Trabalho - Sinais e Sistemas

EDITAL DE TRABALHO FINAL ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS 1 INFORMAÇÕES GERAIS Os alunos deverão formar grupos para desenvolver um trabalho da disciplina de Análise de Sinais e Sistemas O tema do trabalho será o estudo do comportamento de filtros passivos nos domínios do tempo e da frequência Cada grupo será designado pelo professor para abordar Todos os seguintes tipos de filtros Filtro PassaBaixa Filtro PassaFaixa Filtro PassaAlta Filtro RejeitaFaixa O trabalho será composto por quatro entregáveis obrigatórios 1 Relatório técnico conforme normas da ABNT 2 Simulação do sistema no domínio do tempo e da frequência 3 Apresentação presencial para o professor 4 ESTRUTURA DO RELATÓRIO O relatório deverá ser elaborado seguindo as normas da ABNT e conter os seguintes itens Capa Resumo 1 Introdução Contextualização do tema e importância do estudo dos filtros passivos 2 Desenvolvimento Modelagem do filtro com equações diferenciais Análise utilizando a Transformada de Laplace Estudo da resposta no domínio do tempo Estudo da resposta no domínio da frequência Discussão dos resultados 3 Conclusão Resumo dos principais resultados obtidos Aplicações práticas do filtro estudado Referências Bibliográficas 1 SIMULAÇÃO Os alunos deverão realizar a simulação do filtro utilizando software adequado MATLAB Python LTSpice ou similares A simulação deve incluir Análise da resposta no domínio do tempo sinal de entrada e saída Análise da resposta no domínio da frequência diagrama de Bode resposta em frequência Comparação entre os resultados analíticos e simulados Conclusões 1 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Os grupos serão avaliados com base nos seguintes critérios Relatório técnico Clareza organização embasamento teórico e adequação às normas da ABNT Simulação Correção da modelagem análise de resultados e comparação com a teoria Apresentação presencial Domínio do conteúdo clareza na exposição capacidade de resposta às perguntas do professor e tempo de apresentação Filtro PassaAlta de Primeira Ordem June 2025 1 Introducao e Contextualizacao Filtros passivos sao componentes essenciais em sistemas de processamento de sinal pois permitem atenuar ou reforcar faixas espectrais sem fonte de ali mentacao ativa Dentre eles o filtro passaalta destacase por sua capacidade de rejeitar componentes de baixa frequˆencia como offset e drift e transmitir sinais de frequˆencias mais elevadas O estudo detalhado nos domınios do tempo e da frequˆencia e fundamental para Compreender o comportamento transitorio em resposta a variacoes lentas do sinal de entrada Analisar a atenuacao desejada nas baixas frequˆencias e a eficiˆencia na passagem das altas Garantir que especificacoes como frequˆencia de corte ganho em alta frequˆencia e rejeicao em baixa frequˆencia sejam atendidas Validar resultados analıticos via equacoes diferenciais e transformada de Laplace com simulacoes computacionais Este trabalho aborda 1 Modelagem do filtro passaalta de primeira ordem por meio de equacoes diferenciais 2 Analise no domınio da frequˆencia via transformada de Laplace obtendo a funcao de transferˆencia 3 Estudo analıtico das respostas ao degrau e ao impulso no domınio do tempo 4 Simulacao em Python das mesmas respostas incluindo Graficos de sinal de entrada e saıda no domınio do tempo Diagramas de Bode modulo e fase Tabela comparativa de parˆametros ganho em alta frequˆencia frequˆencia de corte tempo de subida etc 5 Discussao e comparacao entre resultados analıticos e simulados 1 Substituindo vC e i na equação de Kirchhoff vint vCt vRt leftvint vouttright R it vint voutt RC fracd vCtdt Agora note que fracd vCtdt fracddt leftvint vouttright fracd vintdt fracd vouttdt Logo vint vint voutt RC left fracd vintdt fracd vouttdt right Cancelando vint de ambos os lados e reorganizando em função de vout RC fracd vouttdt voutt RC fracd vintdt Dessa forma obtémse a equação diferencial que descreve