Termodinâmica teoria Cinetica e Termodinâmica Estatistica

A energia interna específica de um gás de van der Waals é dada por u cv T av constante fornecido ao gás por mol em cada um dos três processos Expresse a resposta em termos de R e Ti b Calcule o calor específico molar do gás em termos de R para o processo ab Solução do Exercício 414 Enunciado Para um sistema unidimensional mostre que a CL UTL b CF HTF c CL FLS CF FLT Solução a CL UTL Pela definição de calor específico a comprimento constante CL QTL dU dQ CL UTL b CF HTF Sabemos que entalpia é H U FL Para F constante CF QTF HTF c CL FLS CF FLT Essa igualdade deriva da equivalência de relações termodinâmicas cruzadas usando as definições anteriores e propriedades de derivadas compostas FLS FLT CFCL CL FLS CF FLT 419 Mostre que a hPT μcp b hTP cp 1 βμκ c hvT μcpβκ d Tvh μvκ μvβ 420 Para um gás ideal mostre que em um processo adiabático reversível a T Pγ1γ constante e b T vγ1 constante 421 A Fig 49 representa um cilindro com paredes termicamente isoladas que contém um êmbolo móvel e sem atrito também isolado termicamente Em cada lado do êmbolo há n moles de um gás ideal A pressão P0 o volume V0 e a temperatura T0 iniciais são as mesmas em ambos os lados do êmbolo O valor de γ para o gás é 150 e cv é independente da temperatura Por meio de uma bobina aquecedora do lado esquerdo do êmbolo o calor é fornecido lentamente ao gás deste lado Ele se expande e comprime o gás do lado direito até que sua pressão tenha aumentado para 27 P08 Em termos de n cp e T0 a quanto trabalho é feito sobre o gás do lado direito b qual é a temperatura final do gás à direita c qual é a temperatura final do gás à esquerda d quanto calor flui para o gás à esquerda 422 No curso de compressão de um motor Diesel comprimese o ar da pressão atmosférica e temperatura ambiente para cerca de 115 do seu volume inicial Ache a temperatura final supondo uma compressão adiabática reversível Faça γar14 423 a Mostre que o trabalho feito sobre um gás ideal para comprimilo isotermicamente é maior que o necessário para comprimir o gás adiabaticamente se a variação de pressão for a mesma nos dois processos b que o trabalho isotérmico é menor que o trabalho adiabático se a variação de volume for a mesma nos dois processos Como um exemplo numérico faça a pressão e o volume iniciais serem 106 N m2 e 05 m3 quilomol1 e faça γ53 Calcule o trabalho necessário para variar o valor da variável apropriada de um fator 2 c Lance este processo em um diagrama PV e explique fisicamente por que o trabalho isotérmico deveria ser maior que o trabalho adiabático na parte a e por que deveria ser menor na parte b 424 Um gás ideal para o qual cv3R2 ocupa um volume de 4 m3 a uma pressão de 8 atm e uma temperatura de 400 K O gás se expande até uma pressão final de 1 atm Calcule o volume e a temperatura finais o trabalho feito o calor absorvido e a variação na energia interna para cada um dos seguintes processos a uma expansão isotérmica reversível b uma expansão adiabática reversível e c uma expansão no vácuo 425 Um mol de um gás ideal é levado de P1 atm e T273 K para P05 atm e T546 K por um processo isotérmico reversível seguido de um processo isobárico reversível Ele é reconduzido ao seu estado inicial por um processo isocórico reversível seguido de um pro Fig 49 Solução do Exercício 419 Exercício 419 Mostre que a hPT μ cp 1 b hTP cp 1 β μκ 2 c hvT μ cpβ κ 3 d Tvh μv κ μ v β 4 Solução a A derivada de h em relação a P a T constante dh T ds v dP hPT T sPT v Pela relação de Maxwell sPT vTP e pela definição de coeficiente de dilatação β 1vvTP hPT T vTP v T v β v T v β v μ cp Usamos a definição do coeficiente de JouleThomson μ TPh T vT P v cp b Pela definição cp hTP usamos as relações entre derivadas cruzadas e as definições de β e κ 1v vPT Após manipulação algébrica obtémse hTP cp 1 β μκ c h hvT então dh hvT dv hTv dT Mantendo T fixo e usando o resultado do item a hvT hPT PvT μ cp v κ μ cp