Modelagem de Confiabilidade: Técnicas Paramétricas e Não Paramétricas

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia de Produção Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Aula 3 Modelagem de Confiabilidade PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Técnicas não paramétricas Não é necessário especificar nenhuma distribuição de probabilidade Estimação da Função Confiabilidade na Ausência de Censura Estimação da Função Confiabilidade na Presença de Censura Estimador da tabela de vida Estimador de KaplanMeier Técnicas Paramétricas Modelagem segundo uma distribuição de probabilidade Os modelos estimam a probabilidade de falha ou sobrevivência ao longo do tempo Esta representação é dada por uma função que permite interpolações e algumas extrapolações PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Considerações a partir dos dados coletados PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Testes durante o desenvolvimento Testes de qualificação Testes de vida Testes acelerados de vida Testes de Crescimento da Confiabilidade Ensaios de bancada realizados pelo fabricante PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Call centers Assistências técnicas Dados de garantia Ordens de serviço Amostras gerenciadas Reflete de maneira clara as atuais condições de uso e abuso Podem ser viciados Requer um sistema de coleta e análise dos dados Dados de Campo PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Obtenção dos dados Qualificação dos dados Entrada correta Representatividade Removendo dados viciados Tabulação correta dos dados Preparação dos dados Fonte ReliaSoft PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Testes em bancada de prova concluíram que os compressores dos refrigeradores eram extremamente confiáveisEntretanto as taxa de falha em campo destes compressores era muito alta O reembolso do serviço prestado pelos técnicos de manutenção dos refrigeradores estava atrelado ao valor das partes trocadas O compressor era o mais caro deles A política de reembolso foi modificada e posteriormente foi confirmado o baixo número de falhas Exemplo dados viciados Fonte ReliaSoft PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Dados Censurados Testes são terminados antes que todos os itens falhem Presença de dados incompletos e ou parciais x x x x unidade tempo Dados completos Convenção utilizada x falha o censura PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Censura por tempo ou Tipo I O teste será terminado após um período pré estabelecido de tempo x x o o unidade tempo to Tipos de censura PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra x x o x unidade tempo Censura por falha ou Tipo II O teste será terminado após ter ocorrido a falha em um número pré estabelecido de itens sob teste Vantagem garante um no mínimo de falhas PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Censura do tipo aleatório Um item é retirado do teste sem que seja atingida a falha Exemplo o item falha por uma razão diferente da estudada o x x unidade tempo o PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Estimação na ausência de censura Fonte Freitas e Colosimo 1997 Técnicas nãoparamétricas para modelagem de confiabilidade 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 2 1 4 5 10 16 7 tempo x 10 horas amplitude Exemplo Histograma da distribuição aproximada do tempo de falha para 54 produtos em teste todos falharam PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Exemplo Estimativa de confiabilidade no período entre 400 e 500 horas 54 produtos em operação 33 produtos que falharam até t400 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 2 1 4 5 10 16 7 tempo x 10 horas amplitude R 400 no de produtos em operação até t400 21 0389 no de produtos sob teste 54 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Usando o mesmo cálculo para os outros intervalos de tempo Intervalo x 100 Rt 01 963 12 870 23 685 34 389 45 222 56 093 67 019 78 0 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Tabela de Vida método atuarial A construção de uma tabela de vida consiste em dividir o eixo do tempo em um número arbitrário de intervalos Supondo K1 intervalos definidos pelos pontos de corte t1 t2 tk e t0 0 Para cada intervalo é possível definir Estimação na presença de censura 1 1 1 i i i t T t t P T q Onde qi é a probabilidade de um item falhar no intervalo sabendose que ele não falhou até t i1 1 i i t t PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Exemplo 10 20 30 40 50 100 80 60 40 20 R t tempo O número e a amplitude dos intervalos são escolhidos arbitrariamente O uso de poucos intervalos levará a uma aproximação grosseira PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Estimador de KaplanMeier limiteproduto Estimação na presença de censura R 400 n1d1n1 n2d2n2 ntodtonto onde di número de falhas no tempo ti ni número de itens sob risco não falhou e não foi censurado em ti inclusive to maior tempo de falha menor que t Considera tantos intervalos de tempo quanto for o número de falhas distintas Os limites de intervalo de tempo são os tempos de falha da amostra Definição Matemática PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Exemplo Os dados apresentados abaixo representam o tempo até a ruptura de um tipo de isolante térmico sujeito a uma tensão de estresse de 35kV Originalmente o teste consistiu em colocar 25 destes isolantes em funcionamento