Algebra Linear - Exercícios Resolvidos sobre Transformações Lineares

Livro Álgebra linear ISBN 9780024504123 Transformações lineares 3 Definir as transformações f R² R² definidas pelos seguintes leis verificar quais são lineares a fxy x 3y 2x 5y b fxy 3y 2x 5 Definir as seguintes funções verificar quais são lineares a f R³ R³ fxy x y 3x 2y 22 Seja a transformações linear f R² R³ tal que f23 101 e f12 010 a Determinar fxy b Nf e Imf c f é injetora e sobrejetora 11 A seguir são dados operadores lineares f em R² e em R³ Verificar quais são invertíveis e nos casos afirmativos determinar uma fórmula para f1 a f R² R² fxy 3x4y x 2y c f R³ R² fxy 2xy 4x 2y 3 Mostrar que o operador linear no R³ definido pela matriz 1 2 3 2 3 4 3 5 7 não é invertível Determinar v R³ tal que fv 6915 11 Verificar utilizando a definição se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes a v21 2 2 1 3 c v213 1 1 0 2 3 2 1 2 1 3 Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes a A 1 3 1 5 b A 2 1 3 4 3a Seja ux1y1 e vx2y2 e uvx1x2y1y2 j TuvTx1x2y1y2 x1x2 3y1y2 2x1x25y1y2 x1x2 3 y1 3 y2 2 x12 x2 5 y1 5 y2 Tu Tv Tα x1 α y1 2 x1 5 y1 y2 3 y2 2 x2 5 y2 x1 x2 3 y1 3 y2 2 x1 2 x2 5 y1 5 y2 Tα u Tα x1 α y1 α x1 3 α y1 2 α x1 5 α y1 α x1 3 y1 2 x1 5 y1 α Tu Como Tu Tv Tuv e α Tu Tα u e transformação linear i Tuv Tx1x2 y1y2 3 x1y2 2 x1x2 3 y1 3 y2 2 x1 2 x2 Tu Tv 3 y1 2 x1 3 y2 2 x2 3 y1 3 y2 2 x1 2 x2 ii Tα u Tα x1 α y1 3 α y1 2 α x1 α 3 y1 2 x1 α Tu Tu Tv Tuv e Tα u α Tu e transformação linear 5a Tuv Tx1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 3 x13 x2 2 y1 2 y2 Tu Tv x1 y1 3 x1 2 y1 x2 y2 3 x2 2 y2 x1 x2 y1 y2 3 x1 3 x2 2 y1 2 y2 Tα u Tα x1 α y1 α x1 y1 3 x1 2 y1 Tu α Tu Tv Tuv e α Tu Tα u e transformação linear c 1 1 0 1 1 1 λ 1 0 1λ 1 2 3 2 2 3 3 2 2 4 1 2 3 λ 2 2 3 λ 1 2 1 1 2 1 λ 1 2 0 1 λ² 3 λ 2 2 1 λ 4 1 λ 0 1 λ² 3 λ 2 2 2 λ 4 4 λ 0 1 λ² 3 λ 2 λ 4 0 1 1 0 2 13 35 13 λ 213 2 3 2 1 2 1 Como 3 5 3 não pode ser múltiplo de 2 1 3 então v 2 1 3 não e vetor próprio da matriz 3a 1 λ 3 1 5 λ 1 λ 5 λ 3 0 5 λ 5 λ λ² 3 0 λ² 6 λ 8 0 λ 4 λ 2 0 λ₁ 4 λ₂ 2 1 3 x y 4 y x 3 y 4 x 3 y x 3 x 3 y x 4 x 5 y 4 y 4 y 5 y x y x 1 e 3 2 x 3 y x 5 y 2 x 3 y x 3 y 3 y x b 2 λ 1 4 λ 2 λ 4 λ 3 0 8 6 λ λ² 3 0 λ² 6 λ 5 0 λ 5 λ 1 0 λ₁ 5 λ₂ 1 2 1 x y 5 x y 3 4 x y 2 x 4 y 3 x 4 y 7 x 5 y 3 x 4 y y 3 x 2 x 4 y x y 3 2 2 1 x y 3 y 3 x 4 y x 4 22a B 2 3 1 2 x y a 2 3 b 1 2 x y 2 a 3 a b 1 2 b x y 2 a b 3 a 2 b x 2 a b 2 x 4 a 2 b y 2 x a a 2 x y y 3 a 2 b y 3 y 2 x 2 b y 3 y 6 x 2 b 4 y 6 x 2 b b 2 y 3 x x y 4 x 2 y 2 y 3 x 6 x 3 y 4 y 6 x 7 x 4 y 12 x 7 y x y 2 x y 2 3 3 x 2 y 1 2 Tx y 2 x y T 2 3 3 x 2 y T 1 2 2 x y 1 0 1 3 x 2 y 0 1 0 Tx y 2 x y 0 2 x y 0 3 x 2 y 0 2 x y 3 x 2 y 2 x y 22b T 2 x 4 y 3 x 2 y 2 x y 0 0 0 NT 0 0 2 x y 0 y 2 x 3 x 2 y 0 3 x 2 2 x 0 3 x 4 x 0 x 0 2 x y 0 y 0 Dim Im T 2 Dim ℝ³ 2 x₁ 3 x 2 x y₁ 2 y y x 2 3 2 y 1 2 1 ₘ T 2 3 2 1 2 1 c T é injetora NT 0 0 e não é sobrejetora pois dim Im T 2 dim ℝ³ 5 1a T 3 4 det T 6 4 2 como det 0 ela é inversível 1 2 T 1 x 7 y 3 4 x y T 1 x y 1 2 3 x y x 2 y 5 x 3 y 2 y ou T 1 x y x 2 y x2 3 y 2 det 0 c T 2 1 4 2 det T 4 4 0 não é inversível pois 3 1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 21 24 30 28 20 27 10 7 3 0 como det 0 não é inversível T x y z x 2 y 3 z 2 x 3 y 4 z 3 x 5 y 7 z T x₁ y₁ z₁ 6 9 15 x₁ 2 y₁ 3 z₁ 2 x₁ 3 y₁ 4 z₁ 3 x₁ 5 y₁ 7 z₁ 1 9 15 x₁ 2 y₁ 3 z₁ 6 2 x₁ 3 y₁ 4 z₁ 9 3 x₁ 5 y₁ 7 z₁ 15 1 2 3 6 2 3 4 1 0 1 0 x x₁ z₁ 2 3 5 15 0 1 2 3 y₁ 2 z₁ 3 y₁ 2 z₁ 3 V z₁ 3 2 z₁ z₁ a 2 2 0 0 2 λ 2 det 2 λ 3 λ 2 0 6 5 λ λ² 2 0 λ² 5 λ 4 0 λ 4 λ 1 0 λ₁ 4 λ₂ 1 autovetor do λ₁ 4 2 2 y 1 x Sim e vetor 3 3 1 próprio