx Resposta 21 Lnsenz 2 I 2 21 2 22 I cota1dv 5 cota 1da 5 basen x 1 x x 23 d J cosZsen x Resposta 23 5sen 24 oot dx Resposta 24 sLnsen 95 senx cos x dx V cos 7 senx 1 Resposta 25 5 cos 22 26 fe sec5 dx 3 3 Resposta 26 tan 4 8 senax Resposta 27 esposta P 4a sentax Vtan x dx 23 Ye cos x 2 Resposta 28 3 tan x 2 29 cosan senat 7 senax Resposta 29 Inftan5 2senax 30 otha dx 2 Resposta 30 5 cosh 5a 5 senha dx 31 senhx Resposta 31 Lnftanh5 97 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 esente 3cosh 5xdx Resposta 32 dx dx 3300 JF 2 L h2x ctgh2 C lax laa nlesch22 ctgh22 edx 1 dx 1 xt 344 T aatctan C SS en 205 re x 1 1 Ax 4 1 f dr fe dr fr 4 1 38 e dx if woes de Flair 40 1 1 36 aS de x cos x Resposta 36 Lna cos 2 2 37 Je e dx 1 2 Resposta 37 5 dx 38 ver Respostia 38 esposta Pp Jer x 1 x 12 x12 2 39 T dr ot 2 1 d ion x 1 x ic x 1 eal 3 2 Portanto J 5 a 2Lnx 1 dx 1 40 J 7 Seja ubLhnr du dr du dz logo u Lnx 1 x Leu u 1 Portanto Luz AL SE dz sen3x 1 Resposta 41 3 LLnsec 3x tan 32 42 a cos x dx 1 Resposta 42 V2arctanV2x Tn 1 98 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 3 1 3 3 1 2 43 r f SF fF Sy ep Voe1 38 VWo31 3 2 2 x dx 4A 2 me 1 Val 1 R ta 44 a esposta im 1 sen4 Pose a senJ5 x Resposta 45 2Lntan posta 45 V2Laltan x dr 1 dx 1 46 r f f pacoone C Vliat 2 1a 2 47 sec x dr V4tan x t Resposta 47 aresen 1 48 iw ax dx secax 1dy tanar14C a 49 oe cos Resposta 49 a Lntan Lntan esposta a an5 ah V1IL 50 p dz x Resposta 50 iv 1 Ln x dr dl xr 2 1 xvV2 Resposta 51 Ln p Ta CS Ja xdx 1 dx 1 1 52 1 25 5 macs 5 escutu 3 Luneseu cot u 1 1 1 2sen 4 1 2 T Shn in 2 Sinltan 2 senu 2 2sen 5 COS 5 2 2 53 ec ssonze ae eo 2oone cos xdx eePratventr errt oC 99 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 54 p fe le Oe de Lnsenz cos x C senz COs x senx COS x l22 dex 1 2 550 T a 2 Tal Lnz 2arctan x 5 3x 56 dz V4 3x 5 rV3 Resposta 56 arcsen p zaresen 5 d d 57 f So SS nase e ev 1 le Miscelanea 1116 5a 12d Calcular a integral I oom Solucao Podemos observar que x 6x 13 tem raizes complexas de multiplicidade dois I 5a 12 Az B 4 CaD ta ogo 2 5 entao 8 6r132 26r13 6rt 13 5a 12 Ar B2 6r413CxD 5x 12 Ax 2B6A21346BCD13B A0 5B C30 DT7 Assim I Or 5 4 302 77 d i Xx x6r413 a 6x 13 1 152x 6 13 i q d yee v ee 5 x3 15 1 I arctan 13 d g ran D2 br FB war Seja x 32tana dxr2secada x32 4sec a logo 1 2 sec a 2 1 a2 62 13 l6secta 16 es ee FG cos2ada 1 1 1 1 3 24 3 ig gsen2a ig sena cos a 16 arctan aaah Voltando a integral 2 2 z6r13 16 2 x 64 13 100 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto 5x2 12 dax 13x 159 53 xr3 I arctan C 2 6r 13 82 6r 13 7 16 MAN t Miscelanea 1117 d Considere a equacgao 7 yax1 onde y fx determine o seguinte x a Uma solucao geral dessa equacao chamada equagdao diferencial b Determine a solugdo y fx que cumpra a condicao inicial f0 4 Solugao a Seja y fungao de varidvel x e consideremos a fungao implicita Fx y ye derivando d F implicitamente em relacgao a varidvel x temos que Fx y iL e ye x Com esta ideia podemos escrever a equacao original na forma dy dy e et e e 1 d d It 4 1 de e ye ex 1 de onde resulta de ea 1 De onde cc e few 1ldxre yre Jews 1dx Portanto uma solucao geral 4 equacao é ye ec 1dx Solugado b Como ex 1dx x e da solucao geral temos que yfreeC fa244Ce onde C R é uma constante de integracao Em particular quando x 0 temos que 4 f0 0CeC C4 Portanto a solucao particular 4 equagao é y 4e Miscelanea 1118 O prego de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo Quando o carro tiver x anos de uso a taxa de variagao de seu valor sera 200x 9 reais por ano Se hoje o carro fot comprado por 12000 00 reais qual sera o custo do carro dentro de cinco anos Solucao Seja Cx o custo do carro a taxa de variacgao é Ca 200x 9 logo ea 20 9dx 100x 9 K Cax K constante 101 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo o preco de revenda e Cx 100x 92 K Hoje acontece quando x 0 logo C0 1000 92 K 1200 de onde k 3900 Assim Cx 100x 92 3900 Dentro de cinco anos x 5 e C5 1005 92 3900 5500 Portanto dentro de cinco anos o custo sera de 5500 reais 102 01012023 Capitulo 2 21 Somatorios Exercicios 21 ky Exercicio 211 Escrever os seis primetros termos das somas dadas Solugao 1 Ce ee ee re ee ee 5 4 k1 06253054055 6 78 9 10 k1 20 2k1 1 35 7 9 11 138 15 17 19 Al 2 SH N se aH 4 ey Hy egy eg eg ep eg sg Se d 3k 42 258 hn ia i 20 23 26 29 6 10 k2k3 2 3 6 11 18 27 38 51 66 83 8 Say F 4 ey ey gy ey Sg Fg De 722 3715679 lol 137 172 QU ak av a a 4 1yi qg 4 4 7h e7 ete ats et a3 39 27 81 243 729 5 a a 25 o47 e876 327 30 6 S senkm senm sen2n sen3m sen4m sendm sen6m k1 103 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ee 3 3 3 3 3 Ln Ln Ln Ln Ln Ln 7 n Ln La5 La5 La Ln 5 hk 1 4 9 25 36 8 4 Lea 273 6 7 Exercicio 212 Determinar uma formula para cada uma dos seguintes somatorios Solugao LL SS V2i1V2i i1 S v3 V1 v5 V3 V7 V5 V2n FT V2n Portanto 5 v2i1V2i1 V2n11 i1 4 1 1 2 ee a 4k 34k 1 i in 7 se fff 2 fy 5 5 9 9 13 4n3 4n1 4n41 4 4n Portant S one Gk ak 1 4n1 100 k 100 3 SS Inf SLnk Lnk 2 k1 k1 S Ln1Ln3Ln2Ln4Ln3Ln5 Lnn1Lnn1LnnLnn2 S Ln2Ln3n44LnnLn3Ln4 Ln5 InnLnn1Lnn2 S Ln2Lnn1 Lnn2 quando n100 SLn2Ln101102 100 k 9 P Ln Ln ortanto S nly i 5 Toi 402 2 kk1 14 fl 1 1 a a ee DAK Bi 5 k kyl 2 1 1 1 1 1 1 1 1 99 l1 8 8 re k s13 a ba te fpma tL 104 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II yg1 41 flow 1 1 mel 2L14 7 nl on 1 1 Portanto S1 In2 gQnrtl k k 5 S SOO Sh Dey FER TO y ED Aplicando fragoes parciais n 1 3 n n n i 2 3 1 1 1 3 1 ge 2 4 4 2 ff EQ WP vette teal bra Pls es k1 k1 k1 k1 n1 n n1 1 1 1 3 1 S42 Ly Dept ies 5 LED n1 n1 nl 1121 1 2 1 2 3 1 38 1 3 1 2 458 4749 oy LE a 4 63 5 raat F423 nD Dad 2n42 2n3 n1 1 1 2 2 3 3 1 3 1 Sn a dy 1 6 3 n42 w2 Xnray tbat DED 3 4 3 3 4 12 2n2 22n42 2n3 nn 1 Portanto S ortanto n 2n 3 Pooky 3k Mook 3k 9 royk 324 737 6 sS D ata shlal tele 7 k1 k1 k1 k0 k0 2 12 3 13 2 2 3 337 Sal 45 8 F 4 1 F S 2 6 12 6 13 Gt GIF EG 35 1 n ln Portanto S 533 2 7 s y 1 VR k Vko Vk 1 s pala val aval lava a el V2 v2 v3 Lv3 V4 n1 Yn vn Vn1 105 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto ga vette tT VYn1l Lnf12F1 k n 1 1 8 ga 57 ms A ye ee A LnkLnk 1F 4 LnkF Lnk 1 s 1 f4 Lyf 1 Ln2 n33 Ln3 Ln4 Lnn Lnan1rt 1 1 Portant S one 2Ln2 n 1Lnn1 eK 2 Crek2 fer 2 ef1S 214 9 S 4 2 7 37 4 oN SSP eS L ee G Ee k1 k1 k1 3 e 2 1 S Tl 1 slh 1 50 G Portanto 1 1 2 ortanto 3e 3 3 1 lw 1 lw 1 1 10 S CO OU a eee S sepesi 2 Sees 2b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ler oerr eee S 5 gi tls gith 5 E ned ti np n P ortanto S tin 2 1 lo 1 1 1 1K 1 11 cx m0 OO ww paq3h papa 3 sg ee k2 k2 k2 k2 roo ree 4 S 5 po a ee k2 k4 1 weil 1 1 1 25 1 S 5 dp Ei tatael k2 k2 3 2n1 P o ortanto S 1 Inn 1 12 S BRT 7 B hap eB LER k1 k1 k1 k1 k2 1 1 1 1 51 SL op Pp n 1 n 1 k2 k2 106 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Portanto S nn 2 n 1 e 3sena cos a ek 3sena cosa 13 8 e ge De k1 k1 k1 gue 13 3sena cosa 1 sena cosa 3 13 3 1 sena cosa 1 1 sena cosa Se 2 NE 3e sen2a 2 sen2a Portanto el5 1 sen2asena cosa 1 e3 sen2a 2 16 csc ka 16senkx costkr 14 S 16 cos k cot kx sec kx senka cos kx mone S4 Soll cos2kx S 6 8 cos2ka 2 cos4ka k1 k1 S S 6 4 42het 4 7 2ket 4 Cua 4 etki k1 S S 6 4 42 4 Ae 22 4 e47h 4 e4 k1 jJe e2nxt jJ en 2nat einai jJe e4nat 221 22 Axi Axi S 6n de loom 4e loom 1 loom Te Toes S6n4 em De 4 ete sennx 4 err Dei 4 ent Dea sen2nz senx sen2z S6n 8senna cosn 1a 4 2sen2nz cos2n 1x senx sen 22 e sen2n 1x senx 2sennx cosn 1x e sen22n 1x sen2x sen2nx cos2n 1z S6n Asen2n 1a senz 4 2sen22n 1a sen2z senx sen22 6n1 Asen2n 1a 1 Asen2n 1a cos2n 1a senx sen2z 1 15 S S cos3kaz Considere cosa gle e onde i V1 Por outro lado k1 1 e e2 e7 2 2 2iesen2assim 107 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II LO skei ake LW 30k 3kiyk S5 le e 5 dK e eo k1 k1 f1 esent f1l e 3ent 3x 3xi 25 e e a esti oi Ai i eo 8ti ep Se OS 25 Se asa ae oes sJ ee e2 e 2 e2 e 2 e2 e 2 29 pugs a Le nt 4 a 5 sen sen 25 sen 322 Ocos 3n 1x 5 ge 2 cos 32 sey 3ah cos 3nte sen32 2 2sen 3 cos e senA BsenA B 2senA cos B gg 08 2sen3n 2a sen2x 2 cos sen3n 2x 2 cos sen3z sen3z 2sen32r Portanto S sen3n 1x sen3x sen3x 2sen3z 25 6 2 6 261 6 1ar 16 S sy 2p 107 y 100 Dl ioe 100 Siok 00k i Toe 1007 k1 k1 k1 10 100 25 1 6 1 275 10 6 1 pnp p 9 19 90 100 99 10 99 19m 269 27510 6 Portanto ome 99 99102 17 S sen 2a k1 Resposta 17 tan 2z 1 sen2z S ok d R 18 S Br em geral para todo x K temse k1 he dina d 1a7 k1 k1 k1 n J a797 Lyeon2 eo 28pl yoni 127 k1 108 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II tnljat nae 2 c quando x 5 54n15tn5 1 nl on S es 5 51 160 Beat Bel 5 4n5 Portant S ees i6 166 19 S 5 sen5k 2 k1 Resposta 19 55 cos 55sen5n x senz 4 sen55 cos5n a cos rl 413 5 cos 5 413 5 cos 5 20 S k P kat ae ay ate LY dx dx 12 k1 k1 k1 2 a n 1a a2 S ho 12 n3 1 n2 2 Portanto sg e ban e x 1 21 S S k 2 em geral para todo x R temse k1 aw ld 1d 1la kok k k1 7 ky oN rae nda 7 k1 k1 k1 srk kal L n 1a p2 x 1 2 quando x 2 segue 1 f11 n 12 2 24 kok Xe NE ME 2 iP k1 Portanto S 2n12271 109 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 ix 1 1 22 S yj 344 10k P 0 sera 1 nl 1 1 n1 1 S 10 24 5koi 10 24 Bkoi k2 k0 n1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 S aro oro 10 5k1 10n1l0Gn4 101 104 10 5k1 1 1 1 1 S 105n1 105n 4 101 104 1 1 Portant S 4 ome l05n 4 105n1 40 23 S cos k1 Resposta 23 cot 32 1 cos 32 13 2 24 SS V34al V3e0 pee 1344 3 3 n Portanto g V2 telvGe U V3arz1 Exercicio 213 nn1 Determine a validade da igualdade S Ln 2 37 Ene Solucao kl A igualdade é verdadeira Observe k 1 2 3 n 19203 n nngiy2 Rn 1 Ln2 Ln2Ln2Ln2Ln2 Ln2222 Ln2 7 bn2 k1 Exercicio 214 ky 1 Mostre que a formula é evidente mse ae Solugao Exercicio 215 1 n n n on SeX SX4 mostre que X X 3 XZ X YO Xp M1 k1 k1 k1 Solugao 110 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observe S X XP S X4 2XxX X7 k1 k1 S S0Xi 2X 0 Xn SOX SOK 2K SX XK k1 k1 k1 k1 k1 SS0X 2X SO Xe KX nX SOX e 28 SOX XK SOX k1 k1 k1 k1 k1 Portanto SUX X SOX XS X k1 k1 k1 Exercicio 216 Determine o valor dene N se we k Silk k k1 k1 Solugao Temse 2 2 2 nn 1 k1 k1 k1 k1 Portanto n 3 Exercicio 217 1 Sejaa 1 mostre que S Soa quando n oo la Solucao k0 n n n1 Suponhamos que S S a isto é S 1 S a 1a S a logo k0 k1 k0 i 1 La Sn 1 a n na alSoa a 1aSa loa k0 Comola 1 lima0 N 0o 1 Portanto Spa S a Toa quando n co Exercicio 218 Nos seguintes exercicios expresse as dizimas periddicas dadas como series geométricas e em seguida expresse as somas destas ultimas como o quociente de dois intetros 1 0 6666 2 02323 3 007575 4 021515 Solugao 111 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 66 1 66 1 6600 2 1 06666 066 00066 066 1 00 100 100 00 t 99 9900 3 23 1 23 1 2300 23 2 0 2323 0 23 0 0023 0 23 1 eo tO 100 100 00 t 99 9900 99 75 1 75 1 7500 25 3 007575 0075 0 00075 075 1 s 1000 1000 1000 t 50 99000 330 21 1 1 515 21494 10747 4 021515 021 000515 0515 21 ents 100 t 100 00 r 999 99900 49950 Exercicio 219 Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada més ele deposita P reais em uma conta especial para a aposentadoria Esses depdsitos sao fet tos mensalmente durante t anos e a conta rende juros anuais de r Se os juros sao capitalizados mensalmente o saldo A na conta ao final det anos é r r r r AP4P144P11 Pa41 PUS P0455 Syla 54 Se os juros sao capitalizados continuamente o saldo A ao final de t anos é A r r 12t1r Ple 1 P Pe Pe2 P e es 7 Use a formula para a nésima soma el parcial de uma série geométrica para provar que cada uma das somas acima estdé correta Solugao Exercicio 2110 Uma bola jogada de uma altura de 6 metros comeca a quicar ao atingir o solo como indica a Figura 21 A altura mdzima atingida pela bola apds cada batida no solo é igual a trés quartos da altura da queda correspondente Calcule a distancia vertical total percorrida pela bola y 6 4 2 0 Tempo Figura 21 Solugao A bola teve um percorrido no primeiro instante da queda de 6m 3 Logo a bola percorre para subir 1 6 e para descer 0 mesmo 112 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 39 Nesse processo logo a bola sobe 7 6e para descer 0 mesmo Segundo com este processo ate a bola ficar queta percorreou uma distancia D metros isto é 3 35 33 35 D6266466 quando n oo 4 4 4 4 18 3 83 3 3 D or 2 224 28 Eee 2rd 6 5 54 4 9 n oco 13 D649 T D45 quando n oo 4 Portanto a distancia vertical total percorrida pela bola foi de 45 metros Exercicio 2111 Mostre que S Lnk 1 Lnn 1 k1 Solugao E imediato S 5 Lnk 1 Ln2 Ln3 Ln4 Ln5 Ln6 Lnn 1 k1 S Ln234567n1 Lnln 1 113 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 22 Calculo de Area de uma Regiao Plana Exercicios 22 ky Exercicio 221 Determine a drea da regido D limitada por y 2x7 0 eito x e as reta x 2 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area a ser calculada encontrase na Figura 22 A area do conjunto D é dada pela integral ii 9 y 2x 2 22 16 io D 2adx 3 lo 3 2 x 0 Ll we 16 x2 Portanto a area da regiao D mede 3 u Figura 22 Exercicio 222 Determine a drea da regido D limitada por y 3a 0 eizo x e as retax 1 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area do conjunto D é dada pela integral 1 3 pit 3 D 3adx 0 u D9 lo 58 0 Exercicio 223 Calcular a drea da regido D limitada por y x 0 eizo x e as retasv 1 ex 2 utilizando retangulos inscritos e circunscritos Solucao A area do conjunto D é dada pela integral 0 2 7 1 9 1 1 D 23d 3d 0 w saes otae 7 1177 Io 1 1 0 114 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 224 Usando somatorio calcular a area do trapézio isdsceles de bases B e b de altura h Solucao 1 Resposta 4 5B bh Exercicio 225 O grafico de fx 2 x e o eixo desde x 2 até x 2 formam um triangulo Utilizando somatorio achar a area desse triangulo Solucao Resposta 5 4u Exercicio 226 Para cada um dos seguintes exerctcios desenhar a regiao de integragao D e determine sua area limitada pelos graficos de Solucao 1 r y0 7 er y cosa 6 a 2 3 5 1 1 Temse a drea A cosa senz sen sen 2 2 6 2 6 ov 2 yarctanz y arccos Y 0 Solucao Observe que yarctanz xtany ov 2 arccos x cos J 2 3 rd 3 Se 76 bs 2 yarceos tS Area IG cos y tan ydy ee 0 Bl ihiipiiavirersmeciegee Srektaits 6 eh et 2 n6 ae oN Area seny Lncos y at x 3 0 a 1 3 B Area in3 3 2 3 yatac0 y2y0 115 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 A area e dado por A fydy porém escrever x em funcao de y nos leva a resolver 0 a equacao x x y 0 isso é tedioso Podemos resolver de outro modo 1 3 1 lg 5 A base altura a xdx 12 a x 4 2 lo 4 0 r 2 4 Y Tye Yaa ta Loe 5 j 1 7 P 2 1 1 2 h A 2 A Figura 23 Figura 24 P o2 Pond a 2 Lue 2 Lue 2 Lue 2 A dz d dr me me o f S 1 0 1 Pond a2 1 0 A x arctana 5 Lae DI ee ru 0 1 1 1 1 5 Al 5 bn2 l 5 bn 1 arctan 2 gba 1 1 8 Portanto a areamede A1 17 arctan 2 3 hnz Figura 23 5 y3r2 y 2 2 2 2 2 2 2 a A 8a 2 a axdx 4a 22dx 2x 7 3 3 0 0 0 8h Portanto a area mede A 3 Figura 24 6 ya 4 422 y0 x 0 116 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 4 2 22 2 x 1 x 1 2 A dzr 4 5dz arctan Ln4 tam tt Jig Tym lde 5 arctan 5 5 n 2 0 0 Portanto a areamede A Ln4 Figura 25 Figura 25 Figura 26 7 ytanz y0 ras x0 3 3 Temse a drea A ow xdxz isect 1dx tanz x ys 0 0 0 1 n 33n A tan ans 3 3 3V3 Portanto a area mede A tan nee Figura 26 8 yarcsenz y arccosz c 1 Resposta 8 5 V2 9 9 yLn2 Ln4 re Resposta 9 4e Ln4 10 y4LInx1 yLnx 1 x 0 Resposta 10 2e 3 2 ll ytanz7r0y 3 Ose Ri ta 11 E Ln 2 esposta Ln p 3 Fa 12 ya22r3r2r0 y0 22 Resposta 12 z 13 xer0 y0 Ln4 Resposta 18 3 117 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Figura 27 Figura 28 140 y2327 42742 y 22 4r 42 2 2 Temse a drea A ie 30242042 1 4042edz o85062d0 s 0 0 1 5 2 1 5 8 A 2 223 30 16 28 34 Gat 30 82 G06 318 314 5 8 Portanto a area mede A 3 Figura 27 37 R ta 14 esposta Th 15 yeyex1 1 Resposta 15 eU e 16 yx0y20ry20 1 0 Temse a drea A fie y ydy fie yydy 0 9 1 3 1 1 1 9 49 A 2y y 2 a 2y Sy sy 2y sy avy 2y sx 3 a 49 Portanto a area mede A Tp Figura 27 17 y92y241 2 2 2 2 Temse a Area A lo x1dzx 620te 8x4 5 2 2 2 32 32 64 A SS9 18 y2r42xy1r70 y0xr2 Resposta 18 19 yaua4y2y82 Resposta 19 118 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 20 ye2yta0r143 Seja A a area pedida entao 2 3 A re 2 adx ie 2 adx 1 2 1 1 2 1 1 3 7 3 19 5 A x 2 20 73 4 z 2 LG5 222 52 5 2a Ge 52 5 5 tAtS 5 32 Aa d dreamede 3 210 yVvV23yr1y0 3 Resposta 21 3 bs 22 ysenz sex 0 2a y a2 x 27 Resposta 22 4 2n 93 yo ea p 3 23 y0 Y 2 16 c Y Seja D a area a ser calculada entao 2 4 r 2 4 2 2 4 3 2 4 xr xr xr xr D dy eat t att aay P16 3 2 0 2 Pela simetria da regiao a calcular 2 2 4 2 4 xr xr D2 dz 2 dzr lass leas 0 2 12 x Ay 12 xA4y 3 a GSE SD say a 4lo oa ny 44 le 9 Portanto area D 2 3Ln 24 yarcsenz y arccosxz 0 Resposta 24 V2 Exercicio 227 Determine a maior drea da regido D limitada pelas curvas x 2y 0y 3 x sy 0 Solugao 16 Resposta 5 572 119 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 228 Determine a drea da regiao D do primeiro quadrante limitada pela elipse bx ay ab Solugao b A fungéo que descreve a elipse no primeiro quadrante é fr Va 2 0 a x a Seja A a area pedida entao b b 9 x 1 A Va dz rVa 2 4 aresen rab a 2a alo 4 0 1 Assim a area pedida mede gma Exercicio 229 Para cada um dos exercicios seguintes determine a drea da regiao dada limitada por 1 y2 xr0 xr2 y0 8 Resposta 1 3 u 2 y427 y0 32 Resposta 2 3 u 3 y2r eixor r0 e r4 32 Resposta 3 3 wy 4 y2 y4 32 16 Resposta 4 3 wy 5B 6 6y2 cl v1 eoeixor 1 Resposta 5 5 wy 6 yrx1 r3 r8 eoeixor 2385 Resposta 6 TT wy 7 y4ar oeixor r4 e r4 42 se rt 0 Temse y42 w4 e r4 42x se 0 Seja A a area a ser calculada entao 0 4 1 0 1 4 A rayae 2a0 44 5 4a 5 16 4 0 4 0 120 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 8 y 12 x2 x eixo x x 3 e x 2 Resposta 8 305 6 u2 9 y 2 x o eixo x x 4 e x 4 Resposta 9 4 u2 10 y mx m 0 y 0 x a e x b sendo 0 a b Resposta 10 mb2 a2 2 u2 11 y x2 2x 1 eixo x x 1 e x 4 Resposta 11 13 2 3 4 u2 12 y 3x 3x2 4 3x3 eixo x x 0 e x 1 Resposta 12 1 6 u2 13 y cosh x x 0 x 1 e y 0 Resposta 13 senh1 u2 14 y cos x x π 2 x π 2 e o eixo x Resposta 14 2 u2 15 4y x 42 4y x 42 4y x 42 e 4y x 42 Resposta 15 64 3 u2 121 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 Significado Geométrico das Somas Inferior e Superior Exercicios 23 ky Exercicio 231 Determine quais das seguintes fungdes sao integrdveis no intervalo 0 2 e calcule a integral caso seja posstvel Solugao x see Oal L fe xa2 se la2 2 1 2 1 61 2 I J toae odes e200 5 sx 2 0 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 0 x see O0a2l 2 f xa2 se la2 2 1 2 1 1 2 I oa odes e2a0 5 sx 2 0 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 0 3 fxja r 2 1 2 14 1 9 e le Ide ade w Ide 50 51 3 0 1 0 0 1 A fungao é integravel temse I 3 Exercicio 232 Para cada um dos seguintes exercicios calcular a primeira derivada Solugao 2x 1 Fx cosnize 1dt Fx cosh22zx 12 2cosh8x 1 1 122 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Fx om Px OS 08 arcsent arcsensenz x r pf dt f dt 3 Fxr pdy Fr 7 rec y 7 le 2 5 5 ae f pSen 4 Fx cosy 4 dy a2 dt 2 2X rise thal Ipc 7 cos V 1 soy t 1 sen x 0 x y 5 Fx sen tf sent q a 0 0 x y x Fx cos f sent q a sen sent q 0 0 0 Exercicio 233 f2 dt senz Sejam Hx p gt dt Ln1 cosa calcular Hx gx1V 12 v2 Solugao Como Ln1 cos gt dt entao V2 Ln1 cos2 snr snr Ln1 cosx cosa gsenx cosx gsenx dx J 1cosaz J sena sena 1V1sen2z2 gsenz cos r1 cose gsenz sen zr rs y x de onde 11 y ou gz1 V1 2 logo gly A Vly Jie gla ovicn FQ ate wi 1 gx1122 f2 f2 123 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 d x 1 2 1 Wa a Sal 2 ee dx 12 x V1 x28 Vi 1 Portanto Hx 7 veV1 x Exercicio 234 2 t dt Seja Fx Tee calcular Fa x3 Solugao Seja a uma constante compreendida entre x e x x x t dt t dt x8327 x 2x Fx Fx 7 Je S Toe 7 Qe13 3770 Assim F x 1428 Tq Exercicio 235 cx Gx 2 dt calcular Gx e G 2 x241 Solugao Seja a uma constante compreendida entre x7 1 e 2 2 J p x41 xete Gx 2P dt 2 dt Gx 2 2x 24 Qa 1 2x 1 2 Logo G saya 7a Por outro lado para o cdlculo de G x Gx 2 2x7 2a 12xLn2 249 2 4 2 Qa 4 12a x 2a 1Ln2 2 2 Gl ax BY a 1Ln2 Qe 5p 2142 D7 4 1 a 2Ln2 4 Qi a Exercicio 236 Se Fx oe 1dt calcular F2x g2 Solugao 124 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Temse Fx foe 1dt logo para a entre e e x 2 e x Fx o idte e1at e x Fx Je 1 dtxree 1 foe 1 dt 2a72 1 Portanto Je 1dt2e e 22 22 g2 Exercicio 237 g22 Seja Gx ft dt onde f I R uma fungao continua e as fungdes gx derivdveis 91 go J R Mostre que Gx fgox 95x fgix gi 2 Solugao Seja a R fixo tal que giz a gox entao g2x g2x a Gc ft dt ft dt ft at gix a gx g2x g2x gx Go f fat f peae feat gx a a Pelo primeiro Teorema Fundamental do calculo para integrais Gx fg2x 9 fm2 2 Exercicio 238 x x t Mostre que se fx continua entao toe tdt f roa dt 0 0 Lo Sugestao Considerar Fx to x tdt logo Fx to dt 0 0 Solugao 125 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja Fa roe tdt entao Fx lero tftdt logo 0 0 x d x Po f fQat f afte Ta f roa 0 0 x dF x t Como Fa tdt entéo Fx fs dt tomar jf Exercicio 239 Aplicar o exercicio anterior para mostrar que ftx tdt 2 fu wf a dt Aa Solucao Seja Fx roe tdt frow 2cttdt 0 0 Fx x ftdt 2x fttdt fttdt frown roa Fx 2 ftdtax fttdta fttdt fttdt ous Prova conn Fa a ftatdt2x fttdt fttdt row a 2x fee 2 fx 2 reat 2x fx fx xdt 0 0 t Exercicio 2310 Determine fx se fx x0 Solucao Exercicio 2311 126 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II sepi 2 1 16 Se ft dt az determine valores de a de modo que Fa F ax 5 Solugao 2 1 3 2 td ye MO az Morey 3x 1 am 5 1 3 2 16 3 2 Quando x 1 temse que f a a logo 4 16 a 3 16 a a2a Assim a a20 implica a 2 ou a 1 Exercicio 2312 Suponhamos f eg fungoes continuas no intervalo a b tais que satisfazem a desigual b b dade te dx oo dz Responda as seguintes questées justificando sua resposta Solucao b 1 Sempre ue gxdx 0 Resposta 2 Necessdriamente fx gx x a b 3 Necessdriamente fx gx para algum z fa b b b 4 Sempre oa ol b b 5 Necessdriamente Jiro dx oeyae b b 6 Sempre fx dx gx dx Exercicio 2313 Determine Fx se Fx Je f tdt 0 Solugao 127 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Fx Jovseoa Fr toate ofte 0 0 Exercicio 2314 b Mostre que se f é continua em a b fx dx 0 entao fx 0 Vz a d Solugao Exercicio 2315 td reer Calcular Fx para a fungao Fx at p 7 1sent Solugao f dt d 1 Seja gx l entao 7 Theta Por outro lado como dt sec xdt sec xdt 1 tan x Se atctan 1 cos t sec x 1 V2 tankx V2 V2 at dF dtd g Fz F2 2 1 sent 2 dx 1 gxP dx 1 1 Fx x Thess 1 sen Lf oA os Exercicio 2316 12 dt Determine Fx onde Fx a 1 Solugao dt os Seja y Fx temse que y 7 entao y Lnx Lnl logo x e isto é 1 F7lx e Portanto Fx e Exercicio 2317 Anal cio anteri funga dt ndlogo ao exerctcio anterior para a fungao 1 Solugao 128 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja y Fx temse que y lz entao y arcsenx arcsenl logo 7 jay que y Fo y log 1 seny 5 isto 6 Fx senx 5 cos az Portanto Fx cos x Exercicio 2318 b Suponhamos que f seja continua em a b e que fxdx 0 Responda as seguintes questoes justificando sua resposta Solugao 1 Sempre fx0 Vaela db Falso Por exemplo se fx senz no intervalo 5 I 30 7 3x Temse que sow dx cose 0 porém fz senz 0 no intervalo 3 3 2 n 30 2 Sempre fx0 paraalgum z la db b 3 Necessdriamente so 0 b Sim pois se 0 0 b 4 Sempre fx dx 0 b 5 Sempre fx de 0 b 6 Necessdriamente fz 1dzx0 Exercicio 2319 Determine gx se gt dt senx x 1 Solugao 129 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II COs x d gtdtsenrx2 gcosxsenzx qq sen x 1 cosx lcosx 1lcosx 1lcosx J sents 1 cosx V 1 cosa 12 Portanto ortanto gx ids Exercicio 2320 Se ft dt 2V1senz determine fx 5 Solugao COs X 1 senx cosx senz I V1 senz I V1 senx 1 Portanto f2 Exercicio 2321 cos 2 Sef fltdtgle Fle determine oF e dtgx e fx determine g 4 Jr1 IS 1 Solugao cos 2a 1 cos 2 gx Fay ta ved 2Vcos 2x 1 2V2senx 1 Logo aS 22i onde i YI Exercicio 2322 tan x Se fsdsgx e fx 21 determine Solugao tan x fsdsgx gx ftanzsec x 2 2 l 3 gx tanx1secx gx 3 tan xtanxzC 1 1 a a 1 33 J3 l tan tan C C 0g0 9 3 tan on 3 57 3 T 8V3 Portant ji ortanto Ie a7 130 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2323 Determine o valor das seguintes integrats Solugao 2 1 2 1 T odo jo 0 4 le 2 2 1 2 65 2 r e1ar 712 4 1 4 1 d 2 1 3 0 6oL lxs aresena arcsen 05235987756 0 f d x dx 1 2 5 4 fin n So pint a Iny5 1 1 0 1 5 f 1 2 la l2 1 1 0 f d d 1la1 1 1 0 1 eee foo In12 21 1Lne1 0 12 la 1 0 1 0 5 20 5 4 6 r oe w po ae 2 xa 1 x21 2 3 3 4 5 xrA4 xrA4 I5 daz 5 d lwoer ue lwer 3 4 4 5 2 2x 9 20 9 2 I aS dy Ji saqlee S pool 3 4 92 4 24 5 I fin daretan foarctane 1n 26 I Ln 9larctan 5 2 arctan 4 arctan 3 131 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II T 3 T 7 T cose de P fcoszde cosede 0 0 z Ly 1 2 1 1 x z141 1 8 I der dr 1ldrx a z1 ic ql 0 0 0 1 1 I1 Lnx 1 Ln2 2 0 2 1 1 9 P f tnede Lue 1 1limeLne 1 1 0 e0 0 Exercicio 2324 COs I I Se fwdwax 5 tane calcular F5 Solugéo Derivando em relagao a x temse COs x I I fwdwa 5 tans fcosxsenz 1 5 Sec 2 1 1 V3 1 1 2V3 Y122 enta Quando x 3 Segue quef5 5 5 entao FS 3 Exercicio 2325 x 1 Se ftdt x V3 determine f 17 V2 Solugao Derivando em relagao a x temse e241 1 t dt 3 2 1 2 fot Vexvi fle 1r57 V2 1 Quando z 4 segue que f17 30 Exercicio 2326 x a1 Dado ftdt a determine f2 arcsen6 Solugao 132 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Derivando em relagao a x temse x 1 ftdta fax41 82 2r 1 arcsen6 1 Quando z 1 segue que f2 5 Exercicio 2327 x22 Seja fwdwx6 Calcular f 3 25 Solugao Derivando f21 f31 Exercicio 2328 Se ure ftsentdt5 e fa 2 Calcular f0 0 Solugao Integrando por partes uw ft sent dt ro sent dt ftsentdt 0 0 0 ft cos ro costdt ft sent ro cost dt 5 0 0 0 0 fm cosa f0cos0 fz senm f0sen0D5 21 f015 f03 Exercicio 2329 Determine todas as fungoes ft que verificam a relagao ro dt sf 2 0 Solugao Derivando ftdt 5 fx em relagdo a x temse 0 d x 1 f2 lefl sla 2f 2flx a fx x3 3 133 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II de onde file 2 2 2fiaafv7 FF dz dz SOL Say a fay J Lnff2LnrCLnf2C fa 2C Exercicio 2330 Calcule a drea limitada por os eixos de coordenadas e a parabola x y Va Solugao Observe queOaa Oya Seja A a area pedida temse A va vade a2Vaye ode 0 0 4 1 4 A ax Javx3 a 3 2 0 a2 Portanto a area pedida mede Se Exercicio 2331 Calcule a drea compreendida entre as pardbolas y 2px e x 2qy Solugao 4 Resposta 32 3 Ph Exercicio 2332 senx 3 Se fsenx f sent cosa dx 5 fQ 1 Calcular f 1 0 Solugao Sejassenzr 0a Osl 2 2 i 2 le teon f senx cosa dx Fs rs ds 0 0 1 1 1 1 3 s s 1 J teois SP as teas S7s sFeyas 2 2 2 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 5 tos Gra ses teas 0 0 134 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Portanto f1 2 Hsas 1 0 135 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 24 Mudanca de Variavel em uma Integral Definida Exercicios 24 ky Exercicio 241 2 Desejamos calcular a integral evidente J pu mediante a mudana x t 5t4 0 Quais sao os posstveis valores dos limites da integral Mostre que em todos os casos sempre voltamos a calcular J Solugao Inicialmente em J temse 0 x 2 quando x t5t4 sege 0 5t4 2 logo 0 45t4e P5t42 P5t40 A OP5t46 S 1t2 V 3t4 2 2 Por outro lado dx 2t5dt Logo J fu 2 J fi 5dt 2 0 1 