β κ d Para T Thv dT Tvh dv Thv dh Em entalpia constante dh 0 e usando μ TPh e as relações de κ e β chegase a Tvh μ v κ μ v β Solucao do Exercıcio 47 Enunciado Compare as magnitudes de cP e Pβv no problema anterior questao 46 a Para o cobre a 600 K e 1 atm b Para um gas ideal com cP 5R 2 c Quando e fornecido calor a um gas ideal em processo isobarico que fracao e consumida para um aumento da energia interna d Quando e fornecido calor a uma amostra de cobre em processo isobarico que fracao e consumida para um aumento na energia interna a Cobre a 600 K e 1 atm Dados cP 245 Jmol K β 5 105 K1 v 71 106 m3mol P 1 atm 1013 105 Pa Pβv 1013 105 5 105 71 106 0036 Jmol K Comparando Pβv cP 0036 245 000147 muito pequeno comparado a cP 1 b Gás ideal com cP 5R2 Para um gás ideal Pv RT v RTP β 1T Pβv PT RTP R cP 5R2 PβvcP R5R2 25 04 c Fração do calor que aumenta a energia interna gás ideal Q ΔUW ΔU n cv ΔT Q n cP ΔT fração ΔUQ cvcP 3R25R2 35 06 d Fração para o cobre Usando o resultado da questão 46 uTP cP Pβv fração cP PβvcP 1 0036245 09985 Resposta Praticamente todo o calor vai para aumentar a energia interna Solução do Exercício 422 Exercício 422 No curso de compressão de um motor Diesel comprimese o ar da pressão atmosférica e temperatura ambiente para cerca de 115 do seu volume inicial Ache a temperatura final supondo uma compressão adiabática reversível Faça γar 14 Solução Para uma compressão adiabática reversível de um gás ideal temos a relação T₂ T₁ V₁V₂γ1 Sabemos que γ 14 V₁V₂ 15 já que o volume final é 115 do inicial T₁ é a temperatura ambiente que podemos considerar como 300 K Logo T₂ 300 15141 300 1504 Calculando 1504 3737 T₂ 300 3737 11211 K Resposta A temperatura final do ar comprimido é aproximadamente 1121 K Solução do Exercício 413 Enunciado Para uma substância paramagnética que obedece à lei de Curie a energia interna é função de T unicamente Mostre que a dQ CM dT ℋ dM b dQ Cℋ dT M dℋ c Cℋ CM MℋT Solução Como U UT temos dU UT dT C dT O trabalho realizado por um sistema magnético é dado por dW ℋ dM dU dQ dW dQ dU dW a dQ CM dT ℋ dM Aqui consideramos CM UTM Portanto dQ dU ℋ dM CM dT ℋ dM dQ CM dT ℋ dM b dQ Cℋ dT M dℋ Analogamente com Cℋ UTℋ Sabemos que a energia livre de Helmholtz F U ℋM e então dF S dT M dℋ dU dF ℋ dM M dℋ dQ dU ℋ dM dF M dℋ ℋ dM ℋ dM c CH CM MℋT Pela identidade termodinâmica com U UT temos UTℋ UTM T MTℋ ℋTM Usando a lei de Curie M C ℋT MTℋ C ℋT2 MT Então CH CM T MT ℋTM M ℋTM CH CM MℋT Solução do Exercício 415 Enunciado Para um gás ideal mostre que a uPT0 b TPu0 Solução a uPT0 Para um gás ideal a energia interna u depende apenas da temperatura u uT uPT 0 b TPu0 Pelo mesmo motivo como u uT e é função apenas da temperatura então u constante T constante TPu 0 Conclusão Ambas as derivadas parciais são nulas para um gás ideal pois a energia interna depende apenas da temperatura Solução do Exercício 46 Enunciado Mostre que uTP cP Pβv Solução Partimos da primeira lei da termodinâmica du T ds P dv Aplicando a derivada parcial com P constante uTP T sTP P vTP O primeiro termo é por definição T sTP cP O segundo termo envolve o coeficiente de dilatação térmica β 1v vTP vTP βv Substituindo uTP cP Pβv Portanto demonstrado Solução do Exercício 424 Dados do problema cv 32 R gás monoatômico γ cp cv 53 V1 4 m³ P1 8 atm T1 400 K P2 1 atm Usamos a equação de estado dos gases ideais PV nRT nR P1 V1 T1 8 4400 008 a Expansão isotérmica reversível Temperatura constante T2 T1 400 K V2 nRT2 P2 008 4001 32 m³ W nRT lnV2V1 008 400 ln324 32 ln8 32 2079 6653 J ΔU 0 pois ΔT 0 Q W 6653 J b Expansão adiabática reversível Usamos PVγ constante V2 V1 P1 P21γ V2 4811γ 4 835 4 3031 12124 m³ T2 T1 V1 V2γ1 400 41212425 400 0579 2316 K ΔU n cv T2 T1 008 32 2316 400 2033 J Q 0 adiabático W ΔU 2033 J c Expansão no vácuo livre Neste caso não há trabalho W 0 nem troca de calor Q 0 Como não há força externa o gás não realiza trabalho T2 T1 400 K sem troca de energia V2 nRTP2 008 4001 32 m³ ΔU 0 W 0 Q 0