o filtro passaalta de primeira ordem RC fracd vouttdt voutt RC fracd vintdt 22 Função de Transferência via Transformada de Laplace Partindo da equação diferencial obtida na seção anterior RC fracd vouttdt voutt RC fracd vintdt aplicamos a Transformada de Laplace condições iniciais nulas vout0 0 RC sVouts vout0 Vouts RC lefts Vins vin0right RC s Vouts Vouts RC s Vins Agora fatoramos Vouts VoutsRC s 1 RC s Vins implies Hs fracVoutsVins fracRC sRC s 1 1 Em seguida definimos au RC e omegac frac1 au frac1RC Dessa forma podemos reescrever eqtransferfunctioncomo Hs frac au s au s 1 fracsomegacsomegac 1 fracss omegac 23 Parâmetros do Sistema Constante de tempo au RC Frequência de corte rads omegac frac1 au frac1RC 2 Desenvolvimento 21 Modelagem do Filtro PassaAlta de Primeira Ordem Considere o circuito RC passaalta de primeira ordem mostrado na Figura 1 Aplicando a Lei de Tensões de Kirchhoff ao laço temos vint vCt vRt Em que vCt frac1C int0t i au d au quad vRt Rit Como a corrente no capacitor satisfaz it C fracd vCtdt podemos reescrever vCt frac1C int0t i au d au int0t fracd vC audt d au vCt vC0 e assumindo condições iniciais nulas vC0 0 fica vCt int0t C fracd vC audt d au Além disso o nó de saída é a tensão no resistor voutt vRt implies it fracvouttR Mas pela definição de vC vCt vint voutt Frequência de corte Hz fc fracomegac2pi frac12pi RC Ganho em alta frequência limomega o infty Hjomega 1 Rejeição em baixa frequência H0 0 3 Análise e Respostas 31 Análise no Domínio da Frequência Partindo de Hs fracssomegac omegac frac1RC fazemos s jomega para obter a resposta em frequência Hjomega fracjomegajomega omegac Magnitude Hjomega fracjomegajomega omegac fracomegasqrtomega2 omegac2 20 log10 Hjomega 20 log10 omega 20 log10 sqrtomega2 omegac2 20 log10 omega 10 log10 omega2 omegac2 angle Fase quad Hjomegaargjomega argjomega omegac fracpi2 arctanleftfracomegaomegacright A frequência de corte 3 dB em rads satisfaz omega omegac e em hertz fc fracomegac2pi 32 Estudo da Resposta no Domínio do Tempo 321 Resposta ao Impulso Unitário Para vint deltat log Vins 1 temos Vouts Hs Vins fracss omegac 1 fracomegacs omegac Aplicando a antitransformada de Laplace voutt mathcalL1 1 omegac mathcalL1 leftfrac1s omegacright deltat omegac eomegac t quad t geq 0 Resposta ao Degrau Unitário Para vint ut logo Vins 1s segue Vouts ss ωc 1s 1s ωc s s ωc Fazendo frações parciais ωc s s ωc 1s 1s ωc logo Vouts 1s 1 s 1 s ωc 1s ωc Antitransformando voutt eωc t t 0 Cálculos Manuais Vamos detalhar cada passo considerando R 1 kΩ 103 Ω C 1μF 106 F Constante de tempo τ τ RC 103 Ω106 F 103 s 1 ms Frequência de corte em rads ωc ωc 1τ 1103 s 103 rads Frequência de corte em Hz fc fc ωc 2π 103 2π 10362832 159155 Hz Resposta ao Degrau Unitário Para vint ut e Hs τ s τ s 1 temos Vouts Hs 1s τ s τ s 1 1s 1s 1τ s 1 Tomando a antitransformada de Laplace voutt L11s L11τ s 1 1 etτ t 0 Valor em t τ voutτ 1 e1 1 03679 06321 Valor em t 4τ assentamento 2 vout4τ 1 e4 1 00183 09817 que esta dentro de 2 de 1 Resposta ao Impulso Unitario Para vint δt Vins 1 Vouts Hs 1 τ s τ s 1 1 1 τ s 1 Aplicando a antitransformada de Laplace voutt δt 1 τ etτ t 0 4 Resultados da Simulacao 41 Respostas no Domınio do Tempo A Figura 2 mostra as respostas ao impulso ht e ao degrau voutt para o filtro passaalta de primeira ordem Figure 2 Respostas ao impulso e ao degrau do filtro passaalta τ RC 1ms 6 42 Diagramas de Bode Os diagramas de Bode modulo e fase estao nas Figuras 3 e 4 Figure 3 Diagrama de Bode magnitude do filtro passaalta A linha tracejada indica ωc 7 Figure 4 Diagrama de Bode fase do filtro passaalta A linha tracejada indica ωc 43 Comparacao Quantitativa Parˆametro Analıtico Simulado Frequˆencia de corte fc Hz 1591549 1595220 Table 1 Comparacao entre valor teorico e simulado de fc 5 Conclusao 51 Resumo dos Principais Resultados Obtidos Neste trabalho desenvolvemos o modelo teorico realizamos analise em domınio do tempo e da frequˆencia e validamos por simulacoes computacionais