Modelagem Matematica - Atividade Estruturada Resolucao de PVI e Sistemas Lineares

INSTRUÇÕES Informar ao professor imediatamente qualquer erro Ler atentamente as instruções relativas às questões antes de respondêlas Usar apenas caneta de cor azul ou preta ao responder as questões 1 Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para h01 a b c na malha 03 d na malha 01 e f 2 Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos X Faculdade Estácio de Belém Curso ENGENHARIA Disciplina MODELAGEM MATEMÁTICA Turma 1001 Professor ROGER BARROS DA CRUZ Aluno a Data ATIVIDADE ESTRUTURADA Um engenheiro de é responsável pela a produção de quatro tipos de componentes mecânicos Existem quatro espécies de recursos necessários à produção mãodeobra metais plásticos e componentes eletrônicos As quantidades destes recursos necessárias são Considere um consumo diário de 504 h de mãodeobra 1970 Kg de metais 970 Kg de plásticos e 601 componentes a Use um método direto e estável para calcular o número de componentes número inteiro de cada tipo produzidos por dia b Use o método iterativo de GaussSeidel tomando como aproximação inicial x1 9 10 12 10 Apresente apenas os cálculos relativos às duas primeiras iterações indicando uma estimativa do erro relativo c Comente os resultados obtidos analisando as condições suficientes de convergência TIPO MÃO DE OBRA hcomp METAIS kgcomp PLÁSTICOS kgcomp COMP ELETR kgcomp I 20 10 10 10 II 4 25 15 8 III 7 40 20 10 IV 20 50 22 15 Dado o seguinte problema Para resolver o problema primeramente temos que criar um sitema de equações para que agente possa resolver o sistema e obter os valores desejados Então tendo em conta que a soma dos recursos necesarios para a fabricação dos componentes mecanicos debe ser igual ao recurso disponivel vamos ter a formulação do sistema de equações lineares vai ser Onde a e o produto um b o produto dois e assim sucesivamente Entao vamos resolver o sistema para obter os valores de a b c d Usando o método de eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial EGPP Podemos ver que sao obtidos os valores a127376 b6381 c33629 d369457 sao obtidos numeros negativos para a e para c isto e porque os sistema aceita esses valores como solucoes para obter valores positivos tem que ser explorado outros valores de consumos diarios que sejam menores aos consumos diarios maximos e tentar varios valores ate encontrar valores positivo de a b c d Mais como isso nao e solicitado no exercicio vamos conservar essas solucoes entao a resposta final seria a 12 b63 c33 d36 Usando GaussSeidel temos Onde as condições iniciais Agora fazendo as iterações duas vezes conforme solicitado pelo problema Com este metodo sao obtidos com a segunda iteracao os valores finales de a5 b45 c0 d12 Agora a estimativa do erro relativo Desta forma Agora para analizar se existem condições suficientes de convergência Temos que de forma geral A e dita testatrix e nonalignment dominante se Desta forma analizando a matriz podemos ver que Então como e falso nada pode se concluir quanto a convergência Agora vamos analisar se a matriz e simétrica e definida positiva então para que seja simétrica a transposta tem que ser igual à matriz então vendo a matriz dá para perceber que a transposta não vai ser igual à matriz Por tanto a matriz não e simétrica e nada se pode concluir quanto a convergência Parte 2 Derivadas e Integrais Vamos a resolver as integrais usando a regra de Simpson Tendo em conta que a regra de simpson e uma tecnica para aproximar integrais usando parabolas desta forma temos que de forma geral Onde Δx é a largura de cada subintervalo dada por Δx b a 2 a e b são os limites do intervalo de integração fa é o valor da função no extremo esquerdo do intervalo fb é o valor da função no extremo direito do intervalo fxn é o valor da função nos pontos médio do intervalo entre fa e fb Agora para a resolucao da primera integral temos que Para n4 Dividindo o intervalo 02 em 4 partes temos que Δx12 por tanto os pontos seriam 0 12 1 32 2 Agora evaluando a funcao nos pontos temos Finalmente desta forma Agora repitindo o mesmo processo para n10 vamos ter Δx15 fx0 f0 0 4fx1 4f15 4125 0032 2fx2 2f25 16125 0128 4fx3 4f35 108125 0864 2fx4 2f45 128125 1024 4fx5 4f1 4 2fx6 2f65 432125 3456 4fx7 4f75 1372125 10976 2fx8 2f85 1024125 8192 4fx9 4f95 2916125 23328 fx10 f2 8 Desta forma 115 0 0032 0128 0864 1024 4 3456 10976 8192 23328 8 4 ii from 2 to 4 of x4 dx Para n4 Δx12 Desta forma Agora para n10 Δx15 Desta forma temos Para n4 Δx7341 Desta forma a solução Para n10 Δx25 Desta forma a solução Para n4 Δx12 Desta forma Agora para n10 Δx15 Desta forma a solução Para n4 e Δx003043400 Desta forma Para n10 Δx00301031000 Desta forma Agora resolvendo as EDOs usando o metodo de Euler Temos que o metodo de euler consiste em fazer uma aproximação da derivada da função desconhecida desta forma o que se procura e fazer pequenhos imcrementos na funcao ate chegar a uma apoximação boa De forma geral teriamos que Que seria a função que queremos aproximar Agora para o processo de iteração e necessario os valores iniciais e o tamanho dos pasos para que desta forma seja aproximado o valor da seguinte forma Vamos ver como funciona com o primeiro exercicio Para a primera iteração n1 teriamos Agora para a segunda iteração pegariamos os valores novos de y e x que seriam para y12 e x101 para x1 e 01 pois o tamanho do passo e 01 desta forma vai aumentando em 01 em cada iteração Como no problema fala que temos que achar o valor na malha 01 vamos a fazer somente uma iteração Para o seguinte problema teremos que Para este exercicio vamos a fazer 3 iterações isto porque e solicitado o calculo na malha 03 Para a primeira iteração Para a segunda iteração Da mesma forma para a ultima iteração Para este exercicio teriamos o mesmo procedimento mais com sinais diferentes por comodidade vamos a conservar a notação de x e y Desta forma como os exercicios anteriores e tendo em conta que so procisamos uma iteração teriamos