Análise Matemática - Números Reais, Relação de Ordem, Supremo e Ínfimo

da forma z 1q A Assim obtemos que y não pode ser cota inferior de A o que é uma contradição Logo temos de fato z 1q A Assim obtemos que y não pode ser cota inferior de A o que é uma contradição Logo temos de fato infA 0 Estudamos alguns conceitos referente ao conjunto dos reais Para adquirir mais conhecimento consulte o seu livro didático Para visualizar o vídeo acesse seu material digital Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Ele possibilita diversas formas de interação com o conteúdo a qualquer hora e de qualquer lugar Mas na versão impressa alguns conteúdos interativos são perdidos por isso fique atento Sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Análise Matemática O corpo dos números reais Unidade 1 Seção 3 Nesta última webaula vamos estudar o conjunto dos números reais que é uma extensão do conjunto dos números racionais Além disso vamos estudar a relação de ordem que é a base de todos os demais estudos referentes ao conjunto dos números reais Definição do conjunto dos números reais Definimos o conjunto dos números reais denotado por R como sendo a união dos conjuntos dos números racionais e irracionais R Q I Vamos trabalhar nesta seção as propriedades desse conjunto e a sua representação como uma reta contínua conceito que será utilizado ao longo de todo o restante do curso A relação de ordem nos números reais Queremos que o conjunto dos números reais tenha estrutura de corpo e herde a relação de ordem dos números racionais Isto é dados ab números reais queremos definir uma relação de ordem tal que apenas uma das situações a seguir ocorre ou a b ou a b ou a b Além disso como é de se desejar essa relação de ordem quando restrita aos racionais deve se reduzir à relação já definida na seção anterior Para isso é necessário introduzir os conceitos de supremo e ínfimo de um subconjunto de R assim como de cotas superiores e inferiores de um conjunto Como nossa relação de ordem está definida apenas em Q consideraremos apenas esse conjunto por enquanto Vamos então considerar um conjunto A Q Seguiremos as definições dadas em Lima 2016b p 74 Cota inferior Cota superior Ínfimo Supremo Para finalizar nossos estudos vamos ver um exemplo de como identificar se um elemento de um conjunto pode ser cota inferior ou superior e em seguida se o conjunto é ínfimo ou supremo Considere o conjunto A 1n n N isto é o conjunto dos números racionais da forma 1n onde n é um número natural Temos que A Q e vemos que A é limitado inferiormente e superiormente Afirmamos que supA 1 De fato temos que para todo n N vale 1n 1 Assim 1 é a cota superior de A Vamos então mostrar que 1 é a menor cota superior possível Mas isso segue do fato de que 1 A pois se tivermos algum outro elemento x que é cota superior de A x será maior que todos os elementos do conjunto A Como 1 A segue que x 1 e portanto temos de fato supA 1 Quanto ao ínfimo de A notamos que todo número racional negativo é cota inferior de A visto que este é formado somente por números positivos Pelo mesmo argumento 0 é cota inferior de A Afirmamos que 0 é a maior cota inferior de A isto é que infA 0 De fato tomemos y uma outra cota inferior de A e suponhamos y 0 racional Então y pq com p q N Vamos mostrar que existe um elemento de A que é menor que y e maior que zero Se p 1 temos que y 1q A e portanto tomando q 2 segue que y2 A Como y2 y y não é cota inferior de A Por outro lado se p 1 escrevendo z yp temos que z y e também z é