Gb Questões 01 - Álgebra Linear

3. c) FALSO: o produto B.A não pode ser efetuado. 4. d) VERDADEIRO: ambos os produtos, B.C e C.B, podem ser calculados. Questão 6/10 Marque a alternativa que apresenta um sistema que poderia ser corretamente representado pela matriz ampliada a seguir: (1 0 3 0) (0 1 2 2) A ☐ \begin{cases} x + y + 3z = 0 \\ y + 2z = 2 \end{cases} B ☐ \begin{cases} b + 3c = b \\ b + 2c = a \end{cases} C ☐ \begin{cases} x + 3z = y \\ y + 2z = -x \end{cases} D ☐ \begin{cases} x + 3z = 0 \\ y + 2z = 2 \end{cases} Você acertou! Resolução: Pela comparação entre os elementos da matriz ampliada e os sistemas apresentados, está correta somente a alternativa "d", isto é, o sistema \begin{cases} x + 0y + 3z = 0 \\ 0x + y + 2z = 2 \end{cases} Questão 7/10 Classifique o sistema de equações lineares dado por: \begin{cases} x + 3z = 0 \\ y + 2z = 2 \\ x + y + z = 0 \end{cases} A ☐ Apenas com esses dados é impossível classificar o sistema B ☐ SPD Você acertou! Uma resolução possível: Como o sistema é quadrado (possui três incógnitas e três equações), e o determinante da matriz dos coeficientes poderá indicar se se trata de um sistema SPD (único tipo estudado até o momento). Assim, do sistema \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & y & 2 \\ x & y & z \end{bmatrix} , obtém-se: det \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 ➔ SPD. C ☐ SPI D ☐ Sistema homogêneo Questão 8/10 Utilizando-se o Método de Gauss-Jordan, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado a seguir: \begin{cases} x - 3y = 0 \\ 5x + 2y = 34 \end{cases} A ☐ \begin{bmatrix} 1 & 0 | 34 \end{bmatrix} B ☐ \begin{bmatrix} 1 & 0 | 12 \\ 0 & 1 | 6 \end{bmatrix} Você acertou! Resolução: \begin{cases} x - 3y = 0 \\ 5x + 2y = 34 \end{cases} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 5 & 2 | 34 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 0 & 17 | 34 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 0 & 1 | 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 | 6 \\ 0 & 1 | 2 \end{bmatrix} C ☐ \begin{bmatrix} 1 & 0 | 34 \\ 0 & 1 | 17 \end{bmatrix} D ☐ \begin{bmatrix} 0 & 1 | 0 \\ 1 & 0 | 34 \end{bmatrix} Questão 9/10 Sobre o sistema de equações lineares dado pelo sistema representado abaixo, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta: \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x + 2y = 10 \\ -x + y = 4 \end{cases} ( ) A matriz-ampliada do sistema é dada por: \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 1 & 2 | 10 \\ -1 & 1 | 4 \end{bmatrix} ( ) Ao se escalonar a matriz-ampliada do sistema obtém-se: \begin{bmatrix} 1 & 0 | -6 \\ 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 | 0 \end{bmatrix} ( ) O sistema é possível e possui várias soluções. ( ) O sistema não pode ser resolvido por ter mais equações do que incógnitas. A ☐ F V F V B ☐ V V F F Você acertou! Resolução: \begin{bmatrix} x - 3y = 0 \\ x + 2y = 10 \\ -x + y = 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 1 & 2 | 10 \\ -1 & 1 | 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 0 & 5 | 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 | 0 \\ 0 & 1 | 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 | 6 \\ 0 & 1 | 2 \end{bmatrix} Graus de liberdade: 0 → SPD S = {(6,2)} Do desenvolvimento acima, pode-se concluir: I) Verdadeira II) Verdadeira III) Falsa IV) Falsa Questão 10/10 Utilizando-se o Método de Gauss-Jordan, encontre a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado por: {2x + 4y = 0 -x + y = 3 -x - 3y = -5} ( ) A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Você acertou! Resolução: \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & -3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & -3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & -5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Grau de liberdade: 0 -> SPD S = {(-2,1)} ( ) B \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} ( ) C \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ( ) D VFVV VFFV