Equivalências de Taxas de Juros Compostos e Análise de Inflação

Prof Claudio Ditticio Material Complementar Matemática Financeira Equivalências de taxas juros compostos 1 1 equivalente conhecido n n equivalente conhecida i i i taxadejuros n prazo taxa de juros 13 Qual é a taxa equivalente no regime de juros compostos a Equivalências de taxas juros compostos Taxa nominal Taxa equivalente 05 ao mês Trimestre 4 ao bimestre Dia 45 ao trimestre Ano 5 ao quadrimestre Bimestre 05 ao mês 10053 1 01576trimestre 4 ao bimestre 1 004 1 00653dia 45 ao trimestre 100454 1 1925ano 5 ao quadrimestre 1 005 1 2470bimestre Equivalências de taxas juros compostos 1 60 1 2 Taxas acumuladas e médias juros compostos 1 2 1 1 1 1 acumulada n I i i i 1 2 1 1 1 1 n média n I i i i 14 Um determinado país apresentou a seguinte variação inflação ou deflação anual em determinado período Calcule e informe a taxa acumulada e a média da variação dos preços nesse período informando também se houve inflação ou deflação Taxas acumuladas e médias juros compostos Período Taxa de inflação positiva ou deflação negativa em Agosto 1 Setembro 0 Outubro 03 Taxas acumuladas e médias juros compostos Cálculo da taxa acumulada no período Iacumulada 1 0011 001 0003 1 Iacumulada 10110997 1 Iacumulada 1007 1 0007 07 Cálculo da taxa média no período Imédia 3 1007 1 1002327 1 00023 02379 Como a taxa calculada foi positiva concluise pela ocorrência de inflação no período Taxas reais juros compostos 15 Com base na taxa de inflação obtida na questão imediatamente anterior 07 no período informe a taxa real de uma operação financeira contratada a 10 por todo esse mesmo período por meio do regime de juros compostos a 3 b 028 c 25 d 35 e 92 Taxas reais juros compostos Taxas reais juros compostos Mais de um pagamento periódico ou não durante o fluxo de uma operação financeira Podem variar em função de Tempo temporária número finito de pagamentos ou infinita número indeterminado de pagamentos Periodicidade periódicas quando ocorrem em intervalos de tempo iguais ou não periódicas Séries de pagamentos ou recebimentos Valor dos pagamentos fixosuniformes quando os pagamentos são iguais ou variáveis Vencimento do primeiro pagamento imediata quando ocorre exatamente no primeiro período da série e diferida Momento dos pagamentos antecipada quando o pagamento é feito no momento 0zero ou postecipadavencida quando os pagamentos ocorrem no final de cada período Séries de pagamentos ou recebimentos São aquelas em que os pagamentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais Antecipadas Primeiro pagamento ocorre no início de cada período Postecipadas vencidas Primeiro pagamento ocorre no final de cada período Diferidas Primeiro pagamento ocorre após um certo período denominado carência Podemos assim representar graficamente as séries uniformes de pagamentos Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos Uso das teclas financeiras da Calculadora HP12c PV capital no instante inicial zero de uma série de pagamentos FV montante no instante da última prestação valor futuro de uma série de pagamentos i taxa de juros na forma n números de períodos da série de pagamentos PMT valor de cada prestação ou pagamento BEG indicação no visor de séries antecipadas END indicação no visor de séries postecipadas Tempo Taxa Capital ou Valor do presente Montante ou Valor futuro Inverte o sinal Fonte o autor Cálculos algébricos envolvendo VP e PMT Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo Antecipada Postecipada Diferida VP VF Antecipados Vencidos Alternativas de cálculos algébricos envolvendo VP VF e PMT Permitem calcular valores futuros e presentes de um único pagamento ou de uma série de pagamentos uniformes além dos valores das parcelas fixas de um financiamento Por exemplo a partir da taxa i e número de parcelas n o fator de valor presente de uma série uniforme de pagamentosrecebimentos multiplicado pelo valor da parcela fixa resulta no valor presente à vista de todos os valores periódicos Uso de tábuas financeiras VP PMT Fator Uso de tábuas