P1 Álgebra Linear Prof Jacques

6- Suponha que \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} e \begin{bmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g-2a & h-2b & i-2c \\ d & e & f \end{bmatrix}. O valor de g-5 = 5. (a) 5 (b) -5 (c) 10 (d) -10 (e) 0 7- Seja B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{bmatrix}. Suponha que A = B. Sejam a_1, a_2, a_3, a_4 as colunas da matriz A. É correto afirmar que: (a) a_1 = 6a_1 + a_2 (b) a_3 = 6a_1 + 5a_2 (c) a_4 = 6a_1 + a_2 (d) a_3 = 6a_1 + 3a_2 (e) a_4 = 6a_1 + 5a_2 8- A dimensão do espaço gerado pelos vetores \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} é (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 9- Suponha que T: R^3 \rightarrow R^4 é uma transformação linear que satisfaz T(2, 0) = (2, 2, 0) e T(0, 5) = (5, 5, 0). Então, T(1, 1) é o vetor (a) (2, 0) (b) (0, 2) (c) (2, -2) (d) (0, -2) (e) (0, 0) 10- O valor de \begin{vmatrix} 0 & x & -x \\ 0 & 2x & 0 \\ 0 & 2y & -y \end{vmatrix} é (a) x^2y (b) 2x^2 y^2 (c) x^2 y^2 (d) -2xy (e) 0 11- Considere os vetores v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix} e v_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. Uma possível base para span(v_1, v_2, v_3, v_4) é (a) {v_1, v_2} (b) {v_2, v_4} (c) {v_1, v_2, v_3} (d) {v_1, v_3, v_4} (e) {v_1, v_2, v_3, v_4} 12- Suponha que A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}. Então, dimNulA e dimNulA^T são, respectivamente (a) 2 e 3 (b) 3 e 1 (c) 3 e 3 (d) 2 e 1 (e) 2 e 0 13- Se u = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} e v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} então o posto da matriz uv^T é (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 14- Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) Sejam v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. Então x \in span(v_1, v_2) (ii) Seja A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. Então posto A = 2. (iii) Seja I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} Então dimNulA = 2. (a) VWV (b) WVF (c) VFV (d) FVF (e) FWV 15- Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) Se A é uma matriz m x n, então NulA é um subespaço de R^n. (ii) Se u_1, u_2, ..., u_p são vetores de R^m e p < m, então {u_1, u_2, ..., u_p} é LI. (iii) Seja A é uma matriz n x n e suponha que o sistema homogêneo Ax = 0 tenha apenas a solução trivial. Então, ColA = R^n. (a) FVF (b) FVV (c) VFV (d) VFF (e) VVV 16- Se A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} então a soma de todos os elementos de A^-1 é (a) 0 (b) -1 (c) -2 (d) 1 (e) 2 MM12355 ALGEBRA LINEAR Prova 1 1- Se A é uma matriz 5x4 cujo espaço nulo é bidimensional, então o posto de A é (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 2- Se A é uma matriz 5x8, então o maior número possível de colunas LI da matriz A é (a) 3 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8 3- Seja A = \begin{bmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{bmatrix}. Para quais valores de x a matriz A não possui inversa? (a) (0, 1) e -1 (b) 0, 1 e (c) apenas \sqrt{2} (d) apenas 0 (e) 0, \sqrt{2} e -\sqrt{2} 4- Sejam r_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, r_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}, r_3 = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \\ -11 \end{bmatrix} e r_5 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) {r_1, r_2, r_3, r_4} é um conjunto LI (ii) {r_1, r_2, r_3} é um conjunto LI (iii) {r_1, r_2, r_3} é um conjunto LI (a) FVV (b) VFF (c) FFV (d)VFF (e) VVF 5- Classifique cada uma das afirmações como V (verdadeira) ou F (falsa). Suponha que A é uma matriz 5x5. (i) Se o sistema Ax = b possui solução para todo b \in R^5, então o sistema homogêneo Ax = 0 possui apenas a solução trivial. (ii) Se as colunas de A são LI, então o sistema Ax = b tem solução para todo b \in R^5. (iii) Se A é inversível, então posto(A) = 5. (a) FVV (b) FVF (c) VVV (d) VVF (e) VVF 17- Seja A = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] Assinale a afirmacao verdadeira. (a) dim Nul A = 1 (b) A é a matriz canônica de uma transforma¢éo linear injetora (c) detA = 1 (d) Aé invertivel (e) A solução geral do sistema Ax = 0 tem 3 variéveis livres. 18- Para qual valor de a o sistema {x1 + 4x2 = 1 -x1 + (a2 - 5)x2 = O não tem solução? (a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) 5 (e) \sqrt5 19- Seja A = [1 0 -1; 0 1 0; 1 0 1] entáo uma possivel base para Nul A é (a) [\frac{-1}{2}; 0; 1] (b) [0; -1; 0] (c) [0; -1; 1] (d) [\frac{1}{2};1; 0] (e) [1; -1; 0] 20- Seja T : R2 -> R2 a transformaçáo linear resultante da composição de uma reflexão com respeito a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes com uma rotação anti-horária por uma ângulo è. Seja A a matriz canônica da transformação T. Entáo detA é igual a (a) 0 (b) senècosè (c) 2senècosè (d) 1 (e) -1