Transferência de Massa por Difusão - Prof. Fabiano Cordeiro Cavalcanti

Transferência de Massa por Difusão Prof Fabiano Cordeiro Cavalcanti Unidade XI 2 Objetivos 1 Entender as origens físicas do transferência de massa por difusão 2 Reconhecer a analogia entre a transferência de calor por condução e a transferência de massa por difusão 3 Descrever a concentração de uma espécie química em um determinado local em base mássica ou molar 4 Apresentar a Lei de Fick para o cálculo do fluxo mássico difuso de uma espécie A de uma mistura binária dentro de um meio estacionário 5 Determinar a Equação da Difusão Mássica para uma mistura binária em um meio estacionário 6 Apresentar as principais condições de contorno que envolvem a transferência de massa por difusão 3 Introdução Sempre que há um desequilíbrio de uma substância em um meio a natureza tende a atuar para que o equilíbrio seja estabelecido Essa tendência é muitas vezes referida como uma força motriz que é o mecanismo subjacente a muitos fenômenos de transporte que ocorre na natureza Exemplos Lei do Ohm da Condução Elétrica Força motriz Gradiente de potencial elétrico Lei de Newton de Viscosidade Força motriz Gradiente de velocidade Lei de Fourier de Condução de Calor Força motriz Gradiente de Temperatura no meio Lei de Fick da Difusão Força motriz Gradiente de concentração de um espécie numa mistura Diferença da concentração de sal espécie A dentro do meio força o surgimento de um fluxo dessa espécie para dentro da água espécie B até que o equilíbrio seja estabelecido x Definição A transferência de massa é a massa em trânsito como resultado de uma diferença de concentração de uma espécie química em uma mistura 4 Introdução OBS A transferência de massa que aqui estudamos não corresponde ao movimento global de um fluido em escoamento Por exemplo o escoamento de uma massa de ar devido ao trabalho mecânico das pás de um ventilador Ar O termo transferência de massa é empregado nesse estudo para descrever o movimento relativo de espécies químicas em uma mistura devido à presença de gradientes de concentração Exemplos Uma espécie química pode ser uma molécula identificável um átomo isolado ou até mesmo uma mistura A espécie química pode ser transportada por difusão eou advecção 5 Origens Físicas divisória xo Reservatório contendo duas espécies gasosas separadas inicialmente por uma divisória Sabese que o movimento molecular é aleatório ou seja há igual probabilidade de qualquer molécula se mover para a esquerda ou para a direita Como consequência deste movimento no momento em que a divisória for removida como há uma diferença de concentrações entre as espécies A e B haverá uma transferência líquida da espécie B para esquerda e da espécie A para a direita através do plano imaginário em xo até que o equilíbrio seja estabelecido Mecanismo físico da Transferência de Massa por Difusão Movimento aleatório da moléculas Difusão molecular 6 Origens Físicas Mecanismo físico da Transferência de Massa por Difusão Movimento aleatório da moléculas Difusão molecular OBS Fatores de influenciam da difusão de massa 1 Colisão molecular colisões entre moléculas de diferentes massas e quantidades de movimento influenciam a taxa da difusão As moléculas mais pesadas tendem a dominar o processo de difusão 2 Temperatura a temperatura é diretamente proporcional ao grau de agitação das moléculas Sendo assim a difusão de massa tende a aumentar com a elevação da temperatura 3 Espaçamento Molecular difusão de massa nos GASES LÍQUIDOS SÓLIDOS 7 Composição de Misturas Uma mistura é constituída de dois ou mais constituintes químicos espécies e a quantidade de qualquer espécie i pode ser dada a partir de uma base mássica ou de uma base molar Base Mássica 𝐴 𝐵 Vamos considerar um mistura contida em um pequeno volume A concentração mássica ou densidade mássica de uma espécie i da mistura no local delimitado pelo volume será 𝜌𝑖 𝑚𝑖 kgm3 Onde 𝑚𝑖 é a massa da espécie i contida em A concentração mássica da mistura ou densidade mássica da mistura no local delimitado pelo volume será 𝜌 𝑚 𝑚𝑖 𝜌𝑖 Onde 𝑚 é a massa da mistura contida em kgm3 𝑚 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝜌 𝜌𝐴 𝜌𝐵 8 Composição de Misturas 𝐴 𝐵 A concentração mássica ou densidade mássica de uma espécie i também pode ser dada em termos da sua fração mássica A Fração Mássica de uma espécie i no local delimitado pelo volume será Note que 0 𝑊𝑖 1 e que 𝑊𝑖 1 𝑚 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝜌 𝜌𝐴 𝜌𝐵 𝑊𝑖 𝑚𝑖 𝑚 𝜌𝑖 𝜌 𝜌𝑖 𝜌 𝑊𝐴 𝑊𝐵 1 9 Composição de Misturas Base Molar 𝐴 𝐵 Vamos considerar um mistura contida em um pequeno volume A concentração molar ou densidade molar de uma espécie i da mistura no local delimitado pelo volume será 𝐶𝑖 𝑁𝑖 Kmolm3 Onde 𝑁𝑖 é número de moles da espécie i contida em A concentração molar da mistura ou densidade molar da mistura no local delimitado pelo volume será 𝐶 𝑁 𝑁𝑖 𝐶𝑖 Onde 𝑁 é o número de moles da mistura contida em Kmolm3 𝑁 𝑁𝐴 𝑁𝐵 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 10 Composição de Misturas 𝐴 𝐵 A concentração molar ou densidade molar de uma espécie i também pode ser dada em termos da sua fração molar A Fração Molar de uma espécie i no local delimitado pelo volume será Note que 0 𝑋𝑖 1 e que 𝑋𝑖 1 𝑁 𝑁𝐴 𝑁𝐵 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑋𝑖 𝑁𝑖 𝑁 𝐶𝑖 𝐶 𝐶𝑖 𝐶 𝑋𝐴 𝑋𝐵 1 11 Composição de Misturas Relacionando a Base mássica com a Base molar Relacionando 𝜌𝑖 com 𝐶𝑖 𝑚𝑖 𝑁𝑖ℳ𝑖 Onde ℳ𝑖 é a massa molar da espécie i em kgKmol Dividindo por 𝑚𝑖 𝑁𝑖 ℳ𝑖 𝜌𝑖 𝐶𝑖ℳ𝑖 Relacionando 𝜌 com 𝐶 𝑚 𝑁 ℳ Dividindo por 𝑚 𝑵 ℳ 𝜌 𝐶 ℳ Onde ℳ é a massa molar da mistura em kgKmol Relacionando ℳ com ℳ𝑖 ℳ 𝑚 𝑁 𝑚𝑖 𝑁 𝑁𝑖ℳ𝑖 𝑁 𝑁𝑖 𝑁 ℳ𝑖 ℳ 𝑋𝑖ℳ𝑖 12 Composição de Misturas Relacionando a Base mássica com a Base molar Relacionando 𝑊𝑖 com 𝑋𝑖 𝑊𝑖 𝜌𝑖 𝜌 𝐶𝑖ℳ𝑖 𝐶ℳ 𝑚𝑎𝑠 𝑋𝑖 𝐶𝑖 𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑊𝑖 𝑋𝑖 ℳ𝑖 ℳ 𝑊𝑖 𝑋𝑖ℳ𝑖 𝑋𝑖ℳ𝑖 ou 13 Composição de Misturas Caso especial Mistura de Gases Ideais Um gás ou uma mistura de gases a baixa pressão pode se aproximada convenientemente como um gás ideal Por exemplo a mistura de ar seco com vapor dágua em condições atmosféricas pode ser aproximada como um gás ideal O erro dessa aproximação é inferior a 1 𝐴 𝐵 A Lei do Gás Ideal Equação de Estado de Clapeyron para uma mistura no local delimitado pelo volume será 𝑃 𝑁𝑅𝑢𝑇 Onde T 𝑃𝑖 pressão parcial da espécie i Pa Pressão que a espécie i exerceria se estivesse isoladamente na temperatura e no volume da mistura 𝑁𝑖 número de moles da espécie i Kmol A Lei do Gás Ideal para uma mistura no local delimitado pelo volume será 𝑃𝑖 𝑁𝑖𝑅𝑢𝑇 Onde 𝑃 pressão mistura Pa volume m3 𝑁 número de moles da mistura Kmol 𝑅𝑢 constante universal dos gases ideais 831447 KJKmolK 𝑇 temperatura K 𝑅𝑢 14 Composição de Misturas Caso especial Mistura de Gases Ideais 𝐴 𝐵 Dividindo as duas equações T 𝑅𝑢 𝑃𝑖 𝑃 𝑁𝑖𝑅𝑢𝑇 𝑁𝑅𝑢𝑇 𝑃𝑖 𝑃 𝑁𝑖 𝑁 𝑚𝑎𝑠 𝑋𝑖 𝑁𝑖 𝑁 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑋𝑖 𝑃𝑖 𝑃 𝑋𝐴 𝑃𝐴 𝑃 𝑋𝐵 𝑃𝐵 𝑃 Lei de Dalton da soma das pressões 𝑃 𝑃𝑖 𝑃 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Para uma mistura 𝑃 𝑁𝑅𝑢𝑇 𝑚𝑎𝑠 𝐶 𝑁 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝐶 𝑃 𝑅𝑢𝑇 L𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝜌 𝐶ℳ 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜌 𝑃ℳ 𝑅𝑢𝑇 𝜌 𝑃 𝑅𝑇 ou 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑅𝑢 ℳ Constante do gás espécie i Para uma espécie i 𝐶𝑖 𝑃𝑖 𝑅𝑢𝑇 𝜌𝑖 𝑃𝑖ℳ𝑖 𝑅𝑢𝑇 ou e 𝜌𝑖 𝑃𝑖 𝑅𝑖𝑇 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅𝑖 𝑅𝑢 ℳ𝑖 Constante do gás mistura Composição de Misturas Caso especial Mistura de Gases Ideais OBS Alguns valores para a Constante Universal dos Gáses 𝑹𝒖 831447 KJKmolK 831447 KPam3KmolK 00831447 barm3KmolK 8205 LatmKmolK Lei de Fick da Difusão Base Molar Adoff Eugen Fick 18291901 médico alemão que atuou nos campos da fisiologia e biofísica humana Em 1855 apresentou uma teoria para descrever a difusão de um gás através de uma membrana líquida Lei de Fick da Difusão Também a creditada a ele a invenção da tonometria técnica usada para medir a pressão interna do globo ocular Estabelece que o fluxo da difusão de massa de uma espécie química em um meio estacionário em uma determinada direção é proporcional ao gradiente de concentração local na mesma direção Considerando uma mistura binária de espécies A e B a Lei de Fick da Difusão pode ser apresentada na base mássica ou na base molar Para um problema 1D o fluxo molar difusivo da espécie A na direção x será 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 Kmolsm2 Onde 𝐶 é a concentração molar densidade molar da mistura 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 em Kmolm3 𝐷𝐴𝐵 é um propriedade termofísica de transporte conhecida como Coeficiente de Difusão Binária ou Difusividade Mássica em m2s 𝑋𝐴 é a fração molar da espécie A 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 é o gradiente de concentração densidade molar da espécie A na direção x expresso em termos da fração molar em m1 1 Gradiente de concentração tem sentido contrário ao fluxo Lei de Fick da Difusão Base Molar Podemos generalizar a equação 1 de forma encontrar o fluxo molar difusivo da espécie A para qualquer direção 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 Kmolsm2 Onde 𝐶𝐴 é a concentração molar densidade molar da espécie A em Kmolm3 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 é o gradiente de concentração densidade molar da espécie A na direção x em Kmolm4 3 Sabendo que 𝑋𝐴 𝐶𝐴 𝐶 e admitindo uma hipótese simplificadora de que 𝐶 seja constante as equações 1 e 2 podem ser rescritas da seguinte forma 𝐽 𝑑𝑖𝑓𝐴 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑋𝐴 2 𝐽 𝑑𝑖𝑓𝐴 𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴 4 Kmolsm2 Kmolsm2 De 1 De 2 Lei de Fick da Difusão Base Molar Podemos escrever e Lei de Fick da difusão em termos de taxa Por exemplo das equações 1 e 3 encontramos a taxa molar difusiva ou vazão molar difusiva da espécie A na direção x Onde 𝐴 é a área transversal a direção x em m2 5 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐴 𝐶𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 Kmols 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐴 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 6 Kmols 𝑋𝐴 𝑥 𝑜𝑢 𝑜𝑢 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 De 1 De 3 𝑵 𝒅𝒊𝒇𝑨𝒙 Lei de Fick da Difusão Base Molar OBS Analogia entre a transferência calor por condução e a transferência de massa por difusão Ambos são fenômenos de transporte que ocorrem em nível microscópico Da equação 6 por exemplo podemos constatar claramente que a equação diferencial da Lei de Fick da Difusão