financeiras Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME Valor Presente de uma Série Uniforme multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas as parcelas da série de pagamento ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 09901 09804 09709 09615 09524 09434 09346 09259 09174 09091 09009 08929 08850 08772 08696 2 19704 19416 19135 18851 18594 18334 18080 17833 17591 17355 17125 16901 16681 16167 16257 3 29410 28839 28286 27751 27232 26730 26243 25771 25313 24869 24437 24018 23612 23216 22832 4 39020 38077 37171 36299 35460 34651 33872 33121 32397 31699 31024 30373 29745 29137 28550 5 48534 47135 45797 44518 43295 41002 41002 39927 38897 37908 36959 36048 35172 34331 33522 6 57955 56014 54172 52421 50757 47665 47665 46229 44859 43553 42305 41114 39975 38887 37845 Uso de tábuas financeiras Cont Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME Valor Presente de uma Série Uniforme multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas as parcelas da série de pagamento ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 67282 64720 62303 60021 57864 53893 53893 52064 50330 48684 47122 45638 44226 42883 41604 8 76517 73255 70197 67327 64632 59713 59713 57466 55348 53349 51461 49676 47988 46389 44873 9 85660 81622 77861 74353 71078 65152 65152 62469 59952 57590 55370 53282 51317 49464 47716 10 94713 89826 85302 81109 77217 70236 70236 67101 64177 61446 58892 56502 54262 52161 50188 11 103676 97868 92526 87605 83064 71390 74987 71390 68052 64951 62065 59377 56869 54527 52337 12 112551 105753 99540 93851 88633 75361 79427 75361 71607 68137 64924 61944 59176 56603 54206 16 Calcular o valor de um financiamento pagamento à vista a ser quitado em seis pagamentos mensais de 150000 vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos sendo de 35 am a taxa de juros negociada na operação VP PMT 150000 Postecipada ou vencida i 0035 am n 6 meses Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados INTERVALO 17 Uma mercadoria encontrase em promoção e é comercializada em 5 prestações mensais de 15000 A loja está oferecendo uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento Determine o valor à vista dessa mercadoria sabendose que a taxa de juros praticada é de 3 am PMT 15000 Carência 5 meses i 003 am VP valor à vista Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos diferidas Série foi tratada como postecipada Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos diferidas Na calculadora HP12c teríamos f REG 150 CHS PMT g END Postergando o início da série de pagamentos postecipados Na calculadora HP12c teríamos 5 n 3 i PV Resultado 68696 Postergando o início da série de pagamentos postecipados CHS FV 0 PMT 4 n PV Resultado 61035 Exemplo 2 antecipando o início da série de pagamentos antecipados Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base Sistema Americano SAA Sistema de Amortização Constante SAC Sistema de Amortização Francês Price Os sistemas diferem quanto aos componentes das respectivas séries e composição dos períodos de pagamentos ou recebimentos Amortizações Nessa hipótese a amortização só ocorre no último período da operação Os juros são calculados com base no saldo devedor do início de cada período SAA Sistema de Amortização Americano 18 Um investidor obteve um empréstimo de R 10000000 para o pagamento em 4 parcelas mensais que correspondem às amortizações do principal e dos pagamentos dos juros A operação foi feita a uma taxa de 2 ao mês SAA Sistema de Amortização Americano Valor da amortização 10000000 apenas no último período Valores do período 1 Amortização 000 Saldo devedor no final do período anterior 10000000 Valor dos juros 10000000 x 002 200000 Valor da primeira prestação 200000 Saldo devedor no final do período 10000000 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada período SAA Sistema de Amortização Americano Sistema de Amortização Americano SAA MAPA FINANCEIRO SISTEMA SAA Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor Inicial 10000000 1 200000 000 200000 10000000 2 200000 000 200000 10000000 3 200000 000 200000 10000000 4 200000 10000000 10200000 000 Totais 800000 10000000 10800000 19 Um investidor obteve um empréstimo de R 10000000 para o pagamento em 4 parcelas mensais que correspondem às amortizações do principal iguais em todas as parcelas e aos pagamentos dos juros A operação foi feita a uma taxa de 2 ao mês SAC Sistema de Amortização Constante Repetese em cada período o valor da amortização dividido pelo número de períodos Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período Valores do período 1 Amortização 2500000 Saldo devedor no final do período anterior 10000000 Valor dos juros 10000000 x 002 200000 Valor da primeira prestação 200000 2500000 2700000 Saldo devedor no final do período 7500000 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada período SAC Sistema de Amortização Constante SAC Sistema de Amortização Constante Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor Inicial 10000000 1 200000 2500000 2700000 7500000 2 150000 2500000 2650000 5000000 3 100000 2500000 2600000 2500000 4 50000 2500000 2550000 000 Totais 500000 10000000 10500000 20 Um investidor obteve um empréstimo de R 10000000 para o pagamento em 4 parcelas mensais iguais que correspondem às amortizações do principal e pagamentos dos juros A operação foi feita a uma taxa de 10 ao mês Price Sistema de Amortização Francês Repetese em cada período o valor da prestação Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período Valores do período 1 Amortização conforme se trata de série antecipada ou postecipada Saldo devedor no final do período anterior 10000000 Valor dos juros 10000000 x 010 1000000 Valor da primeira prestação 3154574 Saldo devedor no final do período 7845446 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada período Price Sistema de Amortização Francês Sistema de Amortização Francês Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor Inicial 10000000 1 1000000 2154574 3154574 7845426 2 784542 2370032 3154574 5475394 3 547539 2607035 3154574 2868359 4 286835 2868359 3155194 000 Totais 2618916 10000000 12618916 MOITA Flávio Análise de Investimentos As cinco técnicas mais utilizadas para avaliar investimentos São Paulo Amazon Kindle 2010 ebook PUCCINI Abelardo de Lima Matemática Financeira Objetiva e Aplicada São Paulo Saraiva 2009 ZENTGRAF Walter Matemática Financeira com emprego de funções e planilhasmodelo do Excel Rio de Janeiro Campus 2007 Referências ATÉ A PRÓXIMA Prof Claudio Ditticio Material Complementar Matemática Financeira O valor do dinheiro no tempo e a existência de juros são elementos interligados e indispensáveis no estudo da Matemática Financeira 10000 hoje valem mais do que 10000 no futuro Exercícios Matemática Financeira Saber resolver problemas de matemática como por exemplo com juros compostos é determinante para nossa vida acadêmica pessoal e profissional Como argumenta MOITA 2010 Os juros compostos são estudados em disciplinas de matemática financeira em cursos de graduação e pósgraduação como também no ensino fundamental Esse conteúdo também é cobrado em concursos seleções testes profissionais e vestibulares Por que é importante o conhecimento de Matemática Financeira Conceitos fundamentais de Matemática Financeira Operações com mercadorias Juros e descontos simples Equivalências de taxas em juros simples Juros compostos Equivalências de taxas em juros compostos Séries de pagamentos ou recebimentos Amortizações de empréstimos Soluções com o emprego de método algébrico e com uso de calculadoras e softwares financeiros Exercícios Matemática Financeira Tópicos a serem revistos Quando um problema é apresentado ele deve ser interpretado para que seus dados sejam extraídos e trabalhados de forma correta É sabido que aqui repousa a grande dificuldade para a solução de problemas de Matemática Financeira Método de resolução de exercícios Coleta de dados separação dos elementos centrais do problema Terminologia relacionada com as nomenclaturas específicas da Matemática Financeira Cálculo cuja importância é complementar de vez que se o problema estiver devidamente