Para o intervalo t 3 4 observe que dx 2t5dt 0 na integral inicial dx 0 4 com x 02 Logo J cote 5dt 2 3 Exercicio 242 Calcular as seguintes integrais mediante a substituigao indicada Solugao d x 1 3a 28 1 V3x 2 1 2 2 Resposta 1 3 Ln 3 5 Ln8 d x 2 J ev41f ver1 Ln3 3 Resposta 2 Ln5 136 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senh1 3 Var741dzr x senht 0 Seja x senht dx coshtdt por outro lado sabemos que cosh t senht 1 logo Vx 1 Vsenht 1 Vcosht cosht Sendo0asenhl Otl senh1 1 1 1 I Ver21dr osu coshtdt 5 leosutae 1dt 0 0 0 rai h2t 4 senh2 2 5l5sen on sen d x x 4 tan t 22cosx an 2 0 Resposta 4 arctan esposta arctan va V5 d x 5 oo tanz t 0 4 Resposta 5 1 6 vee x1 2sent 1 Resposta 6 7 Exercicio 243 b b Verifique se a formula é verdadeira to dx tc b2dz Solugao Seja x abt quandora tbquandorb tae por ultimo dx dt substituindo b a b T f fleac f pasbtdt flarb2at a b a Como o calculo de uma integral é independente da varidvel de integracao segue o resultado 137 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II b b Portanto tae fatbxdz Exercicio 244 Aplicando o Exercicio 243 mostre que 2a zx x 3774 cos x dx 1 1 2ax x23 1drx 2 eee ron Zax 2 arccos a 16 S 4 0 0 Solugao 2a 24 x 3m a 1 Ian 723 1 dx vi ax x3 arccos 7 x 16 0 5 3 5 cos x dx senx 1 sen x 2 Seja ji1 7 cos x senx cos x senx 2 cos x senx 0 0 0 senxda Sej enta ea Pe cos x senx ona 37 3 T sen5 2 Cos x 0 4a at cose 2 senk0 5 2sen052 cosasen3x Assim obtivemos 5 5 1 sen x 1 cos 1 eee 2 cos x senx 2 cos x senx 2 0 0 5 cos x dx 1 Portanto cosxsen3x 4 0 Exercicio 245 Mostre que Solugao 1 Sejat arcsenr sentx2 dxcostdtquandor1 t d v2 tt n uando 7 d 2 4 i d tdt Portanto r f fe fe arcsenxv t x v2 t i 2 138 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2SejiaatLnr xe SS dx eldt quaandore t 2 quando te tl1 e 2 2 dx Portanto Luz t x e 1 1 Exercicio 246 3 Mostre que iattan xr dx 0 0 1 1 1 Sugestao tanx cot x eLn jeot 5 x Ln1 Ln jtans 2 Solugao 3 3 Temos pela sugestéo J iattan x dx J tatoot xdz isto é 0 0 Novamente pela sugestao 3 2 2 1 1 1 I J talootS 2dr Jina Ln jtant 2 dx tn jtant x dx 0 0 0 7 7 1 SejarO5 dxdtquandor1 t 57 quando t 3 t 0 Na ultima igualdade 5 0 5 I tn jtant 2 dx tntvan ae f tintan tdt I 0 0 2 Portanto J tnttan dx 0 0 Exercicio 247 2a a Determine se a identidade tora lifeaa dx verdadeira Obtenha 0 0 uma identidade quando fx f2a 2 Solugao Exercicio 248 2 3 7 2 5 3 Sem calcular a integral verificar que J SS dx 0 9 Solugao 139 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 7 995 4 pd Observamos que fx oS f2 isto é f é uma funcao impar 2 a Aplicando a Propriedade 212 c temse que J SS dx 0 a Exercicio 249 b b ab Se fiab2 fx mostre que ore dxz te dx Solucao b Seja J Je fx dx e consideremos x a b t entaéo dx dt quando 0 ra tbquandorb ta logo da hipotese fab x fz b a T fo fede a01 fa 01dt a b faro8F0 dt asd f peat ft Fe ae b b b b b b b ab ab f peae fe pte fo ae A Heae Exercicio 2410 Mostre que b bc a d b d ed tf faav fee de 2 fF4 Ff a ac 1 1 1 bc b 3 fo dx cf we dx Solugao b bc 1 J foae Hee de a ac a b ab fea faye t t jt 1 1 1 140 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II be b 3 J foae e f fv ae Exercicio 2411 2 E posstvel calcular J Je V12dx mediante a substituicéo x sent Justificar 0 sua resposta Solugao Sejax sent dz costdt quandor0 t0quandor2 2 sent isto é impossivel pois 1 sent 1 Entanto sem a substituicao 2 3 2 3 J pow adr gvil 2 gt 3V3 0 0 Exercicio 2412 Calcule as seguintes integrais pelo método de integracao por partes Solucao 1 1 vedx 0 Resposta 1 1 1 arcsenr 2 dr jo 0 Resposta 2 nV d 3 fe cos x S 1 Resposta 3 qglorv3 9Ln3 4 Lnx dx 1 Resposta 4 e 2 a 5 esenda da 0 141 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 44 Resposta 5 55 Y ee 1 2V3 Vai274 6 dx x 2 2 24V3 Resposta 6 V2 Ln posta 6 2 Ln 7 Je Lna dx 1 2 1 Resposta 7 1 8 Je arctanx dx 0 nr 1 Ri ta 8 esposta 8 175 7 9 02 cos2ada 0 7 8 Ri ta 9 esposta 9 3 5 10 et cosn ae 0 1 Resposta 10 alv e 1 5 11 xsenx dx a Resposta 11 2 2 12 a cosx dx 3 Resposta 12 0 Exercicio 2413 1 xP dx 1 1 Prove que a integral I Y Sugestao 14 27 4 12x4 qsen 4 t 0 Solugao 142 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2414 2 2 Mostre que para a integral I soe dx ross dx neEN valida a 0 0 formula I In2 Calcule Iz Solugao Exercicio 2415 1 Mostre que para a integral I fe e dx n EN é valida a formula I 1 0 4nI1 e Solugao Resposta Exercicio 2416 a 2 Suponha que os dx a calcular o valor da integral P dx em 0 0 fungao de a Solugao Seja 2x t entao 2dx dt quaandox0 tO quando x tT Logo 3 a t t a a de ee hat sent dt c1 1 2 2 t2 0 0 0 I cost f cost at 5 1 4 a 2L t2o t 2 212 a2 0 a Portant d 3 1 4 ortanto dx a r1 212 2 0 Exercicio 2417 Calcular as seguintes integrats Solugao 0 1 dx 4x 84 x 1 1 R ta 1 esposta 1 i6 143 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 9 dx V2 22 0 Resposta 2 o 3 senha senx dx 0 1 Resposta 3 5 senhm d xv 4 v2 Ax 5 1 1 Resposta 4 g unas 1 5 Je e dx 0 2 5 R ta 5 esposta 5 3 30 5 6 dz Vax 0 51a R ta 6 esposta 6 6 3 7 dx x 765 x6 1033 R ta 7 esposta T5300 3 8 tan x dx 3 Resposta 8 0 2 9 x dx 1 x33 0 8 Resposta 9 9 144 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 0 10 a W1 23 da 1 128 Ri ta 10 esposta 5007 1 11 Jo V1 23 dx 0 20 Ri ta 11 esposta 556 1 12 vive ede 0 Resposta 12 1 T 13 Ve ade V22 0 Resposta 13 J2 Ln1 V2 d 14 vera 142 0 2 Resposta 14 1 15 Ji az dx 0 1 Resposta 15 Ln2 5 1 16 tae 1lz Resposta 16 a 3 17 oo x Lnsenz dx z 1 3 2 Resposta 17 ritn 3 pn2v2y 2 2 2 145 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II q 18 tan x dx a 3 Resposta 18 5 Ln2 19 Vtan x dx Vtanz cot x 6 Temos i Vtan x dx p Vcot x ax wf Vv cot x Jax Vtanxz Vcot x Vtanxz Vcot x 6 JVtanxz Vcot x 6 6 é 7 Consideremos x 5 t rat Vcot x Je 7 I cotF t Jat a LFS tr cr Ww Wu 6 Vtanz Vcotx 6 tanF t cotF t é 6 rat Vtant dt yy in rat 6 Vtant Vcott 6 12 é Vtan x dx 1 Portanto VtanxVecotx 12 é 20 20 senz cos x dx 0 Resposta 20 42 21 a ede 1 cos x 0 a Resposta 21 7 Exercicio 2418 Calcular as seguintes integrats Solugao 146 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II i 1 lottsento 6 dx 4 Resposta 1 37 2 2 leh 28 oVT Fa de 2 Resposta 2 12 1 3 fecint2ae 0 Resposta 3 1 4 J costsenc In 3a 4 dx 2x 4 Resposta 4 4 Exercicio 2419 3 Calcular o valor de Se cost dr Sugestao x Tt cos x xsenxr 2 6 Solugao Temos I COS x dx i 4Senx d T 4Senx d cos ysenx COS Z senz 6 VCOS x ysenz é é é 7 Da sugestéo x 5 t 17 senx Jar2f sen t Ja 6 cos x senx 6 vcos t senZ t é é BC rt ee 57 5 pat 6 VcostVWsent 2 12 S 3 Seosa d Portanto SS ycosx vsenz 12 6 147 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 2420 Calcular f0 se f7 2 e ue fxsenaz dx 5 0 Solugao Integrando por partes 5 ue fxsenx dx J fopsene dr J osencae 0 0 0 5 J tasene dx fxsena ro cosrda 0 0 5 tasene dx fxsene F 2 cos J sosencae 0 0 0 0 5 frsenm f0sen0 fz cost f0cos0 5 fx f0 Portanto f0 3 Exercicio 2421 Determine a area da figura limitada por 2 1 O grafico das curvas fx x e gx at 2 2 Os graficos de fx x7 gx 2 rler1 3 Os graficos de fx x gx 2 2x4 4 0 eizo vertical Solugao 2 1 O grafico das curvas fr x e gx 7 2 2 Os graficos de fx x gx 2 rlevl1 3 Os graficos de fx x7 gx x 2x 4 0 exo vertical Exercicio 2422 Calcule as seguintes integrais definidas Solugao 148 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 dx 1 v445 0 1 5 1Ln Resposta 1 1 n3 1 9 dz z 1 0 a R ta 2 esposta 2 16 v2 2 dx Vl2z 0 2 Resposta 3 21 jl wv Ly 1 4 va 0 VI 1 1 5 Resposta 4 1d ty 3 2 5 5 sons dx 0 2 Resposta 5 3 6 p de x 1 Resposta 6 1 cose 3 7 cot xdx é Resposta 7 V3 tt V3 6 1 8 costa dx 0 1 1 Resposta 8 5 le e1 149 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 sont dx 0 Resposta 1 Resposta 9 qbenh2n 2r d 10 x 1 Resposta 10 Ln2 i d U1 de x 1 0 1 Resposta 11 at Exercicio 2423 x se 1 2 1 Se fx 2 se 2500 caleular fx a dx a se 0 2 3 12 Solugao Exercicio 2424 Aplicando o segundo teorema fundamental do cdlculo calcular as sequintes integrats Solugao 4 1 4 231 1 0 2dx 04 2 Jo dx at x rl 1 d x ax 4 2 ee 2 Vx29 0 0 f 1 a ie Jw 4dy Gy 2y8 8y 1 Resposta 1l 6 4 so dx 0 1 R ta esposta 75 150 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 Vl2zdz 1 42 Resposta 4v2 3 4 1 6 or dv v 1 Resposta 2Ln2 3 151 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 25 Integrais Improprias Exercicios 25 ky Exercicio 251 Calcular os seguintes limites Solucao 00 1 a Pe 1 Resposta 1 00 dx 2 x 2442 Resposta 2 7 d x 3 x Ln 0 Resposta 3 00 d x A 1 x Ln Resposta 4 5 5 cot x dx 0 Resposta 5 00 6 arctan x dx x1 0 Resposta 6 d x 7 1l2 0 Resposta 7 152 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 8 8 2e vad 0 Resposta 8 9 Je dt Resposta 9 00 d 10 Ter 1 2 1 1 Resposta 10 7 00 d U1 dv 1 a 0 Resposta 11 2 i 12 de V4 x 0 Resposta 12 7 00 d x 13 r x 1 1 Resposta 13 1 7 00 14 e dx 0 Resposta 14 00 4 1 Resposta 15 00 16 senz dx Resposta 16 div 0 153 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d x 17 4x 1 Resposta 17 00 d x 18 ver 0 Resposta 18 2 00 19 x le dr Resposta 19 1 d 20 Is VeX 5V4 Resposta 20 vt d x 21 SG 9 Resposta 21 div f d x 22 VI2z 0 Resposta 22 fd 23 ae 1 cosx 0 Resposta 23 div 00 d 24 Ter x2 9 0 Resposta 24 esposta P 18 f d 25 ly Vot1 9 Resposta 25 3 154 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 26 e senx dx 0 b Resposta 26 eap 4 0 d 27 s 73 0 Resposta 27 div 00 28 ecosxdx 0 Resposta 28 0 esposta ae sea 00 29 ede J v1 x3 Resposta 29 div d 30 de 1 senx 0 Resposta 30 div d arctan x dx 31 z 2 Resposta 31 00 d 32 ar r 0 20 Resposta 32 P 5 Fa 00 33 el dx Resposta 33 2 00 d x 34 rV x2 1 7 Resposta 34 2 155 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 35 vi Va 1 Resposta 35 22V2 1 d x 36 x 5x 0 Resposta 36 div 00 37 1 2x dx 3 Vaa 1 Resposta 37 div 00 38 vee dx Resposta 38 div f d x 39 Vl2 9 Resposta 39 3 1 40 dx x 1234 Resposta 40 div 00 d AL de e e Resposta 41 00 d 42 ade 1 a4 Resposta 42 0 1 43 Sd x 1 Resposta 43 div 156 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 Var 1dx 44 rA 1 1 Resposta 44 3 00 d 45 a J rVv12x3 Resposta 45 div 00 d xv 46 a bb x 0 Resposta 46 ssposras 2aba b Pf a2 p22 47 wer a Vea 0 Ta e R ta 47 1 esposta 47 1 5 00 48 ev dx Resposta 48 1 i d 49 las J V4a x Resposta 49 7 50 senx dx V1lcosx 0 Resposta 50 22 d 51 ae J Vu x Resposta 51 7 d 52 a x 1a 84 15 0 Resposta 52 div 157 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d 53 a 628 9 1 Resposta 53 Ta V3 00 5 d 54 wd Jv 1 2 4 Resposta 54 9 4 55 ede V16 x 0 Resposta 55 4 2 i 56 sS Vvx1 1 157 R ta 56 esposta 35 00 57 ae dx 0 Respostia 57 esposta P 97 i d x 58 x2A4 1 Resposta 58 div 00 59 xv edx 0 Resposta 59 n Exercicio 252 00 d 00 d cosx dx 1 senx dx Sabend determi ist lor de J abendo que Ji V5 etermine se existe o valor de Ja Solugao 158 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Como z 000 wu 000 onde u z logo 00 00 00 00 V5 cos x dx cos u du 2u cos u du 9 a ee 2 cosudu 2 Vu u u 0 0 0 0 logo 00 1 9 a du4 21 cosudu 5 V5 21 0 Por outro lado integrando por partes seja U sent e dV x entaéo dU cosadx e V 2a TP sene de 2 Pcosa d senx dx sem cos x dx COs J 2 042 d a el 2 ye 942 Spree 0 0 0 Voltando a varidvel x u e substituindo 21 resulta 00 00 9 00 1 j042 f Star2 SE ai a coswdu45 2 Vi 0 0 0 Portanto JV27 Exercicio 253 00 d x Se Ha determine H0 H1 e H2 aa 0 H1 eH 0 Solugao 00 d x 1 H0 ee O amare 0 00 d x 2 H1 1 James 0 00 d x 3 H2 ama 0 Resposta 3 H0 H1 A2 Exercicio 254 159 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 d 00 9 d Sabendo que oat calcular o valor de J senw de x 2 x 0 0 Solugao Como z 000 wu 000 onde u z logo oo 00 00 00 T senx dx senu du 2usenu du senu 2 x u2 u2 u 0 0 0 0 logo 00 9 senu 7 du 22 au 4 22 0 Por outro lado integrando por partes seja U senz e dV x entao dU 2x cosadx e V a271 00 2 d 2 60 00 9 d 00 y f r Sur v2 ft Cos 042 cossde x x lo x 0 0 0 Resposta z 2 Exercicio 255 00 2 3 Seja fx ma se as determine m de modo que fa dx 1 0 se a3 Solugao oo 3 3 00 feae teaes f floae fa 50 oo 3 3 3 3 00 1 3 odes fmetde f 0dx zna 18m1 3 oo 3 3 Portant rtanto m ortanto 13 Exercicio 256 00 4x d Determine o valor de a para que a integral Ja exista Xx Solugao 160 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Pdxde f 2 2 Leak x x 2 2 00 Ja wl Jay ele Lae 1Lnx 1 eR m 1 m1 a2 1 Ja lita Lula Jim Lal ead Lnl Inlay ER se e somente se a 1 Portanto a l Exercicio 257 Uma bola cai de uma altura de 46 metros Cada vez que ela cai de h metros ela quica e sobe até uma altura de 081h metros da altura anterior Encontre a distancia total percorrida pela bola Encontre o tempo que a bola do leva para parar Solugao Resposta 13126 metros Exercicio 258 1 e dx Seja K SS expressar cada uma das seguintes integrais em funcao de K x 0 Solucao 1 Sejaz7use0Ox1 Ou1 logo considerando u x 1 5 1 1 ce dx ledu 1 etidu 1 Ia2 Jf 214u 2f ul1 2 0 0 0 Solucao 2 Temse queala2a 12a 0 entao considerando u x a logo vutl a a 0 1 e dx oe foe es xraI1 xra1 u1l v2 a1 a1 1 0 Resposta 2Ke 1 x d 3 i x 1 0 Resposta 3 kK 1 5 161 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 A etna 2de 0 Resposta 4eLn2 K Exercicio 259 Estudar a convergéncia das seguintes integrais Solugao Td LT 1 1 1 al x x1 1 de FIn 0Ln lw if lo aa ve inl alls 405 2 2 od 11 A integral er converge a qin 2 1 2 ie v3r4 Resposta 2 conv 00 c1dzx x 1 1 Resposta 3 conv 00 c 3dzx 4 xt1 1 Resposta 4 conv 00 d x 5 x x 1 Resposta 5 conv 00 6 dx a Var 4 Resposta 6 conv 00 3 1 xu 7 dx Var1 2 Resposta 7 div 162 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 8 e 7 dr x 3x5 1 Resposta 8 conv 00 9 dx eVae2x41 Resposta 9 div 00 10 e senadx 0 Resposta 10 conv 00 2 11 e dx 0 Resposta 11 conv 00 d 12 ar x1 e 1 Resposta 12 conv d 13 ae J rv 25 x Resposta 183 div 1 91 14 x sen 9 dx 0 Resposta 14 conv 3 15 a 1 dx Va21 Resposta 15 conv Exercicio 2510 Calcular as seguintes integrats Solugao 20 1 i sen a dx 0 Resposta 1 2m 2 163 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e1 2 4 2Lna 1 de 0 Resposta 2 2e 3 5 3 ie ae ae 1 413 Resposta 3 TT d x A Joe 1 15a 44 Resposta 4 ory 96 V3 3 5 dx J 20 1Va 1 Resposta 5 a 4 Xx 6 d 2216 3 Resposta 6 Exercicio 2511 Calcular o valor das seguintes integrats Solugao 1 A integral é indeterminada aplicando LHospital t1dt J sen sena 1 1 senu 1 kao lim lim rl 1 x zl 31 x 3u30 yy 3 5 dx 2 1 tan xv Exercicio 2512 i senn x SenéN qualquer numero determine o valor de dz sen5 0 Solugao 164 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta Exercicio 2513 Calcular a drea do segmento da pardbola y x que corta a reta y 3 2x Solugao Exercicio 2514 Limitar as seguintes integrais Solugao 1 Fi Qn Fi 3 x x senx 1 2 3 d 5 luo x 0 0 Exercicio 2515 Calcule as seguintes integrais definidas Solugao Fa x 2 1 2 cost dt 3 Je 2x 3dx x 2 0 1 4 1 3 1 1 1 4 a 5 l 6 Yy f25 3x w 3x2 1 0 0 Exercicio 2516 Determine a convergéncia das integrais 1 oo 1 tnede 2 8 le x 0 2 Solucao 1 O integrando Lnz tem uma singularidade em x 0 A integral impropria de segunda 1 1 espécie I f Lnadzx é por definicgao 0 limite J lim J Lnadz Integrando por 0 e0 partes 1 1 1 1 I lim tarde lim xLnal lim poga lim Lne11 e0t e0t e e0 x e0 Como I 1 entao a integral converge Solucao 2 165 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 logt a A integral dzax é divergente paraa 0 p 1 como se pode mostrrar sem x 2 dificuldade ar Lnz 1 Aplicamos o critério do limite as fungdes fa e gx temos x x L fv Ine tne 00 quando x oo gt x Tanto como sao fungdes nao negativas em 2 00 00 00 00 00 1 Lnz Dado que gxdx dzx é divergente também o é fxdx a x 2 2 2 2 166 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 26 Revisao Capitulo IT Miscelanea 11 ky Miscelanea 211 548 Sn1 Sn Seja uma sucessao S definida por S a Sp b S3 a S a onde a e b sao ntimeros reais quaisquer Associamos Un Syn Sn1 Mostre que un a expressao geral de uma progressao geométrica Calcular sua soma quando n 00 Solucao 2b Resposta ar 3 Miscelanea 212 1 92 32 wae 2 Determine o valor do limite L lim jae n00 n Solucao 12 1 Sabese que 12743n may Dens logo 1274274374 2 12 1 1 L lim pe be ee im MetV2n1 1 noo n3 n0o 6n3 3 1 1 O limite converge a 3 isto é LD 3 Miscelanea 213 Mostre que cos3 kr 1 cos xcos3 nz sen3 senzsen3 na sen3 2 21 cosx k1 Solucao Miscelanea 214 1 1 1 22 Mostre que fm 5 cos X 1 cos 2u on cos na ae cost Solucao Miscelanea 215 Célculo Diferencial em R pagina 45 do mesmo autor 167 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Determi t i I io 1 e eH et etermine se a soma representa um nimero real ou nao 4 1 p V4 W499 W16 Justificar sua resposta 75 fi p Solugao Miscelanea 216 Determine o valor das seguintes somas Solugao 1 3 k1 4 n Resposta 1 4l3 1 2 20S k1 1 1 Ri ta 1 esposta 5 3 tate te vie ee 2 22 Vor 2 Resposta 3 v2 V21 5 4 7k1 k1 35 Resposta 4 eB 1 5 92k1 k1 Resposta 5 2k 3h 6 5k k1 Resposta 6 Miscelanea 217 b i Mostre que ea 7 considerando partigoes em n subintervalos iguats e usando a formula Soa i1 Solugao 168 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 218 1 Estime a integral V121 23dx mediante a desigualdade de Cauchy Bu 0 niakouskt Solugao Miscelanea 219 E verdade que se fx to dt entao fx 0 0 Solugao Nao 6 verdade af dy Como fz ft dt entao an fx logo an onde y fx assim x x 0 d d a oe fa LnyrC Ss ye y y Assim fx et 0 Miscelanea 2110 Determinar os valores médios das seguintes fungdes nos intervalos indicados Solugao 1 fv2 O021 2 fzsenx OaKa 3 fzabcosxr amauKt 4 fxsenx O0ar Miscelanea 2111 Limitar as seguintes integrais Solugao 1 i a 1 s 2 oe Viana ae 1 0 Miscelanea 2112 Sejam p q Z tais que q 2p Mostre que Solugao 1P12 1 sent2p2 senqx dx PP eenta 0 169 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabremos que 2senAsenB cosA B cosA B logo 3 1 3 I J sentepn senqx dx 5 lees20 qu cos2px qu dx 0 0 1 1 1 3 I sen2p qx sen2p x 3p 9 2p q pha 2p q2 1 T T I Dap gy PP qsen2p 9 5 2p gsen2p 5 T pp 2psena5 cosym 24 c080senpr nq 7 osqsenp7 Dap gay Li Psenag cost qcosq5senp Supondo p inteiro quaisquereq2a Vae Z 1 1 2p1P 1 I ap ey 2p senag cospm gp eng 2 2 sent2p2 senqx dx pel 1 cosq 0 Pela primeira parte destre exercicio P ss 20sen 5 cospr acosg senpr 2psenq cospm cosq Dap gay li Pesenag costpr 4 c0sq5senp t Miscelanea 2113 Para cada uma das seguintes fungoes calcular g2 se gx continua para todo x 0 Solugao 1 Aplicando o teorema Fundamental do Calculo integral ow dtv712 gu2x3x g2 16 0 2 Aplicando o teorema Fundamental do Calculo integral a2 ow dt2712 2Qaga2r430 2V2g2 2V2432 0 170 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 3V2 Portanto g2 2 ave gx 3 Pedtr12 gagx 2r4327 glaa ax12 0 Portanto g2 V36 x 12 4 gtdtx2 ga1aQ2e3271 5 5921 0 1 Portanto g2 5 Miscelanea 2114 cosh x h h Mostre que Vt1dt 5 1 Solugao cosh x Seja Fx Vt1dt Fx Vcosh x 1 senha senhz 1 1 1 11 Fz 3 cosh2e l F 5 cosh2x 1dx 5 l5senh22 cosh x 11 Fx vt1dt 5 l5 2senhx cosh x a 1 cosh x h h Portanto Vt1dt ar 5 1 Miscelanea 2115 cosh x cos t Determine os pontos de extremo para a fungao Fx a dt quando x 0e Oa 9 Solugao Miscelanea 2116 Aplicando indugao matematica Vn N e integragao por partes mostre a igualdade 2 aun FY Fy roa tf hat n 0 0 Lo 0 171 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao Miscelanea 2117 1 Determine todas as fungoes fx que satisfazem ft ft ro dt 0 Solucao Miscelanea 2118 Determine uma formula para as seguintes somas Solucao 1 S1acosxacos2z a cos3a a cosnz Sabemos que e cosx isenx logo 2cosx e e e 2isenx e e onde i V1 Temse 1 aren 1 aren SSiS in 2 TUCO 1 Fee dae 1 ae 1 acosx ai senx ge 1 ae1 acosx aisenz 7 1 acos x a senx 7 1acosnx ia sennax1 acos x ai senz 7 1 2acosx a 1 a cosnx1 acos x a sennzsenz i S 1 2acosx a 1 2acosx a ga 1 a cosnx acosx at cosn 1z 4 ile 7 1 2acosx a 1 2acos x a Queremos somente a parte real desse numero complexo portanto g 1acosnx acosx at cosn 1x a 12acosx a 2 senz asenx h asenx 2h asenx nh 1 3 S53 5 cosxcos2xcosnx Da primeira parte deste exercicio quando a 1 segue S1cosxcos2x cos34cosnz a1 172 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 cosna cosx cosn 1a Sy a 1 e601 12cosx1 7 1 16 5 1 cosnx cos x cosn 1ax 2 oe 21 cos x 1 cosnx cosxcosn1e 1 21 cos zr 2 1 lr Portanto cosxcos2xcosnz cosn 1a cosna 2 21 cos x Miscelanea 2119 b dx Mostre que b2 converge se0Op1e diverge se p 1 2x Solugao d d x 1 x b Temse I f 7 ee lum lp b2Pla 1 1 b 1 1 1 P Tp 62 la 3 oo a nao existe logo diverge 1 1 b Sep1 Top bool lim Lnb m Lnb a 00 nao existe logo diverge 1 b 1 Se0 p 1 I b bb ba e0p ay ol bo 1 7 a existe logo converge P Miscelanea 2120 Estudar a convergéncia das seguintes integrais Solugao 1 L de x x4 0 Resposta 1 div 2 9 J G1 D7 5 Resposta 2 5 v3 1 173 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 3 a V6xr x 8 2 Resposta 3 7 4 tt xLnx 1 Resposta 4 div 2 5 x dr V4 2 0 16 Resposta 5 3 2 3 6 dx xV9x 1 3 Resposta 6 e2 7 dx Joa Vv Lnz Resposta 7 2V2 1 Sa J Jae Resposta 8 7 2 1 dx 9 eos 3 0 Resposta 9 div 1 cos 0 Resposta 10 conv a i ve V1lx4 0 Resposta 11 div 174 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 32 12 pees dr e 1 0 Resposta 12 conv d 13 tanz 2x 0 Resposta 183 div d 14 e COSx 0 Resposta 14 div 1 15 senx dr Vx 0 Resposta 15 conv d 16 fx 4x3 0 Resposta 16 conv 00 17 econ de 0 Resposta 17 div 1 18 dx Var21Vrt1 Resposta 18 conv 00 19 ee da x 1 Resposta 19 conv 00 d 20 I e 503 a2a1 0 Resposta 20 conv 175 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 2121 2 2 Demonstre que J floenna J flocs xdx 0 0 Demonstracao Sejassenr V1s cosx também ts dz Quando x 0 s 0 V1s 1 e quando x 38 1 Logo 5 1 I J fleenzae re as 23 V1s 0 0 Sejatcosxr vV1 senzr também a dz Quando x 0t 1 V1 1 e quando x 3 t 0 Logo 3 0 Fi 1 F t t I coszde i 5 t 24 J toss 1 Eg 1 Ss 24 0 1 0 5 3 Portanto de 23 e 24 J flecnzaa J floes xdx 0 0 Miscelanea 2122 2 3 Provar que I senrLinsens dx Ln21 e que J cose Lntan xdz 0 0 Ln2 Solugao Integrando por partes 2 so I sow Lnsenx dxz cosa Lnsene mh ae de 0 senx 0 0 2 Icosaz Lnsenx my lesex senzdx 0 0 I cosz Lnsenx Ln1 cos x Lnsenz cos 2 x 0 176 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II I cos x 1 Lnsenx Ln1 cos x cos a K 0 T lim cosm 1Lnsenm Ln1 cosm cosm m I lim cosm 1Lnsenm Lnsenm Ln1 cosm 1 m I lim 1 cosmLnsenm Ln2 1 m Lnsenm OS I lim Ln21 lim 3 In21 m0 1cos m m0 1cos m T 2 T lim Sm GO mesmo ny tna 1 m0 1 cos m 5 Portanto so Lnsenx dx Ln2 1 0 Por outro lado 3 3 5 J ose Lntan x dx ose Lnsenz dx ose Lncos x dx 0 0 0 pela Miscelanea 2122 3 3 3 J ose Lntan x dx ose Lnsenz dx sous Lnsenz dx 0 0 0 Integrando por partes e utilizando resultado da primeira parte 3 J senz Lnsenx ew de Ln2 1 0 senx 0 J senz Lnsenz senz 7 Ln2 1 0 L J lim senz Lnsenz Ln2 lim Ensena Ln2 m0 m0 CSC a Miscelanea 2123 Calcular a dérea da figura limitada entre a hipérbole equildtera x y 9 o eizo x e o didmetro que passa pelo ponto 5 4 Solugao E qualquer corda que passe pelo centro O hipérbole equildtera x y2 9 6 00 4 A equagao do diametro da hipérbole é y BP 177 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 y Quando y 5 na hipérbole temse y 4 A area pedida é 4 1 5 1 A 2 Ivo y quay 25lvv9 y 9Lnfy V9 y aw 0 Miscelanea 2124 Determine a area das duas partes em que a parabola y 2x divide o circulo x y 8 Solugao Temse y2xr e 2y 8 entao logoxr2 e y2 Logo a menor area A pedida é 2 2 1 1 A Ws 5 ley 2 iver sy ly 2 0 1 1 2 8 A 2sluv3 yt Saresen 7 au Ar 3 Como 0 raio do circulo é 22 sua are total é 87 8 8 A area maior pedida é 8a 4a 3 4 3 Miscelanea 2125 Calcular a drea da regiado R limitada pelas retas x 12 2 y 3 eacurvay 2 Solugao Temse que x 32x para todo x 0 3 consequentemente em x 1 2 logo a a area pedida é 2 3 1 4 13 A 3a adx 2 5 2 1 6 1 Miscelanea 2126 Calcular a érea da figura limitada pela pardbola y 4x x e o eixo das abscissas Solugao A parabola y 42 2 intercepta 0 eixoz em x 0 e x 4e é definida positivamente no intervalo 0 4 logo a area pedida é i 32 1 514 A i adx 2x 5 3 0 3 0 Miscelanea 2127 178 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Determinar a drea da figura limitada pela curva y x a reta y 1 e a vertical r8 Solugao 1 1 1 3l A os ydy 8y Ww 7 jim 8m 7m 00 Miscelanea 2128 Calcular a area da figura compreendida entre a curva y tanx 0 eixoy e as retas 1 0 x eLs Solugao 5 z A area pedidaé A vonede Lncos Ln2 0 0 Miscelanea 2129 Achar a area da figura limitada pelas pardbolas y 2px e x 2py Solugao 2p 9 1 2 1 2p A A area pedidaé A v2 2 dx 2pvV 23 2 2p 3 6p lo 0 Miscelanea 2130 00 Mostre que para a 0 a integral de Euler la fe 2 dx que define a 0 funcao gamma Ta converge e estabeleca as seguintes relacdes Solugao 1 Se a é um numero inteiro entao Ta 1 al Como a 0 sejaa n EN Se n 1 entao aplicando LHospital segue 00 x 11 7 ray ewe dx e 10 0 0 00 00 00 Sen2 PQ feted 0e fetedr1 0 0 0 00 00 2x 31 22 Foe x Sen3 r e dx xe v2fe cdz1 0 0 0 13 21P2 21 2 179 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suponhamos paran h seja h h1Ph1 h1h221 h1 Seja n h1 entao 00 00 00 Tih1 eg Dl dy ahe h e a dx 0 0 0 Dh1 ATh hh 1h 2321 A Portanto se a é um numero inteiro entao a 1 a 1 Lo 2 5 n Observe 5 pera ae Seja fa u dx 2udu 0 Quando x 0 entao u 0 assim 1 00 aw 00 5 2udu 2 edu 0 0 1 2 00 00 00 00 ri a a 4 ee dudv 0 0 0 0 A regido de integracao é 0 primeiro quadrante sejam urcosé vu rsend logo u v r e dudv rdrdé assim 2 5 00 5 1 2 2 FO ri 1f fe Prdrao 2 dd n 0 0 0 0 1 Portanto M5 JT 3 Ta1aIqa para qualquer a 0 00 Pela definicgaéo da fungéo gamma Ia eadxondea0 aeR 0 00 00 00 Tiat1 ea dr ae a ex 1 dx aTa 0 0 0 180 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 A 5 vn Aplicando o item anterior deste exercicio 3 1 11 1 Ja I P Ivr P 5G 5v7 5 1 Jr 5 Tnt 3 1357 2n 1 Mostramos que I aeTa1aTq entao 1 1 1 1 T41 P2 T v G 0550G5v 1 3 3 3 ol Ti2T41Ts xv S42 PGD5 PQ 35v 1 5 5 5 5 3 1 P3P24272 22 ave S3P50D5PQ555v7 1 Suponhamos h 3 1357 Qh yt h N Entao 1 1 1 1 Dh1 5 Min5 h 5Th5 1 Jr VAs h 5 AB67 2h YF 1 8 57 GA 2h Ysa 1 Portanto Tn 3 1357 Qn yt Miscelanea 2131 00 oe 1 few Mediante a substituigdo u t mostre que a du ef fu 0 Solugao Pela definigao da fungao gamma no exercicio Miscelanea 2129 temse que Ia 00 00 e dx 60 mesmo Ia et dt Quando a x segue 0 0 00 00 dt Ix fetta fours 0 0 Consideremos u t t wu entéao 0 t 00 implica 0 u 00 assim 1 1 Lnut du dt assim x Leu dt ae if 1 ray fete Sa fee SE A yet foe ao t vu eeu x ww 0 0 0 181 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 00 Portanto Tz Lf ortanto x du xr u 0 Miscelanea 2132 00 Mostre que a integral de Fresnel senx dx é convergente 0 Solugao 182 01012023 o Capitulo 3 31 Aplicacgoes Geométricas Comprimento de Arco de uma Curva Exercicios 31 ky Exercicio 311 Calcular a drea da figura limitada pela curva y xx 1a 2 0 eixo x Solugao Temse de xx 1x 2 x 3x 2x logo a area A é dada por 1 2 1 rol 2 A ois0 2nyaes x 327 2xdx G22 2 Gata 2 0 1 0 1 1 1 1 A48444 774 844 555 A area mede unidades quadradas Exercicio 312 Calcular a area da figura compreendida entre uma semionda da sinusdide y senx e 0 e1x0 x Solugao 183 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Uma onda da sinusdide y senxz acontece quando x 77 A semionda acontece quando x 07 A senvde cos 1l2 0 0 A area mede 2 unidades