Lista de Álgebra

Álgebra Linear Lista I Questão 01 Considere as matrizes A aij com aij i3 e B bij com bij i2j onde m N Determine todas as propriedades que as matrizes quadradas de mesma ordem vale a a É possível determinar Cg Justifique sua resposta b Determine C AB c Determine C2 d Determine C2 igual a uma matriz Z e diga que matriz Z comuta com A e que não comuta com B Questão 02 Dada uma matriz Z dizemos que uma matriz Z comuta com A se AZ ZA Determine todas as matrizes com que comuta com AQuestão 03 Prove ou dê um contraexemplo se A e B IB C então AB CBQuestão 04 Mostre que a transposta de uma matriz superior é uma matriz triangular inferior Questão 05 Mostre que B é uma matriz quadrada e B é a transposta de B e D B B a a D é simétrica b B B é antisimétrica c D B BD é simétrica d B B é antisimétrica e DIO Observação a matriz D dividese em soma dos elementos da diagonal principalConcentrese nesta ideia para as questões seguintes Mostre que toda matriz quadrada tem uma única decomposição na forma F S onde F é antisimétrica e S é simétrica Mostre que uma matriz os últimos dois proprios são possuem na matriz diagonal D e que m e somente partilham de um matriz diagonal conhecida escritos de bith Questão 06 Prove que entre AB tem uma linha uma linha nula a Se tem uma linha nula então AB tem uma linha nula b Se tem uma linha nula então AB tem uma coluna nula c Se tem uma linha nula então AB tem uma coluna nula Questão 07 é que uma matriz A é invertível Conclus que as operações de matriz partilham inversa que a matriz melhorda de matriz inversível e que a previsão é inversível Questão 08 Mostre que a a b a1 an b b1 bn onde a 1n e ℝ para tudo i 1 n Definamos Questão 09 Seja a b 0 4 0 0 0 0 a matriz triangular inferior com antiesem a paciência e a energia mas os seus frutos são doces Jean Jacques Rosseau 2 b Diagb Diagb Diagb Diaga a b m onde m N c Diaga Diagb Diagab a e b matrizes quadradas de mesma ordem a A aijab com aij 1 i j 1 3 c C AB d aij 2i 3j Suponha que as matrizes B e C são matrizes quadradas de mesma ordem vale que a 2B 3B mostre que C A é a negação Questão 10 Dada uma matriz A ler a mostre que b be e é A 1 c be e é A não invertível Questão 11 Mostre que m11 n1 m1111 A m11m11M111 m111 1 m111 m11mm A a 1 b A 111 é invertida de A 1 c A revolvida então A é invertível e A 1 mA 1 Conclua Questão 12 Mostre que o produto das matrizes nxn A e B é A a11 a2 a21 a22 a2 A11 A12 B11 0 0 A21 A22 B21 B22 B11 0 B12 B21 B22 B1 Bp tem a forma que aonde n é a solução do sistema m Do C1 Cn ON AB onde Ck Aik Bkj i 1 2 n Questão 13 Mostre que existem matriz A e B em Mnxpℝ tais que A IBB A2 B2 Questão 14 Seja existe uma matriz B 0 com AB 0 A 3 4 3 2 1 1 2 1 3 8 1 3 3 Questão 14 Seja existe uma matriz B 0 com AB 0 A Questão 15 Sejam A B Mnxnℝ tais que tL tB seja invertível Mostre que tL tB é invertível e tL tB1 tL1 tB1 A Questão 16 Sejam A B Mnxnℝ com AB BA Mostre que para todo m ℕ AB BA m AB 1A m m1 B Definimos o traço de A por Questão 17 Seja A Mnxnℝ soma dos elementos da diagonal principal trA n i1 Aii mostre que a trcA B c trA trB para todas A B Mnxnℝ b trAt trA para todas A Mnxnℝ c trAB trBA para todas A B Mnxnℝ e para todo c ℝ d trPAP1 trA para toda A Mnxnℝ com P invertível e trAB 0 para todas A B Mnxnℝ f trAB 0 para toda A B Mnxnℝ tais que AB BA 0 Questão 18 Seja A Mnxnℝ Mostre que uma matriz diagonal D Mnxnℝ só com diagonal D diaga1 a2 an é uma matriz diagonal ou seja A diagai para algum ai ℝ A paciência e a energia mas os seus frutos são doces Jean Jacques Rosseau