Metodo de Monte Carlo-Modelagem e Simulação de Sistemas

E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Variabilidade de Sistemas Módulo 4 Modelagem e Simulação de Sistemas Professora Kassia Tonheiro Rodrigues E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Resumindo O MMC consiste na geração artificial de valores das variáveis de interesse com o auxílio de números ao acaso ou números aleatórios Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G O nome do método está associado a ideia de uso de roletas para realização dos sorteios No exemplo do lavo rápido Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G No MMC a ideia de proporcionalidade é associada a subintervalos proporcionais aos intervalos 01 A obtenção destes intervalos é melhor determinada a partir da distribuição de frequências acumulada Considere o TEC do exemplo anterior Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS OBSERVAÇÕES EFETUADAS PARA OS TEMPOS ENTRE CHEGADAS O valor médio das 100 observações é de 111 min Os valores mínimo e máximo são 03 min e 427 min Variabilidade de sistemas E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Simulação do TEC Simulação com uso do Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Tabela de números aleatórios Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Simulação do TEC Simulação com uso do Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exemplo Uma máquina copiadora deve fazer continuamente duas cópias de um determinado tipo de documento com uma só página Infelizmente nem sempre a máquina tira cópias perfeitas De fato na tiragem de duas cópias temse a seguinte distribuição de probabilidade Método de Monte Carlo Número de cópias boas Frequência relativa 0 020 1 040 2 040 100 E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Empreender 20 rodadas de simulação do número de cópias boas e responder a Qual é a média de cópias boas com base na distribuição de frequências b Qual é a média de cópias boas com base na simulação feita Como as duas médias obtidas se comparam Número de cópias boas Frequência relativa 0 020 1 040 2 040 100 Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício 1 Faça 40 rodadas de simulação utilizando MMC para os valores discriminados na tabela abaixo Valor Frequência Frequência acumulada 4 015 015 7 015 030 8 038 068 13 025 093 14 007 100 Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Um problema de estoque Atividade para entregar E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Um problema de estoque Demanda Função de distribuição de probabilidades Função cumulativa de probabilidades Intervalos associados de números aleatórios 25 005 005 01 a 05 30 01 015 06 a 15 35 02 035 16 a 35 40 03 065 36 a 65 45 02 085 66 a 85 50 01 095 86 a 95 55 005 1 96 a 00 Atividade para entregar E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Um problema de estoque Dias de atraso Função de distribuição de probabilidades Função cumulativa de probabilidades Intervalos associados de números aleatórios 1 03 03 01 a 30 2 04 07 31 a 70 3 03 10 71 a 00 Atividade para entregar E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Data Inicial de entrega 6 12 Número aleatório Atraso na entrega Data real de entrega Dia Número Aleatório Demanda Estoque Inicial Nível do estoque final Custo de estocagem Custo de falta 1 240 2 3 4 5 6 7 8 Atividade para entregar E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G 16 Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Desenvolvido pelo Prof D H Lehmer em 1951 para experimentos executados pelo computador ENIAC no MIT Segundo ele os restos de sucessivas potências de um número possuíam boas características de aleatoriedade Obtinha o nésimo número de uma sequência tomando o resto da divisão da nésima potência de um número inteiro a por um outro inteiro m Método Congruente Linear MCL Mod o resto de um número inteiro dividido por outro até o ultimo resultado inteiro E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Uma expressão equivalente usada para o cálculo de Xn após calcular Xn1 é dada por Os parâmetros a e m são chamados de multiplicador e módulo respectivamente A maioria das propostas atuais são generalizadas da proposta de Lehmer e seguem a seguinte fórmula Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exemplo Gere 32 números aleatórios considerando a 5 b 1 m 16 e X05 10 3 0 1 6 15 12 13 2 11 8 9 14 7 4 5 10 3 0 1 6 15 12 13 2 11 8 9 14 7 4 5 Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Os valores de Xn são inteiros entre 0 e m1 As constantes a e b são positivas De maneira geral a escolha dos valores de a b e m afetam o período e a autocorrelação na sequência Para transformálos em valores entre 0 e 1 empregase Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Aplicando Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Geradores Multiplicativos 1 O módulo de m deve ser grande Uma vez que os valores de x estarão entre 0 e m1 a repetição do período nunca será maior do que m 2 m deve ser módulo de 2 isto é 2k 3 Se b0 e m potência de 2 o maior período possível será Pm4 considerando que x0 semente seja um número ímpar e o multiplicador a seja dado por a 8k3 ou a 8k5 para algum k 0 1 2 3 Método Congruente Linear MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G 2 Encontre os períodos para o gerador com os seguintes parâmetros a 13 b 0 m 26 e X0 1 2 3 e 4 Exercício E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício 2 Uma máquina copiadora deve fazer continuamente duas cópias de um determinado tipo de documento com uma só página Infelizmente nem sempre a máquina tira cópias perfeitas De fato na tiragem de duas cópias temse a seguinte distribuição de probabilidade MCL Número de cópias boas Frequência relativa 0 020 1 040 2 040 TOTAL 100 E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Empreender 20 rodadas de simulação do número de cópias boas e responder a Qual é a média de cópias boas com base na simulação feita Utilize o gerador de números aleatórios para a 5 b 1 m 16 e X05 Número de cópias boas Frequência relativa 0 020 1 040 2 040 100 MCL E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício 3 Use o MCL para gerar uma sequência de números aleatórios entre zero e 1 com os seguintes parâmetros x0 27 a 17 b 43 e m 100 Qual o intervalo em que os valores são gerados Porque Observe também que estarão sendo gerados inteiros aleatórios e não números aleatórios Transformeos em valores entre 0 e 1 E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício 4 E se x0 for igual a 13 Use o MCL para gerar uma sequência de números aleatórios entre zero e 1 com os seguintes parâmetros x0 27 a 17 b 43 e m 100 Qual o intervalo em que os valores são gerados Porque Observe também que estarão sendo gerados inteiros aleatórios e não números aleatórios Transformeos em valores entre 0 e 1 E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Exercício 5 Para um certo projeto cuja duração é de um ano e cujo investimento inicial é de R 200000 são conhecidas as distribuições de frequências da receita e da despesa ao final do ano Essas distribuições são apresentadas respectivamente na tabela 1 e na tabela 2 nas quais já foram calculadas as frequências acumuladas e já foram atribuídas as faixas de números para simulação Definindose a rentabilidade como lucro sobre investimento determinar a distribuição de frequência da rentabilidade para 10 períodos Utilize o MCL a 13 b 0 m 26 e X0 1 para receitas e X0 1 para despesas Método de Monte Carlo E n g e n h a r i a d e P r o d u ç ã o F A E N G Receita Frequência estimada Frequência acumulada Faixa de números 800000 020 020 0020 700000 040 060 2160 600000 025 085 6185 500000 015 100 86100 Despesas Frequência estimada Frequência acumulada Faixa de números 400000 010 010 0010 500000 040 050 1150 600000 030 080 5180 700000 020 100 81100 Método de Monte Carlo