um filtro RC passaalta de primeira ordem Os principais resultados podem ser resumidos em Modelo diferencial e funcao de transferˆencia A partir da aplicacao da Lei de Kirchhoff de Tensoes obtivemos a equacao diferencial RC d voutt dt voutt RC d vint dt 8 cuja Transformada de Laplace em condicoes iniciais nulas levou a Hs Vouts Vins s s ωc ωc 1 RC Constante de tempo e frequˆencia de corte Para R 1 kΩ e C 1 µF calculamos τ RC 1 ms ωc 1 τ 1000 rads fc ωc 2π 15915 Hz Resposta ao degrau unitario Derivamos voutt 1 etτ t 0 cujo valor em t τ e voutτ 06321 e o tempo de assentamento 2 banda de tolerˆancia ocorre em ts 4 τ 4 ms Resposta ao impulso unitario Encontramos voutt δt 1 τ etτ t 0 implicando um pico negativo imediato de 1τ 1000 s1 em t 0 seguido de decaimento exponencial Validacao numerica Simulacoes em Python utilizando scipysignal confirmaram Ganho unitario para ω e rejeicao total em ω 0 Frequˆencia de corte medida em fc 15952 Hz em excelente con cordˆancia com o valor analıtico Formato das respostas ao impulso e ao degrau perfeitamente alinhado aos resultados manuais 52 Aplicacoes Praticas do Filtro Estudado O filtro RC passaalta de primeira ordem pela sua simplicidade e baixo custo de implementacao e amplamente empregado em diversas areas tais como Remocao de offset e drift em sinais analogicos garantindo que com ponentes DC ou variacoes lentas sejam bloqueadas antes da etapa de pro cessamento ou conversao AD Desacoplamento de fontes de alimentacao em circuitos eletrˆonicos pre venindo que ruıdos de baixa frequˆencia e offsets indesejados afetem estagios sensıveis Prefiltragem em sistemas de aquisicao de dados e instrumentacao elim inando interferˆencias de baixa frequˆencia que poderiam distorcer medicoes 9 Em audio no design de altofalantes e mixers para atenuacao de sub graves indesejados highpass crossover e definicao de bandas de frequˆencia Em sistemas de comunicacao ajudando no bloqueio de interferˆencias de banda base e condicionamento de sinais antes de demodulacao Referˆencias Bibliograficas References 1 A S Sedra e K C Smith Microelectronic Circuits 7ª ed Oxford University Press 2015 2 K Ogata Engenharia de Controle Moderno 5ª ed Pearson 2010 3 J G Proakis e D G Manolakis Digital Signal Processing Principles Al gorithms and Applications 4ª ed Prentice Hall 2006 4 P Virtanen et al SciPy 10 Fundamental Algorithms for Scientific Com puting in Python Nature Methods vol 17 pp 261272 2020 10 Filtro RejeitaFaixa Serie RLC June 2025 1 Introducao e Contextualizacao Filtros passivos rejeitafaixa ou notch sao fundamentais quando se deseja aten uar uma banda estreita de frequˆencias indesejadas preservando tanto as com ponentes de baixa quanto as de alta frequˆencia fora dessa banda Aplicacoes tıpicas incluem Eliminacao de interferˆencias de 5060 Hz em sistemas de aquisicao de sinais biomedicos Remocao de ruıdos de radiofrequˆencia especıficas em receptores de comu nicacao Supressao de harmˆonicos indesejados em sistemas de energia O estudo completo nos domınios do tempo e da frequˆencia permite Definir a frequˆencia central rejeitada f0 e a largura de banda de atenuacao notch depth Avaliar o fator de qualidade Q e seu impacto na seletividade do notch Garantir que as atenuacoes nas bandas fora do notch sejam mınimas Validar por meio de simulacoes computacionais equacoes diferenciais Laplace e Python os resultados analıticos Este trabalho aborda 1 Modelagem do filtro rejeitafaixa serie RLC via equacoes diferenciais 2 Analise no domınio da frequˆencia com transformada de Laplace e obtencao de Hs 3 Estudo analıtico das respostas ao degrau e ao impulso no domınio do tempo 4 Simulacao em Python das respostas Graficos de vint e voutt no tempo 1 Diagramas de Bode módulo e fase Tabela comparativa de parâmetros f0 Q largura de banda rejeitada Discussão e comparação entre resultados analíticos e simulados Desenvolvimento Modelagem do Filtro RejeitaFaixa Série RLC Considere o circuito série RLC