Aol05 - Algebra Linear

Pergunta 1\n\nConsidere a matriz A = [ 3 -1; 5 ] que representa o polinômio característico P(λ) = (λ - λ_1)². Sabemos que uma das formas de determinarmos se uma matriz é diagonalizável ou não é através da análise do polinômio mínimo.\n\nConsiderando os conceitos de polinômio mínimo e diagonalização de operadores, defina qual o polinômio mínimo da matriz e assinale a alternativa correta.\n\nA. O polinômio mínimo é p(A) = (λ - λ_1)² e, portanto, a matriz não é diagonalizável.\nB. O polinômio mínimo é p(A) = (λ - λ_2)² e, portanto, a matriz é diagonalizável.\nC. O polinômio mínimo é p(A) = (λ - λ_1)(λ - λ_2) e, portanto, a matriz não é diagonalizável.\nD. O polinômio mínimo é p(A) = (λ - λ) e, portanto, a matriz é diagonalizável.\nE. O polinômio mínimo é p(A) = λ.\n\n Pergunta 2\n\nUm problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, uma delas é A^* = [ 7 2; 4 -1]. Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A, é B = [ 5 0; 0 3 ]. Conhecemos ainda as matrizes P = [ 1 -1; -2 1] e P^{-1} = [ 2 -1; -1 1]. A partir destes valores, precisamos agora utilizar a equação A^n = P B^n P^{-1} para calculirmos quanto vale A^4.\n\nConsiderando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para determinar quanto vale A^4 e assinale a alternativa correta:\n\nCorretta\n\nA) A^* = [ 68 76; 57 49 ]\nB) A^* = [ 625 81; -625 -162 ]\nC) A^* = [ -1.169 544; -1.088 -463 ]\nD) A^* = [ -1.455 4.368; -728 2.185 ]\nE) A^* = [ 0 -1; 0 1 ]\n\n Pergunta 3\n\nUm problema de álgebra linear envolve a transformação linear\n\nT: R^3 -> R^3; T(x,y,z) = (0, 2y + 5z, -z).\n\nApós determinação da matriz que representa o operador da transformação, foram também definidos os autovalores associados a matriz, sendo\n\nλ_1 = 0; λ_2 = -π; λ_3 = 2.\n\nDeseja-se, agora, calcular a base de autovalores para o subespaço gerado por esta transformação.\n\nConsiderando os conceitos estudados autores, autovalores e autoss espaços, assinale a afirmativa que está correta:\n\nCorretta\n\nA) A\nB) E\nC) D\nD) B\nE) C\n\n Pergunta 4\n\nUma transformação linear é dada por\n\nT: R² -> R², T(x, y) = (2x + y, 3x + 4y).\n\nA partir dessas expressões, podemos definir uma matriz que representa o operador dessa transformação, dois autovalores e dois autovetores que representam também a base do autoespaço gerado a partir dessa transformação.\n\nConsiderando essas informações e o conteúdo estudado sobre autovalores e autovetores, analise as afirmativas a seguir e assinale V para as\nverdadeira(s) e F para(s) falsa(s).\n\nI. ( ) A matriz que representa o operador é [ 2 1; 3 4]\n\nII. ( ) Os autovalores do operador são λ₁ = 5 e λ₂ = 1.\n\nIII. ( ) Os autovalores são linearmente dependentes.\n\nIV. ( ) Uma base do autoespaço gerado pela transformação é {[1; 1]}\n\nV. ( ) O polinômio característico que representa o operador da transformação é P(λ) = λ² - 6λ + 5.\n\nAgora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:\n\nCorreta\n\nA) V, V, F, F, V.\n\nB) V, F, V, F, V.\n\nC) F, F, V, F.\n\nD) V, V, F, F.\n\nE) F, V, F, F. Pergunta 5\n\nUm problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentro dessas matrizes, uma delas é A = [ 3 -1; 1 5]. Precisamos determinar se a matriz é diagonalizável; em caso seja, qual é a matriz diagonal que é uma matriz semelhante de A, bem como quais são as matrizes P e P⁻¹.\n\nConsiderando os conceitos de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para responder a todas as questões citadas no enunciado e assinale a alternativa correta:\n\nCorreta\n\nA) E\n\nB) D\n\nC) B\n\nD) A\n\nE) C. Pergunta 6\n\nUm estudante de um curso de matemática se deparou com a matriz [ 1 2; -1 4] com os autovalores 2, 3 e 4. No entanto, o aluno percebeu que nem todos os três valores encontrados poderiam ser autovalores do operador, pois não é possível uma matriz 2x2 apresentar mais do que 2 autovalores. Considerando os conceitos de autovalores e autovetores, faça um teste com os três autovalores e assinale a alternativa correta.\n\nCorreta\n\nA) Os valores 3 e 4 são autovalores do operador.\n\nB) Os valores 2 e 4 são autovalores do operador.\n\nC) Os valores 2 e 3 são autovalores do operador.\n\nD) O valor 3 é o único autovalor do operador.\n\nE) O valor 4 é o único autovalor do operador. Pergunta 8\n\nUm problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentro essas matrizes, uma delas é A = [ 3 -1 0 ] [ 0 3 2 ] [ 0 3 3 ] . Precisamos determinar se a matriz é diagonalizável, caso seja, qual é a matriz diagonal que é uma matriz semelhante a A, bem como quais são as matrizes P e P^{-1}. Considerando os conceitos de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para responder a todas as questões citadas no enunciado e assinale a alternativa correta: A. A matriz A não é diagonalizável. B. P(A) = (3 - λ)^{2}. C. P(A) = (λ - 3)^{2}. D. B = [ 0 0 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ]. E. P^{-1} = [ 1 0 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ].\n\nCorreção\n\n Pergunta 9\n\nUm problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentro essas matrizes, uma delas é A = [ -3 12 ] [ -2 7 ] . Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A, é B = [ 1 0 0 ] [ 0 3 0 ] [ 0 0 3 ]. Conhecemos ainda as matrizes P = [ 3 2 1 ] [ 1 -2 -3 ]. A partir desses valores, precisamos agora utilizar a equação A^{-1} = P B^{-1} P^{-1} para calcularmos quanto vale A^{-1}. Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para determinar quanto vale A^{-1} e assinale a alternativa correta: A. A^{-1} = [ -1.458 ] [ 1.729 ]. B. A^{*} = [ 1.169 544 ] [ -1.088 -463 ]. C. A^{-1} = [ -2.056 2.040 ] [ 2.040 2.056 ]. D. A^{-1} = [ 68 76 ][ 57 49 ]. E. A^{-1} = [ -1.455 4.368 ] [ -728 2.185 ].\n\nCorreção\n\n Pergunta 10\n\nUm problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentro essas matrizes, uma delas é A = [ 9 4 ] [ 6 ] . Precisamos determinar se a matriz é diagonalizável, e caso seja, qual é a matriz diagonal que é uma matriz semelhante a A, bem como quais são as matrizes P e P^{-1}. Considerando os conceitos de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para responder a todas as questões citadas no enunciado e assinale a alternativa correta: A. P(A) = A^{2} - 154 + 50. B. P = [ 1 -1 ]. C. B = [ 0 5 ]. D. A matriz A não é diagonalizável. E. P^{-1} = [ -1 1 ].\n\nCorreção\n\n