Cálculo de Derivadas: Regras do Produto e do Quociente

COAIP EE BUHG DVI OD PIRCODUARQIS HE COREE INGE ELS Po Wegner Leone 1 Solugao E comum estudantes suporem que o problema pode ser resolvido com o célculo Px Na Todavia este procedimento é incorreto Como exemplo considere Pa Nx x Enquanto Px NX 11 1 a derivada do produto Rx x x 6 igual a 2x Tanto o produto quanto o quociente de funcoes elementares possuem formulas de derivagao No presente capitulo bem como nos dois seguintes deduziremos as derivadas de fungoes formadas a partir de operacdes envolvendo fungdes elementares As primeiras regras sao a do produto e a do quociente de fungoes Demonstracao h h fu ve Tim ua h v A ux vx h0 h ua h vx hlua h vx ua h vax ua va h30 h tim ua h ux h ox va ua h ux h0 h lim lua h ane a lim fe aa 18 h0 h h0 h uxvux vx u2 a 2 Teorema 2 Regra do quociente Sejam ux e v fungdes derivaveis e ux 0 Entao Fall ueva vx ua vx vxP Demonstragao ux h ux ux h0 h lim ae hux vx we h0 hvxva h lim Ee hvaueo uxgx ve nla h0 hvava h yn 2 fvle feln h 0 la fol vl 8 ae ca va Hl h lim 1 lute ux h ux ule ua h vx m een ie h h x uaxvx pipe PO x v2 7 A quantidade de simbolos envolvidos podem confundir o iniciante ao calculo por tanto sugerimos uma forma simplificada para cada formula uvuvtuv 1 gy a 3 Exemplo 1 Calcular a derivada de fx x sen x Solugdo Facga u x e v senx Temos u 22 e vo cosx Substituindo na regra do produto 1 obtemos f 2 2r sen x 2 cosz 35 Exemplo 2 Calcular a derivada de fx vera eX Solucéo Agora denote u x 295 2 435 ev e donde 1 p 412 925 Gf oe u 5 ne ev e Substituindo na regra do quociente 2 obtemos rx 12a1 35a er al av er v2 e 12a at 35a2 x3 c 12aV ol 4 35a25 935 Exemplo 3 Calcular a derivada de fx tg z Solugao Sabemos da trigonometria que tg x Entao cosx e usenr wu cosz ev cosr v sen 2 Logo f cosx cosa sen 2 sen x cos x 2 2 cos x sen zx ti sec2r cos 2 cos 2 4 eee Exercicio 1 Calcule a derivada de cada fungao que segue 1 2 a Tp v8 Vp 1 h W5455 2 3 b 0 b fle i F0 e sen 6 cosec x 1 r SO c 2r er cosec x 1 x 3e d st 31Wi K WO Fae ec fx a 1 Vr 2 1 fa a sen xtg x t cost lar Vx m Gt f ga secx fv sen w cosz n oe Be a Exemplo 4 Determine o ponto no qual a reta tangente ao grafico de fx é horizontal Solugdo Desejamos saber o valor de x tal que fa 0 Ou seja 21 fa PY 9 ere 1 0 x Como e nunca se anula segue que a tangente é horizontal em x 1 5 Exemplo 5 A Figura 5 mostra as retas r e s Sabese que elas sao tangentes aos graficos das funcoes ux e vx respectivamente no ponto comum de tangˆencia 2 1 Determine u v 2 Figura 1 Graficos das retas tangentes a u e v Solucao Por hipotese temos que u2 v2 1 Considerando que a incinacao da reta tangente pode ser calculada no grafico como u v y x segue que u2 3 e v2 1 Da formula 1 u vx ux vx ux vx concluise que u v2 u2 v2 u2 v2 3 1 1 1 4 6 a Exercicio 2 Determine a equacao da reta que tangencia o grafico de cada fungao no ponto dado a fx esen x em rp 0 2x 1 b x em x 2 b fle FS em ar a a Exercicio 3 Determine 0 ponto no qual a reta tangente ao grafico de fx xx 3 é horizontal a a Exercicio 4 As retas r y 32 1lesyx1 sao tangentes aos graficos de ux e ux respectivamente no ponto comum de tangéncia P12 Determine U 1 5 Se a Exercicio 5 Apés t horas de ingestaéo de um comprimido a concentracéo do 3t medicamento no sangue de um paciente em mcgm4 é igual a Qt Pas Determine a taxa de variacao instantanea desta concentragao meia hora apds a ingestao do comprimido a 7 Respostas dos exercicios propostos Exercicio 1 a Tp WAP 2 b fz 4a 52 0 r d st Y42t 3 rs 1 5a 8a 1 x 4ar 4axr x 32 f gx ay tana devnt vate 2xa 2 g fx cos2z 1 4 9 h YOgpta i f0 e sen 8 cos 6 og cosec x 1 fa cosec x 1 1 Qex ea 3e Y oe 1 fz sen x tg x x 1 secz 14 tsen t t cost tsen t 2t cost im I n ok seck me k3 Exercicio 2 a ya b y7x 9 8 mes eee z1 Exercicio 4 U 5 mes eee 0 5 03 mcgmé por hora 9