Funcao de duas variaveis reais-dominio curvas de nivel e superficie

Seja a f uma função de duas variáveis reais definida por fxy2x2y2 Apresentando os passos de solução 15 a Determine e represente graficamente o domínio de f Você pode usar o GeoGebra ou fazer um esboço à mão livre Anexe à solução a representação gráfica obtida 15 b Determine e esboce duas curvas de nível a sua escolha para a função f Você pode usar o GeoGebra ou fazer um esboço à mão livre Anexe à solução o esboço obtido 10 c Utilize o GeoGebra ou outro aplicativo a sua escolha e esboce a superfície representada pela função f Anexe à solução a representação gráfica obtida 20 d Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular de vértices A26 B06 C02 sabendo que a função densidade é dada por f ou seja ρxy2x2y2 a Determinando o domínio de f x y 2 x 2y 2 A função acima é polinomial ou seja todos os valores em x dentro do domínio dos números reais R podem ser usados para se determinar f x y O mesmo acontece para os valores de y domínio de f x y R 2 O quadrado em R significa que é válido tanto pra x quanto para y Para obter a representação gráfica no GeoGebra foram realizados os seguintes passos Abrir o site httpswwwgeogebraorg3dlangpt Digitar xy0 e confirmar com um enter Um plano cinza já é mostrado Esse plano cinza representa xy0 que é o mesmo que dizer que domínio de f x y R 2 Um print com tela cheia foi realizado b Podese escolher duas curvas de nível à vontade Sejam elas f x y 0 f x y 5 Substituindo na função dada f x y 5 52x 2y 2 Isolando y y 22 x 25 y2 x 25 Substituindo na função dada f x y 0 02x 2 y 2 Isolando y y 22 x 2 yx 2 Para representar graficamente essas curvas de nível no Geogebra Acessar o site httpswwwgeogebraorggraphinglangpt Digitar na barra de comando y 22 x 25 e depois apertar enter Digitar na segunda barra de comando y 22 x ² e depois apertar enter Fazer o print da tela c Aqui prefiro usar o Wolfram Alpha que produz gráficos 3D mais fáceis de serem visualizados Acesse o site httpswwwwolframalphacom Digite na barra de comando plot z2x 2y ² Copie a imagem e cole aqui d Para facilitar a resolução vou utilizar o Wolfram Alpha para verificar o domínio pedido que é o triângulo com vértices em A26 B06 e C02 No Wolfram Alpha digite polygon26 0602 e essa imagem será gerada Com base nessa imagem podemos dizer que no eixo x os limites de integração são 2 e 0 e no eixo y os limites de integração são y2x2 que é a reta que liga 26 e 02 e y6 Como essa reta y2x2 foi obtida Toda reta pode ser escrita na forma yaxb onde acoeficiente angular y x bo ponto ondearetaintercepta oeixox Então para os pontos 26 e 02 a y x 26 024 2 2 Substituindo em yaxb y2xb o coeficiente b podemos encontrar usando um dos pontos dados usando o mais fácil 02 220b 2b Logo a reta procurada é y2x2 A massa pode ser determinada utilizandose uma integral dupla do seguinte modo D ρ x y dxdy No caso D é o domínio de integração e já determinamos que é o triângulo com os limites de integração mencionados acima ρx y é a função que representa superficial de massa que foi dado no enunciado como ρ x y 2x 2y ² Logo podemos escrever a integral dupla como 2 0 2 x2 6 2 x 2y 2dydx Dica quando