Algebra Linear e Estatistica - Aplicacoes e Objetivos

Álgebra linear e estatística Esta disciplina trabalhará com dois temas muito importantes a álgebra linear e a estatística Embora venham da matemática ambas têm diversas aplicações que não se restringem somente a ela aplicandose a muitas áreas A álgebra linear é vital em diversos campos da ciência em geral Como as equações lineares são muito fáceis de resolver praticamente todas as áreas da ciência moderna contêm modelos em que as equações são aproximadas pelas lineares e a resolução do sistema ajuda a desenvolver a teoria Algumas das relações do mundo real que são governadas por equações lineares e suas aplicações são cargas e deslocamentos em estrutura vibrações mecânicas corrente e tensão em circuitos RLC amplificadores fluxo em uma rede de tubos visão por computador e aprendizado de máquina por exemplo Já a estatística por sua vez usa evidências numéricas para tirar conclusões válidas Contudo estatísticas não são apenas números e fatos Você já deve ter ouvido informações do tipo Quatro em cada cinco dentistas preferem uma pasta de dente específica Frases como essa são apenas alguns resultados simples da estatística porém mais do que isso ela é um conjunto de conhecimentos e procedimentos que lhe permitem lidar com os dados de forma confiável As estatísticas possibilitam avaliar alegações com base em evidências quantitativas e ajudam a diferenciar entre conclusões razoáveis e duvidosas Esse aspecto é particularmente vital hoje porque os dados são abundantes bem como as interpretações apresentadas por pessoas com motivações desconhecidas Objetivos Ao final desta disciplina você deverá ser capaz de Discutir sistemas lineares na resolução de problemas Compreender o que são transformações lineares e suas aplicações Aplicar operadores lineares na resolução de problemas Compreender espações vetoriais euclidianos suas propriedades e algumas interpretações e aplicações Calcular autovalores e autovetores para aplicação dos resultados Aplicar a diagonalização de matrizes ao utilizar os conhecimentos em situações que envolvam problemas de engenharia Diferenciar estatística descritiva e inferência estatística Compreender conceitos como população amostra e variáveis na estatística descritiva Construir tabelas de distribuições de frequências e aplicálas à análise problemas Calcular medidas de tendência central aplicando os resultados a situaçõesproblema Calcular medidas de dispersão e variabilidade aplicando os resultados a situações problema Aplicar conceitos básicos de probabilidade Conteúdo Programático Esta disciplina está organizada de acordo com as seguintes unidades Unidade 1 Transformações lineares e suas aplicações Unidade 2 Vetores no R2 e R3 autovalores autovetores e diagonalização de matrizes Unidade 3 Estatística descritiva conceitos e métodos Unidade 4 Estatística descritiva a linguagem de dados Autoria Melina Silva de Lima Doutora em Modelagem Computacional mestre em Educação Matemática e mestre em Astronomia Possui especialização em Projetos Educacionais e Informática e também em Psicopedagogia É bacharel em Matemática Computacional e atua como professora universitária Atualmente coordena os cursos de Tecnologia da Informação no Centro Universitário Jorge Amado UnijorgeBA e atua como consultora em coordenação de provas para processos seletivos construção de objetos de aprendizagem análise e desenvolvimento de cursos de graduação e avaliações em grande escala Ministra palestras na área de ensino de Astronomia e Matemática É também autora de dois livros um na área de ensino de Matemática e outro na de história da Física Transformações lineares e suas aplicações Transformações lineares são funções matemáticas como as que você estudou no Ensino Médio No entanto seus domínio e contradomínio são objetos matemáticos denominados espaços vetoriais Ademais elas utilizam regras da geometria analítica para transformar uma figura geométrica matriz ou vetor a partir de uma fórmula com um formato específico Por exemplo imagine um quadrado qualquer Agora pense que seu quadrado é formado de um material perfeitamente maleável e que você pode ampliar esticar girar enfim modificar seu formato a partir de seus vértices Esse é um exemplo simples do que as transformações lineares fazem um malabarismo geométrico a partir de sistemas e matrizes Falando nestas esses objetos matemáticos são itens valiosos que podem ser encontrados em uma variedade de aplicações Nesta unidade você verá o que é uma matriz como utilizála e como resolver problemas que a envolvem Veremos também sistemas lineares e outros conceitos até chegar às transformações lineares que por sinal têm aplicações até mesmo na computação gráfica para projetar uma imagem tridimensional em uma tela bidimensional e viceversa Contudo as matrizes também têm relação com a Estatística mais especificamente um campo que utiliza os processos estocásticos e são usados para explicar conjuntos de probabilidades em teoria de probabilidade e estatística Por exemplo eles são utilizados na classificação de sites em uma pesquisa do Google Interessante não acha Objetivo Ao final desta unidade você deverá ser capaz de Discutir sistemas lineares na resolução de problemas Compreender o que são transformações lineares e suas aplicações Aplicar operadores lineares na resolução de problemas Conteúdo Programático Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas Tema 1 Matrizes e sistemas