Trabalho de Sinais e Sistemas

SISTEMAS LINEARES II Prof Luiz Wagner 20251 TRABALHO 13 individual opcional PRIMEIRA PARTE Invariância x variância no tempo Questão 1 05 Responda justificando se o sistema que produz a saída yt xtxt τ quando recebe a entrada xt é invariante ou variante no tempo Questão 2 a 05 O sinal xt cos 3π2 t t em s passa por um sistema que calcula yt x²t Calcule o período fundamental de xt e o período fundamental de yt b 05 O sinal xn cos 3π2 n n em amostras passa por um sistema que calcula yn x²n Calcule o período fundamental de xn e o período fundamental de yn SEGUNDA PARTE Linearidade x nãolinearidade Preâmbulo Dada uma função y fx relacionando x com y podemos caracterizar sua nãolinearidade calculando dxdy 1A 1 Dy Na ausência de nãolinearidade temos que y Ax B onde B é uma constante e o termo Dy mede o grau de distorção por nãolinearidade em cada possível valor de y Questão 3 05 Se y tghx encontre A e Dy Questão 4 O sistema sem memória S entre x e y mostrado na figura abaixo é regido pela equação x 1G y 1G₂ y² com G 0 e G₂ 0 a 05 Determine A e Dy para S b Aplicase a S uma retroalimentação negativa através da constante real H 0 produzindo um novo sistema S entre x e y como mostra a figura abaixo onde e x Hy I 10 Determine A e Dy para S II 05 Qual a vantagem do sistema realimentado TERCEIRA PARTE Transformada de Fourier Discreta Questão 5 Considere a situação em que se deseja calcular a DFT X₄k com comprimento N 4 amostras em k de um sinal x₂n com duração M 2 amostras em n isto é nulo fora de 0 1 a 05 Escreva X₄k em função de x₂n na forma de um somatório b 05 Encontre cada valor de X₄k de k 0 a k 3 em função de x₂0 e x₂1 c 05 Considere o sinal xn cosnπ que tem XejΩ 2πδΩ π em π Ω π Escolhendo x₂n xn para n 0 1 calcule os 4 elementos de X₄k d 05 Associando cada valor de k à sua respectiva frequência Ω tente interpretar os valores de X₄k do item anterior Questão 6 a 05 Escreva a matriz T₂ que realiza a transformação de um vetor x₂ x₂0 x₂1ᵀ no vetor X₂ X₂0 X₂1ᵀ sua DFT através de X₂ T₂x₂ b 05 Encontre a matriz T₂¹ que leva X₂ de volta a x₂ Questão 7 Um SLIT que calcula a semidiferença entre amostras consecutivas de xn é definido pela equação yn xn xn12 Suponha que ele recebe a entrada xn δn δn1 a 05 Encontre yn na forma de uma soma de impulsos b 05 Mostre que YejΩ 2ejΩ sen² Ω2 c 05 Prepare os vetores x₂ x0 x1ᵀ e h₂ h0 h1ᵀ e utilize a matriz de transformação da DFT T₂ para obter os vetores X₂ X₂0 X₂1ᵀ e H₂ H₂0 H₂1ᵀ d 05 Calcule o vetor Y₂ Y₂0 X₂0H₂0 Y₂1 X₂1H₂1ᵀ e verifique se Yk é coerente com YejΩ e 05 Utilize a matriz de transformação da DFT inversa T₂¹ para obter o vetor y₂ y₂0 y₂1ᵀ e verifique se y₂n é coerente com yn f 05 Sob que condições o procedimento baseado numa DFT de N termos ilustrado acima produziria na saída o sinal yn SISTEMAS LINEARES II Prof Luiz Wagner 20251 TRABALHO Questão 1 Resolva a integral ₀³ x²eˣ dx a analiticamente b numericamente pela regra do trapézio simples c numericamente pela regra de Simpson simples d numericamente pela regra do trapézio repetida de 4 intervalos e numericamente pela regra de Simpson repetida de 4 intervalos f Compare os erros percentuais de b c d e e em relação a a Questão 2 Resolva numericamente a equação y y xy eˣx² 1 em x 0 1 com y0 0 e y1 e em passos h₁ 01 e h₂ 001 usando a diferenças finitas b o método de Taylor até terceira derivada c o método de RungeKutta de terceira ordem d Compare os resultados