Lista de Exercícios Resolvidos Kreyszig - Vibrações de Vigas e EDP de Quarta Ordem

Problemas 15 16 19 e 20 PÁGINA 57 do livro do Kreyszig Vol 2 19 Viga travada da Fig 290B Quais são as condições de contorno para a viga travada da Fig 290B Mostre que F no Problema 15 satisfaz a essas condições se βL é uma solução da equação 22 cosh βL cos βL 1 Determine soluções aproximadas de 22 por exemplo graficamente a partir das interseções das curvas cos βL e 1cosh βL 20 Viga travadalivre da Fig 290C Se a viga estiver travada à esquerda e livre à direita Fig 290C as condições de contorno são u0t 0 ux0t 0 uxxLt 0 uxxxLt 0 Mostre que F no Problema 15 satisfaz a essas condições se βL for uma solução da equação 23 cosh βL cos βL 1 Encontre soluções aproximadas de 18 1520 SEPARAÇÃO DE UMA EDP DE QUARTA ORDEM VIGA VIBRANTE Pelos princípios usados na modelagem da corda podese mostrar que pequenas vibrações livres verticais de um viga vibrante Fig 289 são modeladas por uma EDP de quarta ordem 21 ²ut² c² ⁴ux⁴ Ref C11 em que c² EIρA E módulo de elasticidade de Young I momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo y na figura ρ massa específica A área da seção transversal O curvamento de uma viga sob uma carga é discutido na Seção 33 15 A substituição de u FxGt em 21 mostra que F⁴F Ġlc²G β⁴ const Fx A cos βx B sen βx C cosh βx D senh βx Gt a cos cβ²t b sen cβ²t De fato note que se Uxt fg onde f fx Fx e g gt Gt Daí temos que se Uxt fg ²t² u c² ⁴x⁴ u ²t² fg c² ⁴x⁴ fg f ²t² g g c² ⁴x⁴ f Dividindo por fg temos que ff g ²gt² gg f c² ⁴fx⁴ 1g ȧ c²f f⁴ onde ȧ ²gt² e f⁴⁴fx⁴ Logo temos que f⁴f ȧc²g 1 que é a primeira expressão desejada A partir de 1 vamos fazer a separação de variáveis impondo a seguinte igualdade f⁴f ȧc²g β⁴ constante 2 que é a primeira expressão com todas as igualdades Então veja que de 2 temos que f⁴f β⁴ ȧc²g β⁴ f⁴ β⁴ f 3 ȧ c² β² g 4 Observe que as equações 3 e 4 tem a seguinte forma geral ϕ²ⁿ m² ϕ onde ϕ ϕs 5 As soluções de 5 tem a forma geral dada por ϕ ers onde r é o valor característico Logo temos que ϕ ers ers2n m² ers r²n ers m² ers r²n m² r² m² 6 Agora vamos especificar o desenvolvimento Se ϕ f n 2 m² β⁴ e 5 xc segue que a solução 6 nos dá r² β⁴ β² r β² que nos dá r₁ β r₂ β r₃ i β r₄ i β 19 Viga travada da Fig 290B Quais são as condições de contorno para a viga travada da Fig 290B Mostre que F no Problema 15 satisfaz a essas condições se βL é uma solução da equação 22 cosh βL cos βL 1 Determine soluções aproximadas de 22 por exemplo graficamente a partir das interseções das curvas cos βL e 1cosh βL Para as extremidades travadas temos que u0t ux 0t 0 e uLt ux Lt 0 que é equivalente a f 0 dfdx x 0 f L dfdx x L 0 22 A solução fx é dada em 10 por f x A cos βx B sen βx C cosh βx D senh βx Como feito impondo os contornos dados em 22 teremos 0 f 0 A cos β0 B sen β0 C cosh β0 D senh β0 A C A C 0 23 0 df dx x0 β A sen βx B cos βx C senh βx D cosh βx x0 β A sen β0 B cos β0 C senh β0 D cosh β0 β B D B D 0 24 0fLA cos β L B sen β L C cosh β L D senh β L 25 0 dfdx xL β A sen βx B cos βx C senh βx D cosh βx xL β A sen βL B cos βL C senh βL D cosh βL 26 Logo temos A C 0 23 B D 0 24 A cos β L B sen β L C cosh β L D senh β L 0 25 A sen β L B cos β L C senh β L D cosh β L 0 26 ou seja C A e D B Daí ficamos com A cos β L cosh β L B sen β L senh β L 0 27 A sen β L senh β L B cos β L cosh β L 0 28 Logo temos que BA senh β L sen β L cos β L cosh β L cos β L cos hβ L senh β L sen β L 29 Desenvolvendo 29 temos senh2 β L sen2 β L cos2 β L 2 cos β L cosh β L cosh2 β L Portanto 2 cos β L cosh β L cos2 β L sen2 β L cosh2 β L senh2 β L 1 1 2 2 cos β L cosh β L 2 cos β L cosh β L 1 Assim mostramos que f resolve o PVC desde que x se verifique Ademais o gráfico das soluções é mostrado a seguir 20 Viga travadalivre da Fig 290C Se a viga estiver travada à esquerda e livre à direita Fig 290C as condições de contorno são u0t 0 ux0t 0 uxxLt 0 uxxxLt 0 Mostre que F no Problema 15 satisfaz a essas condições se βL for uma solução da equação 23 cosh βL cos βL 1 Encontre soluções aproximadas de 18 Observe que basta trabalharmos com a solução dada por fx Com efeito temos fx A cos β x B sen β x C cosh β x D senh β x Como efeito impondo os contornos dados temos 0 f0 A cos β 0 B sen β 0 C cosh β 0 D senh β 0 A C A C 0 30 0 dfdx x0 β A sen β x B cos β x C senh β x D cosh β x x0 β A senβ 0 B cos β 0 C senh β 0 D cosh β 0 β B D B D 0 31 0 d²fdx² xL β² A cos β x B sen β x C cosh β x D senh β x xL β² A cos β L B sen β L C cosh β L D senh β L A cos β L B sen β L C cosh β L D senh β L 0 Por fim 0 d³fdx³ xL β³ A sen β x B cos β x C senh β x D cosh β x xL β³ A sen β L B cos β L C senh β L D cosh β L A sen β L B cos β L C senh β L D cosh β L 0 Então obtemos A C 0 B D 0 A cos β L B sen β L C cosh β L D senh β L 0 A sen β L B cos β L C senh β L D cosh β L 0 Logo C A e D B e com isso chegamos em A cos β L cosh β L B sen β L senh β L 0 A sen β L senh β L B cos β L cosh β L 0 Logo temos que BA cos β L cosh β L sen β L senh β L sen β L senh β L cos β L cosh β L Desenvolvendo temos cos β L cosh β L² sen β L senh β L sen β L senh β L cos² β L 2 cosh β L cos β L cosh² β L sen² β L senh² β L Portanto 2 cosh β L cos β L sen² β L cos² β L cosh² β L senh² β L 1 1 2 2 cosh β L cos β L 2 cosh β L cos β L 1 Logo o PVC é verificado se de fato βL for t q a equação cosh β L cos β L 1 seja satisfeita Agora determinaremos soluções aproximadas de cosh β L cos β L 1 De fato o que segue cos β L 1 cosh β L 0 pois para βL grande segue que cosh β L Logo nesse regime temos cos β L 0 βL 2n 1π 2 para n N 0