Prova de Cálculo I - Universidade Federal do Espírito Santo

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF Céleulo 1 MAT09570 210521 tarde Leia com atencao Justifique suas respostas 1 Calcule x 1 a 15 tim Sy a na x 1 lnaa21 lim lim eoitx1 Ing eit x1Ina lim ing aolt net x 12 xlnx lim aol elnga1 H Inmal1 lim a1 nz 2 1 2 2 elz 10 Spas 05 u1ax du 127d Substituindo 2 vide z1eSul r2Su12 05 2 pla 12 aef edu ei 2 e Ve c 15 uma equagao da reta tangente curva x y ra no ponto 9 1 10 1 Para obter o declive derivamos implicitamente com respeito a x 1 1 2 p 5p KY 7 ay 2Jx 2Ay y 12 1 2fg yi We 05 Para y 1 x 9 12 12y 16 donde y 175 e a reta pretendida é y 1175a 9 1 2 d 20 Se J1x1 05 Substituindo x1sintt 1272 dx cos tdt J1x12 V1sint cos t cos t 10 1 in t etl 4 a cos tdt se tdt J1l1 cos t 1 5 b 2tdt 1 sin 2t t C at t 1 5 5 Sin tcos tC 05 Voltando a variavel x 2 1 1 1 dr arcsen x 1 a 1 1 12C it sgt 43 DVIR ED 2 20 Encontre o ponto sobre a reta y 2x 3 que esta mais préximo da origem Use os métodos aprendidos na disciplina de Calculo I 10 Sejam zy as coordenadas do ponto que procuramos Queremos minimizar x 0 y 0 x y sujeito a restricao y 27 3 obtendo a funcao a minimizar dx a 2x 3 vER Note que minimizar d equivale a minimizar fx dx a7 22 3 2 pois 0 dx dx para todo x R se e somente se dxg dx para todo x ER 05 Temos fx 2a 22 32 104 12 e fx 0 S24 65 05 Note que fz 0 a 65e fx 0 a 65 que permite concluir que f atinge valor minimo global para x 65 pelo Teste da 1 Derivada para Extremos Globais A ordenada correspondente é y 265 3 35 Nota da para resolver o exercicio sem os métodos de Calculo 1 Sim basta observar que fx a 4x 122 9 52 122 9 tem como grafico uma parabola com coeficiente 5 O atingindo 0 minimo na abcissa ry do vértice da parabola Completando quadrados achamos a abcissa do vértice da parabola que 2 65 O exercicio também pode ser resolvido se souber que o ponto pretendido se trata do pé da perpendicular a y 2 3 que passa origem 3 Considere a regido R delimitada pelas curvas x y x 1 e o sdlido S obtido pela rotacdo da regiao R em torno de x 1 a 10 Escreva uma integral que represente o volume do sdlido S utilizando fatiamento e outra integral que utilize o método das cascas Esbocgo de R Note que x y y 2 Sy Va ouyVa r1ylouyl 05 Método das fatias uma fatia ao nivel y 11 é um disco de raio 1 y e area Ay 1 y 0 volume pretendido é 1 1 do Aydy m1 ydy n il 05 3 Método das cascas uma casca ao nivel x 01 tem altura x z 2re raio 1 x Assim o volume pretendido é 1 2n1 x2xdx 0 b 10 Calcule o volume de S por um dos métodos de a Por simetria 1 1 n1 ydy an f 1 2y ydy 0 25 1s5 9 4945 share 16x 15 ou 1 1 Qn1 x2xdzx in all 732dx 0 0 1 47 2 32 2 52 3 5G 16x 15 4