Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Integral e Funções de Variáveis Reais

Exercício 1 Calcule 3x² dx 2 Pergunta 1 Ponto Exercício 2 Utilizando as regras básicas de integração calcule 3x² 2x 1 dx 6 Pergunta 1 Ponto Exercício 6 Calcule a área sob o gráfico da função ft t² 3t no intervalo 0 2 Exercício 7 Considere uma haste delgada de 1 m de comprimento cuja densidade linear em cada ponto é dada por px 8 4x kgm Determine a massa dessa haste 9 kg 8 kg 10 kg 11 kg 5 kg 8 ATENÇÃO O GABARITO DAS OUTRAS QUESTÕES E A RESOLUÇÃO COMPLETA APENAS DESSA QUESTÃO DEVERÁ SER POSTADA NA PLATAFORMA AVA 1 Ponto Exercício 8 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região delimitada pelo gráfico da função v 4 x2 e o eixo x 512π 15 500π3 51215 612π15 Exercício 9 Calculando a seguinte integral não imediata x² x 3¹⁰2x 1dx obtemos x² x 3¹¹11 C 2x 6⁴8 C x² x 3¹⁰10 C x² 2x 3¹⁰10 C x² x¹⁰10 C 10 Pergunta 1 Ponto Exercício 10 Calcule a seguinte integral não imediata x ex dx x ex ex C x ex ex C x ex ex C x ex ex C Exercício 1 Considere a função real de duas variáveis reais definida por fxy x² y² o valor de fx 34 é 05 06 1 05 06 2 Pergunta 1 Ponto Exercício 2 Considerando a função do exercício anterior o valor de fy 34 06 08 05 08 06 Pergunta 1 Ponto Exercício 3 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xOy de modo que a profundidade sob o ponto x y é dada por P 300 2x2 3y2 onde x y e P são expressos em metros Sabendose que um esquiador aquático está na água no ponto A49 determine a taxa de variação da profundidade do lago no ponto A49 e na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 15 m unidade percorrida na direção do eixo x 15 m unidade percorrida na direção do eixo x 11 m unidade percorrida na direção do eixo x Pergunta 1 Ponto Exercício 4 Calcule 2zx2 11 sabendose que z x4 3x2y2 y4 6 5 5 6 8 Pergunta 1 Ponto Exercício 5 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy x4 y4 2x y2 Determine o Hessiano dessa função calculado no ponto 1 0 48 48 24 24 0 Exercício 4 Calcule 2zx2 11 sabendose que z x4 3x2y2 y4 6 5 5 6 8 Pergunta 1 Ponto Exercício 5 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy x4 y4 2x y2 Determine o Hessiano dessa função calculado no ponto 1 0 48 48 24 24 0 Exercício 6 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy 3xy2 x3 3x Podemos afirmar que f possui exatamente um ponto crítico dois pontos críticos três pontos críticos quatro pontos críticos nenhum ponto crítico Pergunta 1 Ponto Exercício 7 Uma fábrica de peças automotivas produz dois tipos de peças A e B Uma análise financeira da empresa mostrou que o lucro mensal em reais obtido com as vendas de x unidades da peça do tipo A e y unidades da peça do tipo B é dado por Lxy 60x 100y 32 x2 32 y2 xy Supondo que toda produção da fábrica seja vendida num determinado mês a produção que maximiza o lucro é dada por 10 unidades de A e 30 unidades de B 30 unidades de A e 10 unidades de B 10 unidades de A e 10 unidades de B Pergunta 1 Ponto Exercício 8 Na eletrostática o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme pode ser descrito em termos do seu potencial elétrico φ da seguinte forma E φ Suponha que o potencial elétrico em mV gerado por uma carga puntiforme seja dado por φ x² y² Com base nessas informações podemos afirmar que o potencial elétrico no ponto 3 4 é dado por 5mV 10mV 15mV 20mV 25mV Pergunta 1 Ponto Exercício 9 Utilizando o enunciado da questão anterior podemos afirmar que o vetor campo elétrico no ponto 3 4 é dado por 35 45 35 45 35 45 35 45 00 Pergunta 1 Ponto Exercício 10 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto x y é dada por P 500 2x² 4y² sendo que x y e P são expressos em metros Considere