os limites de integração estão em forma de função deixe a integral correspondente como a mais interior possível Nesse caso a função depende de y e precisamos deixar dydx em vez de dxdy para deixar o eixo y o mais interior possível Fazendo a integral interna 2x2 6 2x 2y 2dy Desmembrando em duas integrais 2 x2 6 2x 2dy 2x2 6 y 2dy 2 x 2 y 2x2 6 1 3 y 32x2 6 2 x 2 62 x2 1 3 6 32 x2 3 2 x 2 2 x4 1 3 6 38 x 324 x 224 x8 4 x 38 x 21 3 8x 324 x 224 x208 4 x 38 x 2 8x 3 3 8 x 28 x 208 3 1 3 4 x 348 x 224 x208 Fazendo a integral restante 2 0 1 3 4 x 348 x 224 x208 dx1 3 2 0 4 x 3dx 2 0 48 x 2dx 2 0 24 xdx 2 0 208dx 1 3 4 4 x 4 2 0 48 3 x 32 0 24 2 x 22 0 208 x 2 0 1 3 M256 3 Obs não existe massa negativa mas seu professor não se atentou a isso A coordenada x do centro de massa é dada pela expressão xc 1 M D xρ x y dxdy Onde M já calculamos mais acima No nosso caso podemos escrever xc 1 256 3 2 0 2 x2 6 x2 x 2y 2dydx Calculando a integral interna 2x2 6 x 2 x 2y 2dy x 22 x 6 y 22x 2dy x 22x 6 y 2dy 22x 6 2 x 2dy x y 3 3 22x 6 2x 2 y22 x x72 22 x 3 3 8 x 24 x 3 x72 22 x 3 3 8 x 24 x 3 Calculando a integral mais externa 3 256 2 0 x72 22 x 3 3 8 x 24 x 3dx 3 256 2 0 x72 44 x 2 22x 3 3 8x 24 x 3dx 3 256 928 15 xc29 40 A coordenada x do centro de massa é dada pela expressão yc 1 M D y ρ x y dxdy 1 256 3 2 0 2 x2 6 y 2x 2 y 2dydx Calculando a primeira integral 2x2 6 y2 x 2y 2dy 22x 6 y 3dy 22 x 6 2x 2 ydy y 4 4 22x 6 2x 2 y 2 2 22x 6 324 22 x 4 4 32 x 28 x 34 x 4 324 22 x 4 4 32x 28 x 34 x 4 Logo a segunda integral é 3 256 2 0 324 22 x 4 4 32 x 28 x 34 x 4dx 3 256 1280 3 yc5 Resumindo M256 3 xc29 40 yc5 a O primeiro passo é encontrar as derivadas parciais e igualálas a zero x 16x 2 y 2 x 16 x x 2 x y 202x02 x0 x0 y 16x 2y 2 y 16 y x 2 y y 2002 y2 y0 y0 então existe apenas um ponto crítico que é igual a xy00 precisamos determinar se esse ponto crítico é um extremo ou um ponto de sela Então precisamos fazer o teste da derivada segunda 2 x 2 16x 2y 2 ² x ² x 2 x 2 x 2 2 y 2 16x 2 y 2 y y 2 y 2 y2 2 x y 16x 2y 2 y 2 x 0 E H 2f x 2 2f y 2 2f x y 2 2 20 24 Como H 0 e 2f x 20 temos que o ponto crítico é um extremo local e se trata de um máximo local b Se escolhermos as coordenadas cilíndricas xr cosθ yrsinθ zz x 2 y 2r 2 dxdydzrdrdθdz Então z16x 2y 216x 2 y 216r 2 E os limites de integração são no eixo z z3 x 23 y 23 x 2 y 23r 2 z16x 2y 216x 2 y 216r ² Igualando os limites de integração 3r 216r 2 4 r 216 r 24 r2 Não há menção ao eixo θ então está livre para integrar em todo o círculo entre 0 e 2π Logo Para calcular o volume podemos usar uma integral tripla V 0 2π 0 2 3r 2 16r 2 rdzdrdθ Lembrando que os limites do eixo z estão na forma de função e precisa ficar no mais interior possível Então calculando a integral mais interna 3r 2 16r 2 rdzrz 3r 2 16r 2 16r4 r 3 Então 0 2π 0 2 16r4r 3drdθ Calculando a integral mais interna 0 2 16r4 r 3dr 0 2 16rdr 0 2 4r 3dr321616 Então 0 2π 16dθ16θ 0 2π32 Logo o volume é 32π unidades de volume Resolva os itens a seguir apresentando o passo a passo da solução a Determine e classifique os extremos de z16x2y2 se houver b Escolha o sistema de coordenadas mais apropriado e calcule o volume da região D limitada