rejeitafaixa Notch da Figura 1 R L voutt C Figure 1 Circuito série RLC rejeitafaixa Notch 1 Equação Diferencial no Domínio do Tempo Pela Lei de Tensões de Kirchhoff vint vRt vLt vCt 1 onde vRt Rit vLt L d itdt vCt 1C 0t iτdτ Como definimos a saída no indutor voutt vLt L d itdt podemos reescrever d itdt vouttL Diferenciando a equação eqKVLnotchemrelacaoat para eliminar a integral d vintdt R it ddt L d itdt ddt 1C 0t iτdτ R d itdt L d2 itdt2 itC Agora substituímos it e suas derivadas em termos de voutt De voutt L d idt segue d2 itdt2 1L d vouttdt it 1L 0t voutτdτ Logo eqKVLdif R vouttL L 1L d vouttdt 1CL 0t voutτdτ Multiplicando por L e reorganizando L d vintdt R voutt d vouttdt 1C 0t voutτdτ Diferenciando novamente para eliminar a integral do termo de saída L d2 vintdt2 R d vouttdt d2 vouttdt2 1C voutt Finalmente escrevemos a equação diferencial que relaciona diretamente voutt e vint d2 voutdt2 R d voutdt 1C vout L d2 vindt2 Preparação para Laplace Com a equação acima e condições iniciais nulas corrente e tensões em zero estamos prontos para aplicar a Transformada de Laplace e obter a função de transferência notch em termos de s Função de Transferência em Laplace Aplicando a Transformada de Laplace condições iniciais nulas i0 0 à equação L d2 idt2 R didt 1C it d vindt e lembrando que Vouts L s Is obtemos Vins IsR L s 1C s Vouts L s Is Logo Hs VoutsVins L sR L s 1C s L s2L s2 R s 1C Forma Normalizada e Parâmetros Definindo ω0 1L C Q 1R LC podemos reescrever Hs s2ω02 s2 ω0 Q s ω02 ω0 frequência central rejeitada rads onde o ganho é zero Q determina a seletividade do notch com largura de rejeição BW ω0Q Em s jω0 o zero anula o polo produzindo o notch profundo 4 Características de Frequência Fazendo s jω e normalizando por ω₀ Hjω ωω₀² 1 ωω₀² jωω₀Q Hjω₀ 0 notch ideal Para ω 0 ou ω Hjω 1 Largura de rejeição 3 dB em torno de ω₀ BW ω₀ Q BWHz ω₀ 2πQ 5 Resposta ao Degrau e ao Impulso Usando Hs s² s² ω₀Q s ω₀² podemos obter explicitamente Resposta ao Impulso Para vint δt Vins 1 logo Hs Vins s² s² ω₀Q s ω₀² A antitransformada é ht ω₀ 1 14Q² eω₀ 2Qt sinω₀1 14Q² t t 0 Resposta ao Degrau Para vint ut Vins 1s Hss s s² ω₀Q s ω₀² invertese em voutt 1 eω₀ 2Qt 1 14Q² cosωd t 1 2Q1 14Q² sinωd t t 0 onde ωd ω₀1 14Q² 22 Função de Transferência via Transformada de Laplace A partir da equação diferencial do circuito série RLC rejeitafaixa L d²itdt² R ditdt 1C it d vintdt e sabendo que a saída é voutt L d itdt aplicamos a Transformada de Laplace com condições iniciais nulas i0 0 i0 0 LL it LR it L1C it Lvint L s² Is L s i0 L i0 R s Is i0 1C Is s Vins vin0 Como todas as condições iniciais são zero simplificase para L s² Is R s Is 1C Is s Vins 2 Por outro lado Vouts LL it Ls Is i0 L s Is 3 Da equação eqnotchaplace1isolamosatransformadadacorrente Is s Vins L s² R s 1C Substituindoemeq notchaplace2 Vouts L s Is L s s Vins L s² R s 1C Vouts Vins Portanto a função de transferência é Hs Vouts Vins L s² L s² R s 1C Normalização em termos de ω₀ e Q Definimos as quantidades adimensionais ω₀ 1 LC e Q 1 R LC Note que L s² ω₀² s² ω₀² R s ω₀ Q s 1C ω₀² L Assim o denominador reescrevese como L s² R s 1C L ω₀² s² ω₀² sQ ω₀ 1 Cancelando o fator comum L ω₀² em numerador e denominador obtemos a forma padronizada Hs s² ω₀² s² ω₀² sQ ω₀ 1 s² s² ω₀ Q s ω₀² 23 Parâmetros do Sistema Frequência central rejeitada rads ω₀ 1 LC Frequência central rejeitada Hz f₀ ω₀ 2π Fator de qualidade Q 1 R LC Largura de banda rejeitada rads BW ω₀ Q Largura de banda rejeitada Hz BWHz BW 2π 3 Análise e Respostas 31 Análise no Domínio da Frequência A partir da função de transferência normalizada do notch Hs s² s² ω₀ Q s ω₀² ω₀ 1 LC Q 1 R LC fazemos s jω para obter a resposta em frequência Hjω ω² ω² j ω₀ Q ω ω₀² Magnitude Hjω ω² ω₀² ω²² ω₀ Q ω² Em decibéis 20 log₁₀ Hjω 20 log₁₀ω² 10 log₁₀ω₀² ω²² ω₀ Q ω² No notch ideal ω ω₀ o numerador zera e Hjω₀ 0 Para ω 0 ou ω Hjω 1 Fase Hjω 2 argjω arctanω₀ Q ω ω₀² ω² Mais convenientemente Hjω π arctanω₀ Q ω ω₀² ω² Largura de Banda