que a localização de um esquiador aquático seja dada pelo ponto 2 3 Determine a taxa instantânea à qual a profundidade varia a partir do ponto 2 3 e na direção do eixo x 8 m unidade percorrida na direção do eixo x 8 m unidade percorrida na direção do eixo x 10 m unidade percorrida na direção do eixo x 10 m unidade percorrida na direção do eixo x 12 m unidade percorrida na direção do eixo x Pergunta 1 Ponto Exercício 1 Calcule 3x²dx x² C x³ C x C 3x² C x⁵ C Exercício 2 Utilizando as regras básicas de integração calcule 3x² 2x 1dx x³ x² x C x³ x² C x³ 2x² x C 3x³ x² x C 3x³ 2x² x C Pergunta 1 Ponto Exercício 3 Calculando a integral 23 costdt obtémse X 2t 3sent C O 2 3sent C O 2t 3 cos t C O 2t 3sent C O 2t sent C Pergunta 1 Ponto Exercício 4 Considere as seguintes informações sobre um corpo em movimento retilíneo I Posição inicial 4 m II Velocidade inicial 20 ms III Aceleração constante e igual a 2 ms² Utilizando as informações anteriores determine uma expressão para a velocidade em função do tempo t X v 2t 20 O v 2t Exercício 5 Calcule a seguinte integral definida t² 3t 1dt X 203 O 103 O 203 O 103 O 193 Pergunta 1 Ponto Exercício 6 Calcule a área sob o gráfico da função ft t² 3t no intervalo 0 2 X 263 O 103 O 203 O 103 O 193 Exercício 7 Considere uma haste delgada de 1 m de comprimento cuja densidade linear em cada ponto é dada por ρx 8 4x kgm Determine a massa dessa haste O 9 kg O 8 kg X 10 kg O 11 kg O 5 kg ATENÇÃO O GABARITO DAS OUTRAS QUESTÕES E A RESOLUÇÃO COMPLETA APENAS DESSA QUESTÃO DEVERÁ SER POSTADA NA PLATAFORMA AVA 1 Ponto Exercício 8 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região delimitada pelo gráfico da função v4x² e o eixo x 512π15 500π3 51215 612π15 Exercício 9 Calculando a seguinte integral não imediata x²x3¹⁰2x1dx obtemos x²x31111 C 2x6⁴8 C x²x31010 C Pergunta 1 Ponto Exercício 10 Calcule a seguinte integral não imediata xex dx xex ex C xex ex C xex ex C Exercício 1 Considere a função real de duas variáveis reais definida por fxyx²y² o valor de fx 34 é 05 06 1 05 06 Pergunta 1 Ponto Exercício 2 Considerando a função do exercício anterior o valor de fy 34 06 08 05 Pergunta 1 Ponto Exercício 3 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xOy de modo que a profundidade sob o ponto xy é dada por P3002x²3y² onde xy e P são expressos em metros Sabendose que um esquiador aquático está na água no ponto A49 determine a taxa de variação da profundidade do lago no ponto A4 9 e na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 15 m unidade percorrida na direção do Pergunta 1 Ponto Exercício 4 Calcule ²zx² 11 sabendose que z x⁴ 3x²y² y⁴ 6 Pergunta 1 Ponto Exercício 5 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy x⁴ y⁴ 2x y² Determine o Hessiano dessa função calculado no ponto 1 0 48 48 24 Exercício 6 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy 3xy² x³ 3x Podemos afirmar que f possui exatamente um ponto crítico dois pontos críticos três pontos críticos quatro pontos críticos nenhum ponto crítico Pergunta 1 Ponto Exercício 9 Utilizando o enunciado da questão anterior podemos afirmar que o vetor campo elétrico no ponto 3 4 é dado por 35 45 35 45 Pergunta 1 Ponto Exercício 10 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto x y é dada por P 500 2x² 4y² sendo que x y e P são expressos em metros Considere que a localização de um esquiador aquático seja dada pelo ponto 2 3 Determine a taxa instantânea à qual a profundidade varia a partir do ponto 2 3 e na direção do eixo x 8 m unidade percorrida na direção do eixo x Exercício 1 Calcule 3x² dx x² C x³ C x C 3x² C x⁵ C Pergunta 1 Ponto Exercício 2 Utilizando as regras básicas de integração calcule 3x² 2x 1 dx x³ x² x C x³ x² C x³ 