de Massa apresenta a mesma forma da equação da Lei de Fourier da Condução de Calor Lei de Fick da Difusão 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 Lei de Fourier da Condução 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 taxa taxa gradiente gradiente Propriedade de transporte Propriedade de transporte 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 Maior concentração de calor Menor concentração de calor Maior concentração de massa Menor concentração de massa Lei de Fick da Difusão Base Mássica Para um problema 1D o fluxo mássico difusivo da espécie A na direção x será 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑥 kgsm2 Onde 𝜌 é a concentração mássica densidade mássica da mistura 𝜌 𝜌𝐴 𝜌𝐵 em kgm3 𝐷𝐴𝐵 é o Coeficiente de Difusão Binária ou Difusividade Mássica em m2s 𝑊𝐴 é a fração mássica da espécie A 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑥 é o gradiente de concentração densidade mássica da espécie A na direção x expresso em termos da fração mássica em m1 7 Podemos generalizar a equação 7 de forma encontrar o fluxo mássico difusivo da espécie A para qualquer direção kgsm2 𝐽 𝑑𝑖𝑓𝐴 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑊𝐴 8 Lei de Fick da Difusão Base Mássica Onde 𝜌𝐴 é a concentração mássica densidade mássica da espécie A em kgm3 𝑑𝜌𝐴 𝑑𝑥 é o gradiente de concentração densidade mássica da espécie A na direção x em kgm4 9 Sabendo que 𝑊𝐴 𝜌𝐴 𝜌 e admitindo uma hipótese simplificadora de que 𝜌 seja constante as equações 7 e 8 podem ser rescritas da seguinte forma kgsm2 De 7 De 8 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝜌𝐴 𝑑𝑥 𝐽 𝑑𝑖𝑓𝐴 𝐷𝐴𝐵𝜌𝐴 10 kgsm2 Lei de Fick da Difusão Base Mássica Das equações 7 e 9 encontramos a taxa mássica difusiva ou vazão mássica difusiva da espécie A na direção x Onde 𝐴 é a área transversal a direção x em m2 11 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥𝐴 𝜌𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑥 kgs 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥𝐴 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝜌𝐴 𝑑𝑥 12 kgs De 7 De 9 Coeficiente de Difusão Binária Difusividade Mássica DAB Tratase de uma propriedade termofísica de transporte que indica a capacidade com que uma espécie A se propagar por difusão no interior de uma espécie B Note 𝐷𝐴𝐵 Difusividade mássica difusão de massa 𝛼 Difusividade Térmica difusão da emergia térmica 𝜈 Vicosidade cinemática difusão de quantidade de movimento m2s O Coeficiente de difusão Binária tende a ser maior quanto maior for o espaçamento entre as moléculas sendo assim 𝑫𝑨𝑩𝒈𝒂𝒔𝒆𝒔 𝑫𝑨𝑩𝒍í𝒒𝒖𝒊𝒅𝒐𝒔 𝑫𝑨𝑩𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 Ex A O2 B Ar Para 298K e 1atm 𝐷𝐴𝐵 021𝑥104 m2s A Etanol B Água Para 298K e 1atm 𝐷𝐴𝐵 012𝑥108 m2s A Alumínio B Cobre Para 298K e 1atm 𝐷𝐴𝐵 013𝑥1033 m2s Coeficiente de Difusão Binária Difusividade Mássica DAB Considerando uma mistura binária de gases e admitindo comportamento de gás ideal a teoria cinética dos gases estabelece que 𝐷𝐴𝐵 1 3 𝑐 𝜆𝑙𝑝𝑚 𝑇 3 2 𝑃 Velocidade média da molécula Livre percurso média da molécula Temperatura termodinâmica Pressão total da mistura Note Para uma mistura de gases 𝐷𝐴𝐵 aumentará com aumento da temperatura e diminuirá com o aumento da pressão Da equação acima para um intervalo restrito de temperaturas e pressões temse 𝐷𝐴𝐵1 𝐷𝐴𝐵2 𝑃2 𝑃1 𝑇1 𝑇2 3 2 Coeficiente de Difusão Binária Difusividade Mássica DAB OBS Uma correlação bastante utilizada que fornece uma estimativa do coeficiente de difusão binária do vapor dágua na atmosfera foi proposta por Marrero e Mason 1972 da seguinte forma A água B Ar 𝐷𝐴𝐵 187𝑥1010 𝑇2072 𝑃 Válida para 280K T 450K Onde T temperatura em K P pressão total em atm Lembrete 1 𝑎𝑡𝑚 101325 𝑃𝑎 1 𝑎𝑡𝑚 101325 𝑏𝑎𝑟 Coeficiente de Difusão Binária Difusividade Mássica DAB continuação Coeficiente de Difusão Binária Difusividade Mássica DAB Lei da Conservação de Espécies De forma análoga a Lei da Conservação da Energia podemos enunciar a Lei da Conservação da Massa de uma Espécie em um volume de controle da seguinte forma A taxa da aumento da massa da espécie acumulada no interior do volume de controle 𝑀 𝐴𝑎𝑐𝑢 tem que ser igual taxa na qual a massa da espécie entra no volume de controle 𝑀 𝐴𝑒𝑛𝑡 menos a taxa na qual a massa dessa espécie deixa o volume de controle 𝑀 𝐴𝑠𝑎𝑖 mais a taxa na qual a massa da espécie é gerada no interior do volume de controle 𝑀 𝐴𝑔 𝑀 𝐴𝑎𝑐𝑢 𝑀 𝐴𝑒𝑛𝑡 𝑀 𝐴𝑠𝑎𝑖 𝑀 𝐴𝑔 kmols ou kgs 𝑀 𝐴𝑒𝑛𝑡 e 𝑀 𝐴𝑠𝑎𝑖 representam fenômenos de superfície ou seja a espécie A pode entrar ou deixar o volume de controle através da sua fronteira por processos de difusão eou advecção Onde 𝑀 𝐴𝑔 pode representar fenômenos volumétricos de geração da espécie no interior do volume de controle por intermédio de reações químicas Por exemplo numa reação de decomposição análise AB AB haveria uma produção líquida das espécies A e B assim como uma redução líquida da espécie AB O contrário aconteceria numa reação de composição síntese AB AB Equação da Difusão Mássica Enquanto que a Equação da Condução Calor fornece a distribuição das temperatura no interior de um meio submetido á condução térmica a Equação de Difusão Mássica fornece a distribuição das concentrações de uma espécie no interior de um meio submetido à difusão de massa 𝝆𝒄𝒑 𝑻 𝒕 𝒙 𝒌𝑻 𝑻 𝒙 𝒚 𝒌 𝑻 𝑻 𝒚 𝒛 𝒌 𝑻 𝑻 𝒛 𝒒 Lembrete