interpretado o resultado encontrado concluirá o processo fórmulas algébricas tábuas financeiras calculadora como a HP12c Softwares como o Excel Método de resolução de exercícios Uso da Calculadora HP12c Fonte httpswwweducalcnet324080page Estudo e operações de Matemática Financeira Característica básica lógica RPN ao invés da algébrica RPN operadores matemáticos digitados após os números não é usado 2 3 5 visor 5 E sim 2 enter 3 visor 5 Podem ser digitados dois números seguidos até três com ENTER após cada um e a seguir retrocedendo os sinais das operações algébricas pretendidas com os números Uso da Calculadora HP12c Muitas teclas da HP12c executam mais de uma função Teclas de prefixosfunções f laranja g azul Cfo valor de caixa no instante 0 5 g Cfo Cfj valor de caixa que ocorre a cada período 0 g Cfj 0 quando não há qualquer valor de entrada ou saída Usadas para fluxos de caixa de financiamentos e empréstimos Uso da Calculadora HP12c PV capital no instante inicial zero de uma série de pagamentos FV montante no instante da última prestação valor futuro de uma série de pagamentos i taxa de juros na forma n números de períodos da série de pagamentos PMT valor de cada prestação ou pagamento BEG indicação no visor de séries antecipadas END indicação no visor de séries postecipadas Funções das teclas financeiras da HP12c Tempo Taxa Montante ou valor futuro Capital ou valor do presente Inverte o sinal Fonte o autor 1 Desenhe o diagrama de caixa de uma aplicação inicial de R 1000000 que rende R 200000 em cada um dos três próximos meses e permite um resgate no final do período de R 400000 Fluxos negativos saídas de caixa 1000000 momento 0 Fluxos positivos entradas de caixa 200000 em cada um dos meses 1 2 e 3 e 400000 no final do período Diagrama de fluxo de caixa Diagrama de fluxo de caixa 200000 200000 1000000 400000 200000 0 1 2 3 MESES 2 Calcule os valores decimais relativos aos percentuais a 05 ao dia b 15 ao quadrimestre c 001 ao dia d 160 ao ano Percentagem é um número dividido por 100 Porcentagens 3 Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R 50000 admitindo que o comerciante deseja obter um lucro de 20 sobre o preçocusto de aquisição PV PC L PC 50000 L 020PC PV 50000 02050000 PV 60000 PV Preço de venda PC preço de compra LP LucroPrejuízo Porcentagens 4 Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R 50000 admitindo que o vendedor deseja obter um lucro de 20 sobre o preço de venda PV PC L PV 50000 020PV PC 50000 PV 020PV 50000 L 020PV PV 5000008 PV 62500 PV Preço de venda PC preço de compra LP LucroPrejuízo Operações com mercadorias Tanto a taxa quanto o prazo DEVEM ESTAR EXPRESSOS NA MESMA BASE de tempo M C1 in J Cin M C J M montantevalor futuro C capitalvalor presenteprincipal i taxa de juros J valor dos juros Juros Simples 5 João Falastrão efetuou uma aplicação no banco no qual mantém sua conta corrente remunerada a juros simples desejando dobrar o capital que possui atualmente O banco informoulhe que a taxa da operação é de 10 ao bimestre Em quanto tempo João conseguirá dobrar o atual capital M C 1in C C pode ser qualquer valor i 10 ao bimestre n Juros Simples 6 Qual é taxa devida por um empréstimo que libera ao tomador R 1000000 para ser resgatado por R 1300000 em um período de 5 meses no regime de juros simples Juros Simples INTERVALO 7 Um empresário tem uma conta de cheque especial em um banco que permite saques a descoberto e que cobra 15 ao mês sobre o saldo devedor a juros simples pelos dias que a conta ficar descoberta Calcule o montante dos juros cobrados no mês de abril assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques PUCCINI 2009 p 29 Juros Simples Data Valor do cheque R 1º de abril 200000 11 de abril 100000 22 de abril 200000 Convertendo a taxa em diária Juros de 1º a 10 de abril Juros de 11 a 20 de abril Juros de 21 a 30 de abril Total dos juros 1000 1500 2000 4500 Juros Simples Alternativamente Cálculo do saldo médio devedor Juros de Abril Juros Simples Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base DRS desconto racional simples DBS desconto