Taxa Interna de Retorno (TIR) em Engenharia Econômica

ESTO01317 Engenharia Econômica 1 Método da Taxa Interna de Retorno TIR Por definição a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor presente das receitas tornase igual ao dos desembolsos Isto significa dizer que a taxa interna de retorno é aquela que torna nulo o valor presente líquido do projeto Assim definido a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor dos lucros futuros equivalente ao dos gastos realizados com o projeto Caracteriza desta forma a taxa de remuneração do capital investido ESTO01317 Engenharia Econômica 2 Conforme a figura acima a expressão matemática da definição acima pode ser escrita como 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 1 𝑖 𝑘 0 ESTO01317 Engenharia Econômica 3 Onde i representa a taxa interna de retorno de um projeto de investimento genérico Conforme se pode verificar sem muita dificuldade o grau da equação dependerá exclusivamente do horizonte de planejamento correspondente ao projeto que estiver sendo analisado Assim frequentemente surgirá a necessidade de se operar com equações de grau n 2 cuja solução algébrica apresentase extremamente complexa O problema pode ser contornado resolvendo se a equação por meio de implementação computacional ESTO01317 Engenharia Econômica 4 Em projetos como os vistos até o momento que representam a grande frequência de ocorrências no mundo dos negócios após a realização do investimento necessário seguese uma série de fluxos de caixa positivos Nestes casos ocorre apenas uma única inversão de sinal entre as variações de caixa Sob tais condições o valor presente líquido é uma função decrescente da taxa de juros adotada para desconto resultando numa única raiz real que é a taxa interna de retorno procurada O uso de métodos numéricos especificamente utilizando o método do NewtonRaphson ou Método das Secantes desses valores fornecerá finalmente a taxa de desconto desejada correspondente ao valor presente líquido igual a zero E fazendo 1 𝑖 𝑥 resulta de um polinômio de grau n negativo ESTO01317 Engenharia Econômica 5 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋𝑛2 𝑥𝑛2 𝑋𝑛1 𝑥𝑛1 𝑋𝑛 𝑥𝑛 𝑉𝑃𝐿 𝑓 𝑥 𝑘0 𝑛 𝑋𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥 0 E como É necessário encontrar uma raiz positiva através de métodos numéricos Para este caso o grau n Para encontrar a raiz dessa função não linear neste caso pode se utilizar o método de NewtonRaphson No entanto é necessário derivar a função 𝑓 𝑥 ESTO01317 Engenharia Econômica 6 𝑓 𝑥 1 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 𝑛 2 𝑋𝑛2 𝑥𝑛3 𝑛 2 𝑋𝑛1 𝑥𝑛2 𝑛 𝑋𝑛 𝑥𝑛1 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 𝑛 3 𝑋𝑛2 𝑥𝑛3 𝑛 2 𝑋𝑛1 𝑥𝑛2 𝑛 𝑋𝑛 𝑥𝑛1 𝑓 𝑥 𝑘1 𝑛 𝑘 𝑋𝑘 𝑥𝑘1 Com as duas equações 𝑓 𝑥 e 𝑓 𝑥 podese implementar um programa computacional Neste caso o método numérico utilizado é o de Newton Raphson 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 7 Podem ser adotadas outros métodos numéricos para encontrar o zero de uma função 𝑓 𝑥 tais como regulafalsi ou bissecção onde a vantagem desses métodos não precisa ser encontrada a sua derivada por outro lado é necessário conhecer o intervalo onde se encontra a sua raiz No entanto no caso da função do valor presente líquido VPL como é uma função polinomial a sua derivada pode ser facilmente encontrada Para este caso o método de NewtonRaphson apesar da necessidade da sua derivada basta que adote um valor inicial da raiz analisando o gráfico da função 𝑓 𝑥 ESTO01317 Engenharia Econômica 8 A determinação da taxa interna de retorno não encerra porém a questão da aceitação ou rejeição de um projeto já que esta por si só não fornece os elementos necessários à tomada de decisão É preciso comparála com uma base que é a taxa mínima da atratividade Obviamente só podem ser passíveis de aceitação sob o ponto de vista econômico aqueles projetos que ofereçam um retorno superior ao custo do capital ESTO01317 Engenharia Econômica 9 Exemplo Uma