quadradas Exercicio 313 Achar a drea da figura compreendida entre a hipérbole xy m as verticais x a e xr3a aO0 eo eizo x Solugao Seja A a area pedida 3a 9 3a A eu mLne mLn3 x a A area mede mLn3 unidades quadradas Exercicio 314 Calcular a drea da figura limitada pela curva y x a reta y 8 e 0 eixoy Solugao Observe que 0 y 8 seja A a area pedida 8 3 38 A Yidy Wai 12 0 0 A area mede 12 unidades quadradas Exercicio 315 Calcular a drea da figura limitada pelas pardbola y 2x x e a reta y 2 Solugao Determinemos o ponto de intersecao da parabola y 2 x e areta y x De Q2nxa27x 0 wv 3 logo a area pedida é f 3 1 27 27 27 3 A Ix x7 dx Sx 20 SS le22 ajde 50 50 F 0 9 A area mede 3 unidades quadradas 184 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 316 Calcular a drea da figura compreendida entre a pardbola y x e a reta y 2 Solugao Seja A a area pedida a regido mostrase na Figura 31 entao 2 1 2 1 44 16 2 e A ydy Fy 45 3 vi 5nd GV8 We F 4Gve 5 e Qe 4 Aa de A 4 area mede 1 3 3 lf 2 hf a Bf afl sep ee itx4 o 2 a x Figura 31 Figura 32 Exercicio 317 1 Achar a area da figura compreendida entre a curva de Agnesi y Tage E a parabola 2 x yr 3 Solugao 1 a 22 2 2 2 Temse de 3 a 4a20 5 a 1a20a x regiao mostrase na Figura 32 logo a area A é dada por f 2 1 x 1 3 7 1 A2 5 Sue arctan x 32 773 0 nr 1 Aa de A area mede 173 Exercicio 318 2 Calcular a crea da figura limitada pela hipérbole y1 eas retas y 2 a Solugao Temos 2x a1 a Area a ser calculada esta limitada pelas curvas gy 185 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II tay1 y eas retas y 2 A area a calcular é 2 2 A ta f VIF Pay 2alyV1y Laly V1 vill 0 A 2a2V5 Ln2 V5 Exercicio 319 Determine m de modo que a regido acima de y mx e embaixo da parabola y 2xx tenha drea igual a 36u Solugao Temse de mx 2427 22m20 xxm20 logoa area A é dada por 2m 1 m 2m m 1 A2 Qe2made 23 1 2 m 2m3 36 2028 made 0 3a Bd 1 Dy m 3 2m 0 1 1 2m36 4 2m5 5 m O valor esperado ém 4 Exercicio 3110 A drea da regido compreendida entre a parabola y 12x 6x 0 eizo x dividida em duas partes iguais por uma reta de passa pela origem Achar a equagao de tal reta Solugao A area da regiao compreendida entre a parabola e 0 eixox é 2 2 A for 6xdx 6x 20 8 0 0 Param 0 seja y mx a reta que passa pela origem em corta a parabola nos pontos 12 00 e ab logo quando y mz 12x627 m126r ve a AS fion 622 malde 62 20 mr ba 20 lc m 59 x 6x xdx x x Io a a 5 0 m 12m 12m m 12m 262a4 624 3 ogo a362a7 2162 2 4 assim m 62 W4 186 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A equacao da reta procurada é y 62 WAar Exercicio 3111 O grafico de x y 8 divide em trés regides a circunferéncia x y 16 Determine a area da cada uma das regioes Solugao O grafico das areas a calcular mostramse na Figura 33 observe que as areas A A3 ea area Ay 71747 2A Calculemos Aj 2 2 Ay We 8 ydy 2 Vie 84 ydy 2 0 1 1 2 A 215 Vv 16 y LGaresen 7 syv8 y 8Lny V8 v 8 Ay 37 8Ln2 8LnV2 V6 3 1055 Logo A A3 381055 e Ap 16m 23 1055 44 05444 Aeon léy4 a A A 1 3 fy f x ycosE Vv VV Tt I A 10 Zo 10 BX xV8 ty Figura 33 Figura 34 Exercicio 3112 Para cada um dos seguintes exercicios desenhar a regiao D e determine a area da mesma se D esta limitada pelos grdficos de Solugao 7 7 1 ycosx t era ety 0 A area a calcular mostrase na Figura 34 a2 a2 1 A cosindsr senc l1 r6 2 6 1 A area pedida mede A 5 inidades quadradas 187 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 y2r3427v2r0ey0 22 Resposta 3 3 y92 yr 1 64 Resposta 3 r 2 4 Y Tye O w 1 w 2 1 8 Resposta 1 arctan 2 gine 5B y3a2y22 8 Resposta 3 2 6 c0 ytanz y 3 COs 2 7 Intersegao procurada de y tanx com y 3 cos x acontece em x 6 logo a area A mede 6 3 2 2 76 3 A JG cos xz tanadx zsenz Lncos 3 Ln 0 1 V3 A area pedida mede A 3 Ln inidades quadradas 7 yorar0y2 y0 5 R ta esposta 8 yLn2 yLn4 r0 Resposta 4 e Ln4 9 ecexr0y0 yLn4 Resposta 3 3 10 yarctanz y arccos y 0 2 14 R ta Ln esposta 5 5Ln3 ll yarcsenz y arccosx 1 Resposta V2 2 188 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 120 ya2 32 2742 y 22 4742 37 R ta esposta 75 13 D éaregiao de menor area limitada pelas curvas x 2y 0 2 8y 0 y 3 16 Resposta 5 52 14 y4Lnr1 yLnr 1 c0 Resposta 2e 3 15 Déaregiao de menor area limitada pelas curvas x y 20 y 22 Intersecao procurada de x y 20 com y 2x acontece em x 2 logo a area A mede 2 1 2 A2 i 20 a2V223dxr 25 ev 20 20aresen V2V 05 0 0 1 8 A 20arcsen J5 5 1 8 A area pedida mede A 20arcsen inidades quadradas J5 5 16 D é a regiao interior da elipse bx ay ab Resposta ab 17 Déaregiao de maior Area limitada pelas curvas 5x 4y 0 e a elipse com focos nos pontos 0 6 e 0 6 e cujo comprimento do eixo menor é 6 1 Resposta 9V5m arcsen P ey 18 yx0y2ry2 1 4 Seja A a area pedida A Je xdx fee 2Vadx 0 1 1 2 1 1 2 4 49 A jet Sv0 2x 50 SVx5 52 3Ve8 2 st 3V03 D 49 A area pedida mede 2 inidades quadradas Ar x x 8x 48 na Sooo 19 y 4 Se e200 y 16 Se t0 x se O 2 32x 3 se x 0 189 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A area pedida A é dada por Figura 35 0 4 1 1 8x 48 A e3radr f fu ee Fe 48 4 16 075 0 0 4 1 A 4x 3dax 16 ic 8x 52xdx 075 0 0 1 5 4 251 A 2x 3x 48 4a 22 20 30 og tg Bet ae r oy 251 A area pedida mede yr inidades quadradas 40 076 xe 40 1 4 20 10 4 10 10 20 30 aa Figura 35 Figura 36 20 y4 422 y0 x0 Resposta 20 Ln4 21 yaxn4 y2 y8x2 Resposta 22 yeye r1 1 Resposta fe e 23 y2r42ry41r0 y0 7 2 42 Resposta 15 we 24 yr227170r71 7 3 65 Resposta 6 25 y vV23yr1 y0 3 Resposta gins 190 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 26 ysenz 2a 0 27 yxa0 x 2p Resposta 22 7 x 4 2 7 y oe 3 7 3 y0 Resposta 28 yarcsenz y arccosx 0 Resposta V2 29 yarcsenz y arccosz y 0 Resposta V21 r 327 2 30 yra0y f Htdt onde fx mee 2x1 se xr2 167 Resposta30 z 3 1 31 ytanz y0 w a x0 3V3 Resposta 31 Svar 32 x7y2y4r172 9 Resposta32 z 33 yx y8e Resposta33 34 ya22 ysenrz 4 1 Resposta34 nm 2 350 y a2 307 42 y2 4 6x 25 Resposta 108 36 y2 y827 y4r412 Resposta 64 37 x 4yy r2y5 32 Resposta 3 38 ysecz ytanz x 0 Resposta a 1 2 191 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 39 y2 2y 27 y 2x Resposta 4 40 ty 5 OS Tye 9 R t nr 1 esposta poe 2 3 Exercicio 3113 Determine a drea caso exista da regido ilimitada D Solugao 1 ysechz e sua assintota Resposta z 2 64 2 y sua assintota x 16 Resposta 167 3 427y 2 e suas assintotas verticais Resposta 27 4 yarctanz 2y770 Resposta nao existe 5 ysenh z e sua assintota vertical 7 Ri ta esposta 7 2 4 a 6 y I Tea I Tye Resposta 37 Exercicio 3114 Determine a area da figura limitada pelas Solugao Seja A a area procurada 1 Curva y Lnz e as retas x e 0 eixo Z e2 e2 A tnvde xLnz 1 eLne 1 eLne 1 e 192 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 2 2 Interior a elipse 5 Pp 1 b 4b 1 9 xLo A4 Va2dr 7 Ig ev a 2 a aresec 2ab arcsenl abr a a a lo 0 3 Pardbolas y 47 e x 4y 16 Resposta 3 4 Pardbola y 22rearetayx2 9 Resposta 2 27 x 5 6S urvas G9 CU f 27 2 27 2 3 x x GT xls A dr 2 dzr 227 arct iat ge a5 g ae 227arctan 73 3 0 Aa de 275 rea m Area mede 579 2 2 4 3 6 Curvas y 2pre y gt P po 56 R ta p esposta TEP 7 Circunferéncias x y a x y 2ay a eareta y a Resposta a 8 C a ax urvas y y 0 ixo y Ue ee Bete 4 a Resposta at 2Ln2 9 Pardbola xa 2pyb pelo eixo y e a tangente mesma no ponto de abscissa rc cp0p0 2 Resposta 6p 10 Curvas y e 1 y e 3 x 0 1 Resposta 2Ln2 3 11 Pardbola y 3 2x x 0 eixo 32 Resposta 3 193 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 12 yarcsenz e as retas 7 0 y 5 Resposta 1 13 Circunferéncias x y a7 a y2aya a 0 Resposta a 14 Curvas 7 1y2 2exy2 3 Resposta a7 2Ln2 15 A curva y Lnz e sua tangente no ponto x e 0 eixo e Resposta 37 1 Exercicio 3115 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela funao indicada Solugao a Va x aa 1 fx aLn Va re le qi x Suponhamos a 0 mostrase a curva na Figura 37 1 1 Parametrizamos xt asent onde t larcsen aresens entao atacost tacost e yt aLnt a cost xt yt a Ln 2 ta sent cost asent yt alsent csct y 7 l1cost sent Y arcsen L arcsen i 4 4 t cos L a cost asent esctdt a at sent arcsen arcsen 6 6 194 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II arcsen arcsen 1 L a cost alsent csc tdt a ee dt alnsent sent arcsen 4 arcsen 3 arcsen é 1 1 L aLnsenarcsenz aLnsenarcsen aLn5 3 O comprimento do arco mede La Ln5 unidades lineares a0 20 10 x 246 8 10 12 Figura 38 Figura 37 r3 x 1 2 fr Gr TE 1 3 entao fx 7 Byt O grafico da curva mostrase na Figura 38 i 2 1 i 2 1 fa 1 x x x 414 de 2de de L HG 53 de 5 5 3da IG 53 de 1 1 1 x 1 13 27 1 1 il 728 L Ss Ke 5 él 5 160 5 6 162 364 O comprimento do arco mede L BL unidades lineares 3 1 3 fr Ju ve x 0 1 entao fa Ja ve O grafico da curva mostrase na Figura 39 vx vx vx 1 x 1 x 1 x L 1 dx dt d ly O ye Noe Gate 0 0 0 Vx3 1 Ve 145 3 lo 3 195 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 O comprimento do arco mede L 3 unidades lineares ova 06 o5 o4 O35 o2 o1 3 ve 23 8 5B Figura 310 Figura 39 e2t 4 fx Ve1 arcsene 1 x 0 4 entao fx fe VFA 0 4 enti fe et e2t e entao f ve 1 O gra 1 e 2a f e2e J e2re2r fico da curva mostrase na Figura 310 4 4 4 L vi Ve 1dx Vea ea e1 0 0 0 O comprimento do arco mede L e1 unidades lineares er 1 x 1 2 Ti TDS 2 5 fe Gta we l2 5 Temse fx ZG rEl2 5 x 1 x 1 x 1 JiPP11eP e p e fa 1 3 393 x x 5 1 2 ik Lf Pde 5 ppalde e oF 20 2 2 393 O comprimento do arco mede L 30 unidades lineares 1 6 fx Ln2 2x V8 V3 entao fx O grafico da curva mostrase x na Figura 312 V3 V3 V3 1 24 Vaz1 c 14 de ae Vi ine x x x V8 Vv8 V8 196 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 454 30 25 20 20 15 10 10 5 i 30 02 oy 2 3 4 6 B a Figura 311 Figura 312 1 yv3 1 3 Ve 1 Live 1 2 5Lna 1bLn 2 V8 2 2 1 3 O comprimento do arco mede L 1 alas unidades lineares 1 3 7 fx qaresenx 7v1 2 0 v3 4n 2 Ri ta esposta 16 10 A 6 ie a Ze w 2 oe g 2 Bll Figura 313 Figura 314 1 8 fx 5 E Va 1Lna V2 8 5 Mostrase a curva na Figura 314 1 x rtV221 2 Pa1 oe x Vx 1 He 5s Jeol Vea ier Veal fe 5 5 1 5 b fie v itde f de 504 8 3 3 3 O comprimento do arco é 8 unidades lineares 35 3 9 c EVP FV y 0 1 197 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Mostrase a curva na Figura 315 Entao da Vy tL 1 1 c 1 VP a VP ay EVE FV 32 32 5 4 0 0 Avy 0 Avy 27 O comprimento do arco é L 0 unidades lineares a ee we ee f ey 4 Figura 315 10 y 19 V23 w 1 2 d V9 Wx Mostrase a curva na Figura Entao oy V9Vva dx wx JoVr2 3 9 oral t Va Fry 2 1 1 9 O comprimento do arco é L 5 v4 1 unidades lineares 1 3 3 ll fx x4 3 areson 2 x 0 1 2 2 2 14 Resposta 3 1 12 fx 1Lncosz 2x e 0 qi 3 Resposta Lntan I 198 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 13 fx arcsene x 0 1 Resposta Lnle Ve 1 316 Figura 316 Figura 317 x 14 fx acosh 2x 0 J a b Resposta asenh a 2 y 1 15 x L 1 e 5 x 1 hhy Y 1 e dx y 1 Mostrase a curva na Figura 319 Temse logo dy 2 2y L 142 1 2 ay Lwin f ei 1 n 2 ay YX DPT GF Oh WaT 1 1 1 O comprimento de arco mede L re 1 unidades lineares Figura 318 Figura 319 Exercicio 3116 Determine o comprimento do arco das curvas indicadas Solucao 1 O comprimento total da circunferéncia x y a 199 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sejam xt acost yt bsent at asent yt acost no plano todo 0 t 2z 20 20 L V xt yt2dt asent acostdt 0 0 20 20 ca dal 2aT 0 0 Portanto o comprimento do arco mede 2am unidades lineares 2 O comprimento total da astréide x acost yasent A curva mostrase na Figura 320 Por outro lado xt 3acos tsent yt 3a sent cost onde t 027 Logo 20 zg L 3a cos tsent 3a sent cos tdt 12a sent cos tdt 0 0 L Gasen 6a 0 Portanto o comprimento do arco mede 6a unidades lineares y Figura 320 a a y 3 Ocomprimento do arco da parte direita da tractriz x a Pally Ve y desde y a até y bonde0ab a Va asent Seja y asent entao x Va asen2ta Ln tye ae sent logo asent 1 t xt acost aLn peest 2t asent acsct sent 200 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e yt acost Logo L Vv at yt2dt asent acsct acostdt d b t b caf ata f alm aLn sent Yy a a b Portanto o comprimento do arcomede LaLn unidades lineares a 4 O comprimento da curva GP 1 do primeiro quadrante Figura 321 a Sejam xt acost yt bsent at 3acostsent yt 3bsen7t cost no primeiro quadrante 0 t 3 2 L V xt yt2dt 3a cos tsent 3bsent cos tdt 0 0 5 5 L3 cos tsent V a cos t bsent 3 cos tsenta b asent 0 0 seja u a2 b asent 2udu 2b asent cost logo 3 9 1 33 2 ab bap tdu a b asent ab ab Portanto o comprimento do arcomede L ab ab unidades lineares a Figura 321 Figura 322 5 O comprimento total da curva de equagao 4x y a 3Va48y Resposta 6a 201 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 O comprimento total da curva 8y x 27 Observe 8y2 2224 8ya27127 S larl 1 1 122 Temse y 245 2 r ye aft Consideremos 0 caso y 0 Po of fsa 320 op B 222 81 27 8 2a 3 2x visa gl2 sl 1 1 1 Y 1 2 YS 1 2 3 22 2 1 cae a S pviF dx 4 12 4 V1lx 1 1 22 1 2 L ve 5 ev la arcsen aresens von 1 Para o caso y 0 e como o grafico é simétrico respeito o eixo2 também o compri 2n mento mede a Portanto o comprimento do arco pedido mede L 2m unidades lineares 7 O comprimento da curva 9y 3x x desde x 3 até x 0 3 1 242 Temse y2 2 4 22 y ro 9 YO 342 Consideremos 0 caso y 0 fia f aGaereP fp arap 222 2 L 1 2dy Ne ME de aa yd 43 2 4342 3 3 3 Lf 4tan If 1 2 c5 w 5 ViFe dx 2 V342 2 V32 1 2 0 L5 vere 254s 23 3 Para o caso y 0 e como o grafico é simétrico respeito o eixo2 também o compri mento mede 23 Portanto o comprimento do arco Amede A 2L 43 unidades lineares 8 O comprimento do arco da parabola semictibica 5y x compreendida dentro da circunferéncia x y 6 202 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II De 5y 2 e a y 6 segue y lex V5 O grafico da curva é simétrico respeito do eixoy suficiente considerar 0 x Vo5e0 y 1 De dx 1b y 35 By a we Ht 5y VL logo y Yy 2 ag 7 V9 los Consideremos 0 caso x 0 V5 4 4 4 3V5 5 8 5 at fyfi4 vara f Sudy Se Su Pvird ydy Tae Qf lt 7 52 0 0 Para o caso x 0 e como o grafico é simétrico respeito do eixoy também o com primento mede ror Portanto o comprimento do arco Amede A2L unidades lineares 9 Calcular o perimetro da regiao de menor area limitada pelos graficos de y 2x e xy 20 Resposta 2 10 Da curva y a7 Lnyz desde x 2 atéx 3 Resposta 11 Da curva y Vx x arcsenZ Resposta 2 12 O comprimento total da curva dada por y arcsenz 1 2 Resposta 8 2 2 3 13 O comprimento do arco da curva y 3 1 compreendida dentro da parabola 8 575 y Resposta 85v5 1 3 922 14 O comprimento do arco da curva dada por x t 2sent 2 cost y 2 t cost 2t sent desde t 0 atét 7 3 Resposta un 3 Exercicio 3117 Determine o perimetro do triangulo curvilineo limitado pelo eixo x e pelas curvas de equacdes y Lncosx se x 5 4 e yLnsenz se x 0 aI Solugao 203 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observando a Figura sao vértices do tridangulo curvilineo sao os pontos O0 0 m V2 1 V2 ACs Ln e Bs 0 lembre que Ln é negativo O perimetro a calcular esta dado por LOBOAAB q 3 La 5 f vistatade f V1 cote de a L 5 Inv21 Lnv2 1 O perimetro é P Ln3 2V2 204 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 32 Areas de superficie de revolucao Exercicios 32 ky Exercicio 321 No tempo t uma particula encontrase no ponto Pcosttsent senttcost Achar a distancia percorrida desde o tempo t 1 até o instante t 7 Solugao Em coordenadas paramétricas seja xt costtsent e yt sent t cost logo xt tcost e yt tsent logo 7 L tcost tsentdt tdt ou 5 7 1 1 1 1 a oly A distancia percorrida é a 1 Exercicio 322 No instante t a posicao de uma parttcula x 1 arctant y 1LnvV1 Achar o percorrido desde o instante t 0 até t 27 Solucao Em coordenadas paramétricas seja xt 1 arctant e yt 1Lnv1 logo 1 t ut Tap yt TPP logo 27 20 Jy 4 pat it Lnt VIF P n 1 1 V1 0 0 0 A distancia percorrida é Ln2a V1 4 47 Exercicio 323 Para cada um dos seguintes exerctcios achar a area da superficie de revolugado que se obtém ao girar entorno do eixox a curva dada por Solucao Seja AS a area pedida 205 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II l y 2cosh5 desde x 0 até x 2 2 2 x x x x AS an f 2eosh5 1 senhdx tn coshS 1 senhdx 0 0 2 2 AS tr f coshSda 2n f cosh 1dx 27senha v 0 0 A area pedida é me e 4 3 I 2y2 desde t 0 ate x 5 3 3 AS an f oy 1 82dx an f oy 1 9a4dx 0 0 25 du mw 2 16 AS 2 vel S wf vas 53 1 617 Aa dida 6 drea pedida 6 37 3 bx ay ab b ba Temse y Va22 consideremos sé a parte positiva oa 0 Va ue do radical logo rb bx be f at AS aon f Ve 1 Pde ae a Bede a 0 b 4 4 a b 4 4 AS an x4 5 w Saresen5 an ay 5 aSaresen0 a c A area pedida 6 2rbb arcsen onde c a 0 c a 4 x tsent y 1 cost Area engendrada pela revolugao de um arco Temse x 1 cost y sent logo A 2n fa cost1 cost sentdt avin 1 costv1 cos tdt 0 0 206 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II fat tt t 2 gt 32n A 8 dt 1 cos dt 8n2 5 500s S sr f sen nat ar f cos 5 sen gat 87 C08 5 3 COs 5 0 3 0 0 32 Portanto a area pedida mede A unidades quadradas 2 2 1 1 1 5 fx 3f x 02 Temse AS 2 3 V1 adx 2 3t V1 dx 0 0 V17 V17 Seja w1la2 As 5 f wdu Fu S17V17 1 1 1 Portanto a area pedida mede A a i7vi7 1 unidades quadradas 5 6 fx cosxz we 5 sh AS on coscv sen2rdx 3 Sejausenr ducosrdrassimxzFuler5 u1 1 2 1 AS an f vi udu uve 14 Lnut Vu 1 1 1 Portanto a Area pedida mede AS 27V2 Ln1 V2 unidades quadradas 7 Um laco da curva 8a7y ax 1 1 V2 a 227 2 42 14 74 VA Temse y gt 342 y 7 Jen Consideremos 0 caso y 0 pr 2 8aa x a 22 AS 2m f vy 1 ydx an f ta V a2 a See ey Py dx 0 0 On 23a2 202 Qn 3a 20 AS ver f a2x x 7 S dz ver f a2x a a ax a aa x a a x JQ 3 2 a JQ AS va 12 g2a2 4 Vet 5 4a EG a Io 2 2 Portanto a 4rea pedida mede AS ven unidades quadradas 207 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II er 8 Curva 6axy x 3a desde x a até x 2a Temse y bal on logo a x ng 2 2 2 ng 2 12 2 x a x a x a a AS 2 1 dr 2 3 d 5 Da om 2 an ge 7p os 202 23 4 6 2 2 x arr arr a 12 x ae 24 AS 29 4 Ide 2 5 5 faa 2a2x 6 ax aaa a liga 6 D a 37 5 1 Portanto a 4rea pedida mede AS 5 le 7 unidades quadradas 2 1 1 9 y 4a 2Lny desde y 1 até y 2 Temse x gly 4 logo 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 AS 2 Lny y1 ydy 2 Lny y yd 8 2m f Ging Gu Go Suddy 2m f Gin eG Gul 1 1 i L 1 1 1 2Ln 2 AS Ga SY y 2yLny ySJay Fn Lay 9 yPLay Gy 4 y 4 47 1 7 9 27 Portanto a 4rea pedida mede AS qin 4Ln2 7 unidades quadradas 10 cacost yasent Temse x 3a cos tsent y 3asen7t cost logo AS 20 Jo cos t3a cos tsent 3asen2t cos t2dt Ga cos tsentdt 0 0 6a77 7 AS cos t S 5 cost lQa2r Portanto a area pedida mede A unidades quadradas 1 11 x e sent yelcost det 0 até t 5 Temse x e sent e cost y e cost e sent logo 2 2 AS 2n ieseay etsent e cost e cost esentdt avin f cMsentat 0 0 208 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 2n7V2 AS 2v2ne 2sent cos AV 26 1 0 2n7V2 Portanto a 4rea pedida mede AS AV 208 1 unidades quadradas 12 ye x0 Temseye yl e 0a400 00 9 1 AS 20 e 1 e2dx Slerv 1e4LneV1 0 0 AS a lim eV 1 e Lue V1 e V2 La1 V2 Portanto a Area pedida mede AS mV2 Ln1 V2 unidades quadradas t 13 acost Lntan ah y a sent Resposta 13 47a 14 y tanz desde 0 0 até 7 1 222 Resposta 14 V5 V2 Ln posta 14 eal 15 O laco da curva Yay x3a x Resposta 15 37a 16 27 yb a 0ab touro de revolucao Resposta 16 47ab x 1 7 y t 1 3 y Gta TELS 208 Resposta 17 Te 18 y2x x 0 2 Resposta 18 87V5 19 y 4ax desde x 0 até x 3a 56 Resposta 19 20 ya we 1 8 Resposta 20 209 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 324 Achar a area a superficie gerada pela rotagao entorno do eixoy de cada uma das seguintes curvas Solugao lvy ye 0 3 3 3 AS 2m f yi 3ydy an f yi 9ytdy 0 0 V730 2 V730 AS st udu su 18 27 1 Portanto a area pedida é slV 730 1 2 Garry x 3a desde x a até x 2a Resposta 720 Ln3 3 2y aVax 1Lna V2 1 x 2 5 Resposta 3 787 ey 5 Considere x fy iv 16y y 4 4 logo a area do elipsoide gerado é 4 25y2 100 3 AS 2n 16 y 41 dx 2716 arcsen 8 28 FV TS ee ers 5 4 100 Portanto drea AS 2716 3 arcsen q q q 5 yx we 1 2 Resposta 210 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 yvVexi xe l 8 Resposta Exercicio 325 Achar a area da superficie de revolugao formada quando a curva indicada gira entorno do eixo dado Solugao 1 yvz23 x 1 8 entorno de y 1 2 yo 4st ref 2 entornmode y1 yatGe 2 entornode y1 3 y2 x 1 2 entorno de y 1 4 yLnr1 2x 21e entornoder1 Entt r1e e Quandorx2 y0 rlte y2 2 1 2 AS an f1be1 vi edy 2n let 1 e7 Lne V1 i 0 0 2 1 4 Portanto a area pedida é AS 7eV1e4Ln orvirey V3 1 2 5 0 y4e x0 1 entornodey4 y e 1 1 1 AS an f e4v 1 edx 27 levi e Lne V1 4 0 0 JTree Portanto a drea pedida é AS aleVv1e Ln oe VI 1 2 6 y2r x 0 2 entornodey1 y 2 2 l a V5 peo 4 AS 2m 2 114 22dx 2V5r q2e 1 9 75 1 0 0 Portanto a Area pedida é 12V5z Exercicio 326 211 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Achar a Grea da superficie chamada catenoide engendrada pela de revolugao do arco da catendria 2y cosh2z Oa 3 entorno do eixo x Solugao 1 Temse y 5 cosh22 y senh2zr 3 2 1 AS an 5 cosh221 senh22dx r cosh2nae 0 0 3 T m1 3 1 AS 3 cosh4x 1daz 5 lgsenh4z a m5senh12 3 0 Portanto a area pedida mede AS senh12 12 unidades quadradas Exercicio 327 Determine a drea da superficie da elipsdide formada pela revolucao da elipse 427 y 4 entorno do eixo x Solugao Temse y2V1l22 3 y a V1 2 1 1 2x AS 27 2V1271 eax Ar 14 32dx 9 a 0 1 1 1 5 AS 2aav1 4 30 Lna V1 3 274 Ln3 1 5 Portanto a area pedida mede AS 274 Ln3 unidades quadradas Exercicio 328 Determine a area da superficie formada pela revolugao entorno do etzo x do arco da curva 3y x compreendida entrex 1 e x 1 Solugao Exercicio 329 I 2 Mostre que o comprimento do arco da espiral logaritmica r e Lr ver m C onde C depende da origem do arco Se consideramos este ponto como a origem de V1lm coordenadas mostre que L m Solugao Resposta 212 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 3210 Determine o comprimento da curva y 2V2Va 1 V1 a Solugao Resposta Exercicio 3211 Determine o comprimento da espiral de Arquimedes r a desde a origem até a ponto A 27 Solugao Exercicio 3212 Calcular o arco da curva x fsen f cos y f cos f sené onde fq designa uma fungcao dada Solugao Resposta Exercicio 3213 A curva y Ln corta o eizto x ema Determine o comprimento da curva AM sendo M o ponto de abscissa x Solugao Exercicio 3214 Seja f continua no intervalo 01 V t0 e suponha que existem constantes M 0 00 ey 0 tais queV ted ft Mr Mostre que e ft dt convergente 0 para s g Solugao Outras respostas 5 8r In2 V3 6 aV21 748 8 82 Ln 487 J3 9 31a 4 Ln1 V2 213 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 33 Volume de um Corpo Exercıcios 33 Exercıcio 331 A base de um solido e um cırculo da raio r Todas as secoes transversais do solido perpendiculares a um diˆametro fixo da base sao quadrados Determine o volume do solido Solucao Resposta 16r3 3 u3 Exercıcio 332 Um solido tem como base um cırculo de raio r 1 e sua interseccoes com planos perpendiculares a um diˆametro fixo da base sao triˆangulos retˆangulos isosceles cujas hipo tenusas sao as respectivas cordas dos cırculos Determine o volume do solido Solucao Resposta 2 4 3u3 Exercıcio 333 Achar o volume do solido S que e a parte comum aos cilindros circulares retos de raio r supondo que seus eixos cortamse perpendicularmente Solucao Resposta 3 16r3 3 u3 Exercıcio 334 A base de um solido e uma elipse cujos eixos medem 20 e 10 unidades A intersecao desse solido com um plano perpendicular ao eixo maior da elipse e um quadrado Calcular o volume do solido Solucao Resposta 4 32000 3 u3 Exercıcio 335 Achar o volume do solido S cuja base e um cırculo de raio 3 e cujas secoes planas perpendiculares a um diˆametro fixo sao triˆangulos equilateros Solucao 214 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta 36V3u3 Exercicio 336 A base de um sélido é a regiao entre as pardbolas x y ex 3 2y Achar o volume do sdlido se as secdes transversais perpendiculares ao eixo x sao quadrados Solugao Resposta 6 6u Exercicio 337 Um cilindro circular reto de raio r cortado por um plano que passa por um diametro da base sob um dngulo a respetto do plano da base Achar o volume da parte separada Solugao 2r t Resposta ul Exercicio 338 Para cada um dos seguintes exercicios calcular o volume do sdlido gerado pela rotacao da regiao D entorno da reta L indicada Solugao 1 CL eixo x D limitado pelos graficos de y x e y 4a 2048 Resposta 1 15 2 Ly0 D ye41r1r0e y0 r 1 9 3l VS 1 Pde Sae 1 8 f e1Pae Fle 1 3lr a Portanto o volume mede VS 60 unidades cubicas 3 Ly0 D yax5x748r4e y0 2 2 VS a Jee 52 8x 4dr n x 10x 41x2 402 642 16dx 1 1 1 10 Al 64 2 201717 VS law 78 2 1024 273 16 S mae g tee eta 105 20171 Portanto o volume mede VS oR unidades ctbicas 215 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 Ly0 D 2y3P1 O grafico da curva é uma circunferencia de raio R 1 e esta acima da reta y 0 logo fz 3V12 e gx 3V1 2 neste caso 1arl 1 1 VS r ie V1 2 3 V1 2dr tan vi dx 1 1 1 1 VS 127 glev la aresena 6r 1 Portanto o volume mede VS 6x unidades ctbicas 5 Leixor D y2yb0 bc0 O grafico da curva é uma circunferencia de raio R c e esta acima da reta y 0 logo fx b V2 2 e gx b Vc a neste caso c VS r Ve x b V2 x2 dx tor Vc x2dx 1 c VS 4br gltv C2 e Carcsen 2be7n C le Portanto o volume mede VS 2bcx unidades cibicas senr 1 27 Lei Dy t 6 elxo Yy lnwsn 5 ex 3 vs x jae Resposta 6 Ln5 7 Leixorz D yesenecr00e r In 2 Resposta 7 cos 1 ve 8 Ly4 Dy4227 e r0 1282 Resposta 8 Sve 1 9 Leixor D ysenrzy0r0e c 5 a Resposta 9 7 216 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 10 Lxr45 D atyl Resposta 10 87 ll Lx2 Dyrvervy A497 R ta 11 esposta 30 12 Ly1 D yarccosz yarcsenr e x1 Resposta 12 13 Lx0 D y241073r4e y0 2 Resposta 13 2626 19V19 7 14 x20 Dycoszy0r0e n Resposta 14 1 15 Li y0 D y Var1r14e y0 Jr Resposta 15 aLn4 33 16 Ly0 Dy0y2700c r VVy4 2V21 Resposta 16 i6r 24 7 17 Lyl1 D yarcsenz y0 ef Resposta 17 18 Lyl D yv2r3yr41ley0 Resposta 18 1 T 19 Lx0 D y 404 ec y0 cos x 4 Resposta 19 7 20 Lx0 Dyax22r1le xr0 167 R ta 20 esposta 1B 210 Lx1 D ye2r3y41072e r4 Resposta 21 22 Ly0 Dyrt2e y3y2zr 45 Resposta 22 on 217 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 23 Leixoy D ysenzr 2x7 2x 37 e y0 Resposta 23 47 2 24 Ly0 DyV42 y170e Yy3 Resposta 24 Exercicio 339 Para cada exzercicio determine o volume do sélido que satisfaze as condicooes 1 O triangulo de vértices O0 0 Aa b e BO 6 gira entorno do eixo y Achar o volume obtido Solugao 2 tab Resposta se 2 A base de um solido é um circulo de raio 3 Todo plano perpendicular a um diametro intercepta ao sdlido em um quadrado que tem um lado na base do sélido Calcular o volume do sélido Solugao Resposta 12 144u 3 A base de um sélido é a regiao limitada por y 12x y 12 As sec6es transversais do sélido determinadas pelos planos perpendiculares ao eixo x sao quadrados Achar o volume do sélido Solugao 4 Em um certo sdlido as secoes transversais perpendiculares ao eixo y sao circulos cujos diametros estendemse sobre a curva y e areta x y Calcular seu volume Solugao Resposta14 8 Pome 120 5 A base de um solido é um circulo limitado por x y 25 e as secdes transversais perpendiculares ao eixo y sao triangulos equilateros Calcular seu volume Solugao 6 Determine o volume do sdlido de revolugao gerado pela rotagao em torno do eixox da regido infinita compreendida entre a curva y 0 yWx 1 ex 1 Solugao O grafico da regiao mostrase na