Análise de Alternativas em Engenharia Econômica

ESTO01317 Engenharia Econômica 1 Não se tem certeza da colocação Pode ser um meme ESTO01317 Engenharia Econômica 2 Exemplo Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no método de embalagem de produtos Duas alternativas encontramse em consideração sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de transporte e manuseio automatizados A primeira alternativa exige um investimento inicial de R 600000 e são esperadas reduções de custo da ordem de R 100000ano A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um maior número de operações manuais e deverá custar originalmente R 700000 apresentando reduções de custo de R 120000ano A vida estimada para ambas as alternativas é de oito anos ao final dos quais não haverá valor residual O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9 ao ano Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado deste estudo ESTO01317 Engenharia Econômica 3 A tabela de fluxos de caixa do investimento incremental de B em relação a A é ESTO01317 Engenharia Econômica 4 Solução Denominandose por A o projeto de menor investimento e B o de maior o fluxo de caixa 𝐵 𝐴 para fins de análise incremental é 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 200 0 200 400 600 VPLDBA R i Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿 𝑥 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 12 ESTO01317 Engenharia Econômica 6 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 6 𝑋6 𝑥5 7 𝑋7 𝑥6 8 𝑋8 𝑥7 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 7 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 11 e 12 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 110 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Usando o Método de Newton Raphson temse ESTO01317 Engenharia Econômica 8 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 110 e 𝑥1 112 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 9 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 110 e 𝑥1 112 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 10 A solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 111815 e como x 1 𝑖 obtémse 𝑖 011815 ou 𝑖 𝐵𝐴 1181 Como se observa a taxa interna de retorno do fluxo de caixa incremental é superior aos 9 requeridos Assim o projeto B deveria ser recomendado ESTO01317 Engenharia Econômica 11 Como se observa a taxa interna de retorno do fluxo de caixa incremental é superior aos 9 requeridos Assim o projeto B deveria ser recomendado Entretanto se antes de se efetuar a análise do incremento houvesse sido verificada a atratividade de cada um dos projetos a conclusão seria diferente O projeto A apresenta o seguinte diagrama de fluxos de caixa 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 EST001317 Engenharia Econômica ESTO01317 Engenharia Econômica 13 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2000 1000 0 1000 2000 VPLA R i Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿𝑥𝐴 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 7 Período i Investimento Necessário R Benefícios R Fluxo de Caixa do Projeto XAi R ESTO01317 Engenharia Econômica 14 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 6 𝑋6 𝑥5 7 𝑋7 𝑥6 8 𝑋8 𝑥7 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 15 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 6 e 8 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 106 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Solucionando usando Método de NewtonRaphson temse ESTO01317 Engenharia Econômica 16 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 106 e 𝑥1 108 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 17 Com 5 iterações a solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 106876 e como 𝑥 1 𝑖 obtémse 𝑖 006876ou 𝑖𝐴 689 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 106 e 𝑥1 108 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 18 O projeto B apresenta o seguinte diagrama de fluxos de caixa EST001317 Engenharia Econômica ESTO01317 Engenharia Econômica 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2000 1000 0 1000 2000 VPLA R i Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿𝑥𝐵 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 8 Período i Investimento Necessário R Benefícios R Fluxo de Caixa do Projeto XBi R ESTO01317 Engenharia Econômica 21 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 6 𝑋6 𝑥5 7 𝑋7 𝑥6 8 𝑋8 𝑥7 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 22 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 6 e Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 106 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 23 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋6 𝑥6 𝑋7 𝑥7 𝑋8 𝑥8 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 106 e 𝑥1 108 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 24 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 106 e 𝑥1 108 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Solução usando método das secantes ESTO01317 Engenharia Econômica 25 A solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 107607como 𝑥 1 𝑖 obtémse 𝑖 007607ou 𝑖𝐵 761 Como se pode constatar as taxas internas de retomo oferecidas por ambas as alternativas propostas são inferiores à taxa mínima de atratividade da empresa que é de 9 ao ano Assim ambos os projetos devem ser rejeitados indicando uma