Matematica Financeira - Guia Completo para Estudantes e Profissionais

Autor Prof Jean Carlos Cavaleiro Colaborador Prof Santiago Valverde Matemática Financeira Professor conteudista Jean Carlos Cavaleiro Jean Carlos Cavaleiro Bacharel em Administração de Empresas especialista em Gestão de Negócios e mestre em Engenharia de Produção é professor universitário há 10 anos em instituições como Universidade Cruzeiro do Sul Faculdade Unida de Suzano e Universidade Paulista Na segunda instituição da qual é professor titular coordena as atividades práticas de gestão e na UNIP ministra aulas nos cursos de gestão e coordena o curso de Logística na modalidade de ensino a distância Como consultor in company do SenacSP atua com controle financeiro fluxo de caixa contabilidade contas a pagar e ainda na área logística produção compras estoques transporte etc É diretor proprietário da Horseman Consultoria Ltda empresa especializada em treinamento na área logística Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP C376m Cavaleiro Jean Carlos Matemática Financeira Jean Carlos Cavaleiro São Paulo Editora Sol 2020 112 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ISSN 15179230 