AV1 Calculo - Series e Sequencias - Prova com Gabarito

5 Conforme descrito por Ávila 2006 p128 As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade A primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão ¼ que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes Depois dessa ocorrência as séries infinitas só voltariam a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde no século XIV Fonte ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3ed São Paulo Blucher 2006 O conceito de série é um dos conceitos essenciais para o estudo por exemplo das funções bem como da resolução de determinadas equações diferenciais Em relação a esse assunto analise o comportamento da série Σn 1 até 2n n em que n representa o fatorial do número natural n A respeito de sua convergência empregando o teste da razão podemos concluir que Alternativas a como lim n an1 an 2 a série é convergente Alternativa assinalada b como lim n an1 an 0 a série é convergente c como lim n an1 an 1 a série é convergente d como lim n an1 an 2 a série é divergente e como lim n an1 an a série é divergente e I II e IV Alternativa assinalada 3 Ao classificar sequências em conjunto com os teoremas convenientes podemos obter diversas informações como por exemplo conclusões a respeito da convergência das sequências Diante dessa temática analise as afirmações a seguir I A sequência xₙ tal que xₙ 2 n1 é decrescente e limitada II A sequência yₙ tal que yₙ 5n² 2 é crescente e ilimitada III A sequência zₙ tal que zₙ n1 2 é decrescente e limitada IV A sequência wₙ tal que wₙ 1ⁿ n wₙ 1ⁿ n é crescente e ilimitada Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I e II b II e IV Alternativa assinalada c III e IV d I II e III e I II e IV AV1 As questões correspondentes são as seguintes Figura 1 questões 1 até 5 do av1 1 Gabarito 1 Letra e 2 Letra b 3 Letra a 4 O conjunto dos naturais é enumerável além disso o conjunto dos inteiros também é enumerá vel Consequentemente segue que o conjunto dos inteiros não nulos isto é Z é enumerável uma vez que Z Z Ademais sabemos que o produto cartesiano de dois conjuntos enu meráveis é enumerável e logo temos então que o conjunto N Z é enumerável Então a afirmativa I é falsa Entretanto II é uma afirmativa verdadeira mas não é justificativa da primeiro O gabarito é o item d 5 Letra b 2 AV2 As questões correspondentes são as seguintes Figura 1 questões 1 até 5 do av2 1 Gabarito 1 Letra e 2 Letra d 3 Letra e 4 Letra c 5 Letra d 2 1 Considere os conjuntos indicados a seguir A x R 1 x 7 B x R x 5 C x R x 5 D x R 0 x 1 Com base nesses conjuntos julgue as afirmações a seguir classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Os conjuntos A B C e D possuem tanto supremos quanto ínfimos associados II Apenas os conjuntos A e D apresentam tanto supremos quanto ínfimos III Apenas os conjuntos A e D admitem ínfimos como elementos dos respectivos conjuntos IV Apenas os conjuntos B e D admitem supremos como elementos dos respectivos conjuntos Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a V V F F Alternativa assinalada b V F V F c V V V V d F F V V e F V F V 2 Considere o estudo dos limites de sequências os quais são essenciais para a compreensão do conceito de convergência Diante desse assunto analise as afirmações apresentadas a seguir I A sequência xn com xn n13n1 é convergente com limite igual a 0 II A sequência yn com yn 1 1n é convergente com limite igual a 1 III A sequência zn com zn 2n3n1 é convergente com limite igual a 13 IV A sequência wn com wn nn1 é divergente Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I e II b II e IV c I e IV d I e III e III e IV 4 Segundo Honorio e Souza 2020 p72 Dentro da Teoria de Conjuntos encontrase a necessidade de estudo sobre a enumerabilidade visto que através de suas definições obtémse uma importante ferramenta para a classificação dos conjuntos infinitos em relação a sua cardinalidade Fonte HONORIO F K SOUZA F P Enumerability of the set of algebraic numbers Colloquium Exactarum v12 n3 JulSet 2020 p7177 Disponível em httpsjournalunoestebrindexphpcearticleview38263181 acesso em 14 fev 2022 A respeito do conceito de enumerabilidade analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas I O conjunto N x Z pode ser classificado como não enumerável PORQUE II