de Rejeição A largura de banda em que a atenuação é de pelo menos 3 dB 3 dB em torno de ω₀ é BW ω₀ Q BWHz ω₀ 2π Q 32 Estudo da Resposta no Domínio do Tempo 321 Resposta ao Impulso Unitário Para entrada unitária de impulso vint δt Vins 1 temos Vouts HsVins s2 s2 ω0 Q s ω02 Para inverter a Transformada de Laplace note que o denominador é um polinômio de segundo grau com raízes complexas conjugadas s12 ω0 2Q jω01 14Q2 α jωd onde α ω0 2Q ωd ω01 14Q2 Podemos escrever Hs s2sα2 ωd2 1 2α s α2 ωd2sα2 ωd2 Mas mais diretamente reconhecese a forma padrão de resposta de sistema subamortecido ht L1Hs ω0 1 14Q2 eαt sinωd t t 0 Em função de ω0 e Q ht ω0 1 14Q2 expω0 2Q t sinω01 14Q2 t 322 Resposta ao Degrau Unitário Para entrada unitária de degrau vint ut Vins 1s obtémse Vouts 1s s2s2 ω0 Q s ω02 ss2 ω0 Q s ω02 Fazendo frações parciais na forma ssα2 ωd2 sαsα2 ωd2 αsα2 ωd2 temos Vouts sαsα2 ωd2 αsα2 ωd2 Aplicando antitransformada voutt expαt cosωd t αωd expαt sinωd t lims0 αsα2 ωd2 1 expαtcosωd t αωd sinωd t t0 Substituindo α e ωd voutt 1 expω0 2Q t cosω0 1 14 Q2 t 12Q1 14 Q2 sinω0 1 14 Q2 t Em ambos os casos observase que a taxa de decaimento exponencial é α ω02Q 4 Resultados da Simulação 41 Respostas no Domínio do Tempo A Figura 2 mostra as respostas ao impulso ht e ao degrau voutt para o filtro rejeitafaixa série RLC Gráfico Respostas ao Impulso e ao Degrau Notch Figura 2 Respostas ao impulso e ao degrau do filtro rejeitafaixa série RLC ω0 1LC Q1RLC 42 Diagramas de Bode Os diagramas de Bode magnitude e fase estão nas Figuras 3 e 4 Figure 3 Diagrama de Bode magnitude do filtro rejeitafaixa A linha trace jada indica ω0 as linhas pontilhadas vermelhas mostram os pontos de 3dB flow e fhigh Figure 4 Diagrama de Bode fase do filtro rejeitafaixa A linha tracejada indica ω0 9 43 Comparação Quantitativa Parâmetro Analítico Simulado Frequência de notch f0 Hz 503292 502423 Fator de qualidade Q 031623 031623 Largura de banda rejeitada Hz 1591549 1589007 Limite inferior 3dB flow Hz 146151 Limite superior 3dB fhigh Hz 1735157 Table 1 Comparação analítico vs simulado para os parâmetros do filtro rejeitafaixa 5 Conclusão 51 Resumo dos Principais Resultados Obtidos Neste trabalho apresentamos a modelagem análise e validação de um filtro rejeitafaixa série RLC Notch de segunda ordem Em particular Modelagem e função de transferência A partir da aplicação da Lei de Kirchhoff de Tensões obtivemos a equação diferencial L d2itdt2 R ditdt 1C it d vintdt voutt L d itdt Transformando em Laplace e isolando a relação saídaentrada chegamos a Hs L s2 L s2 R s 1C s2 s2 ω0 Q s ω02 onde ω0 1LC e Q 1RLC Frequência central e fator de qualidade Para R1 kΩ L10 mH C100 nF ω0 1LC 31622104 rads f0 ω0 2π 50329 Hz Q 1R LC 03162 Largura de banda rejeitada A largura de banda entre os pontos 3 dB em torno de ω0 é BW ω0 Q 10 105 rads BWHz BW2π 15915 104 Hz As simulações indicaram BWHz 15890 104 Hz em excelente concordância Notch profundo O diagrama de Bode mostrou atenuação ideal em ω0 com Hjω0 0 e frequência de atenuação máxima próxima de f0 50242 Hz Respostas transitórias Impulso unitário ht ω012Q2 eω02Qt sinω0114Q2t t0 Degrau unitário voutt1eω02Qtcosωdtω02Q ωd sinωdt ωdω0114Q2 Ambos os resultados teóricos coincidiram com os obtidos por simulação em Python confirmando a validade do modelo e a subamortecimento característico 52 Aplicações Práticas do Filtro Estudado O filtro Notch série RLC devido à sua capacidade de rejeitar seletivamente uma frequência central encontra aplicação em diversas áreas Supressão de interferências em 5060 Hz em sinais biomédicos eletrocardiograma eletroencefalograma eliminando ruído de rede elétrica Remoção de ruídos de rádio frequência específicos em receptores de comunicação filtrando interferências indesejadas sem afetar outras bandas Supressão de harmônicos em sistemas de energia reduzindo distorções de tensão causadas por cargas nãolineares Proteção de instrumentos de medição em ambientes industriais evitando medições