Figura 323 logo temos que 1 3 Vq7 Fa dra au 4dt3n 1 1 218 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Portanto o volume mede 3π Figura 323 7 Um cilındro reto cuja base e uma elipse esta cortada por um plano inclinado que passa pelo eixo maior da elipse Calcular o volume do corpo engendrado sabendo que o comprimento do eixo menor da elipse e 8 e o compreendo do semieixo maior e 10 Solucao 219 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 34 Aplicacoes a Mecˆanica e Fısica Exercıcios 34 Exercıcio 341 Para cada um dos graficos achar o centroide da lˆamina homogˆenea de densidade ρ segundo a forma mostrada Solucao 1 A area total da lˆamina e 128cm2 esta formada por dois retˆangulos O retˆangulo de ver tices 0 0 10 0 10 8 0 8 e o retˆangulo de vertices 14 0 14 12 10 12 10 0 Considerando os eixos coordenados como indica a figura os centros de massa de cada dos retˆangulos R1 e R2 sao 5 4 e 12 6 respectivamente Logo Mx 80ρ4 48ρ6 608ρ My 80ρ5 48ρ12 976ρ Portanto o centro de massa x y e dado por x My m 976ρ 128ρ 7 625 e y Mx m 608ρ 128ρ 4 75 6 X Y 0 10 0 0 8 14 12 Figura 324 6 x y 0 4 4 4 4 10 10 6 6 2 2 Figura 325 2 A area total da lˆamina e 104cm2 esta formada por cinco retˆangulos O retˆangulo de ver tices 4 0 4 0 4 2 4 2 o retˆangulo de vertices 6 2 6 2 6 3 6 5 o retˆangulo de vertices 6 5 4 5 4 9 6 9 o retˆangulo de vertices 4 5 6 5 6 9 4 9 e o retˆangulo de vertices 6 9 6 9 6 10 6 10 220 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Considerando os eixos coordenados como indica a figura os centros de massa de 7 21 cada dos retangulos R Ro R3 Ra e Rs sao 01 0 5 57 57 e 0 respectivamente Logo 7 21 Mz 16p1 36p5 87 807 36p 6832p My 16p0 36p0 8p5 8p5 36p0 0 M M 632 Portanto o centro de massa 6 dado por 0 e y oF m m 104p 607 3 A area total da lamina é 1007 48cm esté formada por quatro regides A regiao R do semicirculo que passa por 0 10 100 100 a regiao Ry de vértices 06 86 010 a regiao R3 de vértices 80 100 86 e a regido Ry de vértices 00 10 0 10 0 48 36 Ri ta 3 esposta 8 55 9 r 12 y itty 8 6 a 2 as ee x a ea Equacao da elipse 16x 25y 400 Figura 326 Figura 327 4 A area total da lamina é 197cm esta formada por quatro regides A regiao R da semi elipse que passa por 0 4 5 0 4 0 a regiao Ry de vértices 00 2 0 2 421 0 4 4 4 a regiao R3 de vértices 2 zV21 20 2 gVv21 02 earegido Ry de vérti 4 4 ces 2 zV21 2 gv21 0 4 40 8 Para a regiao R 0 60 centro de massa pois y 0 sendo mr 107 segue ns 0 0 1 4 4 8 140 E avV25 x sav 25 2 dx aV25 xdx 107 5 5 507 on 5 5 221 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 Para a regiao Ry 0 6 0 centro de massa pois y 0 sendo mr dx segue 2 5 5 1 4 4 Zz ZZ E ev 25 2 saVv25 xdx av 25 2dx 220 5 5 220 222 2 2 Resposta 4 0 esposta 0 Pp 19 d Exercicio 342 Determine o centro de gravidade de cada uma das regides limitada pelas seguintes curvas Solucao 1 y a2 4 y 2x 2 As curvas se interceptam em 7 le x 2 i 1 29 1 2 M Q2x 2 a 4dx 2 423 162 2 2 1 2 1 i 2 2 2 21 M J 20 22 a 4de Ga Fat 440 1 2 9 2 M flex 22 a Ade 0 50 40 9 1 1 21 29 L ty 2 y 32 y 27 y 1 y2 As curvas se interceptam em 0e x 3 11 1 67 1 1 2 M 2 y2 56 0 76 1 i 2 1 1 1 2 Me yvo guldy GV cy 2 72V2 53 ulva guldy Vi G8 Ge T2V2 53 1 229 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 1 2 14 1 m lvi Gulla G Ve 5 G8V39 3 3 6 li 6 1 L 9 67 272V2 53 ogo zy y 1882 7 1582 7 3 y Va 2 y0 As curvas se interceptam em 7 ae xr a lf 1 Lgja 2a Me 5 lva a 0de Sax 508 a I a My 2 Y Bae 38 2 0 a I a M Va Far sieve 2 aParesen sa a a 4a Logo z y 0 3 1 4 yLnz y4 y 442 A curvas se interceptam em y 0 4 1 1 1 1 1 1 4 y2 2 ip24y 22 8 My 5 ler Gv t wy 5 5e gay 5v G9 0 i 4 1 1 2 4 6 Mz ful jv aly y13 Vw S Vw Bet 0 4 y 1 1 ali 4 m fle 5V4yldy e sVE9 et 0 M M L ty 1461 345 ogo a9 F4 1461 345 5 y 2yu2 223 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II As curvas se interceptam em 7 0e x2 5 1 11 1 2 1 p22 22 a8 2 4f 2 Ms 5 le vy wy de 50 52 HR 192 0 1 1 3 1 M fale a adx 52 5 06 0 1 2 23 1 M ue 22dx 5 se o 0 1 1 L ty ogo 29 5 5 6 y241y2170r1 Resposta 6 7 c4yyye 12 3 R ta 9 esposta 9 5 8 y2 4 22 0 eixo yey 3 9 y 20x x 20y As curvas se interceptam em 0 e x 20 i 1 1 20 1 16000 1 20 M 0x x22Id 5G20 7 0 sou 5 v2 597 de 3S 907 3 0 i 1 V20 1 2000 20 M ele 59 Lae e at 16v5 3 0 20 M vV202 de V5a 400V5 20 60 lo 3 0 5165 3 Logo y 4035 1 go 9 B38 1 z se xl 10 y2 y 5 xX2 x se x1 224 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 2 1 1 11 1 2 29 M 2 2 t 22 2 5g0 30 5 fe alan 5 f 02 aPlae 5 Ga 50 5 0 1 1 2 2 1 1 2 83 M Joe 2da oe 2dx 3 Ge 5 0 1 1 2 1 1 ij 28 M Je 2de Je 2 dex 1 203 sl 2 i 6 0 1 M M 83 48 L ty 4 11 e y3 y0 x 0 9 9 R ta 10 esposta 10 3 2 12 yr 2 4171r72 y0 13 e ry 20 ry0 Resposta 183 9 9 14 y senxz y cosx y 0 desde x 0 até x 1 Resposta 7 12 v3 482 15 c2y80 7 3y50 r274 88 50 Resposta 15 35 39 Exercicio 343 O centro de gravidade da regiao limitada pelas curvas x 4y y mx é um ponto de abscissa igual 2 Determine o valor de m Solugao Resposta m 1 Exercicio 344 Os vértices de um tridngulo sdo A0 0 Bia 0 e C0 5 coma 0 Calcular o volume do solido obtido pela rotagao entorno da reta y x a da regido limitada pelo triangulo Solugao 225 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5V2ra R ta 4 esposta 5A Exercicio 345 A regido limitada pelos graficos de y x7 y 5 gira em torno de uma reta obliqua que passa pelo ponto 1 0 Determine a equagao da reta si o volume do sélido gerado é igual 4077u Solugao Resposta 3x24y30 Exercicio 346 Para os seguintes exercicios determine Solugao 1 O momento estatico da sinusdéide y senz 0 x 1 respeito do eixo z Resposta 1 2Ln1 v2 2 O momento estatico e momento de inércia respeito do eixo x do arco da curva y e 0a 1 1 1 Resposta 2M glev 1e2V24LnV21ev1 e I glv1 e2 V8 3 O momento estatico e momento de inércia respeito do eixo x de uma onda da cicldéide x at sent y a1 cost 32a 256a Resposta 3 M I P 3 15 4 O momento estatico e momento de inércia da semicircunferéncia de raio a respeito de seu diametro 3 ma Resposta 4 M 2a I 5 Os momentos estaticos respeito dos eixos Ox Oy do arco da semicircunferéncia r 2a cost situado acima do eixo polar Resposta 5 M 2a M 7a 6 O centro de gravidade do arco da catendria yacosha O2 a Consideremos a densidade px 1 constante temos y acoshz logo y asenha Os momentos estaticos respeito dos eixosx e y do arco da catenaria y acosh 0 xasao M J ecost rV1asenhxdr 0 226 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 5 4 5 asenha V1 asenhx Lnasenha V1 asenh7 0 1 M 3 asenha v1 asenha Lnasenha V1 asenh7al A massa do arco é L V1fa dex 0 1 sa Resposta 6 a1 tanh 3 y gleschl cosh 1 7 O centro de gravidade da astréide x a cos 3t y a sen3t situado acima do eixo Ox 2a Resposta 70 7 ez 8 As coordenadas do centro de gravidade de um arco da cardeoide r a1cos O0 O 7 4 Resposta 8Y 5 9 O centro de gravidade da curva y Va 2 Resposta Exercicio 347 Mediante o Teorema de Guldin determine o centro de gravidade do arco da astroide xacos3t ya senst situada no primeiro quadrante Solugao 2a 2a 2a R ta 90 9 esposta 9 0 9 Exercicio 348 Mediante o Teorema de Guldin mostre que o centro de gravidade de um triangulo esta afastado de sua base a uma terceira parte de sua altura Solugao 227 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 35 Outras Aplicacoes Exercıcios 35 Exercıcio 351 Suponhamos que um corpo se movimento no eixo x desde x 2 ate x 5 unidades em metros e suponha que a forca exercida segue a lei fx x2x Determine o trabalho total realizado Solucao Resposta 1 99 2 Exercıcio 352 Determinar o trabalho realizado ao empurrar um automovel ao longo de uma estrada plana desde um ponto M a um ponto N distante 20m de M exercendo una forca constante de 300 kg Solucao Resposta 2 6000 mkg Exercıcio 353 Determine o trabalho realizado para extrair agua de um recipiente cˆonico cuja base e horizontal e encontrase embaixo do vertice sendo o raio da base r e sua altura h Solucao Resposta 3 πρgr2h2 4 Exercıcio 354 Uma piscina cheia de agua e tem a forma de um paralelepıpedo reto de 5 pes de profundidade 15 pes de largura e 25 pes de comprimento Achar o trabalho necessario para bombear a agua ate o nıvel de 1 pe por encima da superfıcie da piscina Sug w peso de 1pe3 de agua Solucao Resposta 4 65625w pelbs 228 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 355 Um tanque que tem a forma de um cilındro circular reto de 8 pes de alto e 5 pes de raio basal esta cheio de agua Achar o trabalho realizado ao bombear toda a agua do tanque ate uma altura de 6 pes por encima da parte superior do tanque Solucao Resposta 5 124800π pelbs Exercıcio 356 Um elevador de 3 000 lbs de peso achase suspenso num cabo de 12 pes de compri mento pesando 15 lbs por pe linear Determine o trabalho necessario para elevalo de 10 pes enrolandose o cabo numa roldana Solucao Resposta 6 31050 pelbs Exercıcio 357 Um tanque cilındrico vertical de 1m de diˆametro e 2m de altura esta cheio de agua Ache o trabalho necessario para bombear toda a agua a pela parte superior do tanque b atraves de um tubo que se eleva a 1 20m acima da parte superior do tanque Solucao Resposta 7 a 500π J b Exercıcio 358 Um elevador que pesa 1 380kg pende de um cabo de 3 65m que pesa 21kg por metro linear Aproxime o trabalho necessario para fazer o elevador subir 2 75m Solucao 8 4052 J Exercıcio 359 Um aquario tem base retangular de 0 6m de largura e 12m de comprimento e lados retangulares de 09m de altura Se o aquario esta cheio de agua pesando 1000kgm determine o trabalho realizado ao bombear toda a agua pela parte de cima do balde Solucao 9 2916 J 229 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 3510 Um balde de agua e icado verticalmente a razao constante de 45cms por meio de uma corda de peso desprezıvel A medida que o balde sobe a agua vaza a razao de 100grs Se o balde cheio de agua pesa 11kg no momento em que comeca a ser icado determine o trabalho necessario para icao a uma altura de 3 6m Solucao 10 3816 kgm Exercıcio 3511 Um bote esta ancorado de modo que a ancora encontrase 100 pes diretamente embaixo do cabrestante em que sua cadeia esta enrolada A ancora pesa 3 000lbs e a cadeia 20 lbspe Qual e o trabalho necessario para levantar a ancora Solucao 11 400000 pelbs Exercıcio 3512 A face de una represa adjacente a agua tem forma de trapezio isosceles de uma altura 20 pes base superior 50 pes e base inferior 40 pes Achar a forca total exercida pela agua sobre a face se a profundidade da agua e 15 pes Solucao 12 2988281 8 lbs Exercıcio 3513 Um gorila de 180kg de peso sobe em uma arvore de 5m de altura Determine o trabalho realizado se ele chega ao topo da arvore em a 10 segundos b 5 segundos Solucao Resposta13 a 900 N m b Exercıcio 3514 Exigese uma forca de 9 libras para distender ate 8 polegadas uma mola cujo compri mento natural e 6 polegadas a Determinar o trabalho realizado ao distender a mola ate um comprimento de 10 polegadas b Determinar o trabalho realizado ao distender a mola de um comprimento de 7 polegadas ate um comprimento de 9 polegadas Solucao 14 a 36 pullb b 18 pullb Exercıcio 3515 Se uma mola tem 30cm de comprimento compare o trabalho W1 realizado ao distendˆe la de 30 para 325cm com o trabalho W2 realizado ao distendˆela para 35cm Solucao 230 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Resposta 15 w2 w1 Exercıcio 3516 Uma mola de 25cm de comprimento natural sofre uma distensao de 38cm sob o peso de 35N Ache o trabalho realizado ao distender a mola a De seu comprimento natural para 35 5cm b De 28cm para 33cm Solucao Resposta 16 a 507J b 2533 J Exercıcio 3517 Uma mola tem comprimento natural de 12 polegadas Quando se estica x polegadas puxa para atras com una forca kx pela lei de Hooke A constante k depende do material do arame etc Se sao necessarias 10 libras de forca para mantˆeo esticado em 12 pole gada quanto e o trabalho realizado para esticalo desde seu comprimento natural ate um comprimento de 16 polegadas Solucao Resposta 17 160 pullb Exercıcio 3518 As extremidades de um cocho de agua de 2 5m de comprimento sao triˆangulos equi lateros de 0 6m de lado Se o cocho esta cheio de agua ache o trabalho realizado ao bombear toda a agua pela parte superior do cocho Solucao Exercıcio 3519 Determine a forca de pressao que exerce a agua sobre uma placa triangular vertical de base a e altura h submersa na agua com o vertice para abaixo de forma que sua base se encontre na superfıcie da agua Solucao Resposta 19 ah2 6 Exercıcio 3520 Um tanque de vidro para ser usado como aquario tˆem 3 pes de comprimento e extre midades quadradas de 1 pe de lado Estando o tanque cheio de agua determine a forca exercida pela agua a sobre uma extremidade b sobre um lado Solucao Exercıcio 3521 A face de uma represa em contato com a agua e vertical e de forma retangular com 50 pes de largura e 10 pes de altura Achar a forca exercida pelo lıquido sobre esta face 231 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II quando a superfıcie do lıquido esta a ras da parte superior da represa Solucao Resposta Exercıcio 3522 Supondo que v e p estao relacionadas pela equacao pv4 1 C onde C e constante e que p 60 lbpul2 quando v 10 pes3 achar a v quando p 15lbspulg2 b o trabalho realizado pelo gas ao expandirse ate que sua pressao alcanca este valor 15lbspul2 Solucao Resposta 22 a 10 7 45 b 2160001 7 42pelbs Exercıcio 3523 Uma chapa com a forma de trapezio isosceles de base superior 4 pes e base inferior 8 pes achase submersa verticalmente na agua de tal forma que as bases tˆem posicao paralela a superfıcie Se as distˆancias da superfıcie da agua as bases superior e inferior sao 10 pes e 6 pes respectivamente determine a forca exercida pela agua sobre um lado da chapa Solucao Resposta Exercıcio 3524 Um tanque cilındrico de 6 pes de diˆametro e 10 pes de comprimento achase apoiado deitado sobre sua superfıcie lateral Se o tanque esta cheio ate a metade de oleo pesando 58 libras por pe cubico determine a forca exercida pelo oleo sobre a parte lateral do cilindro Solucao Resposta Exercıcio 3525 A taxa de depreciacao de certa peca de equipamento no intervalo 0 3 pode ser aproxi mada por gt 1 t2 9 com t dado em anos e gt em R10000 Determine a depreciacao total ao final dos seguintes perıodos a 6 meses b 1 ano c 18 meses Solucao Resposta Exercıcio 3526 Duas cargas opostas de e1 y e2 unidades eletrostaticas atraemse com uma forca e1e2 r sendo r a distˆancia entre ambas em unidades apropriadas 232 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II carga e1 7 P 4carga e2 1 20 r Figura 328 A carga positiva e1 de 7 unidades mantemse fixa num certo ponto P ver Figura 328 Qual e o trabalho realizado ao mover uma carga negativa e2 de 1 unidade desde o ponto situado a 4 unidades da carga positiva ate um ponto situado a 20 pes dessa carga ao longo de uma reta r em sentido oposto ao da carga positiva Solucao Resposta Exercıcio 3527 Uma companhia estima que a venda anual de um produto novo sera de 8000 unidades Suponha que todo ano 10 das unidades independentemente de quanto forem produzidas param de funcionar Quantas unidades estarao em uso apos de n anos Supondo que 25 das unidades param de funcionar a cada ano qual e sua resposta Solucao Resposta Exercıcio 3528 Determine o trabalho necessario para distender uma mola ate 5cm se a forca de 1N o distende em 1cm Solucao Resposta Exercıcio 3529 Um foguete levantase verticalmente supondo que a forca de atrito e constante e a aceleracao aumenta por causa da diminuicao do seu peso segundo a lei j A a bt onde a bt a Achar a velocidade do foguete em qualquer instante t se sua velocidade inicial e t 0 b determine a altura que alcanca o foguete no instante t t1 Solucao Resposta Exercıcio 3530 A velocidade de movimento de um corpo e v t e001tms Calcular o caminho percorrido pelo ponto desde que comeco a movimentase ate ficar quieto por completo 233 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 3531 Se aos x anos de idade una maquina industrial gera ingressos a razao de R Rx 6025 x2 por anos e seus gastos acumulamse a razao de R Cx 400 15x2 ao ano a Por quantos anos o uso da maquina es lucrativo b Qual e o lucro lıquido gerado pela maquina ao longo do perıodo encontrado no item a Solucao Exercıcio 3532 Um tanque tem a forma de cone circular reto invertido com eixo vertical se sua altura e 20 pes e raio da base 5 pes Determine o trabalho realizado para bombear a agua pelo topo do tanque sabendo que o tanque esta cheio de agua Solucao Resposta Exercıcio 3533 As extremidades de um deposito de agua de 8 pes de comprimento tem a forma de um trapezio isosceles de base menor 4 pes base maior 6 pes e altura 4 pes Determine a forca total sobre uma extremidade quando o recipiente esta cheio de agua Solucao Outras respostas 18 39208 J 20 a 900 N m b 21 a 36 pullb b 18 pullb 23 12333 3 lbs 24 1044 lbs 234 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 36 Revisao Capitulo IIT Miscelanea 31 ky Miscelanea 311 Para cada um dos seguintes exerctcios desenhar a regiao D e determine a area da mesma se D esta limitada pelos graficos de Solucao lL Va24 8y Wa 8a3 2 74 rv ay Y 7 4 dae 3 y20r22 y0 4 vxy2y d5y4 6 x 2y 5x2 y 6 3 a 6y arcsen2z v3 6 yar yx 8 7 Y Tag Y r074 8 yaa ed 2 y A 9 yr1 ya2770 7 2 100 yVrt1Vr1271r1 Miscelanea 312 A curva y Lnx corta o eixox em A Determine o comprimento da curva AM sendo M o ponto de abscissa x Solucao Miscelanea 313 Seja f continua no intervalo 01 V t0 e suponha que existem constantes M 0 00 eaO0tais queV t0 ft Me Mostre que e ft dt convergente 0 para Solucao 235 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sendo f continua em 0 1 e pelas hipdrese da limitacao segue ft ft Mr Assim e ft eft e Mer 00 00 00 00 I ef tdt el ftdt ec M edt M e SM dt 0 0 0 0 M 00 M M I en l lim eW sam soa SoO 0 SoO mo0 SoO 00 Portanto e ft dt é convergente para s 0 Miscelanea 314 Determine a area da figura limitada pelas 1 Curvas y Lnxz 2 y 2Lnz y 0 2 Decada uma das partes do circulo x7y 2ax dividido pela parabola y 2axra Solugao 1 Curvas y Lnxz 2 y 2Lnz y 0 Resposta 4Ln2 1 2 De cada uma das partes do circulo x y 2azx dividido pela parabola y 2ax a mw 2 4 mT 2 5 Resposta 5 34 eS 34 Miscelanea 315 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela funao indicada 1 fx Lneoth5 xlab aO0 er 1 2 4 refi J feS 42 rely 3 2 Wa y3 aw a al l 4tl y 5t te0 1 5 cesent yecost t 0 7 Solugao 236 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 2b Resposta z Resposta Ln ab 1 fx Lncoth5 xlab aO0 er 1 2 4 refl 2 fieSp rely 1 Temse fx x rnd VIF POP e FoF k oI Aa Aa 2 1 1 12 59 L 2 sla 50 ic 7 3 ie 1 24 1 59 O comprimento do arco mende L 5 unidades lineares 111 3 2 1Wa y3 aw a al Resposta 3a Li 4tl y 5t te0 1 1 Resposta 5lv2 Ln1 V2 5 cesent yecost t 0 7 Resposta V2e 1 Miscelanea 316 Determine o comprimento do arco das curvas indicadas Solugao 2 1 Da curva y 37 Lnyz desde x 2 até x 3 2 Da curva y Vx x arcsenx 237 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 O comprimento total da curva dada por y arcsenx 1 2 9 2 3 4 O comprimento do arco da curva y 3 e 1 compreendida dentro da parabola 2 2 y 3 5 O comprimento do arco da curva dada por x t2sent2tcost y 21 cost 2t sent desde t 0 até t 7 Temse 2t cost yt t sent entao VJ at yt Vt cos t t4 sen2t 0 2 2 2 l 3 7 Je OP Opa Pat 5 0 0 0 1 O comprimento da curva mede 3 unidades lineares 2 l 6 O comprimento da curva y Ln1 x desde x 0 até x 5 2x 9 Ax 1 27 Temse y Tp 7 1 y 1 a2 G2 Comprimento pedido é 1 1 i 122 i 2 lx 1 2 b f Agate la Mae Ln Ln3 1 2 12 l2 0 2 0 0 O com primento mede 160 unidades lineares Miscelanea 317 Para os seguintes exercicios determine o comprimento de arco da curva descrita pela fungao Solugao t t 1 v Pe y Be desde a origem de coordenadas até o ponto mas z z 1 1 proximo onde a tangente é paralela ao eixox sent cost x Temse at oY t entao sent cost 1 Et 2 t 2 an VieP W OF y 238 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II d t A tangente sera paralela ao eixox quando oy yt 0 isto acontece quando t Zz dx xt 2 assim 1 t5 L V2O yt Pat Jaw t 2 Io 0 0 O comprimento da curva mede Ins unidades lineares 2 x acosttsent yasent tcost t 0 al Temse xt asent tcost sent yt acost sent t sent entao VJ at yt a2t cos t a2t cost at L Je P ypat atdt mt 0 0 0 aa O comprimento da curva mede unidades lineares Miscelanea 318 Calcule a area da superficie formada pela revolucao entorno do eixo x do arco da curva 6y V7a 12 entre os pontos x 0 e da intersegao da curva citada com o eixo x Solugao Miscelanea 319 Achar a area da superficie formada pela revolugao do bucle da curva x at 1 y 31 entorno do eizo x Solugao Miscelanea 3110 Determine a drea da superficie formada pela revolugao do arco da curva x a3 cost cos 3t y a3sent sen3t Ot entorno do 1 eixo x tt eixo y Solugao Resposta i 97a Resposta ii 247a Miscelanea 3111 Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao da regiao D em torno da reta L indicada Ly0 Datyl1Jr y Solugao Miscelanea 3112 239 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Det limit inferi I dx rmine um limite superior e inferior para I coer SUPE P 3 2cos x 0 Solugao Resposta 0020 I 0023 Miscelanea 3113 5 0 Mostre que dx dx Sugest Na ultima integral x 1 u x x 0 2 Solugao Miscelanea 3114 1 Estabeleca uma formula de recorréncia para a integral I fe sen7xdx Mostre 0 que I 0 quando n 00 Solugao Miscelanea 3115 Determine o centro de gravidade de cada uma das regides limitada pelas seguintes curvas Solugao 1 y342x227 os eixos coordenados limitam duas regides Determine o centrdide da regiao de menor area As regides sao Ray eR y342rx2 lx0 menor area Ro ay eR y342r27 023 maior Area 5 Temos AR ec 2x xdx 3 1 0 0 M ot gxdx oc 24 x 0dx 1 1 1 1 f 1 53 Me 5 fa 9P de 5 8 222 de 2 2 30 1 1 240 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo x My AR1 7 12 5 3 7 20 e y Mx m 53 30 5 3 53 50 Portanto o centro de gravidade esta no ponto P 7 20 53 50 2 yx2 4a2 8a3 e o eixo x regiao infinita 3 A regiao limitada pelo laco de y2 xx 42 4 A regiao limitada pelo laco de y2 x43 x 5 y arcsenx y 0 x 1 6 y2 4x2 x3 y 0 no primeiro quadrante 7 y x2 2x 3 y 6x x2 3 8 y x3 3x y x sobre o lado direito do eixo y 9 A regiao limitada por b2x2 a2y2 a2b2 no primeiro quadrante 10 y senx 0 x π y 0 11 y cosh x y 0 x 1 x 1 12 y arccos x y π x 1 Miscelanea 3116 Seja D a regiao do plano limitado pela parabola y x2 1 e a reta y x 1 Determine o volume do solido obtido pela rotacao da regiao D entorno da reta y x 1 Solucao Miscelanea 3117 A regiao limitada pelos graficos de y2 20x x2 20y gira entorno da reta 3x 4y 12 0 Calcular o volume do solido gerado Solucao Miscelanea 3118 Demonstre o Teorema de Pappus Solucao O volume V de um solido de revolucao gerado pela rotacao de uma area plana entorno de um eixo externo e igual ao produto da area A pela distˆancia d percorrida por seu centroide em uma rotacao completa entorno do eixo Sejam duas funcoes fx e gx contınuas e definidas no intervalo a b de modo que fx gx que delimitam uma regiao plana de area A O volume V do solido de 241 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II revolucao gerado pela rotacao desta regiao entorno do eixox é calculado usando o método b do anel resultando V r flfeyP gxde Por outro lado calcular a coordenada y do centroide de uma regiao planar delimitada pelas curvas fx e gx é usada a equacéo b b J Fx gx Fx gxdx JS F 9P dx i a A 2 ff glade Uma vez que A é a area compreendida pelas duas curvas Portanto a equacao de volume deve ser reescrita como V 2Ay O que completa a demonstracao Se o calculo se referir 4 coordenada 0 calculo é semelhante exceto que neste caso b v 2n 2 F2 glade Miscelanea 3119 Demonstre o Teorema de Guldin Solugao Miscelanea 3120 No ponto 33 da curva xy2x3y6 0 temos reta tangente e normal Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao entorno das reta y 3 da regido limitada pela tangente a normal e o eixo y Solugao Miscelanea 3121 No ponto de abscissa 6 da pardbola y 12x existe uma reta tangente Calcular o volume do sélido gerado pela rotagao entorno do eizo x da regiao limitada pela tangente tracada o eizo x e a parabola Solugao Resposta Miscelanea 3122 A fungao densidade de probabilidade da duragao de chamadas telefonicas de wma de terminada cidade é fx 05e onde x representa a duragao em minutos de uma chamada selecionada aleatoriamente a Qual é a porcentagem de chamadas que deve du rar de2 a3 minutos b Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar 2 minutos 249 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ou menos c Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar mais de 2 minutos Solugao A a porcentagem de chamadas que deve durar de 2 a 3 minutos esta dada por 3 a P2xr3 05e dx 0 1448 Corresponde ao 14 48 2 A porcentagem de chamadas que deve durar 2 minutos ou menos é 2 2 b Px2 seo dxz e 0 06321 Corresponde ao 63 21 0 0 A porcentagem de chamadas que deve durar mais de 2 minutos é CO c Pa2 05e dx 03679 Corresponde ao 36 79 2 Miscelanea 3123 Dentro de x anos um plano de investimentos estara gerando um lucro em razao de Rx 100 x reais por ano e um segundo plano a razdo de Rzx 220 2x reais por ano a Por quantos anos o segundo plano seré mds lucrativo b Qual o lucro excedente que se ganhard investindo no segundo plano ao invés do primeiro por um pertodo igual ao de a c Interprete o lucro excedente encontrado em b como a Grea compreendida entre as dos curvas Solugao Resposta a 12 anos Resposta b R1008 00 Miscelanea 3124 A base de um sélido é a regiao entre as pardbolas y x y 32x7 Achar o volume do sdélido se as secdes transversais perpendiculares ao eizo y sao tridngulos retangulos isdsceles cada um deles com hipotenusa sobre o plano xy Solugao Miscelanea 3125 O ponto de intersegdo das diagonais de um quadrado de lado varidvel movimenta se ao longo do diadmetro fixo de uma circunferéncia de raio 3 0 plano do quadrado permanece sempre perpendicular ao plano da circunferéncia entanto os vértices opostos do quadrado se movimentam pelas circunferéncia Achar o volume do corpo assim gerado Miscelanea 3126 Um pequeno fabricante de componentes eletronicos estima que o tempo necessario para que um operario construa um determinado item depende do numero de items construtdos por ele Se o tempo em minutos necessdrio para construir o nésimo item esta dado 243 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II pela funcao fx 20n 104 3 determine aproximadamente o tempo em minutos necessario para construir as seguintes quantidades a 1 b 4 c 8 d 16 Solucao Miscelanea 3127 Em uma una fabrica de radios depois de t horas de trabalho um operario produz Q1t 602t12 unidades por hora entanto que um segundo operario produz Q2t 50 5t unidades por hora a Se ambos chegam ao trabalho as 8hs quantas unidades o primeiro operario tera produzido mas que o segundo ate as 12hs b Interprete a resposta encontrada em a como a area compreendida entre as duas curvas Solucao