inferiormente pela superfície z3x23y2 e superiormente por z16x2y2 a Determinando o domínio de 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥2 𝑦2 A função acima é polinomial ou seja todos os valores em x dentro do domínio dos números reais ℝ podem ser usados para se determinar 𝑓𝑥 𝑦 O mesmo acontece para os valores de y 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑥 𝑦 ℝ2 O quadrado em ℝ significa que é válido tanto pra x quanto para y Para obter a representação gráfica no GeoGebra foram realizados os seguintes passos Abrir o site httpswwwgeogebraorg3dlangpt Digitar 𝑥𝑦 0 e confirmar com um enter Um plano cinza já é mostrado Esse plano cinza representa 𝑥𝑦 0 que é o mesmo que dizer que 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑥 𝑦 ℝ2 Um print com tela cheia foi realizado b Podese escolher duas curvas de nível à vontade Sejam elas 𝑓𝑥 𝑦 0 𝑓𝑥 𝑦 5 Substituindo na função dada 𝑓𝑥 𝑦 5 5 2𝑥2 𝑦2 Isolando y 𝑦2 2𝑥2 5 𝑦 2𝑥2 5 Substituindo na função dada 𝑓𝑥 𝑦 0 0 2𝑥2 𝑦2 Isolando y 𝑦2 2𝑥2 𝑦 𝑥2 Para representar graficamente essas curvas de nível no Geogebra Acessar o site httpswwwgeogebraorggraphinglangpt Digitar na barra de comando 𝑦2 2𝑥2 5 e depois apertar enter Digitar na segunda barra de comando 𝑦2 2𝑥² e depois apertar enter Fazer o print da tela c Aqui prefiro usar o Wolfram Alpha que produz gráficos 3D mais fáceis de serem visualizados Acesse o site httpswwwwolframalphacom Digite na barra de comando 𝑝𝑙𝑜𝑡 𝑧 2𝑥2 𝑦² Copie a imagem e cole aqui d Para facilitar a resolução vou utilizar o Wolfram Alpha para verificar o domínio pedido que é o triângulo com vértices em A26 B06 e C02 No Wolfram Alpha digite 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑔𝑜𝑛 26 06 02 e essa imagem será gerada Com base nessa imagem podemos dizer que no eixo x os limites de integração são 2 e 0 e no eixo y os limites de integração são 𝑦 2𝑥 2 que é a reta que liga 26 e 02 e 𝑦 6 Como essa reta 𝑦 2𝑥 2 foi obtida Toda reta pode ser escrita na forma 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 onde 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦 𝑥 𝑏 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 Então para os pontos 26 e 02 𝑎 𝑦 𝑥 2 6 0 2 4 2 2 Substituindo em 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 2𝑥 𝑏 o coeficiente b podemos encontrar usando um dos pontos dados usando o mais fácil 02 2 2 0 𝑏 2 𝑏 Logo a reta procurada é 𝑦 2𝑥 2 A massa pode ser determinada utilizandose uma integral dupla do seguinte modo 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 No caso D é o domínio de integração e já determinamos que é o triângulo com os limites de integração mencionados acima 𝜌𝑥 𝑦 é a função que representa superficial de massa que foi dado no enunciado como 𝜌𝑥 𝑦 2𝑥2 𝑦² Logo podemos escrever a integral dupla como 2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 6 2𝑥2 0 2 Dica quando os limites de integração estão em forma de função deixe a integral correspondente como a mais interior possível Nesse caso a função depende de y e precisamos deixar 𝑑𝑦𝑑𝑥 em vez de 𝑑𝑥𝑑𝑦 para deixar o eixo y o mais interior possível Fazendo a integral interna 2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 6 2𝑥2 