lineares operações e algumas aplicações Tema 2 Espaços vetoriais no plano e no espaço Tema 3 Transformações lineares no plano e no espaço e aplicações Tema 4 Operadores lineares e aplicações Acabamos de fazer um experimento mental em que você imaginou um quadrado que pode ser modificado por meio de transformações lineares Você está com sorte pois hoje o que você pensa acontece Acesse em geogebraorg o quadro Transformação linear criado por Juliana Leal Salmasio Ao acessar o link você encontrará uma imagem como esta Fonte Salmasio s d Deslize os quatro botões e use sua imaginação para movimentar as figuras Tente também perceber o que acontece ao mexer em cada um dos botões pretos que estão acima da imagem Você verá transformações lineares ocorrendo em tempo real Tema 1 Matrizes e sistemas lineares operações e algumas aplicações Como resolver sistemas lineares utilizando matrizes Matriz é um objeto matemático composto por outros porém normalmente utilizamos números organizados em linhas e colunas Os objetos que estão na matriz são chamados de elementos e cada um deles tem um endereço que determina a linha e a coluna em que se encontra Por exemplo na imagem a seguir veremos uma matriz A genérica e de ordem 3 3 e todos os seus elementos associados Veremos também que cada um deles tem um endereço O elemento a31 por exemplo está na linha três e na coluna um porque o primeiro número sempre designa a linha em que o elemento se encontra enquanto o segundo número representa sua coluna À direita e embaixo encontrase a ordem da matriz No nosso exemplo a matriz é de ordem 3 3 porque tem três linhas e três colunas As matrizes podem ser de diferentes tipos Veja alguns As matrizes diagonal identidade triangular superior ou inferior simétrica e antissimétrica são algumas quadradas muito importantes No entanto o que são elementos simétricos São aqueles em que o número da linha e o da coluna trocam de lugar Por exemplo o elemento que está na linha três e coluna dois é simétrico ao que está na linha dois e coluna três Por isso na definição da matriz simétrica temos aij aji Vimos alguns tipos de matrizes mas existem operações entre elas que assim como ocorre com os números devem seguir regras Veja os quadrosresumo das operações Adição ou subtração Para somar ou subtrair matrizes é necessário que elas tenham a mesma ordem Para isso basta somar e subtrair os elementos com mesmo endereço Ou seja a21 b21 Entretanto não podemos operar elementos com endereços diferentes Por exemplo não é possível somar ou subtrair a21 com b22 Exemplo Condição Resultado Matrizes devem ter a mesma ordem Matriz resultante tem a mesma ordem das matrizes somadas ou subtraídas Multiplicação de número por matriz Se tivermos um número e quisermos multiplicalo por uma matriz basta efetuar o produto do número por cada um dos elementos da matriz Exemplo Podemos multiplicar a matriz por 3 e teremos Condição Qualquer número real e matriz de qualquer ordem sem restrição A multiplicação entre matrizes por sua vez requer um pouco mais de atenção veja Multiplicação entre matrizes Para multiplicar duas delas é necessário que a quantidade de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda Condição Resultado A quantidade de colunas da primeira matriz deve ser igual à quantidade de linhas da segunda Realizável com qualquer número real e matriz de qualquer ordem sem restrição A matriz resultante terá a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda Agora que vimos matrizes e algumas operações entre elas estudaremos sistemas lineares pois eles têm aplicações em diversas áreas e por isso podemos resolvêlos utilizando um conjunto de operações denominado escalonamento de matrizes Um sistema linear é composto por equações lineares Ressaltase que equação linear é aquela utilizada para representar uma reta Por exemplo y 35 05x é a equação de uma reta decrescente já que o coeficiente angular é negativo É importante lembrar que uma equação linear nem sempre se apresenta neste formato portanto fique atentoa Essa equação pode ser reescrita de diversos modos veja y 05x 35 y 05x 35 0 y 057 x Além de serem formados por equações lineares os sistemas lineares também podem ser representados por matrizes Agora vamos imaginar uma situação Nem todo mundo gosta de se exercitar mas digamos que você resolva dar uma corridinha e um amigo prefira ir de bicicleta Você corre 02 km por minuto e seu amigo 05 km por minuto Contudo antes de começar ele notou que o pneu estava um pouco vazio e levou seis minutos para enchêlo Qual distância você acha que consegue correr antes de seu amigo alcançálo de bicicleta Representaremos essa situação por meio de uma equação Vamos chamar de s a distância percorrida em km e t o tempo em minutos Se você corre 02 km por minuto então sua equação será d 02t Como seu amigo pedala 05 km a cada minuto então a equação dele será d 05t 6 De onde veio o t 6 Não esqueça que ele demorou seis minutos para encher o pneu da bicicleta Temos um sistema de duas equações e duas variáveis ou incógnitas 𝑑 02𝑡 𝑑 05𝑡 6 Podemos representar esse sistema graficamente Você percebe que seu amigo sai com seis minutos de atraso mas depois de 10 minutos o alcança Você tem 2 km de distância Melhor se exercitar mais para ganhar a próxima corrida Claro que essa brincadeira foi só para dar um exemplo mas há diferentes maneiras de resolver sistemas lineares Por exemplo para resolver o sistema 3𝑥 𝑦 1 2𝑥 𝑦 4 basta sabermos onde as retas se