Coarsegraining e Sentidos Humanos - Estimativa de Flutuações de Densidade em Gases

Coarsegraining e sentidos humanos O olho humano pode ser sensível a variações de intensidade de luz em escalas de distância tão pequenas quanto 10 mícrons 61 Parte 1 Estime quantos átomos estão contidos em um cubo de gás de 10 mícrons x 10 mícrons x 10 mícrons nas CNTP Estime o tamanho relativo das flutuações de densidade neste volume de um recipiente de gás maior Nota tamanho relativo das flutuações significa x x para alguma quantidade x sendo observada Você pode apresentar argumentos aproximados para sua resposta a partir de exemplos que viu em aula ou você pode usar as dicas a seguir para resolver o problema com exatidão DICA 1 Imagine que este cubo de gás de 10 mícrons x 10 mícrons x 10 mícrons está contido em uma sala muito maior com volume total V e N moléculas nele O fato de o gás estar em CNTP indica a razão NV ou seja a densidade numérica das moléculas na sala DICA 2 Qual é a média e o desvio padrão da distribuição binomial e qual é a probabilidade de sucesso p que aparece na distribuição binomial neste caso 62 Parte 2 Num gás difuso o estado dos átomos neste cubo será embaralhado aproximadamente no tempo que um átomo leva para atravessar o cubo isto significa que as observações da densidade separadas por tempos maiores do que este são aproximadamente independentes Estime quanto tempo é o tempo de embaralhamento assumindo que átomos típicos viajam a cerca de 100 ms 63 Parte 3 A resolução temporal do olho humano é de cerca de 1100 de segundo Quantas amostras independentes da densidade no cubo ocorrem em 1100 de um segundo Nas lâmpadas de descarga de gás como uma luz neon a intensidade da luz é proporcional à densidade do gás Se o olho humano focar em um pedaço cúbico de gás de 10 mícrons em uma luz neon e calcular a média da intensidade da luz a cada 1100 de segundo qual é o tamanho relativo das flutuações de intensidade da luz isso será observado Você provavelmente conseguirá observar isso 64 Parte 4 Explique como esse problema está relacionado ao nosso estudo das flutuações de pressão e densidade em gás ideais Questão 1 CNTP referese a Condições Normais de Temperatura e Pressão que correspondem a uma temperatura de 0C e uma pressão de 1 atm Sob estas condições 1 mol de qualquer gás ideal ocupa um volume de 224 litros Isso nos permite calcular a densidade numérica ρ das moléculas ou átomos do gás ρ NA 224 x 103 m3 Onde NA é o número de Avogadro equivalente a aproximadamente 6022 1023 moléculas por mol Considerando o cubo de gás com dimensões de 10 mícrons x 10 mícrons x 10 mícrons o seu volume é Volume 10 x 106 m3 1015 m3 O número de moléculas n contidas no cubo é então n ρ volume Substituindo os valores fornecidos obtemos n 6022 1023 moléculasmol 224 x 103 m3 1015 m3 269 1010 moléculas Dado que a densidade numérica de moléculas em uma sala muito maior com volume total V e N moléculas é ρ NV a variação na densidade numérica do gás em um volume pequeno segue uma distribuição binomial O número esperado de moléculas em um volume é n ρ volume A probabilidade p de uma molécula estar no volume de interesse é a proporção do volume do cubo em relação ao volume total V Se considerarmos que o volume total V da sala é muito maior que o volume do cubo p é essencialmente zero Por simplicidade podemos aproximar p como 1015 m3 V onde V é o volume da sala que podemos estabelecer como 50 m3 O desvio padrão σ da distribuição binomial é σ sqrtn p 1 p σ sqrt269 1010 1015 50 1 1015 50 σ 00007335 moléculas A flutuação relativa é Flutuação σ n Flutuacao 0 0007335 269 1010 Flutuacao 2 73 1014 O tamanho relativo das flutuacoes de densidade neste volume e aproximada mente 2 73 1014 Questao 2 Para estimar o tempo de embaralhamento basicamente precisamos deter minar o tempo que leva para um atomo atravessar o cubo de 10 mıcrons de lado Se a