firma industrial desejando expandir sua capacidade produtiva elaborou um projeto de viabilidade cujas consequências econômicas prospectivas foram as discriminadas na Tabela a seguir Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 10 ao ano que recomendação deverá ser efetuada a respeito de sua expansão Período Investimento Necessário Receitas Custos Valor Residual Fluxo de Caixa do Projeto xj ESTO01317 Engenharia Econômica 11 Solução Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋18 𝑥18 𝑋19 𝑥19 𝑋20 𝑥20 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 17 𝑋18 𝑥17 18 𝑋19 𝑥18 20 𝑋20 𝑥19 De maneira geral recomendase implementação computacional 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica VPL R i ESTO01317 Engenharia Econômica 13 Analisando o gráfico acima a raiz está em torno de 14 ou seja onde 𝑓 𝑥 0 E através do método de NewtonRaphson adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 1140 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Para este exemplo o n20 portanto a equação a ser solucionada e as constantes do polinômio são os termos 𝑋𝑗 apresentados da coluna da tabela do fluxo de caixa do projeto deste exemplo ESTO01317 Engenharia Econômica 14 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋18 𝑥18 𝑋19 𝑥19 𝑋20 𝑥20 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 114 e 𝑥1 115 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 ESTO01317 Engenharia Econômica 15 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 114 e 𝑥1 115 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Com 5 iterações obtevese 1 𝑖 1144605 ou 𝑖 0144605 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1446 ESTO01317 Engenharia Econômica 16 Como a taxa interna de retorno TIR do projeto é superior à taxa mínima de atratividade TMA de 10 Neste caso é recomendável que a empresa leve adiante seu plano de expansão da capacidade produtiva ESTO01317 Engenharia Econômica 17 Exemplo 2 Numa análise realizada em determinada empresa foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram gerência duas soluções alternativas A primeira consistindo numa reforma geral da linha exigindo investimentos estimados em R 1000000 cujo resultado será uma redução anual de custos igual a R 200000 durante dez anos após os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual ESTO01317 Engenharia Econômica 18 A segunda proposição foi a aquisição de nova linha de produção no valor de R 3500000 para substituir os equipamentos existentes cujo valor líquido de revenda foi estimado a R 500000 Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de R 470000 por ano apresentando ainda um valor residual de R 1070500 após dez anos Sendo a taxa mínima de atratividade TMA para a empresa igual a 8 ao ano qual das alternativas deve ser a preferida pela gerência segundo o critério da taxa interna de retorno TIR ESTO01317 Engenharia Econômica 19 Solução Conforme os dados daquele problema o diagrama de fluxos de caixa referente à alternativa de reforma é Período Investimento Necessário Receitas Custos Valor Residual Fluxo de Caixa do Projeto xj ESTO01317 Engenharia Econômica 21 Para solucionar este problema partese da seguinte equação 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 E a sua derivada é 𝑓 𝑥 𝑋1 𝑥2 2 𝑋2 𝑥3 17 𝑋8 𝑥7 8 𝑋9 𝑥8 10 𝑋10 𝑥9 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica ESTO01317 Engenharia Econômica 23 Analisando o gráfico acima a raiz está em torno de 14 ou seja onde 𝑓 𝑥 0 E através do método de NewtonRaphson adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 1140 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Para este exemplo o n20 portanto a equação a ser solucionada e as constantes do polinômio são os termos 𝑋𝑗 apresentados da coluna da tabela do fluxo de caixa do projeto deste exemplo ESTO01317 Engenharia Econômica 24 No caso do uso do Métodos das Secantes Usase a equação polinomial Os valores iniciais 𝑥0 114 e 𝑥0 116 obtidas graficamente