Algebra_completo

1 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes Sumário 1 O que é Álgebra Linear? . . . . . . . . . 2 1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . 9 2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 A Definição de Matriz . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . 16 2.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES 1 O que é Álgebra Linear? Os espaços em que trabalharemos são , com , isto é, o produto cartesiano de cópias da reta real . Para , este espaço generaliza o espaço dos vetores do plano e o espaço dos vetores no espaço. A diferença crucial entre os casos e e os casos em que é que, para estes últimos, não se dispõe de uma representação geométrica. O fato não diminui a importância desses espaços, pois basta pensar que o é o espaço-tempo da Física, em que os pontos são quaternos com as três primeiras coordenadas representando a posição no espaço de uma partícula ideal e a última representando o instante em que esta partícula ocupa tal posição. Por não existir uma representação geométrica para os pontos de com , seremos obrigados a tratá-los algebricamente, sem o recurso da visualização geométrica, tão fundamental em . Portanto, trataremos os elementos de como vetores, onde a soma de dois vetores e é dada por e a multiplicação do vetor pelo número real , chamado de escalar, é definida por . Os espaços são utilizados de modo essencial em quase todos os ramos do conhecimento e, por este motivo, são estudados em Matemática sob os mais variados pontos de vista e com as mais diversas estruturas. Por exemplo, no Cálculo Diferencial, são considerados como espaços normados; em Geometria, como espaços com produto interno. A estrutura de estudada em Álgebra Linear é a induzida pela estrutura de corpo da reta real . Essa é a estrutura mínima apropriada para se estudar sistemas de equações lineares com várias incógnitas. Além disso, é aquela sobre a qual se constroem o Cálculo Diferencial e a Geometria Diferencial, entre outros. 3 1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? Como a estrutura de corpo de desempenhará papel fundamental, vamos definir formalmente este conceito. 1.1 Corpos Um conjunto será chamado de corpo se for munido de uma operação de adição e uma operação de multiplicação , verificando as condições a seguir. A1 A adição é associativa: , para todos . A2 A adição é comutativa: , para todos . A3 A adição possui elemento neutro: existe tal que para todo . A4 A adição possui simétricos: para todo , existe tal que . M1 A multiplicação é associativa: , para todos . M2 A multiplicação é comutativa: , para todos . M3 A multiplicação possui elemento neutro: existe tal que , para todo . M4 A multiplicação possui inversos: para todo , existe tal que . AM A multiplicação é distributiva com relação à adição: , para todos . Portanto, são corpos os conjuntos e , com as suas respectivas adições e multiplicações. A operação de multiplicação em um corpo muitas vezes é denotada por , escrevendo , ou mesmo , no lugar de , notação que adotaremos ao longo deste livro. 4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES Existem exemplos de corpos que à primeira vista parecem exóticos, como o corpo de Galois⁴, que consiste dos dois elementos e com as seguintes operações: Notei que este é o corpo com o menor número possivel de elementos, pois todo corpo deve possuir os dois elementos distintos e . Apesar de parecerem apenas curiosidades, os corpos com um número finito de elementos têm as mais variadas aplicações em quase toda a Matemática e são essenciais na tecnologia e na computação. 1.2 Espaços Vetoriais Os espaços , por serem constituídos por vetores que podem ser somados e multiplicados por escalares, como vimos antes, são chamados e espaços vetoriais. Como os espaços vetoriais são os objetos principais de estudo da Álgebra Linear, vamos defini-los formalmente a seguir. Um conjunto será dito um espaço vetorial sobre um corpo se possui uma adição com as mesmas propriedades da adição em um corpo, ou seja, A1 A adição é associativa: , para todos . A2 A adição é comutativa: , para todos . A3 A adição possui elemento neutro (elemento zero): existe tal que , para todo . ⁴Em homenagem a Évariste Galois (França, 1811-1832), considerado um dos grandes gênios da Matemática. 