cruzam Esse ponto de encontro é o resultado do sistema Graficamente já sabemos onde elas se tocam ou se interceptam mas também precisamos saber algebricamente Para isso como as duas equações têm a variável y podemos escrevêlas em função de y e as igualar Vamos então reescrever as equações 3𝑥 𝑦 1 𝑦 3𝑥 1 e 2𝑥 𝑦 4 𝑦 2𝑥 4 Como elas são iguais a y podemos igualar apenas o segundo membro de cada uma Assim teremos 3𝑥 1 2𝑥 4 3𝑥 2𝑥 4 1 5𝑥 5 𝑥 1 Como x 1 podemos substituir o valor em qualquer uma das equações 3𝑥 𝑦 1 31 𝑦 1 3 𝑦 1 𝑦 1 3 𝑦 2 Contudo nem sempre os sistemas que temos de resolver são simples como este Outra maneira de resolver é utilizando o escalonamento seja no próprio sistema ou por meio da representação matricial isto é usando matrizes Para isso precisamos saber quando uma matriz está escalonada A forma escalonada por linhas significa que a matriz deve atender aos seguintes requisitos ou não contradizer nenhum deles 1 O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula tem que ser um 2 A coluna que contém o primeiro elemento não nulo da linha tem que ter os demais iguais a zero 3 Se houver linhas nulas e não nulas aquelas devem estar abaixo das não nulas 4 Os primeiros elementos não nulos das linhas devem estar em forma de escada da esquerda para direita As matrizes a seguir estão escalonadas As matrizes a seguir não estão escalonadas Existe três operações para que uma matriz não escalonada assim esteja Elas são chamadas de operações elementares 1 Troca de uma linha por outra quantas vezes for necessário 2 Multiplicar uma linha qualquer por um número real 3 Somar uma linha com um múltiplo de outra Exemplo utilizemos as operações elementares para transformar a matriz 3 3 3 1 2 3 2 4 6 em uma escalonada Podemos trocar as linhas 1 e 2 para que o primeiro elemento seja 1 ou podemos multiplicar a primeira linha por 13 Troquemos as linhas 1 e 2 Zeramos os números que estão abaixo do primeiro elemento não nulo da primeira linha que agora já é 1 Para isso utilizaremos a terceira operação elementar No entanto temos que aplicar a operação em toda a linha e isso mexe com seus demais valores Temos agora duas opções multiplicar a linha 2 por 19 para transformar o elemento 9 em 1 ou trocar as linhas 2 e 3 e depois multiplicar a 2 por 8 Optaremos pela segunda opção para não termos de operar com fração Agora precisamos multiplicar a terceira linha por 16 para que o primeiro elemento não nulo da terceira linha seja igual a 1 Para finalizar aplicaremos a terceira operação elementar na primeira linha para zerarmos o 3 pois ele está na mesma coluna do 1 na terceira linha Por fim aplicaremos a terceira operação elementar na primeira linha para zerarmos o 3 pois ele está na mesma coluna do 1 da terceira linha A matriz ampliada do sistema é a que reúne os coeficientes e as constantes Utilizando o sistema do exemplo a matriz ampliada é 3𝑥 𝑦 1 2𝑥 𝑦 4 3 1 1 2 1 4 Matriz ampliada do sistema Os coeficientes do sistema do exemplo são 3 1 2 e 1 As constantes são 1 e 4 Para resolver sistemas por meio de operações elementares precisamos determinar o posto que é a quantidade de linhas não nulas da matriz escalonada A matriz ampliada do exemplo por sua vez tem duas linhas e três colunas mas para calcular o posto precisamos escalonar 3 1 1 2 1 4 𝐿1 𝐿2 1 2 3 2 1 4 1𝐿1 1 2 3 2 1 4 𝐿2 2𝐿1 1 2 3 0 5 10 1 5 𝐿2 1 2 3 0 1 2 𝐿1 2𝐿2 1 0 1 0 1 2 Como o posto é igual a dois duas linhas não nulas podemos classificar e resolver o sistema Vemos que o posto da matriz ampliada PA é igual a dois e o posto da matriz dos coeficientes PC também é igual a 2 Além disso há duas variáveis Logo o sistema é possível e determinado Neste caso o resultado é único e encontrase na última coluna De fato como vimos antes a solução do sistema é x 1 e y 2 Para sistemas com duas equações e duas variáveis podemos também classificálos por meio de retas Vídeo Para saber mais assista ao vídeo publicado na unidade da disciplina no Ambiente Virtual de Aprendizagem Tema 2 Espaços vetoriais no plano e no espaço O que são e para que servem os espaços vetoriais Existem conjuntos de quantidades multidimensionais chamados vetores É bem possível que você já tenha estudado sobre eles O escalar é outro conceito que costuma ser estudado quando falamos sobre vetores Escalares são um conjunto de quantidades unidimensionais embora na prática eles estejam muito associados a números reais Algumas operações com vetores são possíveis ou seja eles podem ser somados ou multiplicados por escalares ou ainda sob condições específicas eles podem ser multiplicados escalar ou vetorialmente embora isso não seja exatamente como aquela multiplicação a que estamos acostumados com números Para realizar essas operações precisamos preservar as propriedades aritméticas comuns associatividade comutatividade e distributividade por exemplo Os espaços vetoriais são fundamentais para a Álgebra Linear e aparecem em toda a Matemática e Física Eles também são chamados de espaços lineares e compõemse por grupos de vetores somados coletivamente e multiplicados por escalares ou são ainda multiplicados escalar ou vetorialmente Assim voltando aos escalares embora na prática sejam geralmente considerados números reais há poucos casos de multiplicação em que o escalar seja um número racional ou complexo por exemplo A ideia de um espaço vetorial desenvolveuse a partir da noção de espaços comuns bi e tridimensionais como coleções de vetores u v w com um corpo associado de