o intervalo da raiz Usando a expressão do Método das Secantes para atualização do valor da raiz a ser encontrada 𝑥𝑘1 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 Podese considerar relativo 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝜀 ou erro absoluto 𝑓 𝑥 𝜀 Adotando 𝜀 1 106 𝑓 𝑥 𝑋0 𝑥0 𝑋1 𝑥1 𝑋2 𝑥2 𝑋8 𝑥8 𝑋9 𝑥9 𝑋10 𝑥10 ESTO01317 Engenharia Econômica 25 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 114 e 𝑥1 116 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 26 Em ambos métodos obtevese 1 𝑖 1150984ou 𝑖 0150984 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1509 O Método de NewtonRaphson convergiu mais rapidamente no entanto é necessário derivar a função do VPL O Método das Secantes foi necessário mais passos computacionais para atingir o valor da raiz ESTO01317 Engenharia Econômica 27 Para alternativa de compra de nova linha de produção a tabela de fluxos de caixa e os coeficientes 𝑋𝑗 estão ilustrados na tabela a seguir ESTO01317 Engenharia Econômica 28 E o seu diagrama de fluxos de caixa é ESTO01317 Engenharia Econômica ESTO01317 Engenharia Econômica 30 Analisando o gráfico acima a raiz está em torno de 1000 ou seja onde 𝑓 𝑥 0 E através do método de NewtonRaphson adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 110 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Para este exemplo o n20 portanto a equação a ser solucionada e as constantes do polinômio são os termos 𝑋𝑗 apresentados da coluna da tabela do fluxo de caixa do projeto deste exemplo No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 111 e 𝑥1 113 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada ESTO01317 Engenharia Econômica 31 Método NewtonRaphson Método das Secantes ESTO01317 Engenharia Econômica 32 O Método NewtonRaphson e Método das Secantes respectivamente com 4 e 5 iterações obtevese 1 𝑖 1120020ou 𝑖 0120020 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1200 ESTO01317 Engenharia Econômica 33 Este resultado indica que a alternativa de reforma deve ser preferida pela gerência visto apresentar uma taxa interna de retorno superior à da opção de comprar uma nova linha de produção Com 5 iterações obtevese 1 𝑖 1120020 ou 𝑖 0120020 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1200 ESTO01317 Engenharia Econômica 34 Esta orientação vai de encontro àquela fornecida quando foi utilizado o método do valor presente líquido Isto contudo não quer dizer que exista incompatibilidade entre os dois métodos Na realidade o que ocorreu nada mais foi do que uma utilização errônea do método da taxa interna de retorno ensejando uma falsa orientação quanto à decisão final Como se sabe a premissa válida para a empresa é a de maximização dos seus lucros absolutos o que não deve necessariamente coincidir com a maximização de sua rentabilidade O método do valor presente líquido expressa seus resultados em termos de lucro absoluto o que não ocorre com o da taxa interna de retorno cuja medida de lucratividade é relativa isto explica a taxa interna de retorno como uma medida de rentabilidade ESTO01317 Engenharia Econômica 35 O diagrama de fluxos de caixa correspondente à alternativa de compra pode ser expresso pela soma de dois outros expressos a seguir sendo o primeiro deles igual ao da alternativa de reforma ESTO01317 Engenharia Econômica 36 A alternativa de compra apresenta um valor presente líquido positivo de R 649587 0 valor presente líquido para a alternativa de reforma é R 342016 Obviamente o fluxo de caixa incremental deverá apresentar um valor presente líquido positivo de R 307571 R 649587 R 342016 conforme pode ser verificado a seguir 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝑐 𝑟 2000000 270000 𝑖 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 1 10705 1 1 𝑖 𝑛 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝑐 𝑟 2000000 270000 67101 10705 04632 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝑐 𝑟 2000000 1811722 495849 𝑉𝑃𝐿𝑖 𝑐 𝑟 307571 