distˆancia que o atomo precisa viajar e d que e igual ao lado do cubo e a velocidade do atomo e v o tempo t necessario para atravessar essa distˆancia e dado por t d v Dado d 10 106m 105m 10 mıcrons v 100ms Inserindo os valores t 105m 100ms t 107s Assim o tempo de embaralhamento e de aproximadamente 107 segundos ou 100 nanossegundos Questao 3 Para determinar o numero de amostras independentes da densidade no cubo em 1100 de segundo precisamos considerar o tempo que um atomo leva para atravessar o cubo tambem conhecido como tempo de embaralhamento Como calculado anteriormente esse tempo e de 107 segundos 2 O numero de amostras independentes namostras que ocorrem em 1100 de segundo e dado pela razao entre a resolucao temporal do olho humano 1100 s e o tempo de embaralhamento namostras 1100 s 107 samostra 100000 amostras Portanto em 1100 de segundo ocorrem 100000 amostras independentes da densidade no cubo Nas lˆampadas de descarga de gas como luzes neon a intensidade da luz e proporcional a densidade do gas Isso significa que flutuacoes na densidade se traduzem em flutuacoes na intensidade da luz Para calcular o tamanho relativo das flutuacoes de intensidade da luz us amos a formula luz σ namostras luz 00007335 100000 luz 232 106 O tamanho relativo das flutuacoes de intensidade da luz e de aproximada mente 232 106 Uma flutuacao de magnitude 232 106 e extremamente pequena e por isso provavelmente nao sera perceptıvel ao olho humano A resolucao temporal do olho humano e de cerca de 1100 de segundo Isto significa que mesmo que haja variacoes na densidade do gas e consequentemente na intensidade da luz neon essas variacoes sao tao minusculas nessa escala de tempo que nao seriam detectaveis pelo olho humano Questao 4 O estudo das flutuacoes em sistemas fısicos como gas ideal e fundamental para entendermos como variaveis macroscopicas como pressao e densidade se comportam no nıvel microscopico Aqui esta uma analise da relacao entre esse problema e o estudo das flutuacoes de pressao e densidade em gas ideais Tanto a pressao quanto a densidade em um gas ideal sao quantidades macroscopicas determinadas por comportamentos medios de uma enorme quantidade de partıculas individuais Estas partıculas em sua escala tˆem comportamentos individuais e estocasticos que quando tomados em conjunto levam a uma media bem definida Estudar as flutuacoes e analisar os desvios dessas medias o que e essencial para entender a natureza estatıstica dos sistemas fısicos 3 O problema proposto lida com o comportamento de atomosmoleculas em um pequeno volume e como suas flutuacoes afetam uma propriedade observavel neste caso a intensidade da luz Da mesma forma a termodinˆamica estuda como variaveis como pressao volume e temperatura estao interrelacionadas e como flutuacoes em uma podem afetar as outras Flutuacoes sao fenˆomenos que ocorrem naturalmente e que muitas vezes sao ignorados quando lidamos com medias No entanto em sistemas de pequena escala como o cubo de 10 mıcrons essas flutuacoes podem ter um impacto significativo Da mesma forma em um gas ideal pequenas flutuacoes na densi dade podem levar a flutuacoes perceptıveis na pressao especialmente em escalas microscopicas O problema aborda o conceito de amostras independentes de densidade que e uma ideia importante em estatıstica Em termodinˆamica e fısica estatıstica o conceito de eventos independentes e a ideia de correlacoes ou sua ausˆencia sao fundamentais para entender como os sistemas evoluem e como as propriedades macroscopicas emergem de comportamentos microscopicos Problemas como o do cubo de gas em uma lˆampada de neon proporcionam uma conexao tangıvel e intuitiva entre conceitos abstratos como flutuacoes estatısticas e fenˆomenos observaveis como a intensidade de uma luz Isso ajuda a solidificar a compreensao dos princıpios subjacentes da fısica estatıstica e da termodinˆamica 4