bancário ou comercial simples VN valor de facenominal VL valor líquido após a operação de descontos Descontos simples 8 Uma duplicata no valor de 2500000 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento à taxa de 25 ao mês Sabendose que o banco cobra também 1 sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e que a alíquota do IOF Imposto sobre Operações Financeiras devida pela operação é 00041 ao dia sobre o líquido descontado após os valores do desconto e das despesas administrativas calcule o montante final recebido pelo portador do título O cliente tem como outra opção a tomada de um empréstimo com a taxa líquida final de 28 ao mês Qual é a melhor opção para o tomador do empréstimo Descontos simples VN 2500000 Prazo 2 meses Taxa 25 am Taxa de administração 1 s VN Alíquota do IOF 00041 ao dia calculado sobre a respectiva base de cálculo do imposto valor líquido descontado já deduzido também da taxa de administração i VL final Diof Desconto bancário comercial ou por fora Considerandose o valor líquido final recebido pelo tomador do empréstimo PV 2344219 e que FV ou N 2500000 a taxa global mensal líquida da operação de descontos será Portanto a operação alternativa melhor para o tomador é a operação de empréstimo com a taxa de 28 ao mês Desconto bancário comercial ou por fora 9 Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir para serem descontadas em banco à taxa de desconto bancário de 3 ao mês Qual é o valor líquido recebido pela empresa considerando que o banco trabalhará com conjuntototal do borderô e não título a título Operações com um conjunto de títulos descontados Duplicata R Prazovencimento dias A 250000 25 B 350000 57 C 650000 72 Precisamos inicialmente obter o prazo médio desse conjunto de títulos que será utilizado no cálculo do desconto do valor total do borderô Esse prazo será obtido com base na média aritmética dos títulos ponderados pelo seus respectivos valores Operações com um conjunto de títulos descontados VL 1250000 73000 1177000 Operações com um conjunto de títulos descontados 10 Qual é a taxa equivalente no regime de juros simples a Taxas equivalentes Juros e descontos simples Taxa nominal Taxa equivalente 05 ao mês Trimestre 4 ao bimestre Dia 45 ao trimestre Ano 5 ao quadrimestre bimestre 05 ao mês itrim 053 15trim 4 ao bimestre idia 460 067dia 45 ao trimestre iano 454 18ano 5 ao quadrimestre ibim 25bim Taxas equivalentes Juros e descontos simples 5 2 Cálculo de juros Equivalência de taxas Taxas acumuladas Taxas médias Taxas reais Juros compostos Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo M montantevalor futuro C capitalvalor presenteprincipal i taxa de juros J valor dos juros Juros compostos O fluxo pode ser mostrado tanto sob a ótica do tomador como de quem concedeu o empréstimo Ou então tanto sob a ótica de quem fez a aplicação quanto de quem vendeu o título financeiro Fluxo de Caixa visão do tomador 1000 a Fluxo de caixa visão do tomador de empréstimo 1100 b 1 2 3 4 5 c 11 Qual é o montante de uma aplicação de 1350000 à taxa de 25 aa para 92 dias pelo regime de juros compostos M C 13500 i 25 aa n 92 dias Usualmente trabalhamos com mês 30 dias e ano comercial 360 dias Juros compostos Na calculadora HP12c executaríamos os procedimentos f FIN 13500 ENTER 125 ENTER 92 ENTER 360 x Resultado 1429222 Juros compostos Fonte httpswwweducalcnet324080page 12 Uma aplicação de R 2200000 efetuada em determinado momento produz à taxa composta de juros de 24 ao mês um montante de R 2659640 em uma certa data futura Calcular o prazo da operação Nos cálculos trabalhe com 2 casas decimais arredondando a segunda posição após a vírgula Considere que o log de 121 é 008 e o de 102 é 0009 Arredonde o número inteiro correspondente ao resultado final C 2200000 i 24 am M 2659640 Juros compostos M C1in 2659640 220000010024n 2659640 2200000 1024n 26596402200000 1024n Uso Logarítimos neperianos basen 12089 1024n 121 102n Log 121 Log 102n 008 009n n 0080009 n 888 meses 8 meses e 26 dias Usualmente trabalhamos com mês e ano comercial Juros compostos ATÉ A PRÓXIMA