Demonstrações Matemáticas: Infinitude de Primos, Soma por Indução e Propriedades do Seno e Cosseno

Pesquise e escolha uma afirmação matemática a ser demonstrada E apresente a afirmação e a respectiva demonstração direta por contradição ou por indução com os seus comentários e explicações passo a passo Bom dia Eu ia gravar um vídeo além deste arquivo mas descobri agora que a google retirou a possibilidade de gravar do meet Eu gravava vídeos pelo meet e postava até em meu canal d ematemática RealComplex mas agora somente quem paga tem esses benefícios Em vista disso neste arquivo vou colocar não somente uma mas três demonstrações A primeira da infinitude de primos será por absurdo A segunda uma somatoria por indução A terceira propriedade básica do seno e cosseno de maneira direta As três podem ser demonstradas em disciplinas iniciais do ensino superior escolha a que for mais pertinente à disciplina que está cursando Proposição Há infinitos naturais primos Hipótesi ℕ é bem ordenada Se p ℕ e p n então p divide n Demonstração Vamos mostrar por absurdo Supomos a negação da tese Queremos concluir que a hipótese junto da negação da tese é inconsistente Suponha então que haja pinto números primos em ℕ e seja p₁ p₂ pₙ tal família com todos os primos p dispostos de maneira crescente sem repetições isto é p₁ p₂ i ℕ 1 i n Então temos que p₁ p₂ p₃ pₙ1 pₙ Note que pₙ p₁p₁1p₂2321 não é primo pois tem todos os naturais menores que ele como fatores ou seja pᵢ divide pₙ qualquer i ℕ 1 i n Um seja todos os primos primos dividem pₙ Então nenhum dos primos primos divide pₙ 1 e como este número é diferente de cada um é natural então concluímos um absurdo ao dizer que a família de números primos é finita Logo por absurdo concluise que há infinitos primos em ℕ Proposição n ℕ n 1 vale 2i1 n² Hipótese ℕ é bem ordenada Vale o princípio de indução finitó em ℕ Demonstração Por indução temos de quantis din possível a base e o indutivo Posso base Verificamos que vale para os 2 termos iniciais Se n 1 2i1 2¹1 21 1 1² Vale Se n 2 2i1 2¹ 4 1 3 4 2² Vale Concluímos o caso base vale para alguns K ℕ K 1 e K 2 Posso indutivo Sabemos que vale por algum K ℕ a equação 2i1 1 3 5 2k1 k² Adicionamos 2k 1 em ambos os lados 1 3 5 2k1 2k1 k² 2k 1 1 3 5 2k1 2k11 k 1² Logo 2i1 k 1² se vale para K vale para K 1 e isto conclui o passo indutivo Vale por cada n ℕ Proposição Se x ℝ então senπ2 x cosx Hipótese ℝ com linearidade volando sena b sena cosb senb cosa ab ℝ Demonstração De modo direto partimos da fórmula da subtração para o seno Sena b sena cosb senb cosa ab ℝ Em particular tome a π2 e b x Senπ2 x senπ2 cosx senx cosπ2 1cosx 0senx cosx Pois senπ2 1 e cosπ2 0 Disso concluímos que senπ2 x cosx