Equação da Condução Calor Txyzt A Equação da Difusão Mássica pode ser obtida de forma análoga à Equação da Condução de Calor Considerações Difusão de uma espécie A em um meio estacionário composto por uma mistura binária A e B Regime transiente Problema tridimensional em coordenadas cartesianas A espécie A é uniformemente gerada no interior do meio através de reações químicas homogêneas Equação da Difusão Mássica Base Mássica 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧𝑑𝑧 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦𝑑𝑦 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦 Aplicando a Lei da Conservação de Espécies 𝑀 𝐴𝑎𝑐𝑢 𝑀 𝐴𝑒𝑛𝑡 𝑀 𝐴𝑠𝑎𝑖 𝑀 𝐴𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜌𝐴 𝑡 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦𝑑𝑦 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧𝑑𝑧 𝜂 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑀 𝐴𝑎𝑐𝑢 𝑀 𝐴𝑔 Taxa de geração volumétrica da espécie A em kgsm3 Equação da Difusão Mássica Base Mássica Aplicando expansão em série de Taylor para as taxas 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦𝑑𝑦 e 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧𝑑𝑧 desprezando os termos de ordem superior a equação anterior assumirá a seguinte forma 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜌𝐴 𝑡 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝜂 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Pela Lei de Fick as componentes das taxas mássicas difusivas da espécie A nas direções x y e z podem ser dadas por 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑊𝐴 𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑦 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑊𝐴 𝑦 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑧 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑊𝐴 𝑧 Substituindo as equações das taxas na equação de conservação temse finalmente a Equação da Difusão Mássica em coordenadas cartesianas 𝜌𝐴 𝑡 𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝑥 𝑦 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝑦 𝑧 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝑧 𝜂 𝐴 13 𝑀 𝐴𝑎𝑐𝑢 𝑀 𝐴𝑒𝑛𝑡 𝑀 𝐴𝑠𝑎𝑖 𝑀 𝐴𝑔 Equação da Difusão Mássica Base Mássica Sabendo que 𝑊𝐴 𝜌𝐴 𝜌 e admitindo uma hipótese simplificadora de que 𝜌 seja constante a equação 13 pode ser rescrita da seguinte forma 14 𝜌𝐴 𝑡 𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝑥 𝑦 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝑦 𝑧 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝑧 𝜂 𝐴 Em Coordenadas Cilíndricas na base mássica a equação da difusão mássica pode ser apresentada das segundes formas 𝜌𝐴 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟 𝑊𝐴 𝑟 1 𝑟2 𝜙 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝜙 𝑧 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝑧 𝜂 𝐴 15 Ou quando 𝜌 for constante 𝜌𝐴 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝐷𝐴𝐵𝑟 𝜌𝐴 𝑟 1 𝑟2 𝜙 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝜙 𝑧 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝑧 𝜂 𝐴 16 Equação da Difusão Mássica Base Mássica Em Coordenadas Esféricas na base mássica a equação da difusão mássica pode ser apresentada das segundes formas Ou quando 𝜌 for constante 17 𝜌𝐴 𝑡 1 𝑟2 𝑟 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟2 𝑊𝐴 𝑟 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜙 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴 𝜙 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑊𝐴 𝜃 𝜂 𝐴 𝜌𝐴 𝑡 1 𝑟2 𝑟 𝐷𝐴𝐵𝑟2 𝜌𝐴 𝑟 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜙 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝜙 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝐷𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝐴 𝜃 𝜂 𝐴 18 Equação da Difusão Mássica Base Molar A Equação de Difusão Mássica também pode apresentada na base molar Para as coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas temse Coordenadas cartesianas 𝐶𝐴 𝑡 𝑥 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝑥 𝑦 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝑦 𝑧 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝑧 𝑁 𝐴 Taxa de geração volumétrica da espécie A em Kmolsm3 19 Sabendo que 𝑋𝐴 𝐶𝐴 𝐶 e admitindo uma hipótese simplificadora de que C seja constante a equação 19 pode ser rescrita da seguinte forma 𝐶𝐴 𝑡 𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑥 𝑦 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑦 𝑧 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑧 𝑁 𝐴 20 Equação da Difusão Mássica Base Molar Coordenadas cilíndricas 𝐶𝐴 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑟 𝑋𝐴 𝑟 1 𝑟2 𝜙 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝜙 𝑧 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝑧 𝑁 𝐴 Ou quando 𝐶 for constante 𝐶𝐴 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝐷𝐴𝐵𝑟 𝐶𝐴 𝑟 1 𝑟2 𝜙 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝜙 𝑧 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑧 𝑁 𝐴 21 22 Coordenadas esféricas Ou quando 𝐶 for constante 𝐶𝐴 𝑡 1 𝑟2 𝑟 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑟2 𝑋𝐴 𝑟 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜙 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝜙 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑋𝐴 𝜃 𝑁 𝐴 𝐶𝐴 𝑡 1 𝑟2 𝑟 𝐷𝐴𝐵𝑟2 𝐶𝐴 𝑟 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜙 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝜙 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝐷𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐶𝐴 𝜃 𝑁 𝐴 23 24 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário Muitos problema práticos de transferência de massa abordam a difusão de uma espécie através de um meio estacionário que não envolve nenhuma reação química homogênea sob condições unidimensionais permanentes Esses problemas de transferência de massa podem ser resolvidos de forma análoga aos problemas de condução de calor unidimensional permanente e sem geração de calor CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝑊𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝑊𝐴𝑠2 𝑊𝐴𝑥 Considerando que 𝐷𝐴𝐵 𝑐𝑡𝑒 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e 𝜂 𝐴 0 a equação 13 ficará 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑥 0 Integrando duas vezes a equação obtémse a solução geral 𝑊𝐴 𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2 Para x 0 𝑊𝐴 0 𝑊𝐴𝑠1 Condições de contorno Para x L 𝑊𝐴 𝐿 𝑊𝐴𝑠2 Solução específica 𝑊𝐴 𝑥 𝑊𝐴𝑠2 𝑊𝐴𝑠1 𝑥 𝐿 𝑊𝐴𝑠1 25 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝑊𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝑊𝐴𝑠2 𝑊𝐴𝑥 26 A taxa mássica difusiva ou vazão mássica difusiva da espécie A na direção x pode ser determinada a partir da Lei de Fick equação 11 em conjunto com a equação 25 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑊𝐴𝑠1𝑊𝐴𝑠2 𝐿 Da equação 26 podemos definir uma Resistência Difusiva da Espécie para o meio plano 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝐿 𝜌𝐷𝐴𝐵𝐴 kgs 27 skg 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐿 𝜌𝐷𝐴𝐵𝐴 O fluxo mássico difusivo da espécie A na direção x será 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐴 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝐿 28 kgsm2 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝜌𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝜌𝐴𝑠2 𝜌𝐴𝑥 OBS Considerando que 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑊𝐴 𝜌𝐴 𝜌 as equação 25 26 27 e 28 podem ser apresentadas das seguintes formas 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝜌𝐴 𝑥 𝜌𝐴𝑠2 𝜌𝐴𝑠1 𝑥 𝐿 𝜌𝐴𝑠1 De 25 29 kgm3 De 26 30 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝜌𝐴𝑠1𝜌𝐴𝑠2 𝐿 kgs De 27 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐴 31 sm3 De 28 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝐿 32 kgsm2 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝑋𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝑋𝐴𝑠2 𝑋𝐴𝑥 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐿 𝐶𝐷𝐴𝐵𝐴 Kmols Para a base molar as equações das concentrações taxas e fluxos molares são determinadas a partir de procedimentos semelhantes aos empregados na base mássica Distribuição da concentração densidade molar da espécie A na direção x 𝑋𝐴 𝑥 𝑋𝐴𝑠2 𝑋𝐴𝑠1 𝑥 𝐿 𝑋𝐴𝑠1 33 A taxa molar difusiva ou vazão molar difusiva da espécie A na direção x será 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐶𝐷𝐴𝐵𝐴 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝐿 34 A Resistência Difusiva da Espécie para o meio plano será 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝐿 𝐶𝐷𝐴𝐵𝐴 35 sKmol Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝐶𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝐶𝐴𝑠2 𝐶𝐴𝑥 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐴 O fluxo molar difusivo da espécie A na direção x será 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝐿 36 Kmolsm2 OBS Considerando que 𝐶 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑋𝐴 𝐶𝐴 𝐶 as equação 33 34 35 e 36 podem ser apresentadas das seguintes formas De 33 𝐶𝐴 𝑥 𝐶𝐴𝑠2 𝐶𝐴𝑠1 𝑥 𝐿 𝐶𝐴𝑠1 37 Kmolm3 De 34 Kmols 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝐿 38 De 35 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐴 39 sm3 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 1 Meio Plano com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝐶𝐴𝑠1 𝐷𝐴𝐵 L x 0 𝐶𝐴𝑠2 𝐶𝐴𝑥 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐴 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝐿 40 Kmolsm2 De 36 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 2 Meio Cilíndrico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica Considerando que 𝐷𝐴𝐵 𝑐𝑡𝑒 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e 𝜂 𝐴 0 a equação 15 ficará Integrando duas vezes a equação obtémse a solução geral Para r r1 𝑊𝐴 r r1 𝑊𝐴𝑠1 Condições de contorno Para r r2 𝑊𝐴 r r2 𝑊𝐴𝑠2 Solução específica 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑟 0 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑊𝐴 𝑟 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 𝑊𝐴 𝑟 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟 𝑟2 𝑊𝐴𝑠2 41 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 2 Meio Cilíndrico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 42 A taxa mássica difusiva ou vazão mássica difusiva da espécie A na direção r será 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝜌𝐷𝐴𝐵 2𝜋𝑟𝐿 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑟 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 2𝜋𝐿𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 