números reais a b c Espaços vetoriais como entidades algébricas abstratas foram definidos pela primeira vez pelo matemático italiano Giuseppe Peano em 1888 Ele chamou seus espaços vetoriais de sistemas lineares porque percebeu que é possível obter qualquer vetor no espaço a partir de uma combinação linear de um número finito de vetores e escalares a v b w c z Fonte GeoGebra Autor jacintoalves25 2022 Você pode acessar o site Geogebra Transformação linear e conhecer mais detalhes sobre essa imagem O conjunto de vetores que pode gerar todos os demais no espaço por meio de tais combinações lineares é conhecido como gerador Por exemplo os vetores u10 e v01 geram o R2 pois qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como a combinação linear deles Eles são o que chamamos de base canônica no R2 o plano euclidiano Algebricamente o plano xOy dessa imagem é simplesmente a coleção de todos os pares x y de números reais Cada um especifica um ponto no plano Apesar de lidarmos com conceitos abstratos o estudo dos espaços vetoriais da Álgebra Linear é importante em diversas áreas como estatística inteligência artificial física ciências da computação e economia em que vetores podem significar probabilidades e estratégias de investimento por exemplo Falando em combinação linear Dados n vetores v1 v2 v3 vn e n escalares 𝑎1𝑎2𝑎3 𝑎𝑛 se qualquer um dos primeiros pudesse ser escrito como uma soma dos escalares multiplicados pelos demais vetores então esse vetor seria uma combinação linear dos demais Vamos dar um exemplo com vetores Digamos que temos três vetores do R2 𝑣1 21 𝑣2 23 𝑣3 109 Veja que podemos escrever 𝑣3 assim 109 321 223 Isso significa que 𝑣3 é uma combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2 Quando a operação já vem pronta é possível perceber se um vetor é uma combinação linear dos demais No entanto como descobrir quais são os escalares que utilizaremos para descobrir essa informação Veja este outro exemplo acho que o ajudará a descobrir Como expressar 2 4 como combinação linear de 2 1 e 2 2 Para responder à pergunta o que queremos saber aqui é quais são os escalares 𝑎 e 𝑏 que satisfazem a equação 2 4 𝑎2 1 𝑏 2 2 Assim responder isso significa resolver o sistema 2𝑎 2𝑏 2 4𝑎 𝑏 2 Uma das maneiras de resolvêlo é escalonando a matriz ampliada lembra 2 2 2 4 1 2 1 2 𝐿1 1 1 1 4 1 2 𝐿2 4𝐿1 1 1 1 0 3 6 1 3 𝐿2 1 1 1 0 1 2 𝐿1 𝐿2 1 0 1 0 1 2 Como o posto da matriz ampliada é dois e é igual ao posto da matriz dos coeficientes então o Sistema é Possível e Determinado SPD Assim a solução está na última 𝑎 1 𝑒 𝑏 2 coluna e portanto 2 4 𝑎2 1 𝑏 2 2 equivale a 2 4 12 1 2 2 2 Usando combinações lineares podemos ainda definir dependência linear dados dois ou mais vetores eles serão ditos Linearmente Independentes LI se ao escrever o vetor nulo como combinação linear daqueles todos os escalares forem nulos Para ficar mais fácil verificaremos se os vetores aqui representados como pares ordenados 31 e 12 são linearmente independentes Para isso precisamos escrever o vetor nulo como combinação linear de 31 e 12 isto é devemos achar 𝑎 𝑒 𝑏 que resolva corretamente a equação 00 𝑎31 𝑏12 Sabemos que ela pode ser escrita na forma do sistema 3𝑎 𝑏 0 𝑎 2𝑏 0 e podemos resolvêla pelo escalonamento da matriz ampliada você pode optar por outras formas se preferir por exemplo o método da adição ou substituição 3 1 0 1 2 0 𝐿1 𝐿2 1 2 0 3 1 0 𝐿2 3𝐿1 1 2 0 0 7 0 1 7𝐿2 1 2 0 0 1 0 𝐿1 2𝐿2 1 0 0 0 1 0 Note que a solução é nula 𝑎 0 𝑒 𝑏 0 Os vetores 31 e 12 são linearmente independentes Contudo o que seriam vetores linearmente dependentes De modo bem simplificado se os escalares não forem todos nulos então os vetores são Linearmente Dependentes LD Vetores múltiplos são LD Por exemplo Os vetores 32 𝑒 64 são LD Se tentássemos escrever o vetor nulo como combinação linear deles teríamos um sistema possível e indeterminado com 𝑎 2𝑏 uma vez que nossa matriz ampliada do sistema e seu escalonamento nos daria 3 6 0 2 4 0 1 2 0 3 6 0 1 2 0 0 0 0 Note que o posto da matriz ampliada é igual ao da matriz dos coeficientes igual a 1 mas a quantidade de variáveis do sistema é 2 Portanto o sistema é possível e indeterminado ou seja ele tem infinitas soluções Vetores são colineares se um for múltiplo escalar do outro No caso de três vetores do R3 se eles forem colineares então serão LD Essa relação pode ser facilmente verificada pelo determinante e caso este seja igual a zero os vetores são LD Por outro lado se ele for diferente de zero então os vetores são LI Mais um exemplo para ilustrar Determine o valor de 𝑚 para que os vetores 𝑢1 3 𝑚 6 𝑢2 21 𝑚 3 𝑒 𝑢3 1 𝑚 24 sejam LD Para resolver basta calcular a equação com o determinante 3 𝑚 6 2 1 𝑚 3 1 𝑚 2 4 0 Pela regra de Sarrus o cálculo do determinante é 3 1 𝑚 3 𝑚 2 4 𝑚 2 𝑚 3 1 4 6 2 1 1 𝑚 2 0 12 𝑚2 3𝑚 12𝑚 24 5 8𝑚 3𝑚2 15𝑚 18 0 𝑚2 12𝑚 12 0 Resolvendo essa equação do 2º grau encontrase 𝑚 2 𝑒 𝑚 6 Um conjunto de vetores 𝑣𝑖 𝑉 LI é a base de um espaço vetorial 𝑉se qualquer vetor 𝑣 𝑉 puder ser escrito como uma combinação linear Os vetores 𝑣1 100 𝑣2 010 𝑒 𝑣3 001 formam uma base neste caso denominada de base canônica do 𝑅3 porque eles geram todos os vetores desse espaço Tema 3 Transformações lineares no plano e no espaço e aplicações O que são e qual é o papel das transformações lineares Um dos pontos principais da Matemática Moderna é que as funções entre objetos são tão importantes quanto eles próprios Os objetos com os quais trabalhamos aqui são espaços vetoriais e as funções