Aula 5: Estimação de Parâmetros em Confiabilidade de Produtos e Processos

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia de Produção Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Aula 5 Estimação de parâmetros PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Estimação de Parâmetros Regressão Linear Métodos gráficos utilizando Papeis de Probabilidade Algoritmo dos Mínimos Quadrados Método de Máxima Verossimilhança PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Escolha f t Distribuição Exponencial Distribuição Lognormal Distribuição Weibul outras Dados Rt Ft MTBF Estimação de Parâmetros Regressão Linear MLE Validação Técnicas gráficas Técnicas numéricas b h 1l t ft PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra e t G t 1 l e t g t l l Exemplo Distribuição Exponencial Função Densidade de Probabilidade Função Densidade Acumulada Considere um processo cujo tempo de reparo é modelado por uma distribuição Exponencial com parâmetro λ 0005 Calcule a probabilidade deste processo ser reparado Gt em um tempo t 100 horas 0 393 0 607 1 1 0 005100 e t G gt t Como calcular o parâmetro λ PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Em geral os parâmetros de um processo são desconhecidos além disso eles podem mudar ao longo do tempo Necessidade de desenvolvimento de procedimentos de estimação de parâmetros Estimação pontual de médias variâncias e parâmetros Testes de hipóteses sobre médias variâncias e parâmetros Uso de gráficos de probabilidade Máxima Verossimilhança PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Estimação de parâmetros utilizando gráficos de probabilidade Criados devido a indisponibilidade de recursos computacionais Obtenção de resultados aproximados aceitáveis na prática PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Construir o gráfico de probabilidade para ocorrência dos valores da amostra Eixo ordenadas X Valores crescentes dos dados da amostraou população Eixo abscissas y probabilidade acumulativa dos valores Se o ajuste do gráfico for próximo de uma reta a distribuição testada é considerada adequada Se os pontos plotados desviarem significantemente da reta desconsiderar a hipótese inicial Construção de um gráfico de probabilidade papel de probabilidade PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Como encontrar as coordenadas cartesianas PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra A categoria Mediana é utilizada para se obter uma estimação da função Ft Este valor pode ser calculado igualandose a distribuição acumulada binomial ao valor 05 e resolvendose em relação a Z N k k N j k Z Z k N 1 50 Onde j número de ordem N tamanho da amostra Z categoria da jenésima amostra A resolução desta equação envolve a utilização de métodos numéricos Uma método alternativo muito difundido na literatura é a Aproximação de Benard 40 30 N j MR MR posição mediana median rank PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a Estimação de Parâmetros da Distribuição Exponencial utilizando gráfico de probabilidade e t t R l l l l 1 1 e R 0 37 1 1 e R l PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a e t t R l l l l 1 1 e R 0 37 1 1 e R l MTTF PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra b h t e t F 1 b h t t F 1 ln b h t t F 1 1 ln b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a ln 1 1 ln 1 ln 1 1 ln F t t F t F Estimação de Parâmetros da Distribuição Weibul utilizando gráfico de probabilidade PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra b h t t F 1 1 ln b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a ln ln 1 1 ln ln h b b t t F b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a B AX Y O parâmetro de forma β corresponde ao coeficiente de inclinação da reta PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra O parâmetro β é ao coeficiente de inclinação da reta PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra b x b a x a log log 2 1 2 1 log log log x x x x a a a O parâmetro de escala η pode ser calculado como o tempo no qual a função Ft corresponde a 632 considerando o ponto onde t η b h 1 1 e F b h t e t F 1 0 3678 1 h F 0 6321 h F PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Como encontrar as coordenadas cartesianas PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra A categoria Mediana é utilizada para se obter uma estimação da função Ft Este valor pode ser calculado igualandose a distribuição acumulada binomial ao valor 05 e resolvendose em relação a Z N k k N j k Z Z k N 1 50 Onde j número de ordem N tamanho da amostra Z categoria da jenésima amostra A resolução desta equação envolve a utilização de métodos numéricos Uma método alternativo muito difundido na literatura é a Aproximação de Benard 40 30 N j MR MR posição mediana median rank PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Exemplo 1000000 10000000 100 500 1000 5000 9000 9900 10 14 20 30 60 b h th Ft 632 β1 η38000 o o o o o o PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Exemplo Um item foi submetido a um ensaio de fadiga em bancada de prova e apresentou os seguintes resultados 10263 ciclos 12187 ciclos 16908 ciclos 18042 ciclos 23271 ciclos A durabilidade mínima especificada para toda a população é de 8000 ciclos Baseado nestas informações qual seria a melhor decisão Aprovar Reprovar MR j03 x 100 onde j número de falha N 04 N número de amostras PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra A durabilidade mínima especificada para toda a população é de 8000 ciclos Baseado nestas informações qual seria a melhor decisão Aprovar Reprovar Variável de Interesse ciclos MR 10236 1296 12187 314 16908 50 18042 6852 23271 8704 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 1000000 10000000 100 500 1000 5000 9000 9900 09 10 12 14 16 20 30 60 b h 0 tempot Ft 8302005 0203 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 RRX SRM MED F5 S0 