2x² x C 3x³ x² x C 3x³ 2x² x C Pergunta 1 Ponto Exercício 3 Calculando a integral 2 3 cost dt obtémse 2t 3sent C 2 3sent C 2t 3 cos t C 2t 3sent C 2t sent C Exercício 4 Considere as seguintes informações sobre um corpo em movimento retilíneo I Posição inicial 4 m II Velocidade inicial 20 ms III Aceleração constante e igual a 2 ms² Utilizando as informações anteriores determine uma expressão para a velocidade em função do tempo t v 2t 20 v 2t Exercício 5 Calcule a seguinte integral definida t² 3t 1dt 203 103 203 103 193 Exercício 6 Calcule a área sob o gráfico da função ft t² 3t no intervalo 0 2 263 103 203 103 193 Exercício 7 Considere uma haste delgada de 1 m de comprimento cuja densidade linear em cada ponto é dada por ρx 8 4x kgm Determine a massa dessa haste 9 kg 8 kg 10 kg 11 kg 5 kg Exercício 8 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região delimitada nel gráfico da função v 4 x² e o eixo x 512π15 500π3 51215 612π15 Exercício 9 Calculando a seguinte integral não imediata x² x 3¹⁰2x 1dx obtemos x² x 3¹¹11 C 2x 6⁴8 C x² x 3¹⁰10 C Pergunta 1 Ponto Exercício 10 Calcule a seguinte integral não imediata xex dx xex ex C xex ex C xex ex C Exercício 1 Considere a função real de duas variáveis reais definida por fxy x2 y2 o valor de fx 34 é 05 06 1 05 06 Pergunta 1 Ponto Exercício 2 Considerando a função do exercício anterior o valor de fy 34 06 08 05 Pergunta 1 Ponto Exercício 3 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xOy de modo que a profundidade sob o ponto xy é dada por P 300 2x2 3y2 onde x y e P são expressos em metros Sabendose que um esquiador aquático está na água no ponto A49 determine a taxa de variação da profundidade do lago no ponto A49 e na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 16 m unidade percorrida na direção do eixo x 15 m unidade percorrida na direção do Pergunta 1 Ponto Exercício 4 Calcule 2zx2 11 sabendose que z x4 3x2y2 y4 6 Pergunta 1 Ponto Exercício 5 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy x4 y4 2xy2 Determine o Hessiano dessa funcão calculado no ponto 1 0 48 48 24 Exercício 6 Considere a seguinte função real de duas variáveis reais fxy 3xy² x³ 3x Podemos afirmar que f possui exatamente um ponto crítico dois pontos críticos três pontos críticos quatro pontos críticos nenhum ponto crítico 7 Pergunta 1 Ponto Exercício 7 Uma fábrica de peças automotivas produz dois tipos de peças A e B Uma análise financeira da empresa mostrou que o lucro mensal em reais obtido com as vendas de x unidades da peça do tipo A e y unidades da peça do tipo B é dado por Lxy 60x 100y 32 x² 32 y² xy Supondo que toda produção da fábrica seja vendida num determinado mês a produção que maximiza o lucro é dada por 10 unidades de A e 30 unidades de B 30 unidades de A e 10 unidades de B 8 Pergunta 1 Ponto Exercício 8 Na eletrostática o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme pode ser descrito em termos do seu potencial elétrico φ da seguinte forma E φ Suponha que o potencial elétrico em mV gerado por uma carga puntiforme seja dado por φ x² y² Com base nessas informações podemos afirmar que o potencial elétrico no ponto 34 é dado por 5mV 10mV 15mV 9 Pergunta 1 Ponto Exercício 9 Utilizando o enunciado da questão anterior podemos afirmar que o vetor campo elétrico no ponto 3 4 é dado por 35 45 35 45 10 Pergunta 1 Ponto Exercício 10 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto x y é dada por P 500 2x² 4y² sendo que x y e P são expressos em metros Considere que a localização de um esquiador aquático seja dada pelo ponto 2 3 Determine a taxa instantânea à qual a profundidade varia a partir do ponto 2 3 e na direção do eixo x 8 m unidade percorrida na direção do eixo x