que preservam a estrutura de espaços vetoriais são chamadas de transformações lineares A estrutura do espaço vetorial V sobre um corpo F corpo é uma definição específica e estudada na Álgebra é sua adição e multiplicação escalar ou se preferir suas combinações lineares Tantos os espaços vetoriais como as transformações lineares são conceitos muito importantes em diversas áreas e uma delas é a computação e o aprendizado de máquina mais conhecido pelo termo inglês machine learning Enquanto o espaço vetorial é um conjunto com algumas propriedades especiais sem deixar de ser um conjunto a transformação linear é uma espécie de mapa ou função entre espaços vetoriais Transformações lineares são funções como as que estudamos no Ensino Médio porém tanto o domínio como o contradomínio são espaços vetoriais Entretanto como você sabe estamos tratando de Matemática e por isso precisamos expressar os conceitos matematicamente A transformação linear de um espaço vetorial V para outro W é uma função normalmente designada pela letra T que preserva a adição vetorial e a multiplicação por escalar ou seja T V W é uma função tal que Tv w Tv Tw e Tcv cLv para todo vetor v e w em V e todo escalar c O espaço vetorial V é chamado de domínio de T enquanto o vetorial W é chamado de contradomínio de T Quando V W chamamos a transformação de operador linear Portanto um operador é uma transformação linear que muda um elemento de um espaço vetorial para outro do mesmo espaço vetorial Assim todo operador linear é uma transformação linear mas nem toda transformação linear é um operador No início deste estudo fizemos um exercício imaginário um quadrado que podia ser movido e modificado ao mexermos em seus vértices Essa ação é chamada de simetrias e elas podem ser entendidas como transformações lineares Um exemplo de simetria é o cisalhamento outro é a dilatação Ambas estão mostradas nas imagens respectivamente Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais ela pega um vetor como entrada e transformao em um novo de saída Uma função é dita linear se as propriedades de adição e multiplicação escalar forem preservadas ou seja o mesmo resultado é obtido se estas operações forem feitas antes ou depois da transformação As transformações lineares modificam uma figura geométrica ou matriz ou vetor usando uma fórmula com formato específico O formato deve ser linear em que os componentes originais por exemplo x e y de cada ponto da figura original são alterados pela fórmula a x b y para produzir a figura transformada Por exemplo virar a figura sobre o eixo x ou y esticála ou comprimila girandoa Você pode encontrar a seguinte notação para descrever uma transformação linear Tv Isso se refere ao vetor v transformado por T Ademais uma transformação T está associada a uma matriz específica Como a adição e a multiplicação por escalar devem ser preservadas a transformação T é linear se 𝑇𝑢 𝑣 𝑇𝑢 𝑇𝑣 𝑒 𝑇𝑎𝑢 𝑎𝑇𝑢 em que 𝑢 𝑒 𝑣 são vetores e 𝑎 um escalar Por exemplo 𝑇 𝑅2 𝑅3𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 3𝑦 é linear pois se 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑒 𝑣 𝑥2 𝑦2 e 𝑎 um escalar então 𝑇𝑢 𝑣 𝑇𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑇𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 2𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦22𝑥1 𝑥2 3𝑦1 𝑦2 𝑥1 2𝑦1𝑥1 𝑦12𝑥1 3𝑦1 𝑥2 2𝑦2𝑥2 𝑦2 2𝑥2 3𝑦2 𝑇𝑢 𝑇𝑣 e 𝑇𝑎𝑢 𝑇𝑎𝑥1𝑦1 𝑇𝑎𝑥1 𝑎𝑦1 𝑎𝑥1 2𝑎𝑦1𝑎𝑥1 𝑎𝑦12𝑎𝑥1 3𝑦1 𝑎𝑥1 2𝑦1𝑥1 𝑦1 2𝑥1 3𝑦1 𝑎𝑇𝑢 É sempre necessário utilizar a adição de vetores e a multiplicação por escalar para mostrar que uma transformação é linear Nem sempre porque se 𝑇𝑢 0 então 𝑇 não é linear como em 𝑇𝑅2 𝑅2 𝑇𝑥 𝑦 2𝑥 13𝑦 Note que 𝑇00 20 1 30 10 Portanto 𝑇 aqui não é linear Se fosse seria necessário aplicar as operações já citadas Como uma transformação linear 𝑇 é uma função ela também pode ser injetora sobrejetora ou bijetora Existe uma conexão entre transformações lineares injetoras e conjuntos linearmente independentes Sem usar formalidades matemáticas podemos ter uma noção disso quando pensamos como cada propriedade é definida Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única relação de dependência linear for a trivial ou seja igual a zero Uma transformação linear é injetora se a única maneira de dois vetores de entrada produzirem a mesma saída for a trivial isto é nula 𝑇 𝑅2 𝑅3 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 3𝑦 é injetora pois o sistema 𝑥 2𝑦 0 𝑥 𝑦 0 2𝑥 3𝑦 0 dará como resultado a solução trivial 𝑥 0 𝑦 0 Para comprovar isto basta resolver esse sistema utilizando sua matriz ampliada ou qualquer outro método de sua preferência 1 2 0 1 1 0 2 3 0 1 2 0 0 3 0 0 7 0 1 2 0 0 1 0 0 7 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Esses resultados estão atrelados ao núcleo da transformação linear que na prática é o conjunto que leva vetores de 𝑇 ao nulo do espaço A imagem de T representada por Im T e o núcleo estão representados na imagem Algebricamente a imagem da transformação linear 𝑇 𝑉 𝑊 é escrita da seguinte maneira 𝐼𝑚𝑇 𝑇𝑉 𝑤 𝑊𝑇𝑣 𝑤 para algum 𝑣 𝑉 A dimensão da ImT é o posto da matriz associada a T e já estudamos isso Ademais o posto também pode ser entendido como a quantidade de vetorescoluna linearmente independentes Além disso T é sobrejetora se ImT coincidir com W Portanto sendo 𝐴 2 4 4 6 8 2 18 2 2 0 4 10 12 10 14 10 a matriz de uma transformação linear T R4 R4 podemos escalonála para obtermos o posto e consequentemente a dimensão de sua imagem 𝐴 2 4 4 6 8 2 18 2 2 0 4 10 12 10 14 10 1 2 4 6 4 1 18 2 2 0 4 10 12 10 14 10 1 2 0 2 4 1 2 6 0 4 0 2 4 12 2 6 1 2 0 1 4 1 1 3 0 4 0 2 4 12 2 6 1 0 0 1 6 5 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Como o posto de A é dois a dimensão da imagem de T também o será Isso é particularmente importante devido a um dos teoremas mais significativos da álgebra linear conhecido como teorema do núcleo e imagem ou teorema da dimensão que afirma 𝑑𝑖𝑚𝑁𝑇 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝑇 𝑑𝑖𝑚𝑉 Lembrando dim é a dimensão NT é o núcleo da transformação linear T V W e ImT é a imagem de T Você pode brincar com as imagens ao acessar o site Transformações lineares Basta mover os botões e verá algumas transformações lineares sendo aplicadas Tema 4 Operadores lineares e aplicações O que são operadores lineares e por que são importantes Vimos que transformação linear é aquela cujos conjuntos são espaços vetoriais e seus elementos são vetores Também estudamos que operador linear é um tipo de transformação linear cujo domínio e contradomínio são o mesmo espaço vetorial Isso significa que muda um elemento de um espaço vetorial para outro do mesmo espaço Por essa razão Todo operador é uma transformação linear mas nem toda é um operador Os operadores lineares são importantes porque contêm propriedades que permitem que a aplicação e a resolução de alguns objetos matemáticos se deem de forma otimizada gerando ganho de tempo e de trabalho nas áreas que dependem que esses cálculos sejam mais rápidos como nos casos em que o processamento de informação é muito grande Algumas das propriedades referidas são isomorfismo e homomorfismo Dois sistemas matemáticos abstratos e definidos axiomaticamente são ditos isomórficos entre si se forem equivalentes estrutural e algebricamente em seu funcionamento interno com elementos semelhantes e correspondendo de forma um para um As diferenças entre eles são apenas superficiais como os nomes que damos aos elementos e a maneira como denotamos a lei da combinação Assim como ocorre o isomorfismo o homomorfismo é também uma correspondência entre duas estruturas matemáticas que são estrutural e algebricamente idênticas No entanto há uma diferença importante entre aqueles termos Isomorfismo Homomorfismo É um mapeamento umparaum de uma estrutura matemática para outra Por sua vez é um mapeamento muitosparaum de uma estrutura para outra O isomorfismo mapeia um elemento em outro já o homomorfismo um conjunto de elementos em um único Sua definição soa muito parecida com a do isomorfismo porém permite a possibilidade de um mapeamento de muitos para um Na verdade um isomorfismo é um caso especial de homomorfismo Todo operador linear 𝑇 𝑉 𝑉 entre dois espaços vetoriais de dimensão finita pode ser representado por uma matriz 𝑓𝐵𝐶 chamada de matriz do operador linear A notação 𝑓𝐵𝐶 indica que ela depende da escolha de duas bases uma 𝐵 para o domínio e outra 𝐶 para o contradomínio A matriz é então construída da seguinte forma 𝑓𝐵𝐶 𝑓𝑏1𝐶 𝑓𝑏𝑘𝐶 As colunas são os vetores de coordenadas das transformações 𝑓𝑏𝑘 dos vetores pertencentes à base 𝐵 𝑏1𝑏2 𝑏𝑘 O número de colunas de 𝑓𝐵𝐶 é igual ao número de elementos na base 𝐵 enquanto o número de linhas é igual ao de elementos na base 𝐶 Como no operador linear o contradomínio coincide com o domínio e há duas consequências importantes nesse fato A primeira é que a matriz de um operador linear é quadrada Assim podemos aplicar a ele o rico conjunto de ferramentas teóricas que podem ser destinadas exclusivamente a matrizes quadradas por exemplo os conceitos de inversa traço determinante autovalores e autovetores Outra consequência importante é que podemos embora não sejamos obrigados usar uma base única 𝐵 tanto para o domínio como para o contradomínio Quando escolhemos este tipo de simplificação a matriz da transformação linear é 𝑓𝐵𝐵 𝑓𝑏1𝐵 𝑓𝑏𝑘𝐵 a qual também podemos denotar simplesmente por 𝑓𝐵 Seja 𝑉 um espaço linear gerado pela base 𝐵 𝑏1 𝑏2 Suponha que 𝑇 𝑉 𝑉 é um operador linear tal que 𝑓𝑏1 3𝑏1 𝑏2 𝑓𝑏2 𝑏2 Então os vetores de coordenadas necessários para formar a matriz do operador linear são 𝑓𝑏1𝐵 3 1 e 𝑓𝑏2𝐵 0 1 Assim a matriz do operador linear em relação a 𝐵 é a matriz quadrada 𝑓𝐵 𝑓𝐵𝐵 3 0 1 1 Na prática o que temos nessa matriz são os coeficientes de 𝑏1 𝑒 𝑏2 Você pode montar sua matriz dessa forma apenas olhando os coeficientes e sabendo como os dispor nela Um vetor pode ser representado em uma base diferente do sistema básico de coordenadas Podemos construir uma matriz de transformação e aplicá la para modificar vetores em outro espaço vetorial A isso damos o nome de realizar uma mudança de base Na prática como já dito os operadores lineares são utilizados quando queremos por exemplo esticar imagens aumentálas ou diminuílas no sistema de coordenadas padrão Neste processo mapeiase o sistema de coordenadas atual para as do novo sistema que resultou da transformação Um vetor b em um espaço pode ser transformado ao ser multiplicado por uma matriz de transformação A Por sua vez a matriz define o tipo e o grau de transformação se e por quanto o vetor é girado movido esticado invertido dimensionado ou alterado de outra forma Porém em vez de explicálo em um nível teórico utilizaremos figuras para mostrar intuitivamente como as matrizes de transformação linear funcionam Na imagem vemos o desenho de uma casa e como as transformações lineares podem alterar sua posição Assim utilizando as matrizes da transformação podemos também aumentar ou diminuir o tamanho colocar lado a lado ou esticar o desenho para um lado ou para o outro por exemplo Fonte GeoGebra Autor Armando Neto 2022 Você pode acessar o site Geogebra Transformação linear e conhecer mais detalhes sobre a imagem Além dos operadores lineares em espaços vetoriais de n dimensões há também os que operam em espaços vetoriais euclidianos Estes são determinados por operações entre vetores como adição e o produto interno Estas permitem utilizar a equivalência ou a congruência para por meio de translações e rotações transformar uma imagem em outra seguindo algumas propriedades Como o plano euclidiano é um espaço vetorial com duas dimensões e produto interno definido os vetores do espaço vetorial têm correspondência com os pontos do plano euclidiano Além disso existe equivalência entre a adição e o movimento de translação assim como entre a rotação de um ponto ou mesmo de uma imagem que é um conjunto de pontos e a distância e os ângulos com o produto interno Para entender o significado disso se quisermos aplicar o produto interno usual entre os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 e 𝑣 𝑐 𝑑 do R2 basta que façamos 𝑢 𝑣 𝑎𝑐 𝑏𝑑 em que 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑑 são as coordenadas dos vetores 𝑢 𝑒 𝑣 De modo similar No R3 podemos escrever o produto interno Se temos os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑐 𝑑 𝑒 então 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎𝑐 𝑏𝑒 𝑐𝑓 𝑎 𝑏 𝑐𝐴 𝑑 𝑒 𝑓 e 𝐴 é a matriz identidade de ordem 3 Esta notação ou seja a forma de escrever matematicamente utiliza também a representação matricial com matrizes porque os vetores podem ser representados por termos ordenados no caso do R3 ou por matrizes Porém estudar as transformações lineares e mais especificamente os operadores lineares é de fato importante porque eles têm muitas utilidades Ao modificar as imagens temos alguns objetivos Um deles é assistir a filmes e jogar Sim as imagens que vemos em uma película nada mais são que matrizes utilizadas pela computação gráfica que consistem essencialmente de um grande número de formas geométricas básicas por exemplo triângulos ou quadriláteros definidos por seus vértices A capacidade de manipular essas formas de maneira eficiente é fundamental para a computação gráfica e as transformações lineares podem ser utilizadas para gerar formas complexas a partir de básicas por meio de efeitos como cisalhamento e reflexão Ademais elas também podem ser usadas para girar e traduzir formas a fim de criar uma sequência de imagens necessária para uma cena animada O software usado para renderizar cenas tridimensionais em videogames modernos processa as coordenadas de milhões de vértices em cada quadro de animação O hardware típico usado para executálo será capaz de gerar cerca de 60 quadros por segundo e isso demanda muito processamento e cálculos matemáticos Além do posicionamento dos vértices em uma cena são necessários outros cálculos como os que fornecem cor e sombreamento As combinações lineares têm importante papel pois acordam as cores para que seja possível projetar a cena tridimensional na tela bidimensional Neste contexto a eficiência de algoritmos software e hardware desempenha importante papel na qualidade do resultado final O uso da multiplicação de matrizes para manipular coordenadas para a computação gráfica traz muitas vantagens As representações por meio delas podem ser usadas para mesclar várias transformações em uma única Por exemplo em vez de aplicar uma rotação seguida por uma transformação de escala as duas operações podem ser facilmente mescladas em uma única multiplicando assim as matrizes associadas Outra vantagem de organizar os cálculos em multiplicações de matrizes é que o hardware dedicado unidades de processamento gráfico é projetado especificamente para lidar com esses cálculos em grandes números No entanto há ainda muitas outras aplicações em várias outras áreas Aqui focamos apenas nas imagens para exemplificar a importância das matrizes uma vez que seria impossível detalhar mais de uma aplicação em poucas páginas Encerramento Como resolver sistemas lineares utilizando matrizes Uma das maneiras é escalonar a matriz o que também é conhecido como método da eliminação Para isso precisamos primeiro saber representar o sistema em sua forma matricial depois encontrar a matriz do sistema ampliada e por fim escalonar seguindo as regras isto é as operações elementares explicadas aqui Feito isso podemos então classificar e determinar a solução do sistema O que são e para que servem os espaços vetoriais Os espaços vetoriais são conjuntos Costumamos representálos por V W S T U mas também podemos utilizar outras representações Os elementos de V são vetores e escalares e em V estão definidas as operações de adição dados dois vetores u e v V podemos somálos para obter um terceiro escrito como v w V Ou seja ao adicionar dois vetores o resultado será o terceiro elemento que também faz parte do espaço vetorial V e a multiplicação por escalar se a é um escalar e v V um vetor o produto de a por v dará av V Essas operações devem satisfazer as seguintes condições chamadas axiomas i Associatividade de adição vetorial u v w u v w para todos u v w V ii Existência de um vetor zero há um vetor em V escrito 0 e chamado o vetor nulo que tem a propriedade de que u 0 u para todo u V iii Existência de oposto para todo u V existe um vetor em V denominado u que tem a propriedade de que u u 0 iv Associatividade