Resposta a 12 244 01012023 Capitulo 4 FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 41 Espaco tridimensional Exercicios 41 ky Exercicio 411 Achar a distancia nao orientada entre os pontos P eQ e 0 ponto médio do segmento de reta que os une Solugao L dPQ V1F GHF OB 3 792 2 5 3 2 dPQ V4 2 3 3 25 11 zy 2 1 0 5 1 13 oe 5 1 V201 1 39 4 dPQ 255 1 5 4 z 9 2 2 2 2 42 PO ae 9 3 5 dPQ V33P OTPHOF2P 27 H21 5 5 Exercicio 412 Mostre que os trés pontos P1 1 3 Q2 1 7 e R4 2 6 sao os vértices de um triangulo retangulo e ache sua area Solugao 245 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observe dPQ 2 1 1 1 73 V21 dQR 4 2 21 67 V6 dPR 41 2 1 4 63 V27 dPQ dQR dPR V21x V6 321 Area A 37 a Portanto os pontos sao vértices de um triangulo retangulo de lados 21 6 e 27 A area 3V 21 do triangulo mede Beh unidades quadradas Exercicio 413 Determine se os trés pontos P311 Q721 e R642 sao os vértices de um triangulo retangulo e ache sua area Solugao Observe dPQ 3 7 21 141 v21 dPR 3 6 1 4 1 2 V27 dQR 6 7 42 21 V6 laPQ2 AQRle aPR V21x V6 321 Area A 37 a Portanto os pontos sao vértices de um triangulo retangulo de lados 21 6 e 27 A area 3V 21 do triangulo mede fe unidades quadradas Exercicio 414 Uma reta é tragada pelo ponto 642 perpendicular ao plano yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 10 unidades do ponto 0 4 0 Solugao O ponto de intersecéo da reta com o planoxy é 640 o vetor direcao da reta é uw 001 A equacéo daretaLl xyz 6 4 21001 teER Seja P642 t para algim t R um ponto da reta L de tal modo que a distancia dPQ 10 onde Q0 4 0 Logo dPQ 60424t10 t6t10 Portanto P648 ou P648 estes pontos estao fora da reta L 246 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 415 Resolva o exercicio anterior se a reta for perpendicular ao planoyz Solugao O ponto de intersegéo da reta com o planoyz é 042 o vetor direcao da reta é a 100 A equacéo daretaL xyz 6 4 21t100 teER Seja P6 t42 para algim t R um ponto da reta L de tal modo que a distancia dPQ 10 onde Q0 4 0 Logo dPQ 6t042210 t4V66t4V66 Portanto P4V642 ou P4V642 estes pontos estado fora da reta L Exercicio 416 Uma reta é tragada pelo ponto 4 20 ao plano perpendicular yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 8 unidades do ponto 020Uma reta é tragada pelo ponto 4 20 ao plano perpendicular yx Ache as coordenadas do ponto sobre a reta a uma distancia de 8 unidades do ponto 0 20 Solugao Exercicio 417 Prove que os trés pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sdo colineares PrimeiraSolugao Os trés pontos sao colineares se os vetores PO e PR sao paralelos isto é 1 POkPR 912K1824 k 5 Portanto os pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sao colineares Segunda Solugao A area do triangulo formado pelos trés pontos tem que ser igual a zero Sabemos que a area de um triangulo determinado pelos vetores UW PO ev PR é dado por 1 1 Area sl xV Area 59 1 2 x 1824 0 Portanto os pontos P3 2 4 Q6 1 2 e R12 3 6 sao colineares Exercicio 418 Ache os trés vértices do tridngulo cujos lados tem os pontos médios em 3 23 1 1 5 e 0 3 4 Solugao 247 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 419 Para o tridngulo com vértices em P2 5 3 Q1 7 0 e R4 9 7 ache 1 o comprimento de cada lado 2 0 ponto médio de cada lado Solugao Exercicio 4110 Mostre que toda equagao da forma x y2GurHyJzL 0 pode ser posta da forma x hyk zlPK Solugao Exercicio 4111 Mostre que toda equacao da forma Ax By Bz GxrHyJzL 0 pode h k 1 ser posta da forma w hy yay Gay 1 a C Solugao Exercicio 4112 Nos seguintes exercicios determine o grafico da equagao dada Ll oe ty28y46z250 2 ety4284y42z240 3 ty42xy32420 4 a ty4276290 5 a ty 278r41l0y424130 6 aty426r2y 424190 Solugao Exercicio 4113 Nos seguintes exercicios ache a equacao da esfera satisfazendo as condigées dadas 3 Ela contém os pontos 0 0 4 2 1 3 e 0 2 6 e tem seu centro no planoyx Solugao 1 Um diémetro é 0 segmento de reta tendo extremidades nos pontos P6 2 5 e Q4 0 7 O ponto médio do segmento PQ é 0 centro da esfera 64 042 547 xyz a 1 1 rVvV 52 2 6 v 62 Aesferaé x1y1z1 V62 Também podemos escrever na forma 7 y 2 2x 2y2z590 248 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Ela é concéntrica com a esfera de equacdo 2 y 27 2y8z90 Esta ultima equacao tem a forma x y 1 2 4 V26 Pelo fato ser concéntrica a nova esfera tem o mesmo centro podendo ter outro raio Assim 2x y1z4 R é a nossa esfera procurada De outro modo ety 4 2 2y824 17 R 0 3 Ela contém os pontos 0 0 4 2 1 3 e 0 2 6 e tem seu centro no planoyz O centro da esfera é da forma Cab0 Sejam os pontos P0 0 4 Q2 1 3 e S0 2 6 Logo dPCVP44R dQC2a137R dSC Va 266CR Exercicio 4114 Prove analitticamente que as quatro diagonais unindo vértices opostos de um paralele pipedo retangular se interceptam ao meio Solugao Sem perda de generalidade podemos considerar os vertices de um paralelepipedo como A000 Ba00 Cab0 D0 60 E00c Fa0c Ga bc e H0 bc Sao suas diagonais AG BH CE e DE a0 b0 c0 abe P 1 A é onto meio de AG é x Dee 2 5 3 5 a C a Cc P i BH é6 onto meio de é 2 p20 02 55 5 a C a Cc P i E é onto meio de C oC 2 re 5 5 Ponto meio de DF é 5 5 5 Podemos observar que as diagonais unindo vértices opostos de um paralelepipedo b retangular se interceptam ao meio no ponto 5 3 5 Exercicio 4115 Prove analiticamente que as quatro diagonais de um cubo tém o mesmo comprimento Solucao Sem perda de generalidade podemos considerar os vertices de um paralelepipedo como A000 Ba00 Cab0 D0 60 E00c Fa0c Ga bc e H0 bc Sao suas diagonais AG BH CE e DE O comprimento de AG 6 AG a 0 b 0 c 0 V2 2 4 e 249 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O comprimento de BH é AG a 0 0b c0 Va P 4 O comprimento de CE é AG 0a 06 c0 Ve4RP4C O comprimento de DF é AG 0 a b02 0c2 V P 2 Podemos observar que as quatro diagonais de um cubo tém o mesmo comprimento Va b c Exercicio 4116 Nos seguintes exercicios i 123v 4 3 1 w 5 35 e 216 Ache 1 6450 TW5z 7wI 50 7w 5ei 2 2uw 406W 27 2uwl 4e4 6w 2z 3 Ache os escalaresa e b tais que ai Vv 4 Ww 4 Ache os escalares a b e c tais que av bU cw Z Solugao Exercicio 4117 Para os seguintes pontos ache os cosenos diretores do vetor U PO e teste a resposta verificando que a soma dos seus quadrados é 1 um a P314 e Q724 b P265 e Q241 c P4 31 Q2 4 8 d P135 Q2 14 Solugao Exercicio 4118 Utilizar os pontos do exercicios anterior e ache o ponto R tal que a PO3PR b Pk 20h Solugao Exercicio 4119 Dados P324 eQ542 ache o ponto R tal que 4PO 3PR Solugao Seja Ra bc entao APO 3PR Se 48 26 3a3b2c4 323a9 8 6 3b 24 3c 12 Al 2 de onde a b c 12 3 41 9 Portanto R 12 3 3 250 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 4120 Dados P5 4 2 e Q3 2 4 ache o ponto R tal que 3 PQ 4 PR Solucao Seja Ra b c entao 3 PQ 4 PR 38 6 6 4a 5 b 4 c 2 24 4a 20 18 4b 16 18 4c 8 de onde a 11 b 34 4 c 13 2 Portanto R11 17 2 13 2 Exercıcio 4121 Para os seguintes pontos ache os cossenos diretores do vetor u PQ e teste a resposta verificando que a soma dos seus quadrados e 1 um 1 P3 1 4 e Q7 2 4 2 P2 6 5 e Q2 4 1 3 P4 3 1 e Q2 4 8 4 P1 3 5 e Q2 1 4 Solucao Exercıcio 4122 Ache uma equacao do plano satisfazendo as condicoes dadas 1 Perpendicular a reta que passa pelos pontos 5 1 2 e 6 2 3 e contendo o ponto 2 2 4 2 Paralelo ao plano x 4y 2z 1 e contendo o ponto 12 5 2 3 Perpendicular ao plano 2x 7y 3z 8 e contendo os pontos 1 2 4 e 1 2 3 4 Perpendicular a cada um dos planos 2x 3y 4z 10 e 4x 2y 5z 9 0 e contendo o ponto 4 1 2 5 Perpendicular ao planoxy contendo o ponto 2 1 1 e fazendo um ˆangulo com o plano 3x 2y 4z 8 0 com medida de arccos13 radianos Solucao Exercıcio 4123 Ache a distˆancia entre as duas retas reversas x 1 5 y 2 3 z 1 2 e x 2 4 y 1 2 z 3 3 Solucao 251 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 4124 Identifique geometricamente as superficies definidas pelas equacoes Solugao 1 Em R 2 7 4 é uma circunferéncia Em R é um cilindro 2 Em R 2 2y 9 éumaelipse Em R é um cilindro 3 Em R 227 y 0 sao duas retas Em R sao dois planos 4 Em R 22 27 1 é uma hipérbole Em R é um cilindro 5 oo Qy 277 46 6 274 2y 22 10 6 um elipsoide 7 27 2ry 27 0 6 uma uma esfera de raio r 1 e centro 100 8 y4y4 272006 9 atyz506 2 x 10 y26 y77e 2 x ll z 76 z7e 2 2 2 x y Zz 12 416 1 69 Exercicio 4125 Identifique e faca um esbogo grafico de cada uma das seguintes superficies quadricas 1 2 42y21 20 w29 3 ety 27 22 4 y42 5 z4P e 4y 6 y2 z2y 7 4 8 2 42y 27 1 9 ey29 r2 Solugao Exercicio 4126 Represente geometricamente o sdlido S definido pelas condicoes 1 w4yr2227y 2 rty4 e xy z6 3 ety 1 e 0zay 4 0z2 e ry2l 252 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solucao Exercıcio 4127 Faca um esboco da secao transversal transversal do cilindro dado no plano indicado 1 z ex no planoxz 2 x y no planoxy Solucao Exercıcio 4128 Para cada um dos seguintes exercıcios ache uma equacao da superfıcie de revolucao gerada pela rotacao da curva plana dada em torno do eixo indicado Faca um esboco da superfıcie 1 x2 4z2 16 no planoxz em torno ao eixoz 2 x2 4y no planoxy em torno ao eixox 3 9y2 4z2 144 no planoxz em torno ao eixoz 4 y2 z3 no planoyz em torno ao eixoz Solucao 253 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 42 Funcoes de varias variaveis Exercicios 42 ky Exercicio 421 Determine o volume em funcao deh er 1 Um depdésito de graos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e rato r com teto cénico 2 Um deposito de gas tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto uma semiesfera Solucao 1 Suponhamos a altura total do depésito seja h e a altura da parte conica x h entao 1 1 o volume é dado por V mrh x gtr e istoé Vhrx gir 3h 2r 2 Suponhamos a altura total do depésito seja h e a altura da parte esférica r h entao 4 1 o volume é dado por V mrh r gn isto é Vr h arh 3 Exercicio 422 Expressar 0 volume z do cone como funcao de sua geratriz x e sua altura y Solucao Exercicio 423 Expressar a area S do triadngulo em funcao de seus lados x y e z Solugao Exercicio 424 Determine os valores das fungdes arctanx y 1 V3 13 lL z para x y arctanx y 2 2 200 gent9 nara x y 3 gay a para H 2 y 2 2 2y1 x1y2 Solucao 254 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 425 Dada a funeéo Fx y flxgy gle Fy fxygxy Achar Fa Em particular considerar ft t gt t e calcular Fa a a Solugao Exercicio 426 Seja a funcao f de duas varidveis x e y O conjunto dos pares ordenados da forma tY tY P z tal que z se e somente se fx y ry cry Determine a f34 b fxy fayfzy 4 fla y e o dominio de f f a imagem de f Solugao Exercicio 427 Seja a funcao g de trés varidveis x y e z O conjunto dos pares ordenados da forma P w tal que w x y 22 4 se e somente se gx y z Vr ty 224 Determine a g1 1 1 b gza 26 c2 c laxy 2 gx2 y 22 d odominiodeg e aimagemdeg f Trace um esbogo mostrando como um sélido sombreado de R Solugao Exercicio 428 Nos seguintes exerctcios encontre o dominio e a imagem da funcao f e trace um esboco mostrando uma regido sombreada em R como o conjunto de pontos do dominio de f Solugao 1 fx y Lnzy 1 20 ft y V92 9 3 fx y arcsenx y 4 fx y Lnx y 5 fz y V162 y 6 fz yVury1 7 fx y V2 4y 16 8 fx y Vu 3y 1 9 fz y V2 y 16 255 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II uy 10 fx y tY LL fe 9 y y 16 4a 4y 12 fx y arcsenx y Exercicio 429 Determine o dominio e a imagem para cada uma das seguintes funcoes Solugao LYyz 1 x Y 2 I ys 2 uUytzZ LYyYz 2 fxy z tY 3 fx y 2 16 4a y 42 4 fx y 2 z arccosx 1 y 5 Fx y 2 6 fay 2V9vy2 7 ft y 2 yvz2 y 8 fa Y 2 zlexp Exercicio 4210 Para cada um dos seguintes exercicios encontre 0 dominio e imagem da fungao f e trace um esboco do grafico Solugao 1 fx y 9a 4 2 fx yV2ry 3 fx y 4y 2 4 fx y 16 42 y 5 fx y 362 y 6 fz y9ay 256 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 4211 Nos seguintes exercicios trace um esbogo do mapa de contorno da fungao f mostrando as curvas de ntvel de f para os valores de k dados 1 A fungdao do exerctcio 52 para k 10 8 6 5 e 0 2 A fungao do exerctcio 54 para k 8 6 4 2 e 0 3 A funcao do exercicio 55 para k 6 5 4 3 21 e 0 4 A fungao do exercicio 58 para k 16 9 4 0 4 9 e 16 5 A fungao do exercicio 56 para k 9 8 7 0 6 e 12 6 A funcao f para o qual fx y 42 y para k 8 6 4 2 e 0 r3 7 A funcgao f para o qual fx y Tg bara k 4 21 12 14 0 e 14 Yy Solugao Exercicio 4212 Sao dadas as fungoes f e g Determine hx y seh fog Determine o dominio de h Solugao Solugao 1 ft arccost ga y 422 y 20 fte ga y aLny 3 ft arctant ga y Vy 2 257 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 43 Limite de uma funcao Exercicios 43 ky Exercicio 431 Para os seguintes exercicios estabeleca o limite encontrando 6 0 para qualquer 0 de modo que a definigao de limite seja valida Solucao 1 Queremos que x y 8 2 6 Sabemos que le 3 V3P y 2 6 ey 2 V3P y 2 6 logo lf x yL 874y17 3a34y2 3x34y2 3646 76 Portanto lim 324y 17seesomente se Ve 0 4d tal que 874y17 yo sempre que z y 32 6 2 Queremos que z y 2 4 6 Sabemos que le 2 V2P y4P 5 ely Vw 2 y4 logo lf x yL 53y22 5a243y4 5a23y4 5636 86 Portanto lim5a3y 22 se e somente se Ve 0 4d 5 tal que 523y22 yd sempre que z y 24 d 5 3 Queremos que x y 24 6 Sabemos que 2 V39 Fu 5 e ydiV3 sus a 258 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suponhamos 6 1 entao x 2 1 e y4 1 de onde x y 2 6 logo fx yL a2ayy4 xy2ey2 xy2 x 2 y 4 26x y 2 266 e Portanto lim a 2xry y 4 se e somente se Ve 0 36 tal que x 2ry y A e sempre que a y 2 4 6 onde 6 min 1 oh 4 lim22 y 22 Queremos que x y 3 2 6 Sabemos que le 3 V3P y 2 6 ey 2 V3P y 2 6 Suponhamos 6 1 entao a3 1 e y2 1 de onde x3 7 e jy2 5 logo fx yL 2ay 22 2a3 y2 223a3y2y2 14x 3 5ly 2 19 e Portanto lim 2xy 22 se esomente se Ve 0 46 tal que 27 y 22 sempre que Il29 32 6 onde 6 min 1 ot 5 limx y 0 Queremos que zy 1 1 6 Sabemos que le1V1Py1d ec lyi V1Py1P 6 Suponhamos 6 1 entao ja1 1 e y1 1 de onde x1 3 e y1 3 logo fy L x y 0 1e1yyDIs x Ife 1 lyt 1 ly 1 3a 13ly1 65 Portanto lim x y 0 se e somente se Ve 0 46 tal que x y 0 sempre que 11 6 onde 6 min 1 ot 259 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 6 lim 2 y 4x 2y 18 Queremos que z y 3 1 6 Sabemos que lz 3 Vx 3 y1d e ly ti 3y16 Suponhamos 6 1 entao x3 1 e y1 1 de onde x7 11 e y3 5 logo fxy E u y de 2y 18 3 7 y y3 x 3a7ly lly 3 123 5y1 166 e Portanto lim x y 4x 2y 18 se e somente se Ve 0 36 tal que a y422y18 sempre que z y 3 1 6 onde 6 min1 at Exercicio 432 Calcular os seguintes limites Ln1 ty 4 1 tim FEE i ee 3 lim wt yoo kL lauty a 2 2 1 2 2 4 lim 5 lim jee 6 lim ae mel ty mele mt ary 1 2 7 lim 2sen 8 lim 9 lim aresenry 2 aed y 20 er yt arctan3ry 6 Solucao Exercicio 433 y 2 ay Seja fx y S Verificar que lim fx y 0 ja fx y Pao at ficar q nm FC y Solucao Exercicio 434 y 0 Seja fx y r se ae Verificar que o limite lim fx y nao existe 1 se r0 v0 Solucao Exercicio 435 260 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Nos seguintes exercicios encontre o dominio da funcao f e trace um esboco do grafico 1 fa y 42 8y 2 fx y16a2y 3 fx y 100 252 4y 2 se Ay 4 ftyVaty 5 fla yV10a2y 6 fx y 0 se ry Solucao Exercicio 436 Nos seguintes exerctcios sao definidas as fungoes f eg Encontre hx y seh fog bem como o dominio de h Solucao 1 ft arccost ga y Va y1 2 ft arcsect ga y Vy 2 Exercicio 437 Para os seguintes exercicios verifique que para a funcao f dada o limite lim fa y yO nao existe Solucao 1 Sejam Si tyER yxeSzy ER y2 bar dara 2 lim 5 5 im oe 3 230 ge Sy foe we 5x 3 dary Ba 4 lim ED lim ELA 5 20 a OY fog 5x O limite nao existe 2 Sejam S ayR ykr KER eQeyeR c Vy i x i x i x 1 im lim lim ee i a il xl1k 1F 2 2 a a ae a ee ae O limite nao existe 261 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 x y3 lim x0 y0 xy9 x2 y62 lim x0 xS1 xx9 x2 x62 lim x0 xS1 x10 x2 x62 0 lim x0 y0 xy9 x2 y62 lim x0 xS2 y3y9 y32 y62 lim x0 xS2 y12 2y62 1 4 O limite nao existe 4 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 y x2 lim x0 y0 x2y2 x2 y43 lim x0 xS1 x2x2 x2 x43 lim x0 xS1 x4 x2 x43 lim x0 y0 x2y2 x2 y43 lim x0 xS2 x2x4 x2 x83 lim x0 xS2 x6 x6 3x12 3x18 x24 1 O limite nao existe 5 Sejam S1 x y R2 y x2 e S2 x y R2 x y lim x0 y0 x2y4 x7 y7 lim x0 xS1 x2x24 x7 x27 lim x0 xS1 x10 x7 x14 0 lim x0 y0 x2y4 x7 y7 lim x0 xS2 y2y4 y7 y7 lim x0 xS2 y6 2y7 O limite nao existe 6 Sejam S1 x y R2 y x e S2 x y R2 y x2 lim x0 y0 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 lim x0 xS1 x4 x4 2x4 x2 x22 lim x0 xS1 4x4 x2 x22 1 lim x0 y0 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 lim x0 xS2 x3x2 x2x4 2xx6 x2 x42 lim x0 xS2 x3y x2y2 2xy3 x2 y22 0 O limite nao existe Exercıcio 438 262 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para os seguintes exercicios calcule o limite indicado usando teoremas apropriados 1 lim 3a ey 247 2 lim yva 2y y3 yo ey 3 lim 4 lim 407y xyz 12272 7 Cosa seny woe Z4 5 lim y a 6 lim pneu sane 29 U 2 28 seny 2 20 yo 7 lim e tye 27 8 ey e e e z0 Solucao Exercicio 439 Para as seguintes funcoes f determine se o limite lim fx y existe yO x 3y wy e ay 1 ft y sa 2 fx y 1 3 fx y o 8 fle 8 3a2y Qay roy aty 4 fey 5 fees 6 fey 4 fz y ay fz y Ppp fx y Pip ry xy 7 It 9 e 8 I 0 aa 9 fx y Solucao Exercicio 4310 Representar graficamente as funcoes e estudar a continuidade na origem de coordena das ry xy Vea D senx y 3 Wy aa SE xy A 00 f00 1 4 fey YZ se xy 00 f00 0 iY 72 4 y2 oY Exercicio 4311 Um paraleleptpedo retangular tem as seqguintes dimensoes a 2mb 3m ec6m Achar aproximadamente a magnitude em que varia o comprimento da diagonal se a aumenta em 2cm b em lcm ec diminue em 3cm Solucao 263 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Lembre um metro equivale a 100 centimetros Inicialmente com essas medidas temse que a diagonal d é d 200cm 300cm 600cem 700 cm Depois da mudanga a nova diagonal mede d y200cm 2cm 300cem lem 600m 3cm 487 81 cm 698 44 cm A diagonal diminue em 156 cm Exercicio 4312 Determine os pontos de descontinuidade das fundes 1 f 2 f LY 2 XY z rye Y rp ef etipra 1 1 3 Me Bae 4 M0 Sa ay 1 5 M2 aa a 6 fz y z Solugao Exercicio 4313 Determine os pontos de descontinuidade das fundes 1 1 Lge s et x 1 y1 Sena seny z Inl oy 1 xy 1 AW y k gp 4 6ns sg S senna sen7y x yy x x y 1a y 1 Solugao Exercicio 4314 Um cone truncado de altura h 30cm tem como ratios R 20cm e r 10cm Como varia aproximadamente o volume do cone se R aumenta em 2mm r em 3mm e h diminue em Imm Solugao Exercicio 4315 Determine o volume em funcao deh er Solugao 264 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Um depésito de graos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto conico 1 O volume do coné de raio r e altura s é dado por V gts eo volume do cilindro de altura h e raio da base r é dado por V mr7h aqui 0 s r 1 O volume do depésito mede V mrh s gts mr ae Portanto volume do deposito mede a 8h 2s unidades ctbicas 2 Um deposito de gas tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r com teto uma semiesfera 4 O volume da esfera de raio r é dado por V rue e o volume do cilindro de altura h e raio da base r é dado por V rr7h 14 O volume do depésito mede V arh 5lg7l 2 Portanto volume do deposito mede mrh 31 unidades cubicas Exercicio 4316 Seja x R Uma fungdao fx e dita homogenea de grau n Z se para todo t 0 ftx t fx Verifique que as seguintes fungdes sao homogéneas e determine o grau Solucao 1 fvy 32 5ryy ftaxty t325ryy t fx y homogénea de grau n 2 2 fry ay fltety G5 FF ey homogénea A xry x x omogénea de grau n 2 3 fxy V2 sen ftaty tirt yesen t fxy homogénea x x de grau n 1 x y z 9 y homogénea de grau n 2 5 fey2 ftastytz Fa y 2 homoge LY 2 xtytz xyz homogé J ry2 J ryt2 J nea de grau n 1 5 fxyz we W f ta ty tz ae Pf xy z homogénea de grau n 2 265 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 4317 Seja f Rn Rm Prove que f e contınua se e somente se para todo o aberto A Rm se tem f 1A Rn aberto onde o conjunto f 1A e definido como sendo f 1A x Rn fx A Generalize este resultado para funcoes definidas num subconjunto arbitrario de Rn Solucao Exercıcio 4318 Mostre que a funcao u x y x y para x 0 y 0 pode se aproximar a qualquer limite dependendo como se aproximem a zero x e y Dar exemplos que mostrem as variacoes de x e y para que 1 lim u 1 2 lim u 3 Solucao Seja S x y R2 y kx k R lim x0 y0 x y x y lim x0 xS1 x kx x kx lim x0 xS1 x1 k x1 k 1 k 1 k Se k 0 segue lim u 1 Seja S2 x y R2 y 1 2x lim x0 y0 x y x y lim x0 xS2 x 1 2x x 1 2x lim x0 xS2 3x x 3 O limite nao existe 266 01012023 Capitulo 5 51 Derivadas parciais Exercicios 51 ky Exercicio 511 Determine as primeiras derivadas parciais para cada uma das seguintes funoes Solugao O O 1 fz y2seny OF Qeseny OF 2xseny cosy xsen2y Ox Oy O O 2 fxy2 al yet 5 Qyr Lux 2 22 2 22 3 wfry arctan 353 tarw Zap a4y tan w ao y Ow Ow y x y 2 22 2 2x tan w t 2a y tan w sec wa ee Ox xa 42 Py por outro lado Ow Ow y xy y tan w 2x y tan w sec ey y By pP Of y Of x 4 t so SS Ss fx y arctanxy Ox 1 ay Oy 1427y 267 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 5 2 senLnzy O 1 O 1 0 SL 2senLnzycosLnzy Le sen2Lnzry Ox x Or O 1 O 1 e a 2senLnzy cosLnzy Fi a F sen2Lnzy 0 0 6 weVeepee OL FL Ox Va yP 2 Oy VaeryPte Of dz P P y Of 1 of x 7 t S Ss J y are anT Ox ry Oy xy 8 weetleely Ow ely dw tv el dw el Ox y Oy y Oz y 0 1 0 1 9 fxy aresenay Of of os Ox 1xy Oy V1ayP 10 wHatYt Low 22 y 2Lne 1 0 24 24 2 a e oelLnr et ae gt tr tl Eng ta ty 22 w Ox x x 1 oO 0 Sadying Ss S dye Lae w Oy Oy 1 Ow 2zlnz Ow QeaP tht Ene w Oz Oz x1 Oz 1 Of 1 We LnInr1Lnfy1 Sa S nye nx 1 ny 1 Ox axi Oy y1 2 weH ryz Of yale y 27 2xyz yzly 2 27 w y 2 Ox x y 27 x y 27 of xzx 27 y of yxy 2 2 Oy a y 27 Oz a y 27 rety2 Of aety ey2 aety 2 13 fa yaye an Ue Y aye TY 2x7 ye TY 1 22 0 0 oF ye 1 4 22 a veh 1 2g 268 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 x Of 2 x x x 14 zcosee an 3cose esene e e xv O O ol 3e cose esene e s 3e cose esene e 15 fx y x y arcsen J ly Of OF Or SyPa Oy Ly f y 2 16 fle yzeVee OF me EN OF ye x e i SS EES y Ox a2y Oy Vx 4 i a a 17 z pew OZ esen OZ eseny Ox Oy 18 w a yLny2 y 2 Exercicio 512 O O O Seja fx y z apie verifique a igualdade x u5 ae f Solucao Temse fx y 2 ta emse fx y 2 ss entao a etyt2 a ee ee a 2 2 2 Ox a y 27 Ox x y 27 0 2 0 2ry Of ery OF Pry 52 Oy a y 27 Oy a y 27 0 2 0 2x2 Of ere OF 53 Oz a y4 27 Oz a y 4 27 Somando 51 52 e 53 temse a a a 2 92 92 992 ox pf yy OF OF mel ay a aay Pe Ox Oy Oz a y 27 x2 y2 22 a2 4 y2 2 Exercicio 513 2 a ae Ow Ow Oz 2 Determine se a fungdo w xzyx zy verifica que ayz Ox Oy Ox Solucao 269 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabese que vx y4 2 2 y 22 2xy xz yz Por outro lado O O O ae 2 Qyz oy x 2zy 2rzy O O O de onde 30 By Oe 2 2yx x 2zy Qezy ay 42 Sim a funcao verifica a igualdade Exercicio 514 OZ Oz Sejaz414 274 1y2 Determine yo 0 e 5 0 0 t y Solugao Sejazfry 214241y logo z00 V2 e Oz Oz y 22 24 e 22 Ox Oy 1y Oz Oz 0 Assim 2V2000 e 2v7200 9 an ay Te Zz Zz Portanto 0 0 0 e 0 0 0 ortanto 50 0 0 50 0 Exercicio 515 1 9 Of Of Seja fx y Ln 2 y 5 Lnx y mostre que a tua 1 t y Solugao Temse fx y z Lnx 4 y entao Of 1 Qu Of x Ox 2 a 7P Oar x y 54 Of ly of y Oy 2 xy Oy ay Somando 54 e 55 temse 0 0 2 x Ox Oy y xy Exercicio 516 Para cada uma das fungoes calcule o determinante We Un Uy Vy Solugao 1 ou costar v senta U cos2 Uy cosy U y y 270 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II senz Uy seny logo Un Ux cosx senx 5 cos xseny senz cos y senx y Uy Vy COs y seny 2 Temse u coshy uy xsenhy v senhy vy xcoshy 2 Ux h h We Me yy CSN Se x cosh y xsenhy 21 x Uy Uy xsenhy xcosy Exercicio 517 O O O Dada a funao w sen2 4 verificar que co y 2 0 Zz Ox Oy Oz Solugao Temse O 1 O Oe gg ZEY e a co ZY 56 Or 2 z OL z z Ow 1 xy Ow y xy 57 Oy 2z cost Zz Or 2 cost Zz 57 Ow x y xy Ow x y xy De cos ta cos 58 Da soma das igualdades 56 57 e 58 temse a igualdade procurada Exercicio 518 O O Dada a fungao fx y a verificar que 22t yet fx y xy Ox Oy Solugao O O 2 Of yletyty Of ty 59 Ox x y Ox y O O 2 af astm Ofte 20 Oy x y Oy y Na soma de 59 com 510 of of vy yeu vy Bo YR Soy Hoa FT SE YY Ox Oy ay xy aty Exercicio 519 O O O Dada a fungao w Wayne verificar que or 5 a w0 Solugao 271 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Podemos escrever na forma xy yz xzw z de onde y zw xy yz xzw x 0 x w x y zwx xy yz xz x zw xy yz xzw y 0 y w y x zwy xy yz xz x yw xy yz xzw z 1 z w z z x ywz xy yz xz na soma xw x yw y zw z z x ywz x zwy y zwx xy yz xz xw x yw y zw z z w2xz yz yx xy yz xz w Portanto xw x yw y zw z w 0 Exercıcio 5110 A area A de um retˆangulo de base b e altura h podemos expressar na forma Ab h b h Determine A b e A h e dar uma interpretacao geometrica para cada resultado Solucao A b h significa a taxa de variacao da area A em qulquer ponto b h na direcao do eixob Isto e a rapidez com a que esta mudando b A h b significa a taxa de variacao da area A em qulquer ponto b h na direcao do eixoh Isto e a rapidez com a que esta mudando h Exercıcio 5111 Seja u Ln1 x y2 z2 Calcular ux uy uz para x y x z 1 Solucao Temse ux 1 1 x y2 z2 uy 2y 1 x y2 z2 uz 2z 1 x y2 z2 Assim ux uy uz 1 2y 2z 1 x y2 z2 Quando x y z 1 segue que ux uy uz 5 4 Exercıcio 5112 Seja fx y x3y y2x Determine f x f y f x f y Solucao 272 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O O Se fx y xy yx entao of 327y y of x 2yz logo Ox Oy Of Of 2 2 3 Of Of 2 2 3 4 82y 2yxr 82y 2 dnt By 32y y a 2yx dx dy 3ay y a 2yx Of Of 5 a 3 2 42 Ox Oy x d3xy2ryy Portanto of Of xy3x4 Tx 2y Ox Oy Exercicio 5113 y Qual o dngulo que forma a tangente a curva no ponto 2 4 5 e na y4 diregao positiva do eixo das abscisas Solugao Oz Temse que 7a 2 4 5 1 logo o angulo que forma a tangente 4 curva 6 a 774 x Exercicio 5114 212 Qual o dngulo que forma a tangente a curva 1 tery no ponto 1 2 V6 e na direcao positiva do eixo das abscisas Solugao Oz y Oz 2 Temse que assim no ponto 1 2 V6 temse 1 2 V6 ee Oy 122y ay v6 2 logo o Angulo que forma a tangente a curva é a arctan Ve Exercicio 5115 O Seja fx y aa y e9 quando xy 4 00 Calcuar 0 1 xv Solugao 1h0 f10 Temse PF 110 lim f h 0 FUL 0 Ox h0 h 1 mal h2 02 sen1h0 1 1 hy 1 ag LEM AP O tg EAP H1 h0 h h0 h Of Portant 10 3 ortanto 5a Exercicio 5116 Verificar que as seguintes funcdes sao homogéneas Achar seu grau Solugao 273 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 Sejamt ER t0e fz y ax by temse ftx ty ata bty Pax by t fa y E homogénea de grau m 2 2 2 ayx bxy 28 tER t40 y temse ejam ZO0e fx y rty atytx btxty 4 ayx bry 9 ta ty ae 8 Pe Ef ez ft ty TE fle y E homogénea de grau m 2 3 Sejam te Rt40e fz y vx 6y4 temse f tx ty 5f y Vte4 6ty4 Wt x4 6yt Vt fa y 4 E homogénea de grau m 3 212 4 Sejam t R t 0e fz y Ln 4 temse ta ty vty 6 tx ty Ln Ln fz Fee ty bn tn SE 0 Flow E homogénea de grau m 0 5 Sejam t R t 40e fa y z 50rvyz temse fta ty tz Stax V ty Wtz St Vay Pz t fz Y z E homogénea de grau m 1 3 Sejam t Rt 40e fa y z 5rvy WZ temse f ta ty tz 5VtxV ty Vtz dt VarVyPwz t fe y 2 E homogénea de grau m 1 y3 6 Sejam te Rt40e fz y Faw temse ta ty 3tz 4 tx ty tz itt Natt Y 274 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II E homogˆenea de grau m 1 Exercıcio 5117 Verificar que z a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 