kgs Da equação 42 podemos definir uma Resistência Difusiva da Espécie para o meio cilíndrico 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝜌𝐷𝐴𝐵 43 skg 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝜌𝐷𝐴𝐵 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 2 Meio Cilíndrico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 OBS Considerando que 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑊𝐴 𝜌𝐴 𝜌 as equação 41 42 e 43 podem ser apresentadas das seguintes formas De 41 45 kgs De 42 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴 𝑟 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟 𝑟2 𝜌𝐴𝑠2 44 kgm3 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 De 43 46 sm3 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 2 Meio Cilíndrico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐶𝐷𝐴𝐵 Para a base molar as equações das concentrações e taxas molares são determinadas a partir de procedimentos semelhantes aos empregados na base mássica Distribuição da concentração densidade molar da espécie A na direção r A taxa molar difusiva ou vazão molar difusiva da espécie A na direção r será A Resistência Difusiva da Espécie para o meio cilíndrico será 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 2𝜋𝐿𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 𝑋𝐴 𝑟 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟 𝑟2 𝑋𝐴𝑠2 47 48 Kmols 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐶𝐷𝐴𝐵 49 sKmol Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 2 Meio Cilíndrico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 OBS Considerando que 𝐶 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑋𝐴 𝐶𝐴 𝐶 as equação 47 48 e 49 podem ser apresentadas das seguintes formas De 47 𝐶𝐴 𝑟 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟 𝑟2 𝐶𝐴𝑠2 50 Kmolm3 De 48 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 51 Kmols De 49 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝐷𝐴𝐵 52 sm3 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 3 Meio esférico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Considerando que 𝐷𝐴𝐵 𝑐𝑡𝑒 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e 𝜂 𝐴 0 a equação 17 ficará Integrando duas vezes a equação obtémse a solução geral Condições de contorno Solução específica 53 Base Mássica 𝑑 𝑑𝑟 𝑟2 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑟 0 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑊𝐴 𝑟 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 1 𝑟 1 𝑟2 𝑊𝐴𝑠2 𝑊𝐴 𝑟 𝐶1 1 𝑟 𝐶2 Para r r1 𝑊𝐴 r r1 𝑊𝐴𝑠1 Para r r2 𝑊𝐴 r r2 𝑊𝐴𝑠2 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 3 Meio esférico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 A taxa mássica difusiva ou vazão mássica difusiva da espécie A na direção r será 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝜌𝐷𝐴𝐵 4𝜋𝑟2 𝑑𝑊𝐴 𝑑𝑟 54 kgs Da equação 54 podemos definir uma Resistência Difusiva da Espécie para o meio cilíndrico 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵 55 skg 𝑊𝐴𝑠1 𝑊𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 3 Meio esférico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Mássica 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐷𝐴𝐵 OBS Considerando que 𝜌 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑊𝐴 𝜌𝐴 𝜌 as equação 53 54 e 55 podem ser apresentadas das seguintes formas De 53 𝜌𝐴 𝑟 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 1 𝑟 1 𝑟2 𝜌𝐴𝑠2 56 kgm3 De 54 𝑚 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 4𝜋𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴𝑠1 𝜌𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 57 kgs De 55 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐷𝐴𝐵 58 sm3 Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 3 Meio esférico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐶𝐷𝐴𝐵 Para a base molar as equações das concentrações e taxas molares são determinadas a partir de procedimentos semelhantes aos empregados na base mássica Distribuição da concentração densidade molar da espécie A na direção r A taxa molar difusiva ou vazão molar difusiva da espécie A na direção r será A Resistência Difusiva da Espécie para o meio esférico será 𝑋𝐴 𝑟 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 1 𝑟 1 𝑟2 𝑋𝐴𝑠2 59 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 4𝜋𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴𝑠1 𝑋𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 60 Kmols 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐶𝐷𝐴𝐵 61 sKmol Difusão de Massa Permanente e Unidimensional Através de um meio Estacionário CASO 3 Meio esférico com ausência de reações químicas homogêneas em seu interior com concentração da mistura constante e coeficiente de difusão binária constante Base Molar 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐷𝐴𝐵 De 59 𝐶𝐴 𝑟 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 1 𝑟 1 𝑟2 𝐶𝐴𝑠2 62 𝑁 𝑑𝑖𝑓𝐴𝑟 4𝜋𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴𝑠1 𝐶𝐴𝑠2 1 𝑟1 1 𝑟2 63 Kmols 𝑅𝑚𝑑𝑖𝑓 1 𝑟1 1 𝑟2 4𝜋𝐷𝐴𝐵 64 sm3 OBS Considerando que 𝐶 𝑐𝑡𝑒 e sabendo que 𝑋𝐴 𝐶𝐴 𝐶 as equação 59 60 e 61 podem ser apresentadas das seguintes formas Kmolm3 De 60 De 60 Concentrações Descontínuas na Interface O que torna o estudo da transferência de massa um pouco mais complexo do que o da transferência