na multiplicação por escalar abu abu para qualquer a e b escalares e u V v Distributividade a bu au bu e au v au av para todos a b escalares e u v V vi Unitaridade 1u u para todo u V O que são e para que servem os espaços vetoriais Espaço vetorial é um conjunto de quantidades multidimensionais conhecidas como vetores bem como outro de quantidades unidimensionais conhecidas como escalares Os vetores podem ser somados e multiplicados por esses desde que preservando as propriedades aritméticas comuns associatividade comutatividade e distributividade por exemplo Espaço vetorial é um conjunto de quantidades multidimensionais conhecidas como vetores bem como outro de quantidades unidimensionais conhecidas como escalares Os vetores podem ser somados e multiplicados por esses desde que preservando as propriedades aritméticas comuns associatividade comutatividade e distributividade por exemplo Os espaços vetoriais são fundamentais para a Álgebra Linear e aparecem em toda a Matemática e Física O que são e qual é o papel das transformações lineares Em Matemática e mais especificamente em Álgebra Linear uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar Muitas observações na natureza podem ser aproximadas às transformações lineares reduzindo a complexidade do problema para que possamos entender a relação entre as variáveis Outro papel das transformações lineares é que algumas relações a serem estudadas não são lineares mas às vezes podem funcionar bem quando se aproximam muito das relações lineares O que são os operadores lineares e por que são importantes Operador linear é toda transformação linear em que tanto o espaço vetorial do domínio como o do contradomínio são o mesmo Na prática como já dito os operadores lineares são utilizados quando queremos por exemplo esticar imagens aumentálas ou diminuílas no sistema de coordenadas padrão Neste processo mapeiase o sistema de coordenadas atual para as do novo sistema que resultou da transformação Estudar as transformações lineares e mais especificamente os operadores lineares é realmente importante porque possuem muitas utilidades Ao modificar as imagens temos alguns objetivos e um deles é assistir a filmes e jogar Sim as imagens que vemos em uma película nada mais são que matrizes utilizadas pela computação gráfica que consistem essencialmente em um grande número de formas geométricas básicas por exemplo triângulos ou quadriláteros definidos por seus vértices A capacidade de manipular essas formas de maneira eficiente é fundamental para a computação gráfica e as transformações lineares podem ser utilizados para gerar formas complexas a partir das básicas por meio de efeitos como cisalhamento e reflexão Ademais elas também podem ser usadas para girar e traduzir formas a fim de criar uma sequência de imagens necessária para uma cena animada Resumo da Unidade Os espaços vetoriais são conjuntos não vazios cujos elementos são vetores e escalares Neles estão definidas as operações de adição e a de multiplicação por escalar Essas operações devem satisfazer condições de associatividade de adição vetorial existência de um vetor nulo existência de um vetor oposto associatividade na multiplicação por escalar abu abu para qualquer a b escalares e u V distributividade a bu au bu e au v au av para todos a b escalares e u v V e unitaridade 1u u para todo u V Nos espaços vetoriais existem propriedades relações e operações definidas a partir de uma construção axiomática Os vetores de um espaço vetorial podem ser Linearmente Dependentes LD ou Linearmente Independentes LI Um conjunto de vetores é linearmente dependente quando podemos expressar um deles como um múltiplo escalar do outro Geometricamente os vetores independentes formam um sistema de coordenadas Se pelo menos um deles puder ser escrito como combinação linear dos demais então neste caso os vetores serão linearmente dependentes Em contrapartida se nenhum deles puder ser escrito como combinação linear dos demais então haverá vetores linearmente independentes Transformação é outro nome para uma função Ela muda uma variável de um elemento de um conjunto para um elemento de outro possivelmente o mesmo conjunto por meio de alguma regra Transformação linear é uma mudança cujos conjuntos são espaços vetoriais e os elementos são vetores Operador linear é uma transformação linear cujos espaços vetoriais de domínio e contradomínio são os mesmos Referências da Unidade ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L COSTA S I R RIBEIRO V L WETZLER H G Álgebra linear São Paulo HarperRow 1980 BOULOS P CAMARGO I Introdução à geometria analítica no espaço São Paulo Makron Books 1997 CALLIOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 FERNANDES L F D Álgebra linear 2 ed Curitiba InterSaberes 2017 FRANCO N M B Álgebra linear São Paulo Pearson 2016 KOLMAN B Introdução à álgebra linear com aplicações 6 ed Rio de Janeiro PHD 1998 LAY D C Álgebra linear e suas aplicações 2 ed Rio de Janeiro LTC 1999 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro LTC 1999 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra linear São Paulo McGrawHill 1987 STRANG G Linear algebra and its applications 3 ed San Diego Harcourt Brace Jovanovich 1988 Para aprofundar e aprimorar os seus conhecimentos sobre os assuntos abordados nessa unidade não deixe de consultar as referências bibliográficas básicas e complementares disponíveis no plano de ensino publicado na página inicial da disciplina