Exercícios de Cálculo com Regra de L'Hôpital e Tangentes

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF CAleulo 1 MAT09570 151021 tarde Leia com atencao Justifique suas respostas 1 Determine 10 a limz0 Aplicando a Regra de LHopital duas vezes ee 72 ev e ev e 2 lim lim lim 2 z0 1 cosz z0 sen x z0 COS 1 10 b 7 Sede 05 Substituindo u1x du 1x7dx rlu1 x2u12 05 2 ls 12 dt edu 1 2 1 1 edu leliy2 eve 12 15 c a equacao da reta tangente A curva cos 1 y y 2 no ponto 14 74 10 1 Derivando implicitamente com respeito a x senxy1yy1 sen xy sen xyy y1 y 1 sen xy 1 sen xy 1 sen xy YT sen xy 05 Para x y 774 y 1 sen 721 sen 72 0 portanto uma equacao da reta tangente pretendida é y 74 0a 74 ou seja yr4 15 d f a ede 10 Integrando por partes duas vezes obtemos a primitiva da funcao inte granda 1e dr 42 f cede a1e 42 feds Qre 2 1e 2e 2xe a 1e e 3 2x x 05 Assim pelo TFC 2 2 2 a 1e dz e3 2a x5 lle 7 3 0 15 2 Um ponto deslocase sobre a hipérbole xy 4 x 0 de tal modo que a velocidade da ordenada y do ponto é 10 ms Determine a velocidade da abscissa x do ponto quando x 2 m 075 Pensamos x y em metros como fungdes do tempo t em segundos Derivando com respeito at dx dy y 22 0 dey at 075 No instante pretendido temos x 2 donde 2y 4 y 2 e temos dydt 10 2 donde d x 2 102 0 qe 192 A velocidade da abscissa é dxdt 10 ms 3 Seja R a regiao do plano ry delimitada pelas curvas y Vx e y Seja S o sdlido obtido por revolugao de R em torno da reta x 3 Escreva uma integral que represente o volume de S Obs As curvas intersetamse quando z 2 6 2 27 x12906 zxOourv1 075 a usando o método das cascas cilindricas i bea yi ard i 4 x Uma casca ao nivel x 01 tem altura x 24 e raio 3 x donde o volume de S é 1 on3 2e 24 de 0 075 b usando 0 método do fatiamento 3 ae a4 le Nw Ones a 3 Ah x Uma fatia ao nivel y 0 1 origina uma arruela com drea Ay Trove Ting 13 y 13 YU donde o volume de S é 1 1 Awa v 6 yaPay 0 0 4 Considere uma fungao f de dominio R com assintota horizontal y 1 tal que f0 0e tal que fx Gro Acerca de f determine 05 a os intervalos onde é crescentedecrescente O sinal da derivada f é 0 sinal do numerador 1827 pois 0 denominador x 9 6 positivo para todo o x donde f2 0 x 0 e pelo Teste CD f é crescente em 000 e é decrescente em o0 0 10 b os intervalos onde tem concavidade para cimabaixo 05 Derivando com a Regra do Quociente e simplificando o fator x 9 i 18a 9 Sr 2x 9 2x x 9 2 Are ig 9 4x a 98 3 x 54 a 98 4 05 Analogamente a a note que o sinal de f e o sinal da expressao 3 x2 Note que y 3x2 tem como grafico uma parabola com a concavidade voltada para baixo sendo portanto positiva entre os zeros ie em 3 3 e negativa em 3 e em 3 Pelo Teste da Concavidade concluımos que f tem concavidade voltada para baixo em 3 e em 3 e tem concavidade voltada para cima em 3 3 c um esboco indicando explicitamente extremos e pontos de inflexao caso exis 05 tam De a b existe um unico mınimo f0 0 tratase mesmo de mınimo global e existem pontos de inflexao 3 f 3 3 f 3 Um exemplo 5