Autovalores e Autovetores3

Definição: Seja T : V → V um operador linear e V um espaço vetorial. Um vetor v ∈ V, v ≠ 0 é um autovetor (vetor próprio) do operador T se existe λ ∈ ℝ, denominado autovalor (valor próprio) tal que:\nT(v) = λv\n\nObservação: Quando numa transformação linear o contradomínio W é o mesmo espaço vetorial V, então a transformação linear é chamada Operador Linear. Observação: Se V = ℝ² ou V = ℝ³ então v e T(v) têm a mesma direção. Assim, dependendo do autovalor λ temos:\n\n|λ| > 1 ⇒ T dilata v\n|λ| < 1 ⇒ T contrai v\nλ = 0 ⇒ T anula v\nλ < 0 ⇒ T inverte o sentido de v v\n\nv é um autovetor de T\n\n0\n\nT(v)\n\nv não é um autovetor de T\n\n0\n\nT(v)\n\ncederj Exemplo 1: Seja\nT : R² → R²\n(x,y) ↦ T(x,y) = (4x + 5y, 2x + y)\n\nVerifique se v = (5,2) é um autovetor de T. Por definição,\nTv = λv ↔ T(v) = T(5,2) = (30,12) = 6(5,2) = 6v\n\nLogo, v = (5,2) é um autovetor de T e λ = 6 é o autovalor associado a v.\n\ncederj Considere agora v = (1,1). Verifique se v é um autovetor de T.\nTv = T(1,1) = (9,3) = 3(3,1)\n\nLogo, Tv ≠ λv.\n∴ v = (1,1) não é um autovetor de T.\n\ncederj Exemplo 2:\nT : R³ → R³\n(x, y, z) ↦ T(x, y, z) = −(x, y, z)\nLogo, ∀v ≠ 0 ∈ R³ têm-se:\nTv = −1v = λv\nonde λ = −1 é um autovalor associado ao autovetor v. Consideraremos de agora em diante apenas os espaços vetoriais V = Rⁿ e as operações lineares definidas por:\nT : Rⁿ → Rⁿ\nv ↦ T(v) = Av\nonde A é uma matriz quadrada de ordem n.\nPor definição, v ≠ 0 é um autovetor de T se:\nT(v) = Av = λv. Equivalentemente,\nAv − λv = 0 ⇔ (Av − λIv) = 0 ⇔\n(A − λI)v = 0 (sistema linear homogêneo)\nQueremos determinar as soluções não nulas do sistema homogêneo, ou seja,\ndet(A − λI) = 0 ou\ndet\n⎛\n a₁₁ a₁₂ ... a₁n\n a₂₁ a₂₂ ... a₂n\n ... ... ... ...\n aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ\n⎞\n= 0, ou A equação det(A - λI) é denominada equação característica da matriz A e as raízes λ são os autovalores da matriz A. O determinante det(A - λI) é um polinômio na variável λ, denominado polinômio característico e denotado por Pn(λ) = det(A - λI)