até que 15 deles falhassem Entretanto após uma análise de falha conduzida constatouse que para dois deles a falha havia sido provocada por problemas no equipamento de teste indicados por Dados obtidos para os 15 itens incluindo os dois censurados em minutos 019 078 096 131 278 316 467 485 650 735 827 1207 3252 3319 3671 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 019 25 1 09600 078 24 1 09200 131 22 1 08782 278 21 1 08364 316 20 1 07946 467 19 1 07528 485 18 1 07110 650 17 1 06692 735 16 1 06274 827 15 1 05856 1207 14 1 05438 3391 12 1 04985 3671 11 1 04532 Rti ti di ni Consideração da ocorrência de censura x1n1d1n1 2425 x2n2d2n2 x1 x22324 09600 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 019 25 1 09600 078 24 1 09200 131 22 1 08782 278 21 1 08364 316 20 1 07946 467 19 1 07528 485 18 1 07110 650 17 1 06692 735 16 1 06274 827 15 1 05856 1207 14 1 05438 3391 12 1 04985 3671 11 1 04532 Rti ti di ni Consideração da ocorrência de censura x1n1d1n1 2425 x2n2d2n2 x1 x22324 09600 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra 1000 09600 09200 08782 08364 07946 07528 07110 06692 06292 05856 05438 04985 04532 R t tempo 0 019 078 131 278 316 467 485 65 735 827 1207 3391 3671 PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Universo amostral lançamento de dois dados número 2 P 2 1 36 número 3 P 3 2 36 Se um variável x pode assumir um conjunto de valores x1 x2 xk com probabilidades p1 p2 pk sendo p1 p2 pk 1 definese uma distribuição de probabilidade discreta de x Técnicas paramétricas Modelos de Distribuição de Variável Discreta Exemplo PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Função Densidade de Probabilidade fdp fx 636 136 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x 0 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136 0 Cálculo da probabilidade para cada elemento do universo amostral PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Distribuição Binomial Lafraia 2001 Descreve a situação em que só há dois resultados possíveis como falha ou não falha e a probabilidade se mantém a mesma para todas as tentativas A fdp é dada por pxq n x x n x n x f onde n quantidade de itens da amostra x itens bons nx itens defeituosos p probabilidade de se obter um item bom q probabilidade de se obter um item defeituoso PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Distribuição de Poisson Lafraia 2001 Eventos ocorrem a taxa média constante com somente dois resultados Possíveis Pode ser considerada uma variação da distribuição de binomial quando n tende a infinito exp x x f x exp np x np x f x onde x itens bons taxa de ocorrência PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Modelos de Distribuição de Variável Contínua 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 2 4 5 10 16 7 tempo x 10 horas amplitude 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 2 2 3 4 11 15 8 tempo x 10 horas amplitude 1 Um único diagrama mostrando a combinação de várias amostras Diminuindo o intervalo de medição amostra aleatórias dão origem a histogramas diferentes Distribuição de Variável Contínua PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Sabese que existem comportamentos diferenciados para representar a duração de vida de componentes ou sistemas distintos Necessidade de considerar modelos estatísticos diferentes funções de probabilidade distintas para analisar a confiabilidade em cada caso particular Importância da escolha da distribuição de probabilidade que melhor descreve o comportamento do tempo de falha do produto sob teste Um modelo inadequado levará a erros grosseiros Modelos Probabilísticos para o Tempo de Falha PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Distribuição Exponencial É uma das mais simples em termos matemáticos Caracteriza se por ter uma taxa de falhas constante situações em que as falhas ocorrem de forma aleatória com uma taxa fixa e sem um mecanismo de desgaste ou degradação expressivo propriedade de falta de memória Exemplo de aplicação descreve adequadamente o tempo de vida de óleos isolantes dielétricos dentre outros PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Distribuição Weibull Proposta por W Weibull em 1954 em estudos relacionados ao tempo de fadiga de metais Apresenta grande variedade de formas Utilizada para descrever o tempo de vida de produtos industriais produtos ou sistemas formados por várias partes elementos cuja falha ocorre quando a primeira parte falhar Propriedade básica função de taxa monótona crescente decrescente ou constante Exemplo de aplicação descreve adequadamente o tempo de vida de mancais componentes eletrônicos cerâmicas capacitores e dielétricos PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Distribuição LogNormal Descreve tempos de vida de componentes semicondutores cujos mecanismos de falha envolvem interações químicas processos de corrosão acúmulo superficial de cargas elétricas degradação de contatos etc Descreve mecanismos de falha por fadiga em materiais PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra Como escolher o modelo adequado Evidências provenientes de testes realizados no passado conhecimento a priori Solução basicamente empírica ajustar um modelo e comparar os valores estimados e observados buscando o que melhor reproduz explica os dados amostrais PUC Minas Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos Profa Alessandra Lopes Carvalho Dra