e z a1x b1yαa2x b2y1α sao funcoes homogˆeneas logo verifique o Teorema de Euler em cada caso Solucao Sejam t R t 0 e z fx y a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 temse ftx ty a1txα1ty1α1 a2txα2ty1α2 t a1xα1y1α1 t a2xα2y1α2 t fx y E homogˆenea de grau m1 Por outro lado xz x a1α1xα1y1α1 a2α2xα2y1α2 e yz y a11 α1xα1y1α1 a21 α2xα2y1α2 A soma x z x y z y a1xα1y1α1 a2xα2y1α2 1 fx y m fx y Logo satisfaz o teorema de Euler Sejam t R t 0 e z fx y a1x b1yαa2x b2y1α temse ftx ty a1tx b1tyαa2tx b2ty1α tαa1x b1yαt1αa2x b2y1α t fx y E homogˆenea de grau m1 Por outro lado xz x αa1xa1x b1yα1a2x b2y1α 1 αa2xa1x b1yαa2x b2yα yz y αb1ya1x b1yα1a2x b2y1α 1 αb2ya1x b1yαa2x b2yα A soma xz x yz y αa1xa1x b1yα1 αb1ya1x b1yα1 a2x b2y1α 1 αa2xa2x b2yα 1 αb2ya2x b2yα a1x b1yα xz x yz y αa1x b1yαa2x b2y1α 1 α1 αa1x b1yαa2x b2y1α xz x yz 1 fx y m fx y Logo satisfaz o teorema de Euler Exercıcio 5118 275 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para que valor da constante α a funcao z x3 αxy2 satisfaz e igualdade 2z x2 2z y2 0 Solucao Temse z x3 αxy2 entao z x 3x2 αy2 z y 2αxy 2z x2 6x 2z y2 2αx 2z x2 2z y2 0 6x 2αx 0 x 0 ou α 3 Satisfaz para α 3 Exercıcio 5119 Seja z 1 y2 α2x2 Mostre que 2z x2 α22z y2 Solucao Temse z y2 α2x21 z x 2α2xy2 α2x22 2z x2 2α2y2 α2x22 8α4x2y2 α2x23 2z x2 2α2y2 α2x2 4α4x2 y2 α2x23 2α2y2 3α2x2 y2 α2x23 511 Por outro lado z y 2yy2 α2x22 logo 2z y2 8y2y2 α2x23 2y2 α2x22 α22z y2 2α2y2 α2x2 8α2y2 y2 α2x23 2α23y2 α2x2 y2 α2x23 512 2y2 α2x2 2y2 α2x2 2y2 α2x2 2y2 α2x2 276 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 52 Derivadas de ordem superior Exercicios 52 ky Exercicio 521 Determine as equacgodes do plano tangente as superficies no ponto P indicado Solucao 2 y 83 a y 1 3 P225s 34 5s 9 1g PU 3G Seaue 9 16 Oz ou 4 Lt o2 2 dx 9 Oy 8 dclp 9s Oyle 4 ig 4 1 4 1 83 i 4 x 2y2 01 A equacao do plano pedido é 16x 9y 36z 133 0 2 zakny P1 1 0 Oz Oz Oz Oz S arL Sat S5 S 0 Cone SY Ox ny Oy sy Ox P OyP i jk m1 0 0011 O1ly11z00 011 A equacao do plano pedido é yz10 Oz x 72 72s se 2 3 z 42y P1 1 V2 Temse On Jin eae Oz y Oz 1 Oz 1 OY ogy OH A 82 Oy V4 2 y Ox P J2 OylP J2 ij ek 1 5 10 1 1 1 1 i 1 3S r1y14 1z V2 0 v2 FR Zs Va aw 1 0 1 V2 277 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A equacao do plano pedido é yV2z40 4 z 327 y22 P1 29 Segue z32y2 5 Oz Oz Oz Oz 60 S wy S 6 S 4 Ox Oy y Ox P Oy P i jk 1 0 6 641 3 6x14y2 41z9 0 01 4 A equacao do plano pedido é 6 4y250 5 2 e cos3y P1 e Segue zecos3y Oz Oz Oz Oz 92 3y 3e7 3 2e 0 An e cos3y Dy esen3y Aap e By p ij k w 1 0 2e2 2e01 2x1 0y ze 0 0 1 0 A equacao do plano pedido é 2e2 z e 0 6 zLn24y P3 4 Ln5 Segue zLnry Oz x Oz y 3 4 Ox a2 y2 Oy ar y Oxlp 25 Oyle 25 ij k a1 0 824 2e3Sy4 41215 0 25 25 257 25 25 01 A equacao do plano pedido é 3a 4y 25z 251 Ln5 0 7 zesenty P2 10 Segue zesenry Oz ry Oz Seosry 0 esent Te cost 7e Ox Yn Oy 4 Oxp OyIP 278 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II ij ok m10 0 wv07e1 Oa24mey1z0 0 0 1 7e A equacao do plano pedido é mey z7e 0 8 zxy2Lnzy P1 12 Segue zxy2Lnry Oz 2 Oz 2 Oz Oz Fauj4e Suiy s 3 3 Ox x Oy y Ox P OyP ij k m1 0 3331 3413y141220 0 1 3 A equagao do plano pedido é 3 4 3y z40 9 24 2 yp PX h 4 Segue r wp Uf er yy pe J2 J2 g po Oz x Oz ay oe 1 oe ave Ox oe Oy ht drip s Oyle ij ik avV2 a aV2 a m1 0 1041 S 1e4yh 12 0 4 S50 e Su e 0 1 ave h 2 A equacao do plano pedido é v4 ey 2 2ya0 Exercicio 522 Determine os pontos da superficie onde o plano tangente é paralelo ao planoxy Solugao ey 2 x Oz Qy Oz Oz x Ro 424221 S 4225 0 2422 0 Logo a 9d 9 1 on 9 ay 18 Ox dz Oz J tor normal 7 é seu ve Oy Qz ij ok ct Y 1001 0 0 n 1 0 4z oS 9x 0 9 Xv O01 279 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Os pontos procurados sao 0 0 1 e 0 0 1 Oz Oz 4 2 zseny 0 e cosy seu vetor normal 7 é Ox Oy td 2k 1 m10 0 0 cosy 1001 y CRE keZ 0 1 cosy T on Os pontos procurados sao A 3 2kr 1e A 2k 1 onde A é constante ek EZ O O 38 zryeytery ry23r2y e a 7712 2y seu x y vetor normal 7 6 7 xy2 324 2y 21x2y 1001 ry2322y0 a1x22y 0 513 3 0 Resolvendo 515 os pontos procurados sao 0 y 0 a 0 0 e 5 e 0 we R yeER 3 3 Oz 3 Oz 3 4 zaxl2Qry8y W321l2y e 24y 122 seu vetor normal Ox Oy n é ij k m1 0 32212y 32 12y 24y 12x 1 0 0 1 0 1 24y 122 r4y on r24y S 4yHr4y yy10 Os pontos procurados sao 0 0 0 e 2 1 8 Exercicio 523 Mostre que todo plano tangente ao cone x y 2 passa pela origem Solugao Calculo do plano tangente Oz Oz Oz Oz y Q22 ce wax S2 Ox Or 2 Oy Oy Zz 280 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Calculemos 0 vetor normal no ponto 29 Yo Zo ijk x w1 0 m2 1 0 Z O11 Z0 A equacao do plano tangente é x y x 29 y yo 2 2 0 0 0 ror 5 yoy Yo 202 2 0 2xr yoy 27 0 Como o ponto 0 0 0 satisfaz a equagao do plano entao passa pela origem Exercicio 524 Determine o adngulo entre a reta L 2 5 12 44 1 3 te Rea normal a esfera x y z7 121 no ponto de intersecao da reta e a esfera Solucao Determinemos o ponto de intersecao da reta com a esfera 24 4t 54 123t 121 3t20 t1 t2 Quando t 1 a reta e esfera se cortam em P2 6 9 Quando t 2 a reta e esfera se cortam em Q6 7 6 Oz A calcular o plano tangente em P2 69 z 1212y logo in x x Oz y OZ 2 Oz 2 ce Assim e 12122y2 Ox 121 x y Ox P 9 OylP 3 O vetor direcgéo a reta L é U 4 1 3 o vetor normal ao plano tangente no ponto Pé7 e seja a o angulo entre estes dois vetores ij ik 5 5 zl10 2 21 3 nv 13 n 9 M as 35 COS a S SOF TT 2 93 aiel 1126 0 1 3 O angulo de int ao da ret f to P2 69 é S angulo de intersecéo da reta e esfera no ponto 6 é a arccos 6 P 11726 Para o ponto Q6 7 6 temse que o angulo de intersecéo da reta e esfera nesse ponto 13 é 6B arccos p al Exercicio 525 281 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Em que pontos da superficie x 4y 1627 2xy 12 os planos tangentes sao paralelos ao planoxz Solugao Exercicio 526 Determine um vetor tangente dé curva de intersecdo das superficies x 3azyz 1 e 3xry 2yz60 no ponto 1 2 0 Solucao Exercicio 527 x 5x Mostre que as superficies z ez se interceptam en angulo 4 y V reto no ponto 1 2 1 Solugao Exercicio 528 Mostre que o plano tangente a esfera x y z 1 no ponto Pox0 Yo 20 tem por equacao xXy YYo 2 1 Solucao A esfera podemos escrever como a uniao das superficies z fxy 12y ezgtyV1l2y Para a parte superior da esfera temse O x O x Of re OF Or 12 y Oy Vla Vlay Vl2y A equacao do plano tangente na parte superior da esfera em qualquer ponto Po29 Yo 20 é dado por 29 yo a 279 AY y yp SE 2 1 0 isto 6 como z fx yo Vl xz2y 242 2 XLXO 22 XH Yo 2 cero yuo 20 0 5 o w 0 vo o 9 o YyYyot 2 1 0 0 Para a fungao z gxy parte inferior da esfera verificase a mesma igualdade Exercicio 529 22 42 2 2 42 x Zz x Zz Andlogo ao exercicio anterior para os hiperboloides 4 Fe le YY Fy a C a Y C Solucao 282 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II gt oy Para a superficie 5 1 seja z fxy logo a b c a 2 9 2 2 2 Of te OF ue PE Ey Ox za Oy 2b za zb A equacao do plano tangente 4 em qualquer ponto Po29 yo Zo da superficie é dado por a 00 yw OS 2 sa1 0 XL X9 ys 2 1 0 Zot YY Yo xb 0 2 22 2 22 LLOC XGOC Yor Yc to é 4 Ys 2 D logo za za en zd 5 eto Wo 220 Ct WO 7 Zz a2 b C zw az ob TXQ YY 0 rr an Portanto 1éaequagao do plano tangente a superficie a b c aa ib 1 em qualquer ponto Exercicio 5210 Achar a intersecaéo com os eixos coordenados de cada plano tangente superficie Vx Pt VE Ve Solucao Exercicio 5211 02 Oz Oz Seja zfxy suxy taxy Verificar que dn OP 4a Solucao Exercicio 5212 Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funcoes 1 zLn2y 2 2 arctan 3 zer 1xy x y 4 2 5 warytyz eu 6 zIn xcy x 7 w 8 wsenx y 2 9 ze EytzZ Solucao Ow Qx Ow 2y 2 1 L 2 2 SSS Ss Tale Ox a y Or a y Ow 2ay De modo andlogo 2a Oye 22 y22 x 20 z arctan2 1 xy 283 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 30 zer 40 z uy Ow Ow B wrzytyztee y27 Ox Ox Ow Ow D d Al 0 0 e modo andlogo ap 52 2 y 6 In einX 7 wae EytzZ 2 24 22 Ow 21 24 22 8 wsenay2 Dp 2x cos y 27 xv Pw 2 2 2 2 2 2 2 a2 2cosa y 2 4xsenx y 2 a De modo andlogo 5a 2cosa y 2 4ysena y 2 y Pw 2 2 2 2 2 2 2 D2 2cosa y 2 42sena y 2 Zz 9 zeru Exercicio 5213 1 1 1 Sea u 4 determine se UY Yr 22 udu du au au au Ox Oy OA Oxdy Oydz Ozdx Solucao 1 1 1 De u segue UY YyYrrz 22 Ou 1 1 Ou 1 1 Ou 1 1 Ov 22 ay Oy w yy yz Oz yz 22 Ou 2 1 2 Ou 2 1 2 Ou 2 1 2 Ou wy z28 Oy y 28 wy OO z 8 y 298 284 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Somando estas trés ultimas igualdades ru Oui Ou 2 2 2 2 4 oy og 4 514 at aft ba 2 Gop tae a en Por outro lado Ou 2 Pu 2 Pu 2 Oz0x zx 23 Oxdy x y8 dyOz y2z8 de onde ru ru Oru 2 2 2 So 4 Sy Dy 515 Oz0x t OxOy t OyOz x3 t x y3 t y 515 ru Oui Ou ru ru Oru S do 514 015 lta 4 4 2 4 0 omando 514 e 515 resulta 7 ap F22 par Dyde a Exercicio 5214 Oo Oo 1 Seja uaxLnx z z onde z x y Mostre que ae ae Tye Solucao 0 2 9 Temse uabLn41zz n Ln z tn oF assim obtemse 9 9 Ox 1 1 3 re Ox UL z Zz x L L 2L Ox nx 2 ure Ox net 5 L 2 ac nx 2 L 2 Por outro lado 27 22y Fg SY Ox fx y2 Oy Vx 4 Pu 1 zZ Or atz x2 Oz O La OO De modo analogo Oy ay q Exercicio 5215 Calcule as derivadas parciais indicadas 2 y2 Orz Oz 1 fy vy Fee Fyy 20 zer Or ay Oz Oz 3 Ln1 awa O A 4 3y4 3 rus zLnl2y Da2 Dip gxy 4ay Y Gros Iyy Solucao 1 fxy ry fr 307y fea 6xy fy 2xy tuy 2x 285 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 z ex2y2 z x 2xex2y2 z y 2yex2y2 2z x2 4x2 2ex2y2 2z y2 4y2 2ex2y2 3 z Ln1 x2 y2 z x 2x 1 x2 y2 z y 2y 1 x2 y2 2z x2 21 x2 y2 1 x2 y22 2z y2 21 x2 y2 1 x2 y22 4 gx y 4x3y4 y3 gx 12x2y4 gxx 24xy4 gy 16x3y3 3y2 gyy 48x3y2 6y Exercıcio 5216 Nem sempre as derivadas parciais mistas de segunda ordem sao iguais Considere a funcao f dada por fx y xy3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Verificar que 2f xy 2f yx em 0 0 Solucao f x y5 x2y3 x2 y22 se x y 0 0 lim h0 fh 0 0 h 0 se x y 0 0 f y 3x3y2 xy4 x2 y22 se x y 0 0 lim k0 f0 k 0 k 0 se x y 0 0 2f xy 6x2y4 3x4y2 y6 x2 y23 se x y 0 0 lim h0 f y 0 h 0 h 0 se x y 0 0 2f yx 6x2y4 3x4y2 y6 x2 y23 se x y 0 0 lim k0 f x0 k 0 k 1 se x y 0 0 Assim verificarse que 2f xy 2f yx em 0 0 286 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 5217 Seja u 4x2 y 22 Mostre que Ou Ou Pui 2 OLnu OLnu dLnu 1 lL s5agtaap 200 ot et Ox Oy Ozu Ox Oy Oz u Solugao 1 Dadou fae yt2 SS War 4y42 Ou Oru dul ru xy quot o CHa1 s 5 1F Ov Ox oe Ox u Ou Oru du Oru yy Qu dy Cea Ss 5 17 Ay y Oy Te Ox u Ou ru du ru 272 gut aor Shu S Ss 7 1 Oy O02 on Ox u Somando estas trés ultimas igualdade temse au Pu Pu fattvee Ox Oy O02 u2 Portant Ou Hu eu 2 ortanto Ox Oy Oz ou 2 Dadouay24 22 Lnu Lnia t y 27 9 Jlnu Qx OLnu y 27 2 Or xt yr4 2 Ox a2 y 22 9 JLnu 2y OPLnu a 27y Oy wtyt Oy a y 2 9 JLnu 22 OLnu y 4 27 dz xt y 2 Oz a2 y2 22 Somando estas trés ultimas igualdade temse OLnu Fin Finu Yee4W42yyrte 1 Ox Oy O22 x y 27 u OLnu OLnu OLnu 1 Portanto or aye 2 2 Exercicio 5218 Determine quais das seguintes funcgoes sao harmonicas Solugao 287 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II of Qx Of 2y 2 1 Iny Boe GD w fxy nx y dx 2 yp ax2 x y of 2y Of x y De modo andlogo temse ay ey Oy y Oo Oo Somando as duas ultimas igualdade os of 0 Ox Oy Portanto fxy Lnx y é harmonica 1 9 1 20 fzy2 Consideremos u 5 de onde obtémse Jrpt 2 eyr z Ou x 1 Ou 3 ru 35205 Oo Oo De modo andlogo temse ot yb 3y7u Ot 43 4 32205 Oy Oz Somando as trés tiltimas igualdade OF OF OF 3u432y27u 0 Ox Oy Oz 1 As Portanto fxyz Jeu é harmonica Exercicio 5219 or OP Seja fxy xye Mostre que x as y a 0 Solugao O Oo 2 Temse fxy xye ol xye vt tere Of 8y42 Of 3yx 27 at Me Tt ot af Wet fo 2 a3 ep ey ta Pp erly 516 2 3 2 3 2 Ow OF Byte oy yy OF BUF oy 547 OzOx OyOx y OyOx y or OP Somando 516 e 517 segue que z a Yy iB 0 Exercicio 5220 Oo Oo Seja za yyerY Verifique o seqguinte x indy y a 0 Solugao Exercicio 5221 Oo Oo Seja fxy Lna y tanx y Mostre que a ae Solugao 288 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Temse Of 1 2 Of 1 2 dn ry seca4y de yp 2secx y tanx y 518 Of 1 2 Of 1 2 dy bay secxy a yp 2secx y tanx y 519 Of Cf De 518 e 519 segue que On Oy Exercicio 5222 Oz Oz Orz Sejazfxzy sxy taxy Verificar que On Op 4a Solugao 202 Os dz We DW dx Os Ox Ot Ox dx Os ot Oz 0 2 ay 4 2 Ofz Os Oz Ot 2 Ot dx Os dx Ox Os Ot ds2 Ox OtOs Ox Ot Ox Osdt Ox Oz O72 Oz 02 O27 Or Ta D BGs a DF Bae y Oz Oz Oz Or a 02 asat S OP 620 ded As Oz De De de dy Os Oy Ot Oy dy Os Ot Oz 80 dz Oz Oz Os Oz Ot O27 Ot Oz Os 1 1 4 J 4 a 4 Oy Oy Os Ot Os Oy Otds Oy Ot Oy Osdt Oy Oz O72 Oz 02 O27 ay a Fas e aaa Oz Oz Oz Ox Oy O82 Osdk OP 621 Oz Oz Oz De 520 e 521 segue que de Op 4D 289 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 53 Diferenciais Exercicios 53 ky Exercicio 531 Calcule o diferencial total das sequintes funcgoes Solucao hog ee th SS dz Qre dr 2ye dy 20 ze4y3ry dz3aydr4 3y xdy 1 1 1 3 uLnryz du de dy f dz de dy dz LYyZ LYZ LYZ x y z 40 zx27y dz 2rydx 3x7 y2dy 5 utanry2zcosy dusecx 4 ydx secx y zsenydy 2z cos ydz 2 22 4 2 4 2 6 254 dz 9 dy dy a y x2 y2 x2 yp x 7 2 arcsenry 3 4 dz 3 Ln3ldze 04 Ss lar Fs 3 Ln3jdy 8 cytY dzyrx dr 2 yxLnaxdy Exercicio 532 Calcule um valor aproximado para Solucao 1 102301 2 1020 97 3 sen47 cos 44 4 405 2 93 Exercicio 533 Calcule o diferencial total e o acréscimo total da fungao z xy no ponto 2 3 se Az 01 e Ay02 Solucao 290 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O diferencial total de z xy e dz z xdx z ydy ydx xdy no ponto 2 3 se x 0 1 e y 0 2 temse dz 30 1 20 2 0 7 O acrescimo total de z xy e z fx x y y fx y no ponto 2 3 se x 0 1 e y 0 2 temse z f2 0 1 3 0 2 f2 3 2 13 2 23 6 72 6 0 72 Exercıcio 534 Determine para a funcao fx y x2y o acrescimo total e o diferencial total no ponto 1 2 se Solucao 1 x 1 e y 2 O diferencial total de z x2y e dz z xdx z ydy 2xydx x2dy no ponto 1 2 se dx x 1 e dy y 2 temse dz 2121 112 6 O acrescimo total de z x2y e z fxx yyfx y no ponto 1 2 se x 1 e y 2 temse z f11 22f1 2 224112 16 2 14 2 x 0 1 e y 0 2 O diferencial total de z x2y e dz z xdx z ydy 2xydx x2dy no ponto 1 2 se dx x 1 e dy y 2 temse dz 2120 1 110 2 0 6 O acrescimo total de z x2y e z fx x y y fx y no ponto 1 2 se x 1 e y 2 temse z f1 0 1 2 0 2 f1 2 1 122 2 112 2 66 2 0 66 Exercıcio 535 Determine a taxa maxima de mudanca para as seguintes funcoes nos pontos indicados Solucao 1 fx y z xy2 x2z P03 1 2 2 fx y z ex cos y eysenz P01 2 2 3 fx y z x y2 z2 xy 2z P02 3 2 4 fx y z xz zx yz zy P04 1 1 5 fx y z xz y2t P01 0 3 2 291 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 536 Determine as diferenciais para as fungdes 2 1 zgbLny V2 2 y tan 3 u ry x A z Lncos 5 z222 327yy 6 224 2ry y Exercicio 537 Achar o incremento total e o diferencial da funcao z x xy y se x varia de 2 até 21 e y varia de 12 até 122 Solugao e O acréscimo total de z 2 xryy 6 Az fx AzyAy fxy no ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 02 temse Az f2 0 112 02 f 212 2 1 2 112 2 12 2 24 24 144 12763 124 363 9 Oz Oz e O diferencial total de z 2 xyy édz a tt ta dy 2rydx2yxdy t y no ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 02 temse dz 80 1 220 2 36 Exercicio 538 Achar o incremento total e o diferencial da fungao z Lnx y se x varia de 2 até 21 e y varia de 12 até 129 Solugao O O 2ad 2yd O diferencial total de z Lnx y 6 dz 5 de a aap 2a no 401 2409 ponto 2 12 se Ax 01 e Ay 09 temse dz 1632 Exercicio 539 Seja e Calcule um valor aproximado para a variacéo Az em z quando x 1 aumenta em 1 e y 1 aumenta em 0 2 1Calcule um valor aproximado para z correspondente ax 101 y1002 Solugao Exercicio 5310 V A energia consumida num resistor elétrico dada por P Qiatts Se V 100volts e R 10o0hms calcule um valor aproximado para a variagao AP em P quando V decresce em 0 2volt e R aumenta de 00lohm Solugao os V Sendo a energia consumida num resistor elétrico P R pelos dados do problema R100hms AR 001 ohms assim como V 100 volts e AV 02 voltss 292 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II OP OP OP V OP 1 Sabese que dP api ay iV Observe que aR OV PR logo dP10 100 100 001 02 0001 002 0 021 10 10 A energia consumida no resistor P esta diminuindo em 0 021watts Exercicio 5311 Calcular o valor aprozimado de 001 302 3 14 Solugao Exercicio 5312 O comprimento C a largura L e a altura H de uma caixa variam com o tempo A certo instante as dimensoes da caiza sao C 5m L 3m e H 10m onde C e L estado aumentando a uma taza de 025ms ao passo que H esta diminuindo a tara de 05ms Nesse instante determine as taxas nas quais o volume e a area da superficie estao variando Solugao Exercicio 5313 Determine o erro maximo no calculo da area da superficie e no calculo de volume de uma caixa aberta retangular com altura 25cm largura 30cm e comprimento 70 cm com erro maximo de 03cm em cada dimensao Resposta dv 1380cm3 e dA 120cm Solugao Exercicio 5314 O periodo T em segundos para oscilagdes de wm péndulo simples que tem pcm de largura dado pela formula T anf onde g a constante de aceleracao da gravidade g Sabendo que p 13cm eg 98cms e que foi a leitura incorreta com p 1295cm e g 985 cms encontre a variagao do pertodo T Resposta dT 001027 segundos Solugao 293 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 54 Diferencial exata Exercicios 54 ky Exercicio 541 Para cada um dos seguintes exercitcios determinar quais sao diferenciais exatas Caso seja diferencial exata determinar a funao da qual diferencial total Solucao Aqui C R é uma constante OM 1 aydxa2ydy0 Mazyay Nxy 2 2y logo Oy 1 ON e 1 Logo é diferencial exata Ox OF Seja dFxy w ydxx2ydy0 Dg ew x y de onde xv 1 Ploy o yde vy 52 y oly OF 1 Por outro lado Dy y ayvy 2y assim vy sy y 1 E diferencial exata da funcao Fx y gl yPyJC 2 2 327ydra23ydy0 M2y 224 327y Nazy 22 y OM ON Assim 327 32 logo é diferencial exata Oy Ox OF 3 2 Seja dF xy a ydxx2ydy0 Dp ey x 3xy de onde xv 1 Fxy Jo 30yda uy Fa 2y oly OF 3 3473 I 4 Por outro lado Oy y a uy 2y assim vy q a x 1 4 3 1 4 E diferencial exata da funcao Fz y q2 aPy q C e y Po 3 Sp 3 5ay 0 Mzy Nay OM ON Oy Ox Logo 294 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4A ye2rydrre2dy0 May ye2ry Nx y ve 27 OM ON Logo yt eY yre4 2 e or eY rye 2y Assim é diferencial y x exata 9 OF Seja dF xy ye 2aydx xe xdy Dy ey ye 2xry de x onde Fx y lve 2axyldx uy fe xy vy OF 2 d 2 2 Por outro lado Dy y te 2 ae ay uy assim reY 2 y y re x y logo vy y E diferencial exata da funcdo F2y e a7yyC 5 ysecadr tanady0 M2zy ysec2 Nzy tanz Assim OM ON secx sec 2 logo é diferencial exata Oy Ox 3 OF Seja dFxy ysec rdxtanrdy Da y ye2ry de onde Fx y x usec xdx vy ytanaz vy OF Por outro lado Dy y tanzvy tang logo vy C y E diferencial exata da fungao Fxy ytanxC 1 1 1 1 6 2ydx2edy0 May2y Nay 2x4 Assim zt y zt y OM ON 2 2 logo é diferencial exata Oy Ox 1 1 OF 1 Seja dF xy 2y ae 2x yy Dg ey 2y 7 de onde 1 Poy fy 2dr oly Bary Lua oly OF 1 Por outro lado Dy 6h y 2a0y 2x logo uy Lny y y E diferencial exata da fungao Fx y 2ry Ln C x 5 3 3x7 5 3 327 7 3aLny x2dx dy0 May 3xLny 2 Nzxy y y OM 32 ON 6 Assim a a logo o diferencial nao é exata Oy y Or sy 8 xcosxtanydrrtanzcosydy0 Maya24cosrtany N2zy OM 5 ON 9 xtanacosy Assim cosxsecy 1secxcosy logo nao é Oy Ox diferencial exata 295 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 x2 2xydx y3 x2dy 0 Mx y x2 2xy Nx y y3 x2 Assim M y 2x N x 2x logo nao e diferencial exata 10 x2senydx x2 cos ydy 0 Mx y x2seny Nx y x2 cos y logo M y x2 cos y e N x 2x cos y Como M y N x segue que x2senydx x2 cos ydy nao e diferencial exata Exercıcio 542 As equacoes xu yv x2u2 y2v2 3 e xu2 x2u yv2 y2v 2 podem ser resolvidas para obter x fu v e y gu v Achar x u x v y u y v utilizando derivacao implıcita Solucao Exercıcio 543 A altura de um cone e de 14 cm e aumenta na razao de 0 03 cmsg O raio e de 8 cm e aumenta na razao de 0 04 cmsg Determine a taxa de variacao do volume em relacao ao tempo Solucao O volume e dado por V r h 1 3πr2h pelos dados do problema temse h 14cm r 8 cm dh dt 0 03 cmsg e dr 0 04 cmsg Sabese que dV V h dh V r dr logo dV dt V h dh dt V r dr dt dV dt 8 14 1 3π820 03 2 3π8140 04 assim dV dt 8 14 3 627π A taxa de variacao do volume em relacao ao tempo sofre um incremento aproximado de 3 627π cm3sg Exercıcio 544 A voltagem V de um circuito eletrico esta decrescendo a medida que a bateria se descarrega A resistˆencia R esta aumentando devagar com o aumento de calor do resistor Use a lei de Ohm V I R para achar como a corrente I esta variando no momento em que R 30 ohms e estiver aumentando 0 15 ohmss e V 26 volts e estiver diminuindo 0 25 voltss Solucao Sendo a voltagem V I R I V R pelos dados do problema R 30 ohms R 30 ohms assim como V 26 volts e V 0 25 voltss 296 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sabese que dI I RdR I V dV Observe que I R V R2 I V 1 R logo dI26 30 26 3020 15 1 300 25 0 00433 0 00833 0 01266 A corrente I esta diminuindo em 0 01266 ampressg Exercıcio 545 A lei do gas ideal e dada pela formula PV kT onde P pressao V volume T temperatura e k constante de proporcionalidade Encontre a taxa de variacao da pressao em relacao ao tempo no instante em que o volume do gas for 400 cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume aumenta a razao de 0 1 cm3s e a temperatura diminui a razao de 0 018 graussg Supor k 10 Solucao Pelos dados do problemas temos que PT V kT V tambem V 400cm3 T 40 dV 0 1cm3 e dT 0 018 graussg O diferencial total desta funcao e dP k V dT kT V 2 dV entao dP40 400 10 400cm30 018 graussg 1040 graus 400cm32 0 1cm3s dP 0 0007 dinascm2sg A taxa de variacao da pressao em relacao ao tempo e de 0 0007 dinascm2sg decresce Exercıcio 546 A resistˆencia de um circuito eletrico e dada por R E C ohms Sabendo que E 18 volts e C 6 ampres porem foi feita a leitura de E 17 985 voltas e C 6 125 ampres determinar a variacao da resistˆencia Solucao Sendo a resistˆencia de um circuito eletrico R E C pelos dados do problema E 18 volts E 17 985 E 0 015 volts assim como C 6 ampres e C 6 125 6 0 125 ampres Sabese que dR R C dC R E dE Observe que R C E C2 R E 1 C logo dE6 18 18 620 125 1 60 015 0 625 0 00025 0 065 A resistˆencia R diminuiu em 0 065 ohms 297 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 547 Um tanque cilındrico tem as seguintes dimensoes interiores raio da base R 2 5m altura h 4m e a largura das paredes l 1dm Determine aproximadamente o volume do material gasto para fabricar o tanque Solucao Exercıcio 548 A potˆencia consumida numa resistˆencia eletrica e dada por P V 2 R watts Se V 12 volts e R 6 ohms determine o valor da variacao da potˆencia se V e aumentada de 0 015 volts e R e aumentada de 0 002 ohms Interprete o sinal do resultado a potˆencia e reduzida ou aumentada Resposta dP 0 052 watts Solucao Exercıcio 549 Denotemos por z 2e x2 e3y2 a altura de um morro na posicicao x y Em que direcao desde 1 0 deveriamos comecar a caminhar para escalar o mais rapidamente possıvel Solucao Exercıcio 5410 A temperatura de cada um dos pontos de uma placa quadrada vem determinada pela funcao Tx y x13y22 Se deseja conhece quais sao no ponto 0 0 as direcoes de maior crescimento e decrescimento da temperatura Solucao Exercıcio 5411 Sejam g R2 R f C1R e gx y fx2y Sabendo que f 2 1 determine g y1 2 Solucao Temse g y f x2y x2 entao g y1 2 f 2 12 1 12 1 Exercıcio 5412 Seja f R2 R g C1R tal que f 1 e 1 1 e seja gx fx3 ex Determine g1 Solucao Exercıcio 5413 Seja f R2 R uma funcao diferenciavel tal que fu 0 0 e f0 v v para qualquer u v R Seja gx y x2 x y y2 x y 1 Mostre que h fog e diferenciavel em R2 2 Calcule h2 2 Solucao 298 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 5414 Uma partıcula deslocase em R3 sendo as suas coordenadas no instante t dadas por x et1 t y et1 t e z cost 1 Considere o movimento da partıcula em instantes suficientemente proximos de t 1 1 Sera possıvel atraves de uma medicao da coordenada x da partıcula determinar o instante de tempo t e as suas coordenadas y e z Em caso afirmativo calcule a derivada de t em ordem a x no instante t 1 2 E sera possıvel determinar x z e t com uma medicao da coordenada y perto do instante considerado Solucao 1 No instante t 1 temos que x y z t 2 0 1 1 A trajetoria da partıcula e determinada por trˆes equacoes em quatro variaveis F1x y z t x et1 t 0 F2x y z t y et1 t 0 e F3x y z t z cost 1 0 Seja F F1 F2 F3 Temos entao DFx y z t 1 0 0 et1 1 0 1 0 et1 1 0 0 1 sent 1 temos portanto que quando t 1 DFx y z t 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 As colunas correspondentes a y z t sao independentes logo pelo teorema da funcao implıcita e possıvel localmente suficientemente perto do ponto 2 0 1 1 escrever y z t em funcao de x Ou seja existem funcoes g1 g2 g3 tal que y g1x z g2x e t g3x numa vizinhanca de x 2 com Fx g1x g2x g3x 0 Queremos calcular g32 Seja hx x g1x g2x g3x Temos Fhx 0 para todo o x numa vizinhanca de x 2 Logo fazendo a derivada desta funcao composta obtemos DF2 0 1 1 Dh2 0 Ou seja 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 DF2 0 1 1 1 g 12 g 22 g 32 Dh2 0 Temos entao 1 2g 32 0 ou seja g 32 1 2 que era o que querıamos calcular 299 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Observacao Tambem e possıvel resolver este problema usando o teorema da funcao inversa do seguinte mododx dt 1 2 0 Logo pelo teorema da funcao inversa local mente numa vizinhanca de t 1 podemos escrever t em funcao de x e depois usando esse fato escrever y z tambem em funcao de x Obtemos entao dt dx2 dx dt 11 1 2 o que concorda com o calculo feito acima atraves do teorema da funcao implıcita Alias e imediato de ver que xt e injetiva pelo que existe inversa global Solucao 2 Da linha anterior observamos que as colunas de DF2 0 1 1 correspondentes a x z t nao sao linearmente independentes Logo o teorema da funcao implıcita nao pode ser aplicado e nao podemos garantir que seja possıvel escrever x z t localmente em funcao de y Na verdade podemos observar que a funcao yt et1 t tem um mınimo em t 1 pelo que um valor de y perto de y 0 determina dois valores de t e nao um so indicando que a resposta a pergunta e negativa Exercıcio 5415 Considere o sistema de equacoes x cosyz 1 xsenyz 0 x y 2 Mostre que existe uma vizinhanca de x y z 1 1 0 onde este sistema tem uma solucao unica Solucao Seja F R3 R3 Fx y z x cosyz x sinyz x y Tratase de uma funcao de classe C1 que verifica F1 1 0 1 0 2 logo o ponto 1 1 0 e uma solucao do sistema de equacoes O Teorema da Funcao Inversa garante que na vizinhanca da solucao x y z 1 1 0 temos uma solucao unica desde que det DF1 1 0 0 De fato temos det DF det cosyz xzsenyz xysenyz senyz xz cosyz xy cosyz 1 1 0 zx2ysenyz cosyz zx2ysenyz cosyz xy cos2yz xysen2yz xy 300 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo no ponto 1 1 0 obtemos det DF1 1 0 1 0 portanto existe uma vizi nhanca deste ponto onde F e invertıvel e podemos concluir o que nos e pedido 301 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 55 Derivada direcional Exercicios 55 ky Exercicio 551 Determine o valor de para o qual a derivada direcional de fxy seny no ponto Po072 seja maxima Qual é esse valor maximo Solucao Observe Lalfxy eylnseny SF yLnseny de modo ans serve Lufxy ryLnseny ybLnseny de modo ana fxy Ox log of Lnseny ryt ogo rbLnseny rytany assim fay Oy q Exercicio 552 Para cada um dos seguintes exercicios determine Dzf no ponto P para o qual u um vetor unitdrio na diregao PO Solucao 1 fz y 2 2yy P1 2 QC 3 Seja w Q P 0 1 por outro Of Of ado De xaty Oy u 2y Logo Def 2a y x 2y 0 1 x 2y 2 fxy earctany P0 2 Q1 3 Seja w Q P 1 1 por outro lado Of aret Of e e arctany Ox v Oy l1y e 1 Logo Dyf e arctan y 1 1 earct ogo Dzf e arctan y i Tp 1 1 e arctan y ear a fy z2jVeryte P11 Q7 80 SejawQP 67 1 Of x Of y Of Zz por outro lado Ss Or fx ye Oy VePryPte 02 VP yPtH7 Logo x y Zz 6x Ty z Di SS a 67 1 Vrrtyte Sarpy 2 far y 2 Vr ty 2 302 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 fx y ecosyesenz P10 Q3 2 Sejaw Q P 4 2 por Of oa Of 2 outro lado e cosy e cosx eseny esenxz Logo Ox Oy Dif e cosy e cosxz eseny esenz 4 2 Dif 4e cosy e cos x 2eseny esenz Dif 2eseny 2 cos x 2esenx 2 cos x Exercicio 553 Achar um vetor unitério i no ponto dado Py tal que Dzf Po alcanga seu valor ma xiumo Solucao Como Dif Po V fll z cos onde 6 é 0 angulo entre V fz y z e wv segue que acontece o maximo quando 6 0 logo u tem que ser paralelo ao vetor gradiente 1 ft y 2 a ayztyz Pol 1 2 Temse Vf2yz 2x yz 2yz xz y ry Como Vf1 1 2 4 6 1 tio t e 1 pelo fat lel 6 1 entao uv pelo fato ser paralelo V53 53 53 P P 4 6 1 O vetor procurado é u P 3 V53 53 2 fa y z Vr y22senz Po1 1 1 Temse Vi a y z x senx 4 Ja ty 2cos a y senz Zsenxv Very 2 fer yt2r Var ty 2 senl senl senl Vfi 1 1 v3 cos 1 fC FB Ja V3 senl senl senl Entao V3cos1 seja K v BB Ja V3 sej Io 1 3 1 1 1 Portanto w Sent v3 cos 1 as a é o vetor pedido V3K V3K V3K L 3 fxy 2 A 2 4 z 1 1 L 11 1Ln2 Temse Vf u2 525 Como VF124 G 54 1 1 14 Ln2 1 entao u Re 8K onde K 16 21 Ln4 Ln2 1 1 1 Ln2 O vet do é vetor procurado é u Cra BK 16K 303 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 4 fr yaayty Po1 2 Temse Vfzy 2a y x 3y Como Vf1 2 4 13 entao a 4 13 Tiss iss 4 13 O vetor procurado é u P Ass Vv TSS Exercicio 554 A temperatura T graus em qualquer ponto x y 2 no espaco R e Tx y z 60 stancia é medid d Poppe ps A distancia é medida em polegadas 1 Achar a rapidez do cambio de temperatura no ponto 3 2 2 na diregdo do vetor unitario U 2 3 6 2 Achar a diregao e a magnitude da rapidez maxima da mudanga de T no ponto 3 2 2 Solugao Exercicio 555 d Calcular se z e 3Y ondextant e ytt Solugao d d2 d3 Temse z con 0y 2 ay Portanto 7 ePtant3P3t9 sec t 6t 3 Exercicio 556 Calcular o vetor gradiente das seguintes fungoes no ponto indicado Solugao 9 9 1 1 fx y 0 Ln ry 2 1 VF2 1 9 2 fa y 2 2aLny27y 110 Vf1 1 0 0 2 0 1 1 v2 3 fa y Ln 5 V2 VF5 V2 xy 5 2 Lz V2 V2 V2 4 111 111I fa Y z Ja ty Vi A 9 A 9 9 Exercicio 557 Achar o gradiente de f nos pontos indicados Solugao 25 5 1 fa Y 2 V x y 4 Po2 l 0 VE2 l 0 Oe 2 1 304 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 fxy z sen3z cosxtanz Py0 72 74 Vf0 72 74 3 fxy 2 Ln2y 22 Po113 Vf1 1 3 4 fxy 22erseny PA0 72 2 V0 72 2 4 0 4 vill vill 3vi1il 5B 6 Oofay za4274y B211 VF 1 1 11 11 11 Exercicio 558 Para cada um dos seguintes exercicios se as superficies se interceptam em uma curva achar as equagoes da reta tangente e a curva intersecao no ponto indicado 1 y2 y1627 4 16 0 20 a 422744y0 2 y226270 0 1 2 3 2costyz y1senrxz Solugao Exercicio 559 x Byrd D d 1 a an 5 ada a fungao fx y z arcsen 6 5 b4 9 1 Achar a equagao do plano tangente a superficie de nivel fx y z 6 no ponto 1 13 4 2 Em que proporcao variam os valores funcionais quando comeca a se movimentar desde o ponto 1 13 4 para o ponto 2 52 2 Solugao Exercicio 5510 Sejam fxy 244 y gzy 14 pxy Demonstrar que g no es diferencidvel na origem porém que hxy fgxy sim é diferencidvel na origem Calcular a derivada direcional maxima de h na origem Em qual diregao maxima Solugao 305 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 56 Revisao do Capıtulo V Miscelˆanea 51 Miscelanea 511 Mostre que a funcao z fx at y bt onde a e b sao constantes e solucao da equacao em derivadas parciais z t az x bz y Solucao Sejam u x at v y bt entao z t z u u t z v v t z t z u a z v b z x z u u x z v v x z x z u 1 z v 0 z u z y z u u y z v v y z y z u 0 z v 1 z u Portanto z t az x bz y Miscelanea 512 Seja Fx y f x y y x Mostre que xF x yF y 0 Solucao Miscelanea 513 Seja ft g2t2 2 5t Expresse f t em termos das derivadas parciais de g Solucao Miscelanea 514 Suponha que ft2 2t t3 3t Mostre que f x1 2 f y 1 2 Solucao Temse ft2 2t 3tt2 3 seja x t2 e y 2t logo ft2 2t fx y y 2x3 entaof x y 2 quando t 1 x 1 e y 2 f x1 2 2 2 1 Por outro lado f y 1 2x 3 quando t 1 x 1 e y 2 f y 1 2 1 3 2 1 Portanto f x1 2 f y 1 2 306 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 515 Seja z fuv vu Mostre que Oz 0 0 joes a Bu Solugao Sejam suvtvu entao Oz Of Os Of Ot Oz Of Of du Os Ou Ot Ou au as Yt ae OD Oz Of Os Of oat Oz Of Of a0 Os Ou OF Be au as Dt oe Oz Oz Portanto 0 ortanto Du Dv Miscelanea 516 Seja f uma fungao de uma varidvel real diferencidvel tal que f1 4 Seja gx y x Og Og Og Og Calcule 1 1 1 2 1 1 3 fl Cateule 1 S801 SP 1 oS u Sle w Solugao Miscelanea 517 Para cada um dos sequintes exercicios achar uma equacao do plano tangente e equacao da reta normal a superficie no ponto indicado Solugao lL a2 y217 2 2 3 2 42 y227 26 1 2 3 3 2 y3z2 2 4 6 4 2 2 1 2 uy 5 yecosaz 1 e 0 7 6 x esen3y 0 6 1 7 VafyvVz24 411 8 zx ay yz 18 0 2 3 9 Vr2 yr V2 14 8 27 1 10 22ry2x7y 1 1 1 307 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II x 33 2 2 Oz 2 Oz 2 2 11 Da expressao z xy 3xy3x temse an 3x 6xy6x e Dy 3y 32 x O O no ponto 1 1 segue que 5 lL 1 32 e ay 1 0 ij k O vetor normal ao plano tangenteé7i 1 0 3 3 0 1 01 0 A equacao do plano tangente 6 IL 3410y1412 sx z10 A equacéo da retanormalé R 2 y z1 1 2t301 teR 120 22ry27y 1 1 1 Miscelanea 518 Uma funcado f R R é chamada harménica se satisfaz a equacao de Laplace Of Of oe a Prove que as seguintes fungdes sao harménicas Ox Oy 1 ft yayay 2 fx y e cosy 3 fx y e seny 4 fr y ery 5 fz y arctan 6 fx y senz cosh y uy x 1 7 fa y Vety 9 fx ylnV2y 9 fxy Solugao Miscelanea 519 Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funcoes 2 2 ry x 1 zLna2y 2 z arctan 3 z2er4 1xy x y 4 z 5 warytyz eu 6 zIn xcy x 7 w 8 wsenx y 2 9 ze EytzZ Solugao Miscelanea 5110 Seja fxy cosxy xy a Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de fxy b Determine as derivadas parciais de segunda ordem de fxy 308 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao a Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de fz y Para os pontos fora da origem temos que O at ysenry 327y O asenry 3x4 Portanto Vf xy ysenxy 3ay xsenxy 3xy b Determine as derivadas parciais de segunda ordem de fz y O f Temos que a2 ycosxy 6ry a a 2xcosxy 6xy Oo Oo a senxyrycosxy 9xy 5 Miscelanea 5111 O O O Seja fx y z aapre verifique a igualdade x at tug 20t f Solugao Miscelanea 5112 Seja f fungdo real de uma varidvel real e continua com f3 4 ry2z24 Suponha que gx y z ftdt Calcular 0 Og Og Og lL 1 11 2 111 3 066 1 11 Da Dy ml 9 9 Solugao Og 2 04 Og Soi getyte 2011F0 Og 2 44 Og 27 9 1 1 1 21f38 Sea fete F011 20f8 Og 3 2 4 Og OF 4 feyte 01 1 40f816 Oz Ox 309 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 5113 Se4 ba te P ru Oz 02 Oz eja u e e e Provar que e J q OxOy OxOy Ox Oy Solugao Miscelanea 5114 ru Pu Pu Seja u ye xe Provar que dandy d20y Dean 0 Solugao Miscelanea 5115 Oo Oo Oo Seja u xLn Provar que x ae 2095 a y ae 0 Solugao Miscelanea 5116 Para as seguintes fungoes supor que w fungao de todas as outras varidveis Deter mine as derivadas parciais indicadas em cada caso O O 1 3774 2y 6w xy 12 af a Ox Oy O O 20 2 Qry 2ew 3y w 21 a a Ox Oy Ow Ow 3 r4s h 0 w r s coshrw Dy De O Ow O O 4 a4 3a7y 227t 42t zrw 8yw 0 Sn By a Solugao Miscelanea 5117 Determine dfxy e Afxy para a funcao fx y 2 2yy em x y 2 1 quando Ax 001 e Ay 002 Solugao Miscelanea 5118 Determine dfxyz e Af x y z para a fungao fxy z senx y cosa 2 seny 22 em 2 y 2 5 20 quando Av Ay 5 Az2n Solugao Miscelanea 5119 Mostre que as seguintes funcoes sao diferencidveis 1 ft y ay 2 fr yaty 3 fr y 2y 1 1 4 x y 5 x y 6 tyay fx y vy fx y aty fx y y 310 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Solugao Miscelanea 5120 d Calcular a seuxyz ondex t1lyLnt e ztant Solugao Miscelanea 5121 O Determine an sezy onde y 2 x Solugao Miscelanea 5122 Determine dz se z fu v onde u sen y Solugao Miscelanea 5123 dz dz 9 3 Calcular e sezfu v ondeuLnay e v zy dx dy Solugao Miscelanea 5124 O O Mostre que a fungao z y ycosx y satisfaz a equagao o CFF Ox Oy sy Solugao Miscelanea 5125 O periodo T em segundos para oscilagdes de wm péndulo simples que tem pcm de largura dado pela formula T anf onde g a constante de aceleracao da gravidade g Sabendo que p 13cm eg 98cms e que foi a leitura incorreta com p 1295cm e g 985 cms encontre a variagao do pertodo T Resposta dT 001027 segundos Solugao Miscelanea 5126 Seja um retangulo com lados x 30cm ey4cm Determine a variagao aproximada da diagonal deste retangulo sabendo que o lado x foi aumentado 0005 cm e o lado y diminuindo 0004 cm Resposta dD 0 0002 cm Solugao Miscelanea 5127 Considere a funeao f A R com A xy R vy 022 4 y definida por 1 L Fley neus5 1 Determine os pontos xy A em que f é localmente inverttvel 311 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Sabendo que f11 01 determine a derivada da fungaéo f no ponto 0 1 Solucao 1 A funcao f é de classe C no seu dominio O Teorema da Funcao Inversa garante que f tem inversa local em torno do ponto xy A desde que o determinante det Df x y seja nao nulo nesse ponto Temos y x ry ry 2 det Df xy det Y ty ae xry2x y 2a y 2a y O determinante anulase nos pontos xy em que y 2xz Como estes pontos nao pertencem ao dominio podemos concluir que f tem inversa local em todos os pontos xy A Solucao 2 Notese que temos 1 1 det Df 11 det 3 2 1 Sendo f invertivel no ponto 11 e sabendo que f11 0 1 obtemos 1 1 afi 1 DF01 Df17 anwar 4 1 2ft ah Miscelanea 5128 senasenysenz Calcular o gradiente da fungao fxy z wtdt no ponto 00 0 xy Solucao Seja a R uma constante tal que zy a senzsenysenz entao a senxsenysenz senasenysenz xy floy2 funds ff war fF wemae f voat ry a a a Of Temse an wsenxsenysenz cosasenysenz senysenz ywary xv Of ay wsenxsenysenz cosasenysenz 7 cosysenz xybxy y Of a wsenasenysenz cosasenysenz 7 cosysenz cos z y 312 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Miscelanea 5129 Seja fx y 2ex2 e3y2 a altura de uma montanha na posicao x y R2 Em qual direcao desde o ponto 1 0 deviase comecar a caminhar para escalar o mais rapido possıvel Solucao Miscelanea 5130 Seja a funcao fx y xy 1 Usando a definicao da derivada direcional demonstrar que as derivadas parciais na origem sao nulas e nos pontos 1 0 1 0 0 1 e 0 1 sao as unicas direcoes para as quais existe derivada direcional na origem 2 E contınua em 0 0 3 E diferenciavel em 0 0 Solucao Miscelanea 5131 Escrever a equacao do plano tangente a superfıcie z r cos3θ coordenadas cilındri cas no ponto correspondente a r 1 θ π 3 Solucao Miscelanea 5132 Seja u a b um vetor unitario dado Calcular f u0 0 onde fx y x3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Solucao Note que f0 at 0 btf0 0 t a3t3 ta2t2 b2t2 a3 a2 b2 t 0 Como u a b e um vetor unitario entao u a2 b2 1 Logo f0 at 0 btf0 0 t a3 a2 b2 a3 t 0 Assim f u0 0 lim t0 f0 at 0 btf0 0 t lim t0 a3 a3 Portanto para todo vetor unitario u a b temse f u0 0 a3 Miscelanea 5133 313 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja ux y x2 y2ϕx y onde ϕ R R e uma funcao diferenciavel de uma variavel real Mostre que x u x y u y 2u Solucao De ux y x2 y2ϕx y segue u x 2xϕx y 1 yx2 y2ϕx y Por outro lado u y 2yϕx y x y2x2 y2ϕx y assim x u x 2x2 ϕx y x y x2 y2ϕx y 522 y u y 2y2ϕx y x y x2 y2ϕx y 523 Somando 522 e 523 segue x u x y u y 2u 314 01012023 Capitulo 6 Aplicacoes das derivadas parciais 61 Maximos e Minimos Exercicios 61 ky Exercicio 611 Identificar os extremos das seguintes fungdes de modo algébrico apdés de completar quadrados logo verificar estes resultados usando derivadas parciais Solugao 1 fa y a y 42 6y 5 2 fx y a y 8r44y11 3 fx y 214 422 y 4 ft y Vr ty4fa y Vv y44 1 5 fa y 91449 22y2 1 6 fz y Vertyetd Exercicio 612 Para os seguintes exercicios determinar os extremos relativos de f Solugao 2 lo za 54 ry 315 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O O 2 2 182 32y36r 128y 110 36r36 64y 128 Ox Oy O O quando a 0 0 Ss rH 1 y 2 logo 1 2 é ponto critico Ox Oy 360 OO A12 2304 0 0 64 Logo 1 2 16 é ponto sela para da superficie z 18x 32y 36x 128y110 1 8 3 2 ry zt y 4 zsenxy senz seny 1 4 8 5 y cy xy xy O O O 6 wHety4246y22 a 2x 4 2y 6 222 Ox Oy Oz O O O quando ov 0 ow 0 or 0 r2 y3 z1 logo Ox Oy Oy 2 3 1 é ponto critico 2 0 0 A2310 2 080 0 0 2 Ow Logo como a 2 0 entaéo 231 é ponto de minimo da superficie w xv xy 2 4a by 22 O O 7 2 4ry222ye a Ay dry 1 Sry 2x quando Ox Oy O O 90 0 5 2e4yxz 0 x 0 ou wx 4y Quando Ox Oy 1 r0 y 5 o caso 4y nao satisfaz 1 Logo 1 5 sao pontos criticos 4y 8y4a 1 1 Aay Al160 A148 0 v9 ae 15 5 1 1 ys 2 2 Logo 1 5 e 1 5 sao pontos de sela para da superficie z 4ay 2ay x 8 z2y 3ry 18x4 y 316 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 9 fx ya2 y82ry 4y 10 fa y 2y 5x 8ry By 11 fz y22yy 3x by 5020 12 zxzy r0y0 zt y 13 fz y2 3ayty 14 fx y 1202 120y ry 2 7 of Ax Oz 2y 1b ft y Y2ryP Ss 2 ee SL f y y Ox 2a y Oy 2a y 0 0 quando co 0 0 S 0 on y 0 Logo 00 é ponto critico Ox Oy Nao podemos aplicar o critério hessiano Como f00 fxy Vr y R segue que 00 6 ponto de maximo absoluto para a superficie fx y 2x y 16 fx y 20 yer It fx y 12 y4 18 fx y 9 2 y 3 19 fz y z a y 2 2y Zz 2 20 fla y 2 et 24245 Ly 2Z Exercicio 613 Determine a distancia minima da origem de coordenadas ao cone z x 1 y 2 Solugao Exercicio 614 Determine constantes a e b para os quais Fa b sone ax badx seja 0 minima Solugao Observe Fa b loon ax br dx sent 2senxax bar ax br dax 0 0 317 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Fa b sentode 2 f sensax bxdx cs brdx 0 0 0 i 5 ab P Fa b sontude Qlan ba 4a oe st aT 0 logo OF 7 OF 2 at 2an 2 p 72 S aq TS et ay hh Fy 2 97 23 am 5 2am 27 0 br n20 ab0 5 3 2 Por outro lado OF 7 OF 2 OF OF r 272 27 n 0 n2 Ss aa 2 B 3 Dead 9 baa 2 7 In IAr Fn3 2 AFwy 2 5 727 a apooy s0 0 om 0 x Quando a b0a F00 atinge seu minimo Exercicio 615 Achar trés ntimeros reais positivos de modo que sua soma seja 24 e seu produto o maior possivel Solucao Sejam x ye z os numeros Temse z 24xye seu produto fxy ry24xy logo O O OF o4y dye y2 0 OF o4y oye 22 0 Ox Oy xy242y270 wy8 Por outro lado Of Of ef of 9 oF 97 2427 2 UMW2r Ox v Oy a OyOx oo 9s Oxdy yee 2 2427 2 16 8 Afoy S ALB8 0 24 2a 2y 22x 8 16 Logo o produto é maximo quando y z 8 Exercicio 616 Um fabricante deseja construir uma caira de 36cm com tampa Quais as dimensdes a ser consideradas para minimizar custos Sabese que o fundo e a tampa da caixa custam o dobro que os lados por cm 318 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Primeira solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa onde area do fundo e tampa medem xz respectivamente a Area lateral da caixa mede 2xy yz Seu volume é dado por V2y 2 xyz 36cm Por outro lado o custo para a fabricacao dessa caixa consi derando valor do custo do fundo e tampa 2 e custos da area lateral 1 O custo da fabricagéo de uma caixa é dada por S 24z xz 12xry 2yz consideremos a fungéo Fx y z 4xaz 2ry 2yz Axyz 36 OF OF 47 2y rAyz 0 24 2z4 Arz 0 Ox Oy OF OF 4x4 2y Ary 0 360 De a 2y Ary Dr XYZ 2Qyaz0 2ey2z0 S vr2z y22 227736 5S zVI18 Portanto quando dimens6es sejam x z V18 cme y 2W18 cm teremos um minimo de custo em material Segunda solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa onde area do fundo e tampa medem xz respectivamente a Area lateral da caixa mede 2xy yz Seu volume é dado por 3 36 36 Vaxy2z xyz 36cm ry ye Por outro lado o custo para z x a fabricacao dessa caixa considerando valor do custo do fundo e tampa 2 e custos da area lateral 1 O custo da fabricagéo de uma caixa é dada por S 2azaz12yz 2yxrentao Por outro lado sua superficie S é dada por 36 36 72 72 S 224z 122 Saz 4eaz24 x z x z Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 72 Os 72 Ox op Oz 3 de onde x 18 e 2 18 logo x z WY18cm Calculo do hesseano OPS 144 OS 4 OPS 144 Og 4 0x2 OzOnxn 22 aE 144 4 144 4 ASxz yy ASV18V18 18 44 480 4 4 2 18 319 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II OS 144 Como 0 acontece minimo em S Ox 14 Portanto quando dimens6es sejam x z V18 cme y 2W18 cm teremos um minimo de custo em material Exercicio 617 Achar a distancia minima entre o ponto 0 2 4 e os pontos do plano xyz5 Primeira Solugao Seja P qualquer ponto do plano por exemplo P500 e considere o vetor de P a 0 2 4 isto é v 5 24 A menor distancia do ponto dado ao plan o é dado pela projecao do vetor v sobre o vetor normal n 111 ao plano isto é d Projat v e7 I 24e a 11V3 TO i el i 7 v3 3 Segunda Solugao A distancia do ponto P29 yo 2 ao plano Az By Cz D 0 estaé dado pela A B C D 0 245 11 1l1v3 formula d re logo d 0 2 4 5 se lyv3 A2 B24 C2 12 412 1 J3 3 Exercicio 618 Achar nimeros positivos x y z de modo quexy218 e ry2z seja maximo Solucao Seja fxy z ry2 com restrigoes gx y z x yz18 consideremos a funcao Faxyz ryz ax y 2 18 com derivadas parciais OF 7a0 ay Ox OF OF 2y2a0 2ayza0 S 22yzy2z0 yz Oy Oz ae 22 OF 2 22 2 substituindo yz em Br segue que 2xyzy27 0 yz2xz 0 logo Zz 2x z substituindo em OF s ryz180 Oa 18 36 36 segue que f y ez 18 36 36 30233088 9674 58816 1 15 2 900 1 18 36 36 ys ponto estacionario 5 5 é ponto de maximo condicionado Exercicio 619 320 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Mostre que todos os tridngulos com um perimetro dado o de maior area o equildatero Solucao Seja um triangulo de lados x y z e consideremos o semiperimetro p xy Z Pelos dados do problema seja o triangulo de perimetro P 2p sua Area A em fungao do semiperimetro é dada por A ppxpyp z os valores dex y z que maximizem esta area sA0 os mesmos que maximizam A fz yz pp2xpyp z Assim temse a funcao Fxyz pp2xpyp z Aaty4 22p of of pp A0 pp A 0 5p PP yv 2 Bi pp p 2 of of i 0 2n0 5B PP p y ay ety t2 2p Ppzy20 pip2zyz0 pipyz20 reyz 2 Também dexy22p0ry22p0 3S wesy2z 3 3P Portanto os triangulos com um perimetro dado o de maior area é o equilatero Exercicio 6110 Achar um paralelepipedo de volume maximo entre todos os paraleleptpedos retangulares que tenham uma soma dada de comprimento das arestas igual a 12a Solucao Suponhamos o paralelepipedo como mostra a Figura 61 logo 4a y z 12a entao x y z 3a onde a 0 fixo O volume deste paralelepipedo é V xyz entao Vzy y38a x y de onde av av 3ay 2yx y 0 3axr 2yx x 0 Ox Oy z vy x Figura 61 Resolvendo o sistema achamos que 7 y z a Calculo do Hesseano 2a a AV aaa 3a 0 a 2a 321 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II como 2V x2 0 o cubo satisfaz as condicoes pedidas do problema O cubo de lado a satisfaz o problema Exercıcio 6111 Achar o valor maximo e mınimo da funcao fx y Solucao 1 fx y x 2y 5 na regiao limitada por x 0 y 0 x y 1 2 fx y x 2y 5 na regiao limitada por x 0 y y x 1 3 fx y x2 y2 xy x na regiao limitada por x 0 y x y 3 4 fx y xy na regiao limitada por x2 y2 1 5 fx y xy2 na regiao limitada por x2 y2 1 6 fx y 123x2y na regiao triangular no planoxy com vertices em 1 2 2 0 e 0 1 7 fx y y 2x2 na regiao triangular no planoxy com vertices em 1 2 2 0 e 0 1 8 fx y 3x2 2y2 4y na regiao triangular pelos graficos de y x2 e y 4 9 fx y x2 xy na regiao S x y R2 x 2 y 1 10 fx y x2 2xy y2 na regiao S x y R2 0 x 2 0 y x Observe que fx y x22xyy2 xy2 0 x y R2 como f0 0 4 esta no interior da regiao S entao 0 0 e ponto de mınimo Observe que f2 2 2 22 esta na fronteira da regiao S entao 2 2 e ponto de maximo Isto pelo fato 0 x 2 0 y x 0 x y 2 x 2 2 0 x y2 2 22 fx y 2 22 x y R2 11 Achar o maximo e mınimo globais da funcao fx y 2x2y2x2y2 na regiao triangular no primeiro quadrante limitado pelas retas x 0 y 0 y 9 x Observe que fx y 4 x 12 y 12 como f1 1 4 e 1 1 esta no interior do triˆangulo entao 1 1 e ponto de maximo Observe que f9 0 61 e 9 0 esta na fronteira do triˆangulo entao 9 0 e ponto de mınimo Tambem 0 9 e ponto de mınimo 322 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6112 Achar um paraleleptpedo retangular de volume maximo se 0 comprimento da diagonal éd Solucao Suponhamos o paralelepfpedo como mostra a Figura 62 logo xz y 22 d entao z d x y onde d 0 é fixo oe x Figura 62 O volume deste paralelepipedo é V xyz entao Vay ry 2 9 de onde OV yd 2x y 9 OV ad 2y 2 9 Or PR 72 2 7 Oy 2 72 2 7 estamos considerando x 4 0 e y 4 0 logo d 2x y2 0 e d 2y a2 0 de onde tyed J3n dV3 dvV3 dV3 O ponto a8 wi é estacionario para a fungéo V xy O valor de z ws dvV3 Paraxyz ws obtemos volume maximo Exercicio 6113 Determine um ponto dentro de um quadrildtero para o qual a soma dos quadrados das distancias entre tal ponto e os vértices seja minima Solucao Exercicio 6114 Uma caixa retangular esta sobre 0 planozy com um dos vértices na origem Encontre o volume maximo da caixa se o vértice oposto a origem pertence ao plano 624y3z 24 Solucao 323 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Sejam x y e z as dimensoes da caixa entao seu volume é V xyz Como o vértice oposto a 000 se encontra no plano 6 4y 3z 24 entao 1 z 24 6x 4y assim obtemos a funcgao fx y gry 24 6x 4y Of 4 Of 8 Of Of 8 8ydryy 8r22xy S4y 4 Ox YI 39 Oy OEE B39 972 y Oy 3 O O 4 Quando of Oe of 0 segue que x e y 2 Os outros pontos criticos Ox Oy 3 achamos quando x 0 y0 Of 8 Of 8 84ry 84r4 OxOy wo 34 OyOu wo 34 logo 4 s 8 64 8 32 3 3 4 a Logo 5 2 é ponto de maximo 4 8 O volume sera maximo quando as dimensoes da caixa sejam 3 y2 z 3 Exercicio 6115 Achar as dimensoes do maior paralelepipedo retangular com trés de suas faces nos planos coordenados e um vértice sobre o plano x 3y 2z 6 sabese que x y sao positivos Resposta comprimento 2 largura 23 e altura 1 Solucao Seja o paralelepipedo com um do seus vértices no ponto Px y z pertencente ao plano x 3y 2z 6 Como suas tres faces estao nos planos coordenados entao seu volume é Vay 2 vyz Consideremoa a fungaéo Fx yz ryzAx4 3y 22 6 e suas derivadas parcias Of Of Of Of A0 3A0 20 3y 2z60 Dz Ye ay LZ Dz ry Dr U ay 22 x x xu2z 3y0 y2z0 23yr0 r2z23y r2 YDe5 Portanto comprimento 2 largura 23 e altura 1 Exercicio 6116 Verificar que a funcao f definida por fxy 2 y tem um minimo na origem e nao satisfaz as condicdes do teorema da derivada segunda Solucao 324 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 6117 Para os seguintes exercıcios use o teorema de Weierstrass teorema de valores extre mos para dizer se e possıvel garantir apriori se o problema de otimizacao possui ou nao uma solucao Solucao 1 Maximizar fx y x y sujeito as restricoes x 0 y 0 x2 y2 1 Respostas 1 Sim 2 Maximizar fx y x2 y2 sujeito as restricoes x 0 y 0 Respostas 2 Nao 3 Maximizar fx y x y sujeito as restricoes x 0 y 0 x2 y2 1 Respostas 3 Sim 4 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 4 Sim 5 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 5 Nao 6 Maximizar fx y senx2 y2 sujeito as restricoes x2 y2 1 Respostas 6 Sim 7 Maximizar fx y z x 2y 3z sujeito as restricoes x 0 y 0 z 0 x2 y2 z2 1 Respostas 7 Sim 8 Maximizar fx y z x 2y 3z sujeito as restricoes x 0 y 0 z x2 y2 Respostas 8 Nao Exercıcio 6118 Obtenha e classifique os pontos crıticos das funcoes Solucao 1 fx y x3 12xy y3 5 Resposta Em 0 0 temse ponto sela 0 0 5 em 4 4 maximo 2 fx y xy 8 1 x 1 y Resposta Em 2 2 maximo 325 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 fa y 2 y 32 3y 9x Resposta 10 min relativo f3 2 max relativo em 1 2 e 3 0 ponto sela 4 fx y 2 3aryy a uma constante Resposta Em 0 0 ponto sela fa a é minimo se a 0 Exercicio 6119 Determine os valores de maximo e minimo para fx y senz cosy no retangulo R definido porOa2n7 Oy 2rz Solucao Resposta 2 é 0 minimo absoluto e 2 6 o maximo absoluto Exercicio 6120 Obter 0 maximo e minimo absolutos das seguintes funcdes nas regides indicadas Solucao 1 fzy ay 2x7 y1 na regiao x y 1 3 773 f1 0 1 é 0 minimo absoluto e FG 556 0 maximo absoluto 2 fxy 6x 18ry 4y 62 10y 5 no quadrado O x 1 Oy 1 f0 1 1 6 0 minimo absoluto e f1 1 17 0 maximo absoluto Exercicio 6121 Desejase construir uma caixa retangular com tampa cujo volume é de 2744 cm sendo que a quantidade de material para a sua fabricagao deve ser minima Solucao Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por V 2 y z xyz 2744 como na Figura 63 Z 4 yy x Figura 63 Por outro lado sua superficie S é dada por 5488 5488 S2ryt2yz2rz Sxy 2xy zt y 326 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse OS 5488 OS 5488 2y 0 27 0 Ox x Oy y de onde x 2744 e y 2744 logo x y 14cm Calculo do hesseano OS 10976 OS 9 OS 10976 OS 9 Or a Oya Oy2B OO 10976 9 10976 9 ASzy yo976 AS414 4 o97g 120 2 9 2020 y 148 10976 Como TE 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes sejam 7 y z 14cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6122 Desejase construir uma caira retangular com tampa de 64cm de volume O custo do material a ser usado é de lum por cm para o fundo e tampa 4um por cm para um par de lados opostos e 2um por cm para o outro par de lados opostos Determine as dimensoes da caixa de tal manetra que o custo seja minimo Solucao vy Y x Figura 64 Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por Vz y z xyz 64 Por outro lado o gasto com material para sua superficie S é dada por S 2xy 22yz 24rz 256 512 Sxy 2xy r y Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 256 OS 512 Ox x Oy y 327 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II de onde x 16 e y 512 logo x 4 y 8 cm Calculo do hesseano OPS 512 Can 9 OS 1024 Can 9 0x2 a3 yn Oy y OaOY 5012 z 2 on 9 ASxy yo AS48 q994 120 Se 2p 512 ns Como EP 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes sejam x 4 y 8 e z 2cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6123 Determine trés niimeros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja minima Solugao Sejam os ntimeros zyz Z ea funcao fz yz r yz tais que ryz 100 Queremos achar um minimo para fz y z Consideremoa a fungaéo Fx yz xyz2Aryz 100 e suas derivadas parcias Of Of Of Of 14Ayz20 14Arz0 14Ary0 100 0 Dn Ayz dy AxzZ Dz Ary Dy LYz Atyz0 Ayxz0 Azxy O y2 Portanto os ntimeros sao 100 y 100 z v100 Exercicio 6124 Desejase construir um tanque com a forma de um paralelepipedo para estocar 270m3 de combustivel gastando a menor quantidade de material em sua construcao Supondo que todas as paredes serao feitas com o mesmo material e terdo a mesma espessura determinar as dimensoes do tanque Solugao Z Yy ey x Figura 65 Sejam x y e z as dimensoes da caixa seu volume é dado por Vz y z xyz 270 328 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Por outro lado sua superficie S é dada por 540 540 S2ry2yz2ez Sxy 2ay zt y Para determinar pontos estaciondrios da funcgaéo Sxy temse Os 540 OS 540 24y 0 27 0 Ox x Oy y de onde x 270 e y 270 logo x y 3W10 cm Calculo do hesseano aS 1080 OS 9 aS 1080 OS 9 0x2 Oya Oy yB 7 Oxy 1080 9 1080 9 ASxy og9 AsS1414 270 ipgq 120 2 9 wu y 270 1080 Como 370 0 acontece minimo em S Portanto quando dimensoes interiores sejam y z 3V10 cm teremos um minimo de gasto em material Exercicio 6125 Determine a temperatura minima num disco de raio igual a 1 centrado na origem sabese que a temperatura T em qualquer ponto xy do plano é dada por Tx y 3y2 27 x2 7 Solugao Seja D zy R 2 y 1 0 disco a funcdo temperatura em qualquer ponto do plano é dado por Tx y 3y 2 x 7 Determinemos os pontos onde acontece temperatura minima OT OT 1 2r10 3y0 0ED Ox Oy 4 5 Por outro lado OT OT OT OT 2 0 2 0 6 0 3 AT 0 Ox OyOx Oy v Oxdy 0 0 nada a concluir 329 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 29 1 ns Porém 5 0 Te T0 0 7 assim 5 0 é ponto da temperatura minima e encontrase no disco D 1 1 99 A temperatura no ponto 5 0 é 5 0 7 graus Exercicio 6126 Determine a temperatura méxzima num disco de ratio igual a 2 centrado na origem sabese que a temperatura T em qualquer ponto xy do plano é dada por Tx y y 2 2x7 2y 8 Solugao Seja D zy R 2 y 2 o disco a funcao temperatura em qualquer ponto do plano é dado por Tx y y x 2x 2y 8 Determinemos os pontos onde acontece temperatura minima OT OT 2r20 2y420 1leED De r Dy y Por outro lado OT OT OT OT 2 0 9 9 2 2 5 0 AT 0 Ox OyOu Oy OxOy 0 2 logo 11 é ponto de maximo relativo Temse que T11 10 assim 1 1 é ponto da temperatura maxima e encontrase no disco D A temperatura no ponto 1 1 6 T1 1 10 graus Exercicio 6127 Uma indistria produz dois produtos denotados por A e B O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela fungao Lx y 602 100y 152 15yxy Supondo que toda a producdo da industria seja vendida determinar a produgao de tal modo que o lucro seja maximo Solugao Temos que maximizar a fungao de lucro total Lz y OL OL 603ry0 1003yx70 v10 y30 Ox Oy também OL OL OL OL 3 1 723 2221 2221 S23 SS AL 80 Ox OyOu OxOy Oy 1 3 330 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Logo 10 30 e ponto de maximo e o lucro maximo e L10 30 1800 um Exercıcio 6128 Obter as dimensoes do paralelepıpedo retangular de maior volume que pode ser inscrita numa esfera de raio R 1 Solucao Consideremos a esfera de centro 0 0 0 e raio a unidadeUm ponto da esfera x y z satisfaz x2 y2 z2 1 O paralelepıpedo inscrito na esfera tem por lados 2x 2y e 2z e seu volume V x y z 8xyz Consideremos a funcao Fx y z 8xyz λx2 y2 z2 1 entao f x 8yz 2λx 0 f y 8xz 2λy 0 f z 8xy 2λz 0 f λ x2 y2 z2 1 0 y x8z 2λ 0 y z8x 2λ 0 z x8y 2λ 0 x y z Sendo x2 y2 z2 1 3x2 1 x 3 3 e cada lado mede 2x tratase de um cubo de lado 2 3 3 Exercıcio 6129 Determine o maximo e mınimo para funcao fx y z x y z com restricao na esfera B x y z x2 y2 z2 1 Solucao Seja gx y z x2 y2 z2 1 e consideremos a funcao a ser estudada Fx y z x y z λx2 y2 z2 1 F x 1 2xλ 0 e F y 1 2yλ 0 2λx y 0 F z 1 2zλ 0 2λx z 0 F λ x2 y2 z2 1 0 λ 1 x logo x y z Da ultima igualdade segue que x y 3 3 e z 3 3 Observe que f 3 3 3 3 3 3 3 e f 3 3 3 3 3 3 3 Portanto o maximo de f e 3 e o mınimo 3 331 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6130 Um servico de entrega de pacotes estabelece que as dimensoes da caixa retangular devem ser tais que seu comprimento mais o dobro de sua largura mais sua altura nao ultrapasse os 108 cm Qual é o volume da maior catza que se pode enviar com estas condicées Solugao Quando seja maior os comprimentos do seus lados maior é o volume Suponhamos os lados da caixa sejam comprimento x largura z altura y Entao y 108 x 2z o volume da caixa 6 V xyz assim Va z x2108 x 2z de onde av av 1082 2xz 22 e 108 x dear Ox Oz Quando 1082 2z2270 2z1082r 2z 0 de onde x 2 54 Quando 108 a2 4z20 108 4z x 0 de onde x 42 108 Resolvendo o sistema z 18 e x 36 de onde y 36 2z 108 2 4 36 36 Aa 2 TT 1 Ls A36 18 0 108 2x 4z 4x 36 72 OV L como Dap 35 18 36 0 temse maximo em 36 18 As dimensoes da caixa sao comprimento 36 largura 18 altura 36 O volume da caixa 6 V 23328cm Exercicio 6131 Achar os valores extremos de fx y x y sujeita é restricado x y 1 Solucao Resp Minimo 0 maximo 2 332 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 62 Multiplicadores de Lagrange Exercicios 62 ky Exercicio 621 Identificar os pontos de extremos para as seguintes fungoes 1 fa y2 3ryy 2 fxy 3x xy 3y Solugao Exercicio 622 Classifique os pontos criticos de 1 ft yartytaryt4 2 fa y ay 2a 2y a 3 fx y pe 4 fx y a Hy 2a y 5B ft y1Vrty 6 fa y a 2ay ty Solugao Exercicio 623 De todos os paraleleptpedos retangulares cuja soma das arestas constante e igual a B B 0 qual 0 que tem volume mdzimoDe todos os paraleleptpedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a B B 0 qual 0 que tem volume mdximo Solugao Exercicio 624 Determine a distancia minima da origem ao plano x3yz6 Solugao Exercicio 625 Determine o valor maximo da soma dos cossenos dos angulos de um tridngulo Solugao Exercicio 626 Uma caixa retangular tem trés faces nos planos coordenados e um vértice P x y 2 no primeiro octante sobre a superficie x2 y2 z1 Calcule o volume da maior caixa com essas caractertsticas Solugao Exercicio 627 De todos os triadngulos de perimetro fixado determine o de maior area Solugao 333 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercıcio 628 Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos 0 0 1 2 2 1 2 3 1 2 e 3 2 Solucao Exercıcio 629 Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos 3 5 1 2 2 1 1 1 5 1 4 3 e 3 4 Solucao Exercıcio 6210 Determine os pontos extremos de fx y x2 y2 tais que y x 1 Solucao Exercıcio 6211 Determine os pontos extremos de fx y xy tais que x2 y2 1Determine os pontos extremos de fx y xy tais que x2 y2 1 Solucao Exercıcio 6212 Determine os pontos extremos de fx y x2 2y2 tais quex2 y2 1 Solucao Exercıcio 6213 Seja um retˆangulo de lados 3cm e 5cm Calcule um valor aproximado para a variacao da area deste retˆangulo quando as medidas de seus lados sao modificadas para 3 01cm e 4 95cm respectivamente Solucao Seja o retˆangulo de lados x 3 e y 5 sua area e A 15cm2 onde Ax y xy e a funcao que representa a area Quando o lado x e modificado para 3 01cm temse dx 0 01 quando o lado y e modificado para 4 95cm temse dy 0 05 Logo a variacao e dada por dA A x dxA y dy logo dA ydxxdy dA3 5 50 01 30 05 dA3 5 0 10 A area diminui em 0 10cm2 Exercıcio 6214 Seja um triˆangulo retˆangulo cujos lados menores medem 4cm e 6cm Calcule um valor aproximado para a variacao da area deste triˆangulo quando as medidas seus lados sao modificadas para 3 99cm e 5 95cm respectivamente Solucao 334 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja o triˆangulo de catetos x 4 e y 6 sua area e A 12cm2 onde Ax y xy 2 e a funcao que representa a area Quando o cateto x e modificado para 3 99cm temse dx 0 01 quando o cateto y e modificado para 5 95cm temse dy 0 05 Logo a variacao da area e dada por dA A x dx A y dy logo dA y 2dx x 2dy dA4 6 6 20 01 4 20 05 dA3 5 0 13 A area diminui em 0 13cm2 Exercıcio 6215 Seja um reservatorio de forma cilındrica de 2m raio e 3m de altura Calcule um valor aproximado para a variacao do volume deste reservatorio quando as medidas sao modificadas para 2 1m de raio e 2 8m de altura Solucao Sejam r o raio da base e h a altura do reservatorio entao seu volume e dado por V r h πr2h Logo dr 0 1m e dh 0 2m A variacao do volume e dado por dV r h V r dr V h dh dV 2 3 2π230 1 π220 2 0 4π O volume aumenta em 0 4π 1 256636m3 Exercıcio 6216 Determine os extremos relativos da funcao dada em cada caso com as restricoes in dicadas Solucao 1 fx y 25 x2 y2 com restricao x2 y2 4y 0 Seja Fx y λ 25 x2 y2 λx2 y2 4y as derivadas parciais F x 2x 2λx 0 61 F y 2y 2λy 4λ 0 62 F λ x2 y2 4y 0 63 2 fx y z x2 y2 z2 com restricao 3x 2y z 4 0 335 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 3 fx y z x2 xy y2 3z2 com restricao x 2y 4z 60 4 fx y z xyz com restricao 1 x 1 y 1 z 1 Seja Fx y z λ xyz λ1 x 1 y 1 z 1 as derivadas parciais F x yz λ x2 0 xyz λ x 0 F y xz λ y2 0 xyz λ y 0 F z xy λ z2 0 xyz λ z 0 F λ 1 x 1 y 1 z 1 0 logo 3xyz λ xyz λ 3 x y z 3 o ponto 3 3 3 e extremo relativo Observe f3 3 3 27 por exemplo para o ponto quaisquer 4 2 4 segue f4 2 4 32 Portanto 3 3 3 e ponto de mınimo relativo 5 fx y z x3 y3 z3 com restricao x y z 1 Seja Fx y z λ x3 y3 z3 λx y z 1 as derivadas parciais F x 3x2 λ 0 λ 3x2 F y 3x2 λ 0 λ 3y2 F z 3z2 λ 0 λ 3z2 F λ x y z 1 0 logo supondo os tres numeros positivos x2 y2 z2 x y z x y z 1 x y z 1 3 o ponto 1 3 1 3 1 3 e extremo relativo Observe f1 3 1 3 1 3 1 3 por exemplo para o ponto quaisquer 0 1 2 1 2 segue f0 1 2 1 2 1 4 Portanto 1 3 1 3 1 3 e ponto de maximo relativo 6 fx y z w x2y2z2w2 com restricao xyz 1 yw z z2x 5 7 fx y xy sobre o cırculo x2 y2 4 8 fx y z aa xa ya z com restricoes x y z 2a a 0 9 fx y x2 y2 xy x y 4 com restricao x y 3 0 336 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 1 1 a 10 fx y comrestrigao xry2 y ll fz y wayn4 com restrigao az y 1 V2 12 fx y zy com restrigao x42y1 Exercicio 6217 Achar os pontos da curva intersecao da elipsdide x74y42z 4 e o plano x4y2z 0 que estao mais pertos da origem Achar a distancia minima Solugao Exercicio 6218 Determine trés numeros positivos x y e z tais queexyz 1 e transformem ry yz xz tao grande como seja posstvel Solugao Exercicio 6219 Mostre a desigualdade x z3 a y 23 yc SE D0 y 50220 3 3 Solugao Exercicio 6220 Um container no formato de paralelepipedo tem que ter um volume de 135m3 Apli cando multiplicadores de Lagrange achar as dimensodes do container com esse volume e custo minimo se o prego de construcao da base é R6000 por metro quadrado e os lados e a tampa custam R4000 0 metro quadrado Solugao Exercicio 6221 Achar as dimensoes do cilindro circular reto com drea de superficie minima cujo vo lume Vo unidades cubical Solugao Exercicio 6222 Use multiplicadores de Lagrange para achar as dimensoes da caixa retangular de vo lume mdzimo que pode ser inscritacom as arestas paralelas aos eixos coordenados no linséid oy 1 elipsdide 1 B8OWEI 49 25 Solugao 337 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O volume maximo pedido sera oito vezes o volume da caixa retangular similar no primeiro octante Esta pequena caixa tem como vertices 0 0 0 x 0 0 x y 0 0 y 0 0 0 z x 0 z x y z e 0 y z Estas componentes satisfazem x2 9 y2 49 z2 25 1 O paralelepıpedo inscrito no elipsoide tem lados de comprimento 2x 2y e 2z Seja o volume V x y z xyz da caixa retangular no primeiro octante Consideremos a funcao Fx y z xyz λx2 9 y2 49 z2 25 1 entao f x yz 2 9λx 0 f y xz 2 49λy 0 f z xy 2 25λz 0 f λ x2 9 y2 49 z2 25 0 9 3x2 0 49 3y2 0 25 3z2 0 x 3 3 y 7 3 z 5 3 Portanto a dimensoes sao 2 3 14 3 3 10 3 3 respectivamente Exercıcio 6223 Prove que o produto de trˆes numeros positivos x y z cuja soma e S e maximo quando os trˆes numeros sao iguais Solucao Sejam os numeros positivos x y z cuja soma e S x y z Temos que achar o maximo da funcao fx y z xyz com restricao S x y z Seja Fx y z xyz λx y z S logo F x yz λ 0 λ yz 64 F y xz λ 0 λ xz 65 F z xy λ 0 λ xy 66 F λ x y z S 0 x y z S 67 De 64 65 e 66 temse y x z em 616 segue que x x x S de onde x 1 3S Portanto o produto e maximo quando os trˆes numeros sao iguais Exercıcio 6224 Usar o resultado do exercıcio anterior para mostrar que 3xyz x y z 3 Solucao 338 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Exercicio 6225 Maximize a fungao fx y z com as restrigdes dadas Solugao 1 fxy z xyz com restrigdes xcty232 e rytz0 2 fxy z2y 27 com restrigoes ry8 e r2y4 3 fxy zxy yz com restrigoes x3z20 ce r2y6 4 fxy 2 xyz com restrigdes x 2y0 e 2 4275 Exercicio 6226 Fazer uso dos multiplicadores de Lagrange para resolver os seguintes problemas Solugao 1 1 Obter os pontos criticos de fx y 4 y 3 sujeito a restricao x 5 1 2 2 2 Respostas 22 22 e 1 0 postas 475475 By 5ty5 0 2 Obter os pontos sobre a curva de intersecao do plano y z 1 e a superficie x y z7 1 que estao mas perto e mais longe da origem Respostas 100 e 0 10 sao os mais pertos e 11 1 é 0 mais longe Exercicio 6227 Calcular os extremos absolutos das sequintes fungoes sujeito a restrigao indicada Solucao 1 fle y22 y2 em 0 y eR de 9y1 2 fx y 3ay 2y em x y ER 2a y 1 ey0 3 fxy z 2a yzem rz y 2 ER vy421 4 fxy 2 32 yazem 2 y z ER vy1 2r720 339 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 63 Revisao do Capıtulo VI Miscelˆanea 61 Miscelanea 611 Determine o mınimo local funcao fx y x2 y2 em todo seu domınio Solucao Miscelanea 612 Seja z fx y x2 determine um conjunto infinito de pontos de maximo locais de f Solucao Miscelanea 613 Determine pontos crıticos para as funcoes Solucao 1 fx y x2 y2 2 fx y 4xy2 2x2y x 3 fx y xy 8 1 x 1 y x y 0 0 4 fx y 2x2 y2x2y2 5 fx y x2 y2 x2y2 2 6 fx y z x2 y2 x2 y2 1 7 fx y z 43xyz 3 x y z 8 fx y x2 12 x2y x 12 Miscelanea 614 A temperatura em um ponto x y de uma placa de metal no planoxy e dada por Tx y xy x2 y2 1 Determine a taxa de variacao da temperatura em 1 1 na direcao e sentido do vetor u 2 1 340 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 2 Uma barata em 11 precisa andar na direcéo na qual a temperatura baixa mais rapidamente Determine um vetor unitdrio nesta diregao Solugao xy 1 temse Tz y Pip entao OT yy 2 OT xa y S SS e SS Ox a y Oy a y 2 2 2 2 2 2 x 2 dT x y uy x ua y 2 1 yo Qy 2 x y a y x y Assim a taxa de variacéo da temperatura em 11 na direcao e sentido do vetor a 2 1 édT1 1 0 OT OT 2 Quando Dn Ou 0 segue que x y assim dT x x 0 a temperatura baixa t y rapidamente nos pontos z 2 2 2 A barata caminha na diregao 0 2 ve Miscelanea 615 Calcular os extremos para as seguintes fungdes z fx y Solugao 1 zayt9 20 za2yl2y 3 zyrtaryat 4 2ryxy 5B 2 Qe y43 6 32 y 3ry Miscelanea 616 O7y 0y Seja y fxatgx at Mostre que Be o Fya qualquer que sejam as xv funcoes f e g duas vezes derivaveis Solugao 341 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Ou Seam uxat vxat logo a Ou Ov Ov ot a 1 3 Bn 1 Podemos ecrever y fa at gx at assim Oy Of Ou Og Ov Oy Of Og ai du Ot dv OF oF lau dv Oy Of Ou Og Ov Oy Of Og dx du Oc Ov dx Ot Ou assim Oy OF Ou Hy au OF oo a au2 at Ov at Law Av Oty OF Ou Og dv Oy HF HG Ox Ou Ox OU Ok ot Ou Ov 2 2 Portanto destas tltimas igualdades oY rot Miscelanea 617 Seja z fx g9yaygy Verificar que x oe ualquer J GY YG Y q Varay dy 4 q que sejam as fungoes f e g duas vezes derivdveis Solucao Oz i MN i Temse Dy 9 y 2gy gy yg y yo y Oz O72 P 1 we gt qx or outro lado By fzqy Ady gy Oz Oz P y xygy ortanto x y Dy x ygy Dy Miscelanea 618 Identificar os pontos criticos que limitam a fungao fxy xy com a regido D zy ER vty 1 Solucao Sejam gxy a y1 e FayAaxy Aa y 1 FE or yt2dr0 y2ry 0 68 FE Fatty 0 2 2rry 0 69 FE OF 241 0 wtyl 610 OX Somando 68 e 69 temse x y1 2A 0 logo A 5 ou v y 342 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Multiplicando por x e y respectivamente em 68 e 69 logo somando estes resultados temse 27 y4ry 0de 610 4Ary 1 Substraindo 69 de 68 temse x y1 2A 0 de 610 4Ary 1 logo A ou y ne 1 11 1 1 1 1 1 1 Sao pontos criticos 000 Fe a 5 FR Fa 9 e Fs FoR 9 OF OF OF Opt OyOe OXOe 1 AazyA J KI 1D Dy 2ya4Xay Asa y A OxOy dy JAY OF OF OF 2x 2y 0 Ord AyOX A 2 AiayA 2X Aoxy A 4 Para 4 ys temse A 0 A 0A3 0 logo 4 4 é v2 x 2 Oe NRO 2 2 ponto de maximo Para 4ti4 temse A 0 Ay 0As3 0 logo 4 443 é V2 V2 2 V2 V2 2 ponto de minimo Como A000 0 nada a concluir seja 0 quando x y temse Fxy0 x logo 000 é ponto de mfnimo Quando y x temse Fxy0 x logo 000 é ponto de maximo Numa vizinhanga de 000 temse pontos de maximo e minimo logo 000 é ponto de sela Miscelanea 619 Suponha que x unidades de maodeobra de y unidades de capital sejam necessarias para produzir fx y 60 x3y unidades de certo produto Suponha ainda que cada unidade de mao de obra custe R10000 e cada unidade de capital custe R20000 Se R80000 00 estado dispontveis para serem gastos com a producao determine quantas uni dades de mao de obra e de capital devem ser utilizadas para maximizar a produgao Qual é a produgao maxima Solucao O custo total com mao de obra e ntiimero de unidades de capital total é dado por 100x 200y logo 100x 200y 80000 Temos que achar o ponto de maximo da funcao fz y com restrigao 100x 200y 80000 x0y0 343 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Seja Fx y 60vxr3y A100x 200y 80000 logo OF y 9 y 451000 A 611 Ox ye 20 ye 611 OF x3 3 a 152000 sas A a 612 Oy Vy 40 y 612 OF Dr 100x 200y 800000 2x2y 800 613 De 611 e 612 temse x 6y em 613 segue que 6y 2y 800 de onde y 100unidades de mao de obra e x 600 unidades de capital Em 600 100 a fungao F tem maximo O maximo da funcado da producao é f 600 100 606003 100 23001 95 Miscelanea 6110 A fungado de produgao de CobbDouglas para certo produto dada por fx y 100ay onde x representa o ntimero de unidades de mao de obra R15000 o custo por unidade e y representa o numero de unidades de capital R25000 0 custo por uni dade Se o custo total de mao de obra e capital é limitado a R50000 00 determine o numero de unidades de mao de obra e de capital que maximizam a producao Determine também a produgao maxima Solucao O custo total com mao de obra e ntiimero de unidades de capital total é dado por 150a 250y logo 150x 250y 50000 Temos que achar o ponto de maximo da funcao fz y com restrigao 150 250y 50000 x0 y0 Seja Fx y 100x3y A150x 250y 50000 logo OF y 1 sy 7544150A0 A4 614 Ox yt 2 yt 614 FP 3 1 3 OF 957 4 950 0 45 615 Oy y 10 y OF Dr 1502 250y 500000 3x5y 1000 616 De 614 e 615 temse 5y x em 616 segue que 35y 5y 1000 de onde x 250unidades de mao de obra e y 50 unidades de capital Em 25050 a fungao F tem maximo O maximo da funcao da producao é f 250 50 1002503 50 13295 74 Miscelanea 6111 344 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II O custo total de producao de uma firma produtora de dois bens e dado por Cx y 8x2 xy 12y2 onde x e y representam o numero de unidades de cada um dos bens Determine os valores de x e y que minimizam o custo se a firma e obrigada por contrato a produzir um total de 42 produtos Qual e o custo mınimo Solucao Temos que achar o ponto de mınimo da funcao Cx y com restricao x y 42 Seja Fx y 8x2 xy 12y2 λx y 42 logo F x 16x y λ 0 λ y 16x 617 F y 24y x λ 0 λ x 24y 618 F α x y 42 0 x y 42 619 De 617 e 618 temse 25y 17x em 619 segue que x 17x 25 42 de onde x 25 e y 17 Em 25 17 a funcao F tem mınimo O custo mınimo de producao e C25 17 8043 0 345 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Apéndice Al Formulas elementares de integracao Considere o numero real a 0 en Z d 1 Jewaure 2 Gatnlulsc u yrtt 3 Jeduer4e A peuS e nl n1 5 ord 1 6 soe cosuC Lna 7 oo udu senu C 8 oo udu Ln senu C 9 nud Ln secu C 10 Js udu Ln secu tanu C 11 se udu tanuC 12 ex udu Ln cscu cot u C 13 Joe udu cotuC 14 scoutan udu secuC 15 oscu cotu cscuC 16 sent coshu C 17 J costudu senhu C 18 comtudu Ln coshu C 19 seotudu tanhuC 20 sect tanh udu sechu C 21 cost udu cothuC 22 J eschu coth udu cschu C du 1 u du 1 ua 23 arctan C 24 Ln C lore g arctanT e 2a ml alt du 1 uta du u 25 5qrm ee C 26 las arcsen C 27 tan udu t C 28 ut C an Uadu anuut 2 ese apa d Vu a d 1 29 las ute 30 ls dyaresec tt C u2Vu2 a azu uve a a a 1 1 d 31 sontuau glu psen2u C 32 ls Lnu Vu ta C d 1 33 a LnLnu C 34 sonudu 2senu cosu C uLnu 1 35 cot uducotuuC 36 peed Ayre peena a a 1 37 oot udu 5 cot u Ln senu C 1 38 ow udu 5 tan u Ln cosu C 346 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II n 1 n1 n2 39 tan udu 74 fen u tan udu yrtl ar AI S ty pve re tet oh Le uvu a a u a Vu2aa 1 42 Jv a udu gluv a u aaresen C 1 43 ve adu gluvu a a7Lnu Vu aC 1 4A ve adu g luv aLnu Vu a2C 1 45 eve adu g lula 2u Vu a a Lnut Vu a2 C 2 46 we bu du Tapp lsbu 2aa bu C u 2 47 du bu 2aVat bu C l u apn OU aVa bu Vat bu du 48 du2Vabu fore u ore uva bu 1 1 49 sonra du sen cos u sen udu n n 50 oos udu cos usenu not Joos udu n n 1 2 51 osc udu tanusec u o sco udu n 7 n 74 52 Joe udu cot ucse u oo udu n1 n1 senabu sena bu 53 J senausenbu du ab 2a b C senabu sena bu A dy aE 5 costa cosbu du ab 2a b C cosabu cosa bu 55 sentau cosbu du ab 2a b C 1 56 Je cosaudu sen aul 2 cosau C 1 57 Je senaudu cosau G2 sentau C 2 9 uU 2u 2 58 Je cosaudu 7 seman a2 cosau qa senau C 2 2 2 59 fe senaudu cosau sen au a cosau C 60 J vrsonudu u cosu nf cos udu au et 61 Je senbudu pp asendu bcosbu C au et 62 Je cos budu 2 pp Psenbu acos bu C 347 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II A3 Identidades Diversas Identidades para derivadas Sejam C constante n Q a R fx gx funcoes αˆangulo Lnxlogaritmo neperiano logb x logaritmo natural na base b DxC 0 Dxf g f Dxg g Dxf Dxfgx Dxfgx Dxg Dxefx efx Dxfx DxLnf 1 f Dxf f 0 Dxsenx cos x Dx cos x senx Dx sec x sec x tan x Dxarcsenx 1 1 x2 Dx arctan x 1 1 x2 Dxf g Dxf Dxg Dxf g g Dxf f Dxg g2 Dxfn n Dxfn1 Dxaf af Dxf Lna a 0 Dxlogb f 1 f Lnb Dxf f 0 Dx tan x sec2 x Dx cot x csc2 x Dx csc x csc x cot x Dx arccos x 1 1 x2 Dxarcsecx 1 x x2 1 Outras Identidades Equivalˆencia entre graus sexagesimais e radianos α graus α radianos senα cos α tan α cot α sec α csc α 0o 0 0 1 0 1 300 π 6 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45o π 4 2 2 2 2 1 1 2 2 60o π 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90o π 2 1 0 0 1 348 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II e Suponhamos b c Rt m Q temse logaN ab Logo i logac logalogc ii logac loga logc iii loga mloga iv loga loga logb e Para ntmeros na base decimal 1 Gia 10a 10 1a10aa9 Funcoes Hiperbdolicas GC 2 9 1 senhxz a 2 cscha 2 e e ee 2 3 cosha 4 secha 2 e e 5 tehr senhx ee 6 ctghr cosh x ee cosha ee senhxr ee Identidades Hiperbdélicas Basicas 1 senhx senhz 2 senh2x 2senhz cosh x 3 coshx coshax 4 cosh2x7 senhx cosh x h2z 1 5 sena cosh 6 senhz y senhz cosh y senhy cosh x h2 1 7 cosh x coshn t 8 coshx y coshz cosh y senhasenhy 9 senx cosh 1 10 tghx 1sechx tgha tghy 11 ctghx1 h 12 tgh ctghx eschx ghx y T the tahy tghx ctghy 1 13 cosh senhz e 14 ctgha y Chee orehy ctghz ctghy 15 coshx senhx e 16 senhx tghr t Vltghz Vctgh1 1 ctghx 17 arcsenhx Lnw V2 1 18 cosha V1ltghe vctgh1 h V cosh x 1 19 arccosha LnaVa1 20 tghr eves Vsenhz 1 cosh x d d 21 senhx coshx 22 coshx senhx de de 23 tghr 1tghr 24 ctghr 1ctghx dx dx 349 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 350 01012023 Referˆencias 1 Abellanas P Perez Beato M Curso de Matematicas em Forma de Problemas Sociedad Anonima Espanola de Traductores y Autores 1960 2 Alvaro Pinzon Calculo I Diferencial Coleccion Harper Editor Torrelara Espana 1973 3 Berman G N Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Mos cou 1977 4 Deminovich B Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Moscou 1971 5 George B Thomas Calculo Vol I e II Editoa PEARSON 2009 6 Kudriavtsev L D at ell Problemas de Analisis MatematicoVol I Editorial MIR Moscou 1984 7 Lang Serge Calculo I Vol I e II Fondo Eduativo Interamericano S A 1973 8 Larson R Hostetler R Edwards B Calculo com Geometria Analıtica Vol II Livros Tecnicos e Cientıficos Editora SA 1998 Rio de Janeiro 9 Leithold Louis Matematica Aplicada a Economia e Administracao Editora HAR BRA 1988 10 Leithold Louis Matematica Aplicada A Economia e Administracao Editora HAR BRA 1988 11 Marsden J Tromba A Calculo Vectorial Editorial Reverte 1983 12 Meza Mitac M Ortega Carlos P Calculo III Editorial San Marcos 1987 Lima Peru 13 Murraty R Spiegel Calculo Superior Colecao Schaum 1973 Lima Peru 351 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II 14 OConnor J J Robertson E F Historia do Calculo httpwwwhistorymcs standrewsacuk 15 Pinedo Christian Q Calculo diferencial em R Universidad Federal do Acre Brasil 2017 16 Protter Murraty Charles Morrey Analisis Matematico Fondo Educativo Inte ramericano 1969 Lima Peru 17 Purcell E Varberg D Steven R Calculo Editorial Pearson 2007 18 Rivaud J Exercices danalyse Livrarie vuibert Paris Tomo I e II 1971 19 Stewart James Calculo de una Variable Trascendentes tempranas Sexta Edicao CENGAGE Learning 1989 20 Spivak Michael Calculus Calculo Infinitesimal Editorial Reverte 1983 21 Swokowski Earl W Calculo con Geometria Analıtica Segunda Edicao Grupo Editorial Iberoamerica 2008 22 Tibirica D Altamirano Curso de Calculo Infinitesimal Tomo I Publicacao da Fundacao GorciexOuro Preto 1962 352 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Suplemento de Calculo II Christian Jose Quintana Pinedo possui Bacharelato em Matematica Pura pela universidade decana da America Universidad Nacional Mayor de San Marcos LimaPeru 1980 mestrado 1990 e doutorado 1997 em Ciˆencias Matematicas pela Universidade Federal do Rio de Janeiro Como professor de matematica desde 1977 atuou nas universidades 1 Nacional Mayor de San Mar cos 2 Nacional de Ingenieria 3 Tecnica del Cal lao 4 De Lima 5 San Martin em Lima Peru Christian J Q Pinedo No Brasil atuou nas universidades 1 Unioeste Cascavel 2 Tecnologica Federal do Parana Pato Branco e 3 Universidade Federal do Tocantins UFT E professor associado da Fundacao Universidade Federal do Tocantins e Coordenador do Curso da Licenciatura em Matematica EADUABUFT Desde 2005 pertence ao Banco de avaliadores do Instituto Nacional de Estudos e Pes quisas Educacionais Anısio Teixeira Inep Tem experiˆencia na area de Educacao com ˆenfase em Educacao Permanente atuando principalmente nos seguintes temas educacao matematica matematica historia da matematica equacoes diferenciais e educacao E membro do Conselho Editorial da IES Claretiano em Sao Paulo e da Universidade Federal do Tocantins UFT perıodo 20122014 Christian tem trabalhos publicados na area de equacoes diferenciais em derivadas parciais historia da matematica e outros suas linhas de pesquisa sao Historia da Matematica Filosofia da Matematica Epistemologia da Matematica e Equacoes Diferenciais em Derivadas Parciais 353 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II DO MESMO AUTOR Colecao Licoes da Matematica Livros Licao Paginas Calculo Diferencial em R 01 396 Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis 02 426 Calculo Vetorial e Series Numericas 03 296 Series e Equacoes Diferenciais 04 498 Introducao ao Calculo Diferencial 05 368 Fundamentos da Matematica 06 322 Introducao as Estruturas Algebricas 07 280 Introducao a Analise Real 08 220 Historia da Matematica 09 288 Introducao a Epistemologia da Matematica 10 226 Suplemento de Calculo I 11 476 Suplemento de Calculo II 12 368 Suplemento de Calculo III em edicao 13 250 Suplemento de Calculo IV 14 698 Suplemento de Calculo Diferencial 15 402 Suplemento de Analise Real 16 120 Complemento da Matematica I 17 194 Complemento da Matematica II 18 228 Complemento da Matematica III em edicao 19 246 Complemento da Matematica IV em edicao 20 200 Introducao a Teoria dos conjuntos 21 146 Introducao a Logica Matematica 22 152 Argumentacao e Teoria da Demonstracao 23 132 Notas de Aula 1 Calculo com numeros complexos C 100 2 Manual do Estudante 50 354 01012023 Christian Q Pinedo Suplemento de Calculo II Tıtulo do original Suplemento de Calculo II ISBN 978 65 00 63718 2 Direitos reservados para lingua portuguesa Janeiro 2023 Palmas Tocantins Brasil 355 01012023