b32452 h17997E4 r09815 RESULTADO PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 0 100E4 250E5 500E5 750E5 0 6000000 150000030000004500000 ReliaSofts Weibull 60 wwwWeibullcom 0 tempot ft 8302005 0244 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 RRX SRM MED F5 S0 b32452 h17997E4 r09815 Função densidade de probabilidade β 3 Distribuição Normal PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Algoritmo dos Mínimos Quadrados PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 x y 3 3 1 5 5 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 x y 1 x y Valores obtidos através da reta y5 Erro de predição 4 6 5 1 9 10 5 5 1 2 5 3 6 2 5 3 x y Valores obtidos através da reta y1x Erro de predição 4 6 145 1 9 10 1910 0 1 2 112 0 6 2 167 5 y5 y1x Porque minimizar o somatório do erro ao quadrado PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Variável de Interesse MR 230 310 450 580 620 MR j03 x 100 onde j número de falha N 04 N número de amostras Variável de Interesse MR 10236 12187 16908 18042 23271 Calcule MR para os dois conjuntos de dados PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Variável de Interesse MR 230 1296 310 3148 450 5000 580 6851 620 8703 MR j03 x 100 onde j número de falha N 04 N número de amostras Variável de Interesse MR 10236 1296 12187 3148 16908 5000 18042 6851 23271 8703 Calcule MR para os dois conjuntos de dados PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Variável de Interesse MR 10236 1296 12187 3148 16908 5000 18042 6851 23271 8703 Beta 325 Eta 17998 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Variável de Interesse MR 230 1296 310 3148 450 5000 580 6851 620 8703 Beta 250 Eta 498 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Variável de Interesse MR 10236 1296 12187 3148 16908 5000 18042 6851 23271 8703 Variável de Interesse MR 230 1296 310 3148 450 5000 580 6851 620 8703 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Método de Máxima Verossimilhança O método de máxima verossimilhança estima os valores dos parâmetros da distribuição tal que a função de verossimilhança seja maximizada Tomandose como exemplo uma distribuição Weibull para cada combinação diferente dos parâmetros β e η obtemse distribuições de Weibull distintas O estimador de máxima verossimilhança selecionará o conjunto de parâmetros que melhor explique a amostra observada A função de verossimilhança é baseada na função densidade de probabilidade fdp para uma dada distribuição fdp genérica 2 1 k f t Onde t tempo até a falha θ parâmetros a serem estimados PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Considerandose conjuntos de dados não censurados a função de verossimilhança é o produto das funções fdp resultantes de cada observação do conjunto de dados 2 1 1 1 2 2 1 i k N i N k I t f t I t t L Onde t tempo até a falha θ parâmetros a serem estimados k quantidade de parâmetros da distribuição N número de observações PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra ln ln 2 1 1 i k N i I t f L Objetivase encontrar o conjunto de parâmetros que maximiza a equação Este cálculo é realizado numericamente calculandose as derivadas parciais em relação a cada parâmetro e igualando o resultado a zero A função logarítmica de verossimilhança PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Likelihood Function Surface Representação gráfica tridimensional da função Logverossimilhança Exemplo Distribuição Weibull dois parâmetros Os valores dos parâmetros são representados pelos eixos x e y e os valores logverossimilhança pelo eixo z O pico da superfície da Função de verossimilhança corresponde os valores dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança Fonte Weibull ReliaSoft PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Regressão em X MLE 0 100 025 050 075 0 3000000 750000 15000002250000 ReliaSofts Weibull 60 wwwWeibullcom 0 tempot ft 8302005 0255 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 RRX SRM MED F5 S0 b32452 h17997E4 r09815 0 100 025 050 075 0 3000000 750000 15000002250000 ReliaSofts Weibull 60 wwwWeibullcom 0 tempot ft 8302005 0338 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 MLE SRM MED F5 S0 b39057 h17858E4 Comparação de resultados para Função Confiabilidade PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Função probabilidade de falhas Regressão em X MLE 0 100 025 050 075 0 3000000 750000 15000002250000 ReliaSofts Weibull 60 wwwWeibullcom 0 tempot ft 8302005 0256 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 RRX SRM MED F5 S0 b32452 h17997E4 r09815 0 100 025 050 075 0 3000000 750000 15000002250000 ReliaSofts Weibull 60 wwwWeibullcom 0 tempot ft 8302005 0340 pucmg Ale Weibull Data 1 W2 MLE SRM MED F5 S0 b39057 h17858E4 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra MLE Time Reliability 0 1 2500 09995377185 5000 09930939981 7500 0966797309 10000 09013501735 12500 07801365091 15000 06028615297 17500 03969207754 20000 02108509455 22500 008493840432 Regressão X Time Reliability 0 1 2500 09983491812 5000 09844560311 7500 0943272939 10000 08619604887 12500 07360590453 15000 05747922499 17500 04012377001 20000 0244505921 22500 01269138304 Regressão Y Time Reliability 0 1 2500 09979491461 5000 09822367572 7500 09383229098 10000 08551555803 12500 07302813078 15000 05736251232 17500 0406622532 20000 02551146301 22500 01388867789 β 31260 η 18101E4 β 39057 η 17858E4 β 32452 η 179997E4 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Conclusões O método dos Mínimos Quadrados apresenta restrições quando aplicado a estudos que envolvam tempos de vida devido a sua incapacidade de incorporar censuras ou dados que são fornecidos em intervalos Pequenas amostras Muitos dados suspensos MLE Dados agrupados Dois pontos determinam uma reta Somente um ponto A estimação pela MLE não fornece o coeficiente de correlação PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra