P1 Álgebra Linear Prof Jacques

MAT1355 ÁLGEBRA LINEAR Prova 1 Se d é uma matriz 5x4 cujo espaço nulo é tridimensional, então o posto de d é (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 2- Se A é uma matriz 5x8, então o maior número possível de colunas LI da matriz A é (a) 3 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8 3- Seja A = \begin{bmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{bmatrix}. Para quais valores de x a matriz A não possui inversa? (a) 0 (b) 0,1 e -1 (c) apenas √2 (d) apenas 0 (e) 0, √2 e -√2 4- Sejam r_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}, r_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}, r_3 = \begin{bmatrix} 13 \\ 9 \\ 11 \end{bmatrix}, r_4 = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}, r_5 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} . Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) {r_1, r_2, r_3} é um conjunto LI \cup (ii) {r_1, r_2, r_4, r_5} é um conjunto L.I. \cup (iii) {r_1, r_2, r_3} é um conjunto LI \cup (a) 〖FV〗V (b) VFV (c) FFV 〗 (d) 〗VFF (e) VVF 5- Classifique cada uma das afirmações como V (verdadeira) ou F (falsa). Suponha que A é uma matriz 5x5 . \ (i) Se o sistema Ax = b possui solução para todo b \in \mathbb{R}^5, então o sistema homogêneo Ax = 0 possui apenas a solução trivial. 〗 (ii) Se as colunas de A são LD, então o sistema Ax = b tem solução para todo b \in \mathbb{R}^5. \\ (iii) Se A é inversível, então posto(A^4) = 5. \\ (a) FVV (b) FVF (c) VVV (d) VVF (e) 〖VFV〗 6- Suponha que \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & -5 \end{bmatrix} O valor de \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \\ -2a \end{bmatrix} h - 2b \begin{bmatrix} 2c \\ d & e \\ g \\ h \\ i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f & -5 \end{bmatrix} (a) 5 (b) -5 (c) 10 (d) -10 (e) 0 7- Seja B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}. Suponha que A = B. Sejam a_1, a_2, a_3, a_4 as colunas da matriz A. É correto afirmar que: (a) a_3 = 6a_1 + a_2 (b) a_3 = 6a_1 + 5a_2 (c) a_4 = 6a_1 + a_2 (d) a_4 = 6a_1 + 3a_2 (e) a_4 = 6a_1 + 5a_2 8- A dimensão do espaço gerado pelos vetores \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} é (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 9- Suponha que T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 é uma transformação linear que satisfaz T(2,0) = (2,20) e T(0,5) = (5,50). Então, T(1,1) é o vetor (a) (2,0) (b) (0,2) (c) (2,-2) (d) (0,-2) (e) (0,0) 10- O valor de \begin{bmatrix} x & \begin{array} -x \\ 0 x -y \end{array} \\-x \\ 0 \end{bmatrix} é (a) x^2y (b) 2x^3y^2 (c) x^2y^2 (d) -2xy (e) 0 11- Considere os vetores v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 9 \end{bmatrix} e v_3 = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix}. Uma possível base para span(v_1, v_2, v_3, v_4) é (a) {v_1, v_2} (b) {v_3, v_4} (c) {v_1, v_2, v_3} (d) {v_1, v_3, v_4} (e) {v_1, v_2, v_3, v_4} 12- Suponha que A = \begin{matrix} 2 & 13 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & 6 & 9 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 7 & 0 & 9 \end{matrix}. Então, dimNulA e dimNulA^T são, respectivamente (a) 2 e 3 (b) 3 e 1 (c) 3 e 3 (d) 2 e 1 (e) 2 e 0 13- Se u = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} e V_3 = \left\lbrace \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\rbrace , então o posto da matriz uv^T é (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 14- Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) Sejam \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. Então x \in \text{span}(v_1, v_2) \vee (ii) Seja A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}. Então postoA = 2. \ (iii) Seja \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} então dimNulA = 2. 〖VVF〗 (b) VWF (c) 〖VFV〗 (d) FVF (e) FV〗 15- Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afirmações: (i) Se A é uma matriz mxn, então dimNulA é um subespaço de \mathbb{R}^n \vee (ii) Se v_1, v_2, ..., v_p são vetores de \mathbb{R}^n e p < m , então \left\lbrace v_1, v_2, ..., v_p \right\rbrace \not\in L.I. \vee (iii) Seja A é uma matriz nxn e suponha que o sistema homogêneo Ax = 0 tenha apenas a solução trivial. Então, ColA = \mathbb{R}^n \vee (a) FVF (b) FVV (c) VF〗 (d) VFF (e) V〗V 16- Se A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} então a soma de todos os elementos de A^{-1} é (a) 0 (b) -1 (c) -2 (d) 1 (e) 2 17- Seja A = [1 1 1 1 1 1 1 1 1]. Assinale a afirmacao verdadeira. (a) dim.NulA = 1 (b) A é a matriz canônica de uma transformação linear injetora (c) detA = 1 (d) A é inversível X (e) A solução geral do sistema Ax = 0 tem 3 variáveis livres. 18- Para qual valor de a o sistema { x1 + 4x2 = 1 -x1 + (a^2 - 5)x2 = a não tem solução? (a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) 5 (e) √5 19- Seja A = [1 0 0 -1] [0 1 0 0] então uma possível base para NulA é (a) [0] (b) [-1] (c) [1] (d) [-1] (e) [1] [1] [0] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1] 20- Seja T: R^2 -> R^2 a transformação linear resultante da composição de uma reflexão com respeito à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes com uma rotação anti-horária por um ângulo θ. Seja A a matriz canônica da transformação T. Então detA é igual a (a) 0 X (b) senθ cosθ (c) 2 senθ cosθ (d) 1 (e) -1 O