ESTO01317 Engenharia Econômica 37 Obviamente se o valor presente líquido do investimento incremental fosse negativo a alternativa de compra se apresentaria inferior à de reforma O impasse surgido com relação ao emprego do método da taxa interna de retorno deve então ser controlado através de um raciocínio análogo Assim sempre que a taxa interna de retorno do investimento incremental for superior à taxa mínima de atratividade a alternativa de maior investimento deve ser aceita pois em tal caso o valor presente líquido do incremento será positivo assegurando a superioridade da alternativa de maior investimento Veja o gráfico a seguir ESTO01317 Engenharia Econômica 38 O gráfico acima apresenta o comportamento do valor presente líquido para os dois casos No entanto existe um ponto de intersecção entre duas soluções onde tanto faz se faz reforma ou aquisição Compra Reforma ESTO01317 Engenharia Econômica 39 𝑉𝑃𝐿𝑟 𝑉𝑃𝐿𝑐 ou 𝑉𝑃𝐿𝑟 𝑉𝑃𝐿𝑐 0 Usando a expressão 10000 2000 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 1 𝑖 𝑛 30000 4700 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 1 𝑖 𝑛 10705 1 𝑖 𝑛 0 Fazendo a mudança de variável e usando a seguinte expressão 𝑥 1 𝑖 ESTO01317 Engenharia Econômica 40 10000 2000 𝑥10 1 𝑥 1 𝑥10 30000 4700 𝑥10 1 𝑥 1 𝑥10 10705 𝑥10 0 𝑉𝑃𝐿 𝑥 20000 2700 𝑥10 1 𝑥 1 𝑥10 10705 𝑥10 𝑉𝑃𝐿𝑥 20000 𝑥11 22700 𝑥10 10705 𝑥 13405 ESTO01317 Engenharia Econômica 41 O gráfico acima representa a expressão 𝑉𝑃𝐿𝑟 𝑉𝑃𝐿𝑐 os mesmos valores de valor presente líquido o que implica que tanto faz a escolha entre reforma e aquisição ESTO01317 Engenharia Econômica 42 Para encontrar o raiz do polinômio 𝑓 𝑥 utilizase o método de NewtonRaphson Fazendo manipulações algébricas obtémse 𝑓 𝑥 14920 𝑥11 16934 𝑥10 07986 𝑥 1 E a derivada de 𝑓 𝑥 é expressa por 𝑓 𝑥 11 14920 𝑥10 10 16934 𝑥9 07986 𝑓 𝑥 164118 𝑥10 169340 𝑥9 07986 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ESTO01317 Engenharia Econômica 43 Observando o gráfico do problema concluise que a raiz está entre 10 e 12 Adotase neste caso para 𝑘 0 𝑥0 110 como valor inicial Para realizar o cálculo foi adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Pelo Método de NewtonRaphson temse Com 3 iterações obtevese 1 𝑖 110676 ou 𝑖 110676 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1068 ESTO01317 Engenharia Econômica 44 No caso do Método das Secantes são adotados 𝑥0 110 e 𝑥1 112 Nesse caso apenas a função fx é usada para o cálculo E se adotada tolerância 𝜀 106 e N10 iterações como condição de parada Com 6 iterações obtevese 1 𝑖 110676 ou 𝑖 110676 Portanto a taxa interna de retorno TIR é de 1068 ESTO01317 Engenharia Econômica 45 Obtémse assim 𝑖 𝑟𝑐 1068 de taxa de mínima de atratividade que coincide para as duas soluções O valor presente líquido para os dois casos é de R 193960 Adotandose a regra de decisão observase que a taxa interna de retorno do investimento incremental 𝑖 𝑟𝑐 1068 ao ano superior à taxa mínima de atratividade i 8 ao ano Este resultado indica que a alternativa de maior investimento no caso a de compra da nova linha de produção deve ser a preferida conforme orientação decorrente anteriormente do uso do método do valor presente líquido ESTO01317 Engenharia Econômica 46 O simples fato de o retorno sobre o revestimento incremental ser superior à taxa mínima de atratividade não significa entretanto que o projeto de maior investimento também apresenta resultado semelhante Se dois projetos estiverem sendo avaliados pelo critério da taxa interna de retorno e o primeiro deles de menor investimento apresentar retorno insuficiente a análise incremental poderá indicar um resultado superior à taxa mínima requerida sem que o segundo projeto seja atrativo É essencial observarse portanto que antes de proceder à análise incremental o analista deve assegurarse de que a proposta de menor investimento apresenta um retorno superior ao mínimo exigido Esta sutileza que pode vir a confundir até mesmo alguns dos mais experimentados profissionais