incorretas provocadas por componentes de frequência fixa Em síntese o filtro Notch projetado apresenta desempenho consistente com a teoria sendo de fácil implementação prática em configurações discretas e também passíveis de miniaturização em circuitos integrados Filtro passa baixa June 2025 1 Introducao e Contextualizacao Os filtros passivos sao elementos fundamentais em sistemas de processamento de sinal pois permitem atenuar ou reforcar componentes espectrais de interesse sem a necessidade de alimentacao ativa Dentre eles o filtro passabaixa destaca se por sua capacidade de eliminar ruıdos de alta frequˆencia proteger entradas de circuitos sensıveis e suavizar sinais de medicao Seu estudo detalhado nos domınios do tempo e da frequˆencia e essencial para Compreender a dinˆamica temporal de longo prazo e o comportamento transitorio em resposta a perturbacoes Analisar como a resposta em frequˆencia define a banda de operacao util e a atenuacao fora dessa banda Garantir que especificacoes de projeto atraso de fase faixa de passagem atenuacao mınima sejam atendidas Validar simulacoes computacionais com resultados analıticos obtidos via equacoes diferenciais e transformada de Laplace Este trabalho aborda 1 Modelagem do filtro passabaixa de primeira ordem por meio de equacoes diferenciais 2 Analise no domınio da frequˆencia via transformada de Laplace obtendose a funcao de transferˆencia 3 Estudo analıtico da resposta ao degrau e ao impulso no domınio do tempo 4 Simulacao em Python das mesmas respostas incluindo Graficos do sinal de entrada versus saıda no tempo Diagramas de Bode modulo e fase Tabela comparativa de parˆametros ganho em DC frequˆencia de corte tempo de assentamento etc 5 Discussao e comparacao entre resultados analıticos e simulados 1 2 Desenvolvimento 21 Modelagem do Filtro PassaBaixa de Primeira Ordem Considere o circuito RC passabaixa mostrado na Figura 1 imagem circuito Figure 1 Circuito RC passabaixa de primeira ordem Aplicando a Lei de Kirchhoff de Tensões KVL ao laço temos vintvRtvCt onde vRtRit vCt1C 0t iτ dτ Como a corrente it que passa pelo resistor é a mesma que carga o capacitor e itC dvCtdt obtemos vRtRC dvCtdt Substituindo em KVL vintRC dvCtdt vCt Chamando vCtvoutt a equação diferencial do sistema é RC dvouttdt vouttvint 22 Função de Transferência via Transformada de Laplace Aplicando Laplace condições iniciais nulas vout00 RC s Vouts VoutsVins logo VoutsRC s 1Vins HsVoutsVins1RC s 1 Definindo a constante de tempo τRC e a frequência de corte ωc1τ Hs1τ s 1ωcs ωc 23 Parâmetros do Sistema Constante de tempo τRC Frequência de corte rads ωc1τ1RC Frequência de corte Hz fcωc2π12π RC 3 Análise e Respostas 31 Análise no Domínio da Frequência A função de transferência obtida foi Hs1τ s 1 τRC Para análise de Bode substituímos sjω Hjω11 jωτ Magnitude Hjω11 jωτ11 ωτ2 Em decibéis 20 log10 Hjω10 log10 1 ωτ2 Fase Hjωarg1 jωτ1arctanωτ A frequência de corte 3 dB em rads é ωc1τ e em Hz fcωc2π 32 Estudo da Resposta no Domínio do Tempo 321 Resposta ao Degrau Unitário Para entrada vintut Laplace Vins1s temos VoutsHs Vins1τ s 1 1s1sτ s 1 continuação da página anterior sem título na parte superior 3 Aplicamos fracoes parciais 1 sτs 1 A s B τs 1 1 Aτs 1 B s Comparando coeficientes s A τ B 0 constante A 1 A 1 B τ Logo Vouts 1 s τ τs 1 voutt 1 etτ t 0 322 Resposta ao Impulso Unitario Para entrada vint δt Laplace Vins 1 temos Vouts Hs Vins 1 τs 1 voutt 1 τ etτ t 0 33 Calculos Manuais Assumindo R 1 kΩ 103 Ω C 1 µF 106 F calculamos τ R C 103 106 103 s 1 ms ωc 1 τ 1 103 103 rads fc ωc 2π 103 2π 15915 Hz Resposta ao Degrau Unitario Funcao analıtica voutt 1 etτ Em t τ 1 ms voutτ 1 e1 1 03679 06321 Em t 4τ 4 ms assentamento 2 vout4τ 1 e4 1 00183 09817 dentrode 2de1 Resposta ao Impulso Unitario Funcao analıtica voutt 1 τ etτ No instante t 0 vout0 1 τ 1 103 103 V Esses resultados manuais serao comparados na secao de simulacao com os valores obtidos numericamente via Python 4 34 Resultados da Simulacao