decisão que não pode ser recomendada pela simples análise incremental ESTO01317 Engenharia Econômica 26 Exemplo A gerência de marketing de uma firma industrial está analisando quatro possibilidades para a localização de uma central de distribuição para seus produtos Cada alternativa exige diferentes investimentos devido ao preço do terreno custo de construção e tamanho do depósito necessário Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de distribuição Admitindose um período de utilização igual a 10 anos foram efetuadas as seguintes estimativas ESTO01317 Engenharia Econômica 27 Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa de 15 ao ano determinar qual a localização mais adequada fazendo uso do método da taxa interna de retorno ESTO01317 Engenharia Econômica 28 Solução Quando se compara várias alternativas o critério adotado após as alternativas serem colocadas em ordem crescente de investimento é o cálculo sucessivo da taxa de retorno do investimento incremental em relação à alternativa anterior tomando se o cuidado de eliminar aquelas opções cujo investimento incremental resultar num retomo inferior à taxa mínima de atratividade ESTO01317 Engenharia Econômica 29 A tabela de fluxos de caixa do investimento incremental de B em relação a A é ESTO01317 Engenharia Econômica 30 O diagrama de fluxos de caixa do investimento incremental de B em relação a A é 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 31 Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝐵𝐴 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 15 ESTO01317 Engenharia Econômica 32 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 8 𝑋8 𝑥7 9 𝑋9 𝑥8 10 𝑋10 𝑥9 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 33 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 14 e 16 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 140 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 34 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 110 e 𝑥1 112 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 35 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 114 e 𝑥1 116 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 36 A solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 115027 e como 𝑥 1 𝑖 obtémse 𝑖 015027 ou 𝑖 𝐵𝐴 1503 Como esta taxa é levemente superior à mínima de atratividade cujo valor é de 15 ao ano a alternativa B deve ser preferida em relação a A ESTO01317 Engenharia Econômica 37 A tabela de fluxos de caixa do investimento incremental de C em relação a B é ESTO01317 Engenharia Econômica 38 O diagrama de fluxos de caixa do investimento incremental de C em relação a B é 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 39 Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝐶𝐵 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 14 ESTO01317 Engenharia Econômica 40 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 8 𝑋8 𝑥7 9 𝑋9 𝑥8 10 𝑋10 𝑥9 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 41 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 12 e 14 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 112 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 42 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 112 e 𝑥1 114 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 43 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 112 e 𝑥1 114 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 44 A tabela de fluxos de caixa do investimento incremental de C em relação a B é ESTO01317 Engenharia Econômica 45 A solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 113687 como 𝑥 1 𝑖 obtémse 𝑖 013687 ou 𝑖 𝐶𝐵 1368 Como esta taxa é inferior à mínima de atratividade a alternativa C não deve ser aceita sendo B preferível também em relação a esta opção ESTO01317 Engenharia Econômica 46 A tabela de fluxos de caixa do investimento incremental de B em relação a D é ESTO01317 Engenharia Econômica 47 O diagrama de fluxos de caixa do investimento incremental de D em relação a B é 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 48 Para avaliar a raiz do polinômio 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝐷𝐵 analisase pelo gráfico Como pode se observar a raiz está próximo de 14 ESTO01317 Engenharia Econômica 49 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 8 𝑋8 𝑥7 9 𝑋9 𝑥8 10 𝑋10 𝑥9 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 50 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 14 e 16 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 114 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 51 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 114 e 𝑥1 116 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 52 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 114 e 𝑥1 116 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 53 A solução numérica da função 𝑓 𝑥 encontrada foi de 𝑥 114485 como 1 𝑖 𝑥 obtémse 𝑖 014485 ou 𝑖 𝐷𝐵 1449 Como esta taxa é inferior à mínima de atratividade a alternativa D não deve ser aceita sendo B preferível também em relação a esta opção ESTO01317 Engenharia Econômica 54 Este resultado coincide com os valores obtidos através dos métodos do valor presente líquido e do benefício líquido anual que indicam a alternativa B como a mais vantajosa 𝑖 𝐵𝐴 1503 𝑖 𝐷𝐵 1449 𝑖 𝐶𝐵 1368 𝑈𝐷 15673 𝑈𝐶 15524 𝑈𝐵 20449 𝑈𝐴 20299 Benefício Líquido Anual Taxa Interna de Retorno