Analise Matematica - Construcao dos Numeros Reais e Naturais

Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Ele possibilita diversas formas de interação com o conteúdo a qualquer hora e de qualquer lugar Mas na versão impressa alguns conteúdos interativos são perdidos por isso fique atento Sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Análise Matemática Construção dos números reais Unidade 1 Seção 1 Nesta webaula vamos conhecer os números naturais Vamos aprender a construílos e entender a origem das operações de adição e multiplicação Números naturais A ideia central da construção dos números naturais é a noção de que todo número natural possui um sucessor o equivalente de somar 1 ao número Esse sucessor deve ser único para cada número e números diferentes devem ter sucessores diferentes Assim a partir do primeiro elemento do conjunto o número 1 todos os outros serão obtidos a questão se o zero deve ou não ser incluído nos números naturais não vem ao caso no momento do ponto de vista descrito acima bastaria ao inserilo considerálo como o primeiro elemento do conjunto cujo sucessor será 1 Formalmente essa construção se dá por meio dos axiomas de Peano nome esse que faz referência ao matemático Giussepe Peano 18581932 Vamos conhecer os axiomas Para isso vamos considerar N o conjunto dos números naturais a ser construído e postulamos que N tem as seguintes propriedades LIMA et al 2006 Todo número natural possui um único sucessor e números naturais distintos possuem sucessores distintos Isto é existe uma função injetora s N N tal que para cada n N sn é o sucessor de n Essas três propriedades são as chamadas de axiomas de Peano e são suficientes para a construção dos números naturais e das operações de adição e multiplicação como veremos Do primeiro axioma segue que se m n então sm sn isto é a primeira propriedade faz referência às funções injetoras ou seja não há dois elementos distintos no domínio com a mesma imagem e também fala sobre a sequência de números que possuem sucessores é imprescindível para a boa fixação dos conteúdos que você estudante faça no papel todas as passagens mencionadas aqui e que não foram demonstradas e refaça todas as demonstradas de preferência consultando o texto somente ao final da demonstração O segundo axioma trata especificamente do número 1 que apesar de possuir um sucessor é o único que não é sucessor de nenhum outro O terceiro axioma denominado princípio da indução é a base para a construção das operações de adição e multiplicação assim como a demonstração de diversas propriedades dos números naturais Vamos então a essas operações A adição que associa ao par mn o número mn é definida da seguinte maneira a partir dos axiomas de Peano m 1 sm m sn sm n Ao substituir sn por n 1 e sm n por m n 1 obtemos m n 1 m n 1 Note que utilizamos aqui somente as definições dadas nos axiomas 1 e 2 de modo que a construção não depende de nenhuma outra estrutura que não as já apresentadas Ainda mais as equações acima são válidas para qualquer número natural Já a multiplicação de dois números que associa ao par mn o número m n é obtida a partir das seguintes definições m 1 m m sn m n m onde a operação de multiplicação deve ser feita sempre primeiramente à operação de adição Assim temos rearranjando as equações m n 1 m n m Pelo terceiro axioma de Peano o princípio de indução mostrase que m n p m n p associatividade da adição m n p m n m p distributividade relaciona a adição com a multiplicação m n n m comutatividade da adição m n n m comutatividade da multiplicação Você conheceu as principais características do conjunto dos números naturais Lembrese de que é importante destrinchar todas as passagens do texto que estudamos para seu aprendizado