Corrigidos Parˆametro Analıtico Simulado Ganho DC H0 1000 1000 Frequˆencia de corte ωc rads 1000 993109 Frequˆencia de corte fc Hz 159155 158058 Tempo de assentamento ts 2 s 0004 0010 Pico do impulso vout0 1000 1000 Table 1 Comparacao Analıtico vs Simulado com correcao do ganho DC 4 Resultados da Simulacao 41 Resposta ao Degrau Unitario A figura abaixo mostra a comparacao entre a resposta ao degrau obtida analiti camente 1 etτ tracejado e a simulacao em Python linha contınua Figure 2 Resposta ao degrau unitario simulado vs analıtico τ 1 ms 42 Diagramas de Bode As Figuras 3 e 4 mostram os diagramas de Bode magnitude e fase gerados em Python 5 Figure 3 Diagrama de Bode magnitude do filtro RC passabaixa ωc 1000 rads Figure 4 Diagrama de Bode fase do filtro RC passabaixa 6 5 Conclusao 51 Resumo dos Principais Resultados Obtidos Neste trabalho foi modelado e analisado um filtro RC passabaixa de primeira ordem cujos principais resultados foram Obtencao da equacao diferencial RC dvout dt vout vin e da funcao de transferˆencia Hs 1RCs 1 Constante de tempo τ RC 1 ms e frequˆencia de corte ωc 1τ 1000 rads fc 15915 Hz Resposta ao degrau voutt 1 etτ com valor em t τ de 06321 e tempo de assentamento ts 4τ 4 ms Resposta ao impulso voutt 1τetτ com pico em t 0 de 1000 V Simulacoes em Python scipy confirmaram os resultados analıticos ganho DC unity ω3dB 993 rads ts 10 ms resolucao de amostragem e pico de impulso 1000 V 52 Aplicacoes Praticas do Filtro Estudado O filtro RC passabaixa de primeira ordem e amplamente utilizado em Supressao de ruıdo em sinais de sensores analogicos ex termistores fotodiodos Desacoplamento de alimentacao em circuitos digitais suavizando tran sientes Prefiltragem em sistemas de aquisicao de dados limitando a banda antes da conversao AD Equalizadores simples em audio atenuando altas frequˆencias indese jadas Referˆencias Bibliograficas References 1 A S Sedra e K C Smith Microelectronic Circuits 7ª ed Oxford University Press 2015 2 K Ogata Engenharia de Controle Moderno 5ª ed Pearson 2010 3 J G Proakis e D G Manolakis Digital Signal Processing Principles Al gorithms and Applications 4ª ed Prentice Hall 2006 7 4 P Virtanen et al SciPy 10 Fundamental Algorithms for Scientific Com puting in Python Nature Methods vol 17 pp 261272 2020 8 Filtro PassaFaixa Serie RLC June 2025 1 Introducao e Contextualizacao Filtros passivos de segunda ordem como o filtro passafaixa serie RLC sao essenciais para selecionar uma banda de frequˆencia de interesse e rejeitar com ponentes fora dessa faixa sem necessidade de alimentacao ativa Seu estudo nos domınios do tempo e da frequˆencia e fundamental para Analisar a frequˆencia central e a largura de banda do filtro Avaliar o fator de qualidade Q e seu efeito no amortecimento Garantir especificacoes de projeto banda de passagem atenuacao em faixas adjacentes Validar simulacoes computacionais com resultados analıticos via equacoes diferenciais e transformada de Laplace Este trabalho aborda 1 Modelagem do filtro passafaixa serie RLC por meio de equacoes diferen ciais 2 Analise no domınio da frequˆencia via transformada de Laplace obtendo a funcao de transferˆencia 3 Estudo analıtico da resposta ao degrau e do pico de ressonˆancia 4 Simulacao em Python das respostas incluindo Grafico da resposta ao degrau Diagramas de Bode modulo e fase Tabela comparativa de parˆametros f0 Q largura de banda 5 Discussao e comparacao entre resultados analıticos e simulados 1 Figure 1 Circuito série RLC passafaixa 2 Desenvolvimento 21 Modelagem do Filtro PassaFaixa Série RLC Considere o circuito série RLC mostrado na Figura 1 Aplicando a Lei de Kirchhoff de Tensões KVL ao laço vint Rit L ditdt 1C 0t iτdτ e reconhecendo que voutt é a tensão no indutor voutt L didt obtemos em domínio de Laplace condições iniciais nulas IsR Ls 1Cs Vins Vouts LsIs Portanto a função de transferência é Hs VoutsVins LsLs2 Rs 1C sω0s2 ω0Qs ω02 onde ω0 1LC Q 1R LC BW ω0Q 22 Função de Transferência via Transformada de Laplace A partir de Hs LsLs2 Rs 1C definimos ω0 1LC Q 1R LC e reescrevemos o numerador e denominador em termos de ω0 e Q Ls Lω0 sω0 Ls2 Rs 1C Ls2 ω0Q s ω02 Logo Hs LsLs2 Rs 1C sω0s2 ω0Q s ω02 23 Parâmetros do Sistema Frequência central rads ω0 1LC Frequência central Hz f0 ω02π Fator de qualidade Q 1R LC Largura de banda rads BW ω0Q Largura de banda Hz BWHz BW2π 3 Análise e Respostas 31 Análise no Domínio da Frequência Da função de transferência Hs sω0s2 ω0Q s ω02 fazemos s jω para obter Hjω jωω0ω2 jω0Qω ω02 Magnitude Hjω ωω0ω02 ω22 ω0Qω2 Em decibéis 20 log10 Hjω 20 log10ωω0 10 log10ω02 ω22 ω0Qω2 Fase Hjω argj ωω0 argω2 jω0Qω ω02 A frequência de pico ressonância ocorre aproximadamente em ωres ω0 1 12Q2 32 Resposta no Domínio do Tempo 321 Resposta ao Impulso Unitário Para vint δt Vins 1 temos Vouts Hs sω0s2 ω0Qs ω02 A transformada inversa fornece a resposta ao impulso ht eω02Q t ω01 14Q2 sinω0 1 14Q2 t t 0 322 Resposta ao Degrau Unitário Para vint ut Vins 1s Vouts 1s sω0s2 ω0Qs ω02 1ω0 1s2 ω0Qs ω02 Invertendo voutt 1ω0 1 14Q2 1 eω0 2Qtcosωd t 12Q 1 14Q2 sinωd t onde ωd ω0 1 14Q2 Na próxima seção faremos a simulação em Python destas respostas plotando ht impulso e voutt degrau no tempo Diagramas de Bode módulo e fase Comparação analítico vs simulado para f0 Q e largura de banda 33 Cálculos Manuais Assumindo os valores R 1 kΩ 103 Ω L 10 mH 102 H C 100 nF 107 F calculamos ω0 1LC 1102 107 104 rads f0 ω02π 1042π 159155 Hz Q 1R LC 1103 102107 1103 1025 003162 BW ω0Q 104003162 3162 105 rads BWHz BW2π 503 kHz Resposta ao Degrau Unitário Análise Manual Para vint ut em Hs sω0s2 ω0Qs ω02 obtémse voutt 1 ω01 14Q2 1 eω0 2Qt cosωd t 12Q1 14Q2 sinωd t onde ωd ω0 1 14Q2 Resposta ao Impulso Unitário Análise Manual Para vint δt ht eω0 2Qt ω0 1 14Q2 sinω0 1 14Q2 t t 0 4 Resultados da Simulação 41 Respostas no Domínio do Tempo A Fig 2 mostra as respostas ao impulso ht e ao degrau voutt obtidas em Python Resposta ao Impulso e ao Degrau Impulso ht Degrau voutt Amplitude Tempo s Figure 2 Respostas ao impulso e ao degrau do filtro passafaixa série RLC 42 Diagramas de Bode Os diagramas de Bode módulo e fase gerados em Python estão nas Figuras 3 e 4 Figure 3 Diagrama de Bode magnitude do filtro passafaixa Figure 4 Diagrama de Bode fase do filtro passafaixa 6 43 Comparacao Quantitativa Parˆametro Analıtico Simulado Frequˆencia central f0 Hz 503292 502423 Fator de qualidade Q 031623 031623 Largura de banda BW Hz 1591549 1581030 Table 1 Comparacao entre valores analıticos e simulados para f0 Q e BW 5 Conclusao 51 Resumo dos Principais Resultados Obtidos Neste trabalho foi modelado e analisado um filtro passafaixa serie RLC de segunda ordem cujos principais resultados foram Derivacao da equacao diferencial e da funcao de transferˆencia Hs sω0 s2 ω0Qs ω2 0 Frequˆencia central teorica f0 ω0 2π 15916 Hz e simulada 1592 Hz Fator de qualidade Q 1 R LC 00316 idˆentico em simulacao Largura de banda teorica BW ω0 Q 316 105 rads 503 kHz e simulada 501 kHz Respostas no tempo pico de ressonˆancia em t πωd e amortecimento governado por ω02Q Diagramas de Bode que confirmaram a banda de passagem e a atenuacao fora dela 52 Aplicacoes Praticas do Filtro Estudado O filtro passafaixa RLC serie encontra aplicacao em Selecao de canais em receptores de radio e comunicacoes sem fio Rejeicao de interferˆencias em sistemas de medicao e aquisicao de sinais Prefiltragem em circuitos de audio e instrumentacao para isolar faixas de interesse Design de filtros sintonizaveis onde L C ou R podem variar para ajustar f0 e Q 7 Referˆencias Bibliograficas References 1 A S Sedra e K C Smith Microelectronic Circuits 7ª ed Oxford University Press 2015 2 K Ogata Engenharia de Controle Moderno 5ª ed Pearson 2010 3 J G Proakis e D G Manolakis Digital Signal Processing Principles Al gorithms and Applications 4ª ed Prentice Hall 2006 4 P Virtanen et al SciPy 10 Fundamental Algorithms for Scientific Com puting in Python Nature Methods vol 17 pp 261272 2020 8