5 1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? A4 A adição possui simétricos: para todo , existe tal que . E além disso, existe uma operação chamada de multiplicação por escalar, que associa a um elemento e a um elemento , um elemento , tal que ME1 , para todos e . ME2 , para todos e . ME3 , para todos e . ME4 , para todo . Os elementos de serão chamados de vetores e os elementos de de escalares. Assim, o elemento de será chamado de vetor nulo e o elemento de vetor oposto de . O primeiro matemático a dar uma definição abstrata para um espaço vetorial foi Giuseppe Peano (Itália, 1858 - 1932) em seu livro Calcolo Geometrico, de 1888. No Capítulo IX, Peano dá uma definição do que ele chama de um sistema linear. Para Peano, um sistema linear consistia de quantidades com operações de adição e multiplicação por escalar. A adição deveria satisfazer as leis comutativa e associativa, enquanto a multiplicação por escalar deveria satisfazer duas leis distributivas, uma lei associativa e a lei de que para toda quantidade . Além disso, Peano incluiu como parte de seu sistema de axiomas a existência de uma quantidade (zero) satisfazendo , para todo , assim como para todo . Peano também definiu a dimensão de um sistema linear como o máximo número de quantidades linearmente independentes do sistema (veja esta noção na Seção 2 do Capítulo 3). Peano verificou que o conjunto das funções polinomiais em uma variável forma um sistema linear, mas não existia um tal número máximo de quantidades linearmente independentes, portanto, a dimensão deste sistema deveria ser infinito. O fato a seguir decorre da definição de espaço vetorial. Para e . 6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES , tem-se que De fato, sejam e . Como , pela propriedade ME1, segue-se que Somando o simétrico de a ambos os lados da igualdade acima e utilizando as propriedades A4, A1 e A3, temos que De modo semelhante, mostra-se (faça-o) que para e tem-se , onde o elemento da direita é o elemento zero de . Reciprocamente, suponhamos que e , então, multiplicando ambos os lados da igualdade acima pelo escalar , temos que Dois vetores e em um espaço vetorial serão ditos colineares, se existir um elemento em tal que . Portanto, são colineares os vetores e , para todo . Note que o vetor é colinear com qualquer vetor , pois É um exercício fácil mostrar que é um espaço vetorial sobre o corpo , com as operações de adição de vetores e a multiplicação por escalares que definimos anteriormente, onde o elemento zero é o vetor e o simétrico de é o vetor . Observe que não há nada de especial sobre os reais, além de sua estrutura de corpo para que seja um espaço vetorial sobre . Mais geralmente, dado um corpo qualquer , o espaço é um espaço vetorial sobre , com 1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? 7 operações semelhantes às de adição de vetores e de multiplicação de vetores por escalares que definimos no caso em que Por exemplo, os espaços vetoriais sobre , por mais inócuos que possam parecer, são de extrema utilidade em várias aplicações, dentre elas na construção de códigos corretores de erros (veja a referência [3] para maiores detalhes sobre esta teoria). Outros exemplos importantes de espaços vetoriais são os espaços e sobre o corpo e o espaço sobre o corpo . Como sucede com frequência em Matemática, ao introduzir um conceito para lidar com determinado problema, cria-se um instrumento que muitas vezes transcende o problema inicial e se constitui em um conceito central em vários outros contextos. Isto ocorreu com a noção de espaço vetorial, que inicialmente foi introduzida para tratar de alguns tipos de problemas em — como a resolução de sistemas de equações lineares cuja discussão iniciaremos na próxima subseção, e se desenvolveu em uma teoria com vida própria. Pode-se sinteticanente dizer que a Álgebra Linear é a parte da Matemática que se dedica ao estudo dos espaços vetoriais e de certas funções entre esses espaços, chamadas de transformações lineares. Embora muitas das ferramentas básicas da Álgebra Linear, particularmente as que estão relacionadas com sistemas lineares, datem da antiguidade, o assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX. A partir desta época, muitas noções