Aol04 - Algebra Linear

Pergunta 1 Uma transformação linear pode ser representada através de uma expressão matemática que indique todas as manipulações que devem ser feitas, ou então como uma multiplicação entre matrizes, na qual uma matriz, chamada de operador da transformação, deve ser montada de acordo com as regras criadas para a transformação. Considerando essas informações e a transformação linear ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 12.PNG T: V → W = T (x, y) = (y, −2x, 2x + y) , assinale a alternativa que apresenta corretamente a multiplicação de matrizes que representa esta transformação linear considerando as bases canônicas: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 12.1.PNG A. T: V → W = [0 1 0] × [x] [−2 0 2] [y] B. T: V → W = [1 0 0] × [x] [0 −2 0] [y] [0 1 2] C. T: V → W = [0 1 0] × [x] [−2 0 0] [y] [0 0 1] D. T: V → W = [0 0 0] × [x] [1 0 1] [y] [0 0 0] E. T: V → W = [1 −2 0] × [x] [2 + 1] [y] Correta Ocultar outras opções A B C D E A Pergunta 2 Um pesquisador precisa efectuar transformações lineares utilizando os vetores contidos no conjunto descrito por ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 05.PNG V5 = {(x,y)/ x, y ∈ R y = 2x²}. Para que este conjunto seja considerado um espaço vetorial, o pesquisador precisa, antes de mais nada, aplicar os dez axiomas aos vetores que o compõem para confirmar se este é um espaço vetorial. Considerando essas informações, aplique os dez axiomas a este grupo de vetores e assinale a alternativa que representa corretamente este conjunto de vetores: Correta Ocultar outras opções O conjunto de vetores é um espaço vetorial, pois atende a todos os axiomas. O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende a nenhum axioma. O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 a 4, apesar de atender aos demais. O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 6, apesar de atender aos demais. O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 a 6, apesar de atender aos demais. Pergunta 3 O conjunto de vetores ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 07.PNG S2 = {(x,y)/ x > 0} é um conjunto pertencente ao espaço vetorial ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 07.1.PNG R² . No entanto, não sabemos se este conjunto pode ser considerado como um subespaço vetorial e, para tanto, precisamos testar os axiomas 1, 4 e 6. Considerando essas informações, aplique os axiomas 1, 4 e 6 a este grupo e assinale a alternativa que representa corretamente este conjunto de vetores: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 07.2.PNG A. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R², pois não atende ao axioma 4. B. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R², pois não atende aos axiomas 1 e 4. C. O conjunto de vetores é um subespaço vetorial de R², pois atende a todos os axiomas. D. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R², pois não atende aos axiomas 1 e 6. E. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R², pois não atende aos axiomas 1, 4 e 6. Correta Ocultar outras opções A B C D E A Pergunta 4 Um determinado estudo depende da utilização do conjunto de vetores descrito por ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 08.PNG S2 = {(x,y)/ y = x + 2} pertencentes ao espaço vetorial ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 08.1.PNG R² . No entanto, para que estes vetores possam ser utilizados para realizar transformações lineares, precisamos antes saber se eles formam um subespaço vetorial. Para tanto, precisamos aplicar os axiomas 1, 4 e 6 a este conjunto de vetores. Considerando essas informações, aplique os axiomas 1, 4 e 6 e a este grupo de vetores e assinale a alternativa que representa corretamente este conjunto de vetores: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 08.2.PNG A. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R^3, pois não atende aos axiomas 1, 4 e 6. B. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R^3, pois não atende aos axiomas 1 e 4. C. O conjunto de vetores é um subespaço vetorial de R^3, pois atende a todos os axiomas. D. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R^3, pois não atende aos axiomas 1 e 6. E. O conjunto de vetores não é um subespaço vetorial de R^3, pois não atende ao axioma 4. Correta C Pergunta 5 Em um espaço vetorial, tem-se o vetor ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 20.PNG u = [3 ; -6] Há também um subespaço vetorial V, no qual os vetores são definidos segundo a expressão y = 1/2 x É preciso realizar uma transformação ortogonal para determinar o vetor u', que é a reflexão de u no subespaço V. A matriz que representa esta transformação é ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 20.2.PNG [1 ; -1/2 1/2 ; 3/4 -1/4] sendo α o coeficiente que multiplica x na expressão do subespaço, ou seja, 1/2. Considerando essas informações e o conhecimento adquirido sobre transformações ortogonais, assinale a alternativa que representa corretamente o vetor u'. ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 20.3.PNG A. u' = [2.8 ; -1.4] B. u' = [1.4 ; -2.8] C. u' = [1 ; -0.5] D. u' = [0.5 ; -1] E. u' = [3 ; 2] Correta D. A Pergunta 6 As transformações lineares no plano são muito utilizadas para mover vetores em um plano cartesiano. Quando trabalhamos com um conjunto de vetores que constituem uma imagem, estas transformações lineares representam manipulações com a própria imagem. Considerando essas informações e a expressão: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 16.PNG y = [0 -1 ; 1 0] * [x1 ; x2] análise as alternativas a seguir e assinale qual representa, graficamente, a transformação linear plana sugerida por esta expressão. ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 16.5.PNG A. Correta B. A Pergunta 7 Transformações lineares planas de escalonamento envolvem o aumento ou a diminuição de objetos, dependendo de como é a matriz utilizada para multiplicar os vetores em questão. Considerando essas informações e os conceitos estudados sobre o método da matriz inversa, analise as afirmativas a seguir: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 18.PNG I. A transformação linear [0.3 0 ; 0 0.3] representa um escalonamento no sentido da diminuição da imagem. II. A transformação linear [2.5 0 ; 0 2.5] representa um escalonamento no sentido da diminuição da imagem. III. A transformação linear [0.5 0 ; 0 1.5] representa um escalonamento no sentido da diminuição da imagem. IV. A transformação linear [0.5 0 ; 0 0.5] representa um escalonamento no sentido da diminuição da imagem. V. A transformação linear [0.9 0 ; 0 0.9] representa um escalonamento no sentido da diminuição da imagem. Está correto apenas o que se afirma em: Correta A o II e III. B I, II, IV e V. C II e IV. D II e V. E I, IV e V. Pergunta 8 Espaços vetoriais são conjuntos de vetores que seguem, simultaneamente, dez regras conhecidas como axiomas. Se apenas uma destas regras não for atendida, o conjunto de vetores não poderá mais ser chamado de espaço vetorial. Considerando essas informações e o conjunto de vetores descrito por: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 04.PNG V2 = {(x, y, z) / x, y, z ∈ R; y = 2x; z = 3x} e aplicando os dez axiomas a este grupo de vetores, assinale a alternativa que representa corretamente este conjunto de vetores: Correta A O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende a nenhum axioma. B O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 4, apesar de atender aos demais. C O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1, 4 e 6, apesar de atender aos demais. D O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 6, apesar de atender aos demais. E O conjunto de vetores é um espaço vetorial, pois atende a todos os axiomas. Pergunta 9 Um conjunto de segmentos de retas orientadas em um plano é dado tal que suas posições são definidas a partir de dois pontos de coordenadas (x, y). São estes os segmentos: (3, 1) e (4, 3); (1, 3) e (2, 6); (1, -3) e (2, 0); (0, 2) e (1, 5); (1, 1) e (2, 4). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o tópico, assinale a alternativa que apresenta o vetor que pode representar todos estes segmentos de reta orientados. ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 01.PNG A [ 1] [ 3] B [ 3] [ 6] C [ 0] [ 3] D [ 0] [ 2] E [ 1] [ 1] Correta A E B C C A D D E B Pergunta 10 Operadores que representam transformações lineares planas de reflexão são matrizes diagonais cujos elementos da diagonal principal são representados pelos valores 1 ou -1, dependendo de qual é o eixo que servirá de base para a reflexão ou mesmo se a origem for um ponto de reflexão. Considerando essas informações e a expressão: ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 17.PNG v = [-1 0] ⋅ [x] [ 0 -1] [y] analise as alternativas a seguir e assinale qual representa, graficamente, a transformação linear plana sugerida por esta expressão. ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 17.1.PNG ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 17.2.PNG ALGEBRA LINEAR - ENUNCIADO - UNIT 3 - QUEST 17.3.PNG Correta A E B D C A D C E B