Desmembrando em duas integrais 2𝑥2𝑑𝑦 6 2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 6 2𝑥2 2𝑥2𝑦2𝑥2 6 1 3 𝑦32𝑥2 6 2𝑥26 2𝑥 2 1 3 63 2𝑥 23 2𝑥22𝑥 4 1 3 63 8𝑥3 24𝑥2 24𝑥 8 4𝑥3 8𝑥2 1 3 8𝑥3 24𝑥2 24𝑥 208 4𝑥3 8𝑥2 8𝑥3 3 8𝑥2 8𝑥 208 3 1 3 4𝑥3 48𝑥2 24𝑥 208 Fazendo a integral restante 1 3 4𝑥3 48𝑥2 24𝑥 208𝑑𝑥 0 2 1 3 4𝑥3𝑑𝑥 0 2 48𝑥2𝑑𝑥 0 2 24𝑥𝑑𝑥 0 2 208𝑑𝑥 0 2 1 3 4 4 𝑥42 0 48 3 𝑥32 0 24 2 𝑥22 0 208𝑥2 0 1 3 24 48 3 23 1222 2082 𝑀 256 3 Obs não existe massa negativa mas seu professor não se atentou a isso A coordenada x do centro de massa é dada pela expressão 𝑥𝑐 1 𝑀 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Onde M já calculamos mais acima No nosso caso podemos escrever 𝑥𝑐 1 2563 𝑥2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 6 2𝑥2 0 2 Calculando a integral interna 𝑥2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 6 2𝑥2 𝑥 𝑦2 6 22𝑥 2𝑥2𝑑𝑦 𝑥 𝑦2 6 22𝑥 𝑑𝑦 2𝑥2 6 22𝑥 𝑑𝑦 𝑥 𝑦3 3 22𝑥 6 2𝑥2𝑦22𝑥 𝑥 72 2 2𝑥3 3 8𝑥2 4𝑥3 𝑥 72 2 2𝑥3 3 8𝑥2 4𝑥3 Calculando a integral mais externa 3 256 𝑥 72 2 2𝑥3 3 8𝑥2 4𝑥3𝑑𝑥 0 2 3 256 𝑥 72 4 4𝑥2 2 2𝑥 3 3 8𝑥2 4𝑥3 𝑑𝑥 0 2 3 256 928 15 𝑥𝑐 29 40 A coordenada x do centro de massa é dada pela expressão y𝑐 1 𝑀 y𝜌𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 1 256 3 𝑦2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 6 2𝑥2 0 2 Calculando a primeira integral 𝑦2𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 6 2𝑥2 𝑦3 6 22𝑥 𝑑𝑦 2𝑥2 6 22𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑦4 4 22𝑥 6 2𝑥2 𝑦2 2 22𝑥 6 324 2 2𝑥4 4 32𝑥2 8𝑥3 4𝑥4 324 2 2𝑥4 4 32𝑥2 8𝑥3 4𝑥4 Logo a segunda integral é 3 256 324 0 2 2 2𝑥4 4 32𝑥2 8𝑥3 4𝑥4𝑑𝑥 3 256 1280 3 𝑦𝑐 5 Resumindo 𝑀 256 3 𝑥𝑐 29 40 𝑦𝑐 5 a O primeiro passo é encontrar as derivadas parciais e igualálas a zero 𝑥 16 𝑥2 𝑦2 𝑥 16 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑦2 0 2𝑥 0 2𝑥 0 𝑥 0 y 16 𝑥2 𝑦2 y 16 y 𝑥2 y 𝑦2 0 0 2y 2y 0 y 0 então existe apenas um ponto crítico que é igual a xy00 precisamos determinar se esse ponto crítico é um extremo ou um ponto de sela Então precisamos fazer o teste da derivada segunda 2 x2 16 𝑥2 𝑦2 ² x² x2 𝑥 2𝑥 2 2 y2 16 𝑥2 𝑦2 y y2 𝑦 2𝑦 2 2 𝑥𝑦 16 𝑥2 𝑦2 𝑦 2𝑥 0 E 𝐻 2𝑓 𝑥2 2𝑓 𝑦2 2𝑓 𝑥𝑦 2 22 02 4 Como H 0 e 2f x2 0 temos que o ponto crítico é um extremo local e se trata de um máximo local b Se escolhermos as coordenadas cilíndricas x 𝑟 cos𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑧 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 Então 𝑧 16 𝑥2 𝑦2 16 𝑥2 𝑦2 16 𝑟2 E os limites de integração são no eixo z 𝑧 3𝑥2 3𝑦2 3𝑥2 𝑦2 3𝑟2 𝑧 16 𝑥2 𝑦2 16 𝑥2 𝑦2 16 𝑟² Igualando os limites de integração 3𝑟2 16 𝑟2 4𝑟2 16 𝑟2 4 𝑟 2 Não há menção ao eixo 𝜃 então está livre para integrar em todo o círculo entre 0 e 2𝜋 Logo Para calcular o volume podemos usar uma integral tripla 𝑉 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 16𝑟2 3𝑟2 2 0 2𝜋 0 Lembrando que os limites do eixo z estão na forma de função e precisa ficar no mais interior possível Então calculando a integral mais interna 𝑟𝑑𝑧 16𝑟2 3𝑟2 𝑟𝑧3𝑟2 16𝑟2 16𝑟 4𝑟3 Então 16𝑟 4𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃 2 0 2𝜋 0 Calculando a integral mais interna 16𝑟 2 0 4𝑟3𝑑𝑟 16𝑟𝑑𝑟 2 0 4𝑟3 2 0 𝑑𝑟 32 16 16 Então 16𝑑𝜃 2𝜋 0 16𝜃0 2𝜋 32 Logo o volume é 32𝜋 unidades de volume