estudadas em séculos anteriores foram abstratas e muitos métodos generalizados. A Álgebra Linear tem várias aplicações fora da Matemática. Por exemplo, citamos a teoria da relatividade e a mecânica quântica na Física e a teoria de análise de regressão na Estatística. A seguir, daremos alguns exemplos diferentes de para ilustrar situações onde aparecem os espaços vetoriais e que, muitas vezes, quando tratadas dessa forma ganham clareza. Exemplo 1 O conjunto das funções de um conjunto não vazio em forma um espaço vetorial sobre , onde a soma é a soma usual de funções 8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES com valores reais para todo e a multiplicação de uma função por um escalar é definida como sendo para todo . Em particular, se é um intervalo em , sabe-se do Cálculo Diferencial e Integral que o conjunto das funções contínuas, bem como o conjunto das funções integráveis, de em são espaços vetoriais sobre Exemplo 2 De acordo com o Exemplo 1, o conjunto das sequências de números reais, isto é, o conjunto das funções de em é um espaço vetorial sobre . É fácil verificar (leitor, faça-o) que o conjunto das sequências em que satisfazem a recorrência onde e são dois números reais fixados, é um espaço vetorial sobre . Em particular, o conjunto que contém a sequência de Fibonacci² (aquela para a qual ), é um espaço vetorial. Veremos no Capítulo 5 como esta informação nos ajudará a achar todas as sequências em determinando suas fórmulas fechadas. Exemplo 3 (Peano) O conjunto dos polinômios com coeficientes em um corpo forma um espaço vetorial sobre . Para os conjuntos grau( ) também são espaços vetoriais sobre . Em particular, o conjunto é um espaço vetorial sobre . ²Apelido de Leonardo de Pisa (Itália, 1170 - 1250). Foi o primeiro grande matemático europeu da Idade Média. 9 1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? 1.3 Sistemas de Equações Lineares Desde a antiguidade, em diversas áreas do conhecimento, muitos problemas são modelados matematicamente por sistemas de equações lineares. Damos a seguir um exemplo de sistema de equações lineares: (1) onde se subentende que estamos buscando dois números reais cuja soma vale e cuja diferença vale . Portanto, as soluções procuradas podem ser representadas por pares de números reais tais que, se substituirmos por e por , nas equações, elas se tornam igualdades de fato. Por exemplo, o par é uma solução, pois obtemos as igualdades: Os sistemas com duas equações lineares, como o acima, já eram considerados pelos babilônios por volta de 1800 a.C. e resolvidos por um método que chamamos hoje de método de eliminação gaussiana³. Por exemplo, para resolver o sistema de equações (1), ao somarmos a segunda equação à primeira, o transformamos no “sistema equivalente”, que seguimos transformando até obtermos um sistema onde as soluções são trivialmente encontradas: ³Em homenagem a Carl Friedrich Gauss (Alemanha, 1777 - 1855), considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. 10 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES Esse método será generalizado e sistematizado para sistemas de equações lineares com m equações e n incógnitas do tipo ax + by + cz = d . ax + by + cz = d . ... ax + by + cz = d (2) onde os a’s e os b’s, para x e y, são números reais dados, ou, mais geralmente, elementos de um corpo F dado. Seja (...) Esse subconjunto de R é chamado de conjunto solução do sistema (2). É precisamente este conjunto que queremos determinar ou descrever o mais explicitamente possível. Note que para resolver o sistema (1), do exemplo acima, o modificamos gradativamente, por meio de uma sequência de transformações elementares, em um sistema mais simples de resolver, onde por transformação elementar de um sistema entendemos uma das seguintes transformações: 1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema; 2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria equação com um múltiplo de outra; 3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada por um número real não nulo). Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de uma sequência finita de transformações elementares. Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de equivalência. De fato, ela é claramente reflexiva, pois basta multiplicar uma das equações