Métodos de Integração: Técnicas de Cálculo Integral

KIA PERU ARE ENEEGRAGAS TNEEGRIAGAG Py Woane Leones 1 Problema Como vimos a integral 6 uma ferramenta utilizada no calculo de area de qualquer regiao plana compreendida por graficos de funcgoes continuas Todavia na pratica ainda precisamos construir técnicas que permitam efetuar o calculo para quaisquer situagoes que satisfagam as hipdteses acima Para os casos da figura abaixo por exemplo ainda nao dispomos de tais recursos y Y fx tex Af 1 A Figura 1 Areas com integrais nao triviais A questao nao é resolvida com um tnico método tendo em vista a diversidade de situagoes que podem surgir Nesse sentido serao apresuntadas diversas técnicas de calculo de integrais denominadas métodos de integracao 1 Substituicao simples O principio basico deste método é o de se relacionar de forma inversa com a regra da cadeia das derivadas Ou seja dadas as fungdes continuas fx e gx temos Po J F a 92 fF ole wae F ga e Assim como na regra da cadeia facilitamos a sintaxe da formula com a mudanca de varidveis u gx tornando a expresséo com a forma mais simplificada if utdu fu e 2 Exemplo 1 Calcular a integral Qre dx Solugao Como x 2x fazemos u x du 2xdx Logo rc ae et 2eae eva ece e Ao denominarmos u gx nem sempre a expressao gx estard explicita na integral o que nao é problema veja Exemplo 2 Calcular a integral Je cosxdz Solugao Como x3 3x7 fazemos u x du 3x7dx Logo 2 3 3 2 3 2 I x cosadx cosxadx cosx 37 3xdxz cosu 37 du 1 1 1 cosu du senu c sena 3 3 3 L Caso o leitor veja com dificuldade a compensagao 3 3 ele podera resolver um problema como o exemplo acima eliminado dx em fungao de du como no caso que segue Exemplo 3 Calcular a integral Je x 5dz 9 du Solugao Faga u 4 5 du 2adz dx on Logo x du 1 Lf ip rv x 5dr rus 5 JSudu 5 du x 1 2 1 5g tea 5 0 5 e 3 Agora veremos uma integral em que a substituicao por u nao é imediata Exemplo 4 Calcular a integral dx x Solugao F In fx d dx 1 de de 2x du olucao Faga u Inx u 2xr du s Vi Qe Da Logo Pe awe 220 20au wc In Vz x x Em certas situacdes nem é percebida a existéncia de duas funcées u e u Exemplo 5 Calcular a integral es x dx Solugao Em primeiro lugar usamos o fato de que tg x e fazemos u cosx du sen xdx Logo a integral fica assim d eu dx Inu c Incosx c cosz u Exercicio 1 Calcule as integrais 2x a Je 437 dt e 1ax b vera f ee x c vide 20 dé V2 x4 g cos7 20 edt d as h oo 20 cos20 d6 4 i oo cos dé m cote x dx Ing 3 sen x cosx d 1 d 2x n sen x cosz cosz k t k 5 dx 0 Jie 1 dt 1 sorte x dx 2 Integracao por partes A integragao por partes envolve integrais de produtos de fungdes porém com propriedades distintas das que foram vistas no método da substituicgao simples Segue a deducao do método a partir da regra do produto de diferencias duv udvvdu fetus ude oan s w fudo fod udewe f vdu Exemplo 6 Calcular a integral ven x dx Solugao Faga u x e du sen x dz Entao du dz e v cosz donde udu uv vdu ven xdz xcosx cosdx xcosx conte 2xcosx senx c 5 O leitor mais critico poderia questionar por que a escolha nao foi u sen zx e dv xdx Ora revendo a resolucaéo acima observamos que a escolha feita no exemplo isto 6 u x e dv sen xdz permitiu a troca do calculo de ose xdx por J cosxdx Se ao contrario escolhéssemos u sen x e du xdzx teriamos Uv vdu udu 2 2 ven xdax Zsen x z cosxdx o que implica em uma troca do calculo de x sen xdx por 5 cosxdx Em sintese a sugestao alternativa dificulta 0 calculo enquanto a original facilita O motivo da diferenca entre as situacdes é 0 seguinte a escolha do polindmio como u implica em uma reducao de grau na integral resultante da f6rmula A escolha do polindmio como dv implica em aumento de grau do polinomio da integral O préximo exemplo aprofunda essa analise Exemplo 7 Calcular a integral xe de Solucdo Faca u x e dv edx Entao du 2xdz e v e donde udu uv vdu vce xe 2xe dx Consideramos agora o calculo de 2xedax u2xedvedt du 2dr ev Logo udu Uv vdu 2xedx 2xe 2edx 2xe 2e Voltando ao problema enunciado eeu re 2re 2e 2e re 6 Nem sempre 0 polindmio é a escolha correta para u Veja Exemplo 8 Calcular a integral vlna dx 1 2 Solucao Faca u Inz e dv xdx Entao du dx ev donde x wv udu udu 2 1 x2 2 x x nee Ine de pine f Fae 3 ne 1 Em certas situacoes o du esta implicito Veja o exemplo que segue Exemplo 9 Calcular a integral Ina dx 1 Solugao Faca u Inz e dv dx Entao du dzx e v x donde vdu v udu wv 1 Inadx z naz axdx xlnxz fu axlnxxc x A préxima integral se chama circular O leitor podera verificar facilmente o motivo dessa denominagao Exemplo 10 Calcular a integral esen x dz Solugao Facga u e e dv senxdx Entao du e e v cosx donde udu wv udu esen xdx e cosr e cosxdx e cosa Je cosxda Consideramos agora o calculo de e cosxdx ue e dv cosxdz du edx ec v sen xz Logo udu wu vdu e cosxdx esen x esen xdx 7 Observe que voltamos a integral inicial Fazendo I esen x dx temos duas equacoes 1 I e cosx Je cosxdax 2 Je cosxdx esen x I Substituindo 2 em 1 obtemos I e cosx esen x I Resolvendo a equacao em J chegamos a 1 x x I 5 cosxz sen 2 Exercicio 2 Calcule as integrais a J sen 50 dé g vem dx b te dt b h te dt c xln3a dx i In 2x dx x 7 d Je cos 5 dx d c ma de j sresene x f os dé k srotez dx 8 Exercıcio 2 a 1 5x cos5x 1 25 sen 5x C b 1 16e4x 4x e4x C c 1 2x2 ln3x x2 4 C d 2 1 5ex sen x 2 2 5ex cosx 2 C e ln1 x x1 x 1 x C f sen x sen 3x 3 C g 2 3x 3 2 lnx 4 9x 3 2 C h 1 27e3x 9x3 9x2 6x 2 C i xln32x 3xln22x 2xln2x x C j xarcsen x 1 x2 C k xarctg x 1 2lnx2 1 C 9