O conjunto N x Z corresponde a um produto cartesiano entre conjuntos enumeráveis A respeito dessas asserções assinale a opção correta Alternativas a As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I b As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa da I c A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa d A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira e As asserções I e II são proposições falsas 5 Considere a função real dada por fx x³3 x²2 2x 1 Em relação a essa função analise as seguintes afirmações I A função f admite como pontos críticos os valores x 35 e x 05 II A função f admite como pontos críticos os valores x 2 e x 1 III A função f admite um ponto de mínimo local em x 1 IV A função f admite um ponto de máximo local em x 35 Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I b I e III c I e IV d II e III e II e IV 3 A partir do estudo da classificação de conjuntos conforme os conceitos da topologia complete as lacunas das afirmações a seguir de modo a tornálas descrições corretas a respeito dos intervalos em estudo I A 0 3 é um intervalo de números reais composto somente por pontos II B 1 2 é um intervalo de números reais que ser classificado como um conjunto fechado III C 4 5 é um intervalo de números reais classificado como conjunto IV D 0 2 é um intervalo de números reais que por todos os seus pontos aderentes V E 2 4 é um intervalo de números reais ser classificado como um conjunto discreto Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas Alternativas a I aderentes II não pode III fechado IV não é composto V pode b I de acumulação II pode III compacto IV é composto V pode c I interiores II pode III aberto IV é composto V não pode d I aderentes II pode III limitado IV é composto V pode e I interiores II não pode III compacto IV não é composto V não pode 4 Para a interpretação de funções e suas propriedades um dos conceitos primordiais é o de limite A partir dele podemos compreender o comportamento de funções em pontos de seu domínio inclusive ao redor de pontos que não fazem parte de seu domínio mas que são pontos de acumulação do mesmo Diante dessa temática vamos estudar o limite a seguir com base na definição lim x3 2x 1 5 Para que esse estudo possa ser realizado precisamos analisar ε e δ convenientes de tal forma a validar a definição e sendo assim comprovar o limite em questão Nesse sentido dado ε 0 qualquer qual deve ser a expressão de δ correspondente para a validação do limite apresentado Alternativas a δ ε b δ 2ε c δ ε2 d δ ε² e δ ε 2 2 Considerando a definição de limite e continuidade de funções julgue as afirmações seguintes classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Para o estudo da continuidade de funções em um ponto basta que esse elemento seja um ponto de acumulação não sendo necessário que ele pertença ao domínio da função II Toda função continua em pelo menos um ponto de acumulação de seu domínio será contínua em todos os pontos de seu domínio III Para que uma função f seja contínua em um ponto x de seu domínio é necessário que o limite da função f no ponto x exista e seja igual a fx IV Se uma função é contínua em seu domínio então ela não admite nenhum ponto de descontinuidade em seu domínio Assinale a alternativa que indica a sequência correta Alternativas a V V F V b V F F F c V V F F d F F V V e F M F V 1 O estudo das derivadas de funções pode ser motivado por diferentes contextos como por exemplo a análise das taxas de variações de funções o que pode estar relacionados a modelos matemáticos no estudo de problemas reais No entanto para o estudo dessas derivadas é essencial o conhecimento das regras de derivação e a identificações das funções nas quais cada uma delas podem ser aplicadas Diante desses conhecimentos associe as funções presentes na coluna A com as regras de derivação correspondentes presentes na coluna B considerando o principal procedimento empregado na determinação da derivada de cada função dada Coluna A Coluna B fx x 2 I Regra do produto gx xx2 1 II Regra do quociente hx x2 ex III Regra da cadeia jx ex 2x 1 IV Regra da soma Assinale a alternativa que indica as associações corretas Alternativas a f I g II h IV j III b f I g IV h I j II c f III g I h II j IV d f IV g I h III j II e f IV g III h I j II