de calor é o fato de que as concentrações de espécies são tipicamente descontínuas na interface entre dois meios enquanto que a temperatura tende a ser contínua Em virtude disso na transferência de massa ao especificar uma condição de contorno de concentração especificar o local não é suficiente Precisase também especificar o lado do contorno Ex Ar Atmosférico Água Líquida A H2O B Gases dissolvidos A H2O B Ar seco XA Evaporação da água x 0 XAx Perfil de concentração XAx0lado ar XAx0lado líquido Salto na concentração Interface ÁguaAr mesma temperatura T Tx0lado ar Tx0lado líquido T contínua XAx0lado ar XAx0lado líquido descontínua Varia entre 0 a 005 Próximo de 1 Relações Teóricas Evaporação e Sublimação Solubilidade de gases em líquidos e sólidos Concentrações Descontínuas na Interface Meio gasoso incluindo a espécie A Meio líquido ou sólido com alta concentração de A XA x 0 PAx0gás XAx0líquido ou sólido Interface gáslíquido ou gássólido mesma temperatura T Evaporação e Sublimação A evaporação corresponde a transferência de massa de uma espécie a partir de um meio líquido para um meio gasoso No caso da sublimação a espécie é transferida para o meio gasoso a partir de um meio sólido A Lei de Raoult relaciona a pressão parcial de uma espécie A no meio gasoso na interface com a fração molar dessa espécie no meio líquido ou sólido na interface durante um processo de evaporação ou sublimação Gás ideal 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 𝑋𝐴 𝑥 0 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑢 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑃𝐴𝑠𝑎𝑡𝑇 Onde 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 pressão parcial da espécie A no meio gasoso na interface 𝑋𝐴 𝑥 0 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑢 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 fração molar da espécie A no meio líquido ou sólido na interface 𝑃𝐴𝑠𝑎𝑡𝑇 pressão de saturação a espécie A na temperatura da interface Validade da Lei de Raoult Meio gasoso tem comportamento de gás ideal A concentração da espécie A no meio líquido ou sólido é elevada 65 Concentrações Descontínuas na Interface Meio gasoso incluindo a espécie A Meio líquido B com baixa concentração de A XA x 0 PAx0gás XAx0líquido Interface gáslíquido ou gássólido mesma temperatura T Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos Corresponde transferência de massa de uma espécie a partir de um meio gasoso para um meio líquido ou sólido Gás ideal 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑋𝐴𝑥 0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 fração molar da espécie A no líquido na interface Validade da Lei de Henry Meio gasoso tem comportamento de gás ideal Há baixa concentração da espécie A no meio líquido ou seja a espécie A é fracamente solúvel no líquido 𝑋𝐴𝑥 0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 é pequena Solubilidade de Gases em Líquidos A Lei de Henry é utilizada para relacionar a fração molar da espécie A no meio líquido na interface com a pressão parcial dessa espécie no meio gasoso na interface 𝑋𝐴𝑥 0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 𝐻 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 pressão parcial da espécie A no meio gasoso na interface em bar 𝐻 Constante de Henry em bar 66 𝑋𝐴𝑥 0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 𝐻 Concentrações Descontínuas na Interface Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos Solubilidade de Gases em Líquidos Quanto maior for H menor será a concentração de gases dissolvidos dentro do líquido H aumenta com o aumento da temperatura Portanto a dissolução de gases no líquido pode ser explicada com o aumento da temperatura A concentração de um gás dissolvido no meio líquido é proporcional à sua pressão parcial no meio gasoso Portanto a quantidade de gás dissolvido no líquido pode ser aumentada por meio do aumento da sua pressão Concentrações Descontínuas na Interface Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos Solubilidade de Gases em Sólidos Meio gasoso incluindo a espécie A Meio sólido B com baixa concentração de A CA 0 PAx0gás CAx0sólido Gás ideal 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 x 𝐶𝐴𝑥 0𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑆 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 67 Kmolm3 𝐶𝐴𝑥 0𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 concentração molar da espécie A no meio sólido na interface em Kmolm3 𝑃𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 pressão parcial da espécie A no meio gasoso na interface em bar 𝑆 Solubilidade do gás no sólido em Kmolm3bar Onde Tratando o gás e o sólido como um solução podemos obter a concentração do gás no sólido na interface através da seguinte expressão Condições em uma interface gássólido podem ser determinadas se o gás espécie A se dissolve no sólido espécie B formando um solução Em tais casos a transferência de massa no sólido é independente da sua estrutura da sua porosidade e pode ser tratada como um processo de difusão Além disso o transporte de gases em sólidos pode ser um processo reversível ex difusão do hidrogênio no titânio ou irreversível difusão do oxigênio no titânio formando o óxido de titânio Concentrações Descontínuas na Interface Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos Solubilidade de Gases em Sólidos Obs O produto da solubilidade de um gás com o coeficiente de difusão do gás no sólido é chamado de Permeabilidade 𝒫 𝒫 𝑆 𝐷𝐴𝐵 68 Kmolsmbar Reações Catalíticas na Superfície A catálise envolve o uso de superfícies especiais para promover reações químicas heterogêneas Uma reação química heterogênea ocorre na superfície de um material podendo ser vista como um fenômeno de superfície e podendo ser tratada como um condição de contorno de fluxo da espécie especificado na superfície 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 69 Kmolsm2 Onde 𝑁 𝐴 𝑥 0 taxa molar de produção da espécie A devido a reação por unidade de área da superfície catalítica Considerando uma reação de primeira ordem que resulte no consumo da espécie A na superfície 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝑘1 𝐶𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 70 𝑘1 velocidade da reação em ms Onde Considere um problema unidimensional de transferência de massa por difusão em regime estacionário em que uma superfície catalítica é colocada no interior de uma corrente gasosa a fim de promover uma reação química heterogênea envolvendo um espécie A O fluxo molar difusivo da espécie A a partir da superfície catalítica 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 será dado em função da exigência da conservação da espécie por Reações Catalíticas na Superfície 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 Mas 𝑋𝐴 𝑥 0 𝑔á𝑠 𝑋𝐴𝑆 assim Condições de contorno Representando as demais espécies da mistura como B e supondo meio estacionário a equação 19 ficará resumida a seguinte forma 𝑑 𝑑𝑥 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 0 Supondo 𝐶 e 𝐷𝐴𝐵 contantes 𝑋𝐴 𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2 Solução geral 71 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝐿 72 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 𝑥𝑜𝑔á𝑠 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝑘1 𝐶𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 𝑥𝑜𝑔á𝑠 𝑘1 𝑋𝐴𝑥 0𝑔á𝑠 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 𝑥𝑜𝑔á𝑠 𝑘1 𝑋𝐴𝑆 𝑋𝐴 𝑥 𝐿 𝑋𝐴𝐿 73 Reações Catalíticas na Superfície 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 Aplicando as condições de contorno 72 e 73 na solução geral 71 temse a solução específica que fornece a distribuição da fração molar da espécie A ao longo fino filme de espessura L 𝑋𝐴 𝑥 𝑋𝐴𝐿 1 𝑥𝑘1 𝐷𝐴𝐵 1 𝐿𝑘1 𝐷𝐴𝐵 74 Na superfície catalítica em x 0 a fração molar pode ser dada a partir da equação 74 𝑋𝐴𝑆 𝑋𝐴𝐿 1 1 𝐿𝑘1 𝐷𝐴𝐵 𝑋𝐴 𝑥 𝑘1 𝑋𝐴𝑆 𝐷𝐴𝐵 𝑥 𝐿 𝑋𝐴𝐿 75 Aplicando 75 em 74 76 A fluxo molar difusivo da espécie A equação 69 pode ser dado pela Lei de Fick 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝐶𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑋𝐴 𝑑𝑥 𝑥𝑜𝑔á𝑠 77 Reações Catalíticas na Superfície 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝑁 𝐴 𝑥 0 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 Aplicando as equações 74 e 75 junto com a 77 temse finalmente a expressão do fluxo molar difusivo da espécie A 78 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝐶𝑘1 𝑋𝐴𝐿 1 𝑘1 𝐿 𝐷𝐴𝐵 O sinal negativo indica que a transferência de massa se dá para a superfície Pois pela equação 70 considerouse uma reação que consome a espécie A na superfície Kmolsm2 Difusão de Massa com Reações Químicas Homogêneas Do mesmo modo que a condução de calor pode ser influenciada por uma fonte interna de geração de calor a transferência de massa pode ser influenciada por reações químicas homogêneas no interior do meio Considere um gás espécie A solúvel num líquido espécie B onde é transferido por difusão e experimenta uma reação química homogênea de primeira ordem Se a reação resulta num consumo da espécie A no interior do meio 𝑁 𝐴 𝑘1𝐶𝐴 79 Kmolsm3 Taxa de geração volumétrica da espécie A Se for positiva a reação resulta na geração da espécie A se for negativa a reação resulta em consumo da espécie A Constante da reação da primeira ordem em s1 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 Considerando DAB e C constantes e aplicando a equação 79 na 20 𝐷𝐴𝐵 𝑑2𝐶𝐴 𝑑𝑥2 𝑘1𝐶𝐴 0 80 𝐶𝐴 𝑡 𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑥 𝑦 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑦 𝑧 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑧 𝑁 𝐴 20 Difusão de Massa com Reações Químicas Homogêneas Definindo uma constante 𝑚2 𝑘1 𝐷𝐴𝐵 a equação 80 ficará 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑑2𝐶𝐴 𝑑𝑥2 𝑚2𝐶𝐴 0 81 𝐶𝐴 𝑥 𝐶1𝑒𝑚𝑥 𝐶2𝑒𝑚𝑥 82 Considerando a superfície em x L como sendo impermeável à espécie A as condições de contorno serão 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝐶𝐴 𝑥 0 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐶𝐴0 p𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝐿 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 𝑥0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 0 Aplicando as condições de contorno na equação 82 temse a solução específica 𝐶𝐴 𝑥 𝐶𝐴0 𝑐𝑜𝑠h 𝑚𝐿 𝑥 𝑐𝑜𝑠h 𝑚𝐿 83 Kmolm3 O fluxo molar difusivo em x 0 pode ser dado através da aplicação da equação 83 na Lei de Fick 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴0𝑚𝑡𝑔h 𝑚𝐿 84 Kmolsm2 𝐽𝑑𝑖𝑓𝐴𝑥 𝑥 0 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑥 𝑥𝑜𝑔á𝑠