EDO - Soluções e Métodos de Resolução: Separação de Variáveis, Exatas e Integração

Verifique se a função yx ex xex é uma solução da EDO y 2y y 0 Resolva a EDO y x2 x 1 sen x pelo método da integração simples Resolva o PVI dydx x2 2y y0 3 pelo método da separação de variáveis Resolva o PVI 2xy3dx 3x2 y2dy 0 y1 1 pelo método para equações exatas 1 Seja φx ex x ex Verificaremos se φx satisfaz a EDO y 2 y y 0 Então temos φ 2φ φ d2dx2 ex x ex 2 ddx ex x ex ex x ex ddx ddx ex x ex 2 ddx ex x ex ex x ex ddx ex ex x ex 2 ex ex x ex ex x ex ex ex ex x ex 2 ex ex x ex ex x ex ex1 1 1 2 2 1 x ex 1 2 1 ex 0 x ex 0 0 Portanto φx satisfaz a EDO e consequentemente é uma solução da mesma 2 y x2 x 1 senx Vamos resolver a EDO por integração direta com efeito temos que y dydx x2 x 1 senx Logo temos dy x2 x 1 senx dx y x2 senx dx x senx dx senx dx Determine a solução geral da EDO linear de primeira ordem xy 2y x4 Onde temos para cada integral o seguinte x2 senx dx x2 senx dx ddx x2 senx dx dx cosx x2 2x cosx dx x2 cosx 2 x cosx dx Para temos x cosx dx x cosx dx ddx x cosx dx dx x senx senx dx x senx cosx x senx cosx Portanto x2 senx dx x2 cosx 2 x senx 2 cosx C1 x senx dx x senx dx ddx x senx dx dx x cosx cosx dx x cosx senx C2 senx dx cosx C3 Com isso obtemos que yx x2 cosx 2 x senx 2 cosx x cosx senx cosx x2 cosx 2 x senx x cosx cosx senx C que é a solução da EDO dada 3 dydx x2 2 y y0 3 temos pelo método da separação de variáveis o seguinte dydx x2 2 y y dy x2 2 dx Integrando temos y dy x2 2 dx y2 2 x3 3 2x C1 y2 23 x3 4x C C 2C1 Portanto y 23 x3 4x C define duas soluções explícitas para a EDO Agora para o PVI temos y0 3 ou seja y0 3 23 03 4 0 C 32 C C 9 E a solução do PVI fica dada por y 23 x3 4x 9 4 Resolveremos 2x y3 dx 3 x2 y2 dy 0 y1 1 Definamos Nxy 3x2 y2 e Mxy 2xy3 Agora verificaremos se a EDO dada é exata Com efeito Nx x3x2 y2 6xy2 My y2xy3 2x3y2 6xy2 Ou seja temos que Nx My que garante que a EDO é exata e portanto essa deriva de um campo escalar Vxyx Onde os componentes de V são tais que Vx M 2xy3 e Vy N 3x2 y2 Logo temos Vx 2xy3 v 2xy3 dx Vxy 2x22 y3 gy Vxy x2 y3 gy Derivando V temos que Vy y x2 y3 gy 3x2 y2 gy No entanto essa igualdade deve ainda ser igual a N ou seja 3x2 y2 gy 3x2 y2 gy 0 gy 0 Logo o potencial Vxy é Vxy x2 y3 E a solução da EDO é ddx x2 y3 0 x2 y3 C Explicitando y temos y Cx213 Para o PVI y1 1 temos yx1 1 C113 C 13 1 C1 Com isso temos que a solução do PVI é y 1x213 1x23 y x23 5 xy 2y x4 Consideremos a EDO homogênea associada isto é xy 2y 0 A qual é linear e separável logo temos que xy 2y0 x dydx 2y 0 1y dy 2x dx Integrando temos 1y dy 2x dx lny 2 lnx C1 y e2 lnx C1 e2 lnx eC1 C elnx2 C x2 Logo temos y Cx2 que é a solução da parte homogênea buscaremos uma solução particular da forma Yp a x4 a ℝ Então temos que levar Yp na EDO x ddx Yp 2y x4 x ddx a x4 2 a x4 x4 4 a x4 2 a x4 x4 x4 6a 1 x4 6a 1 a 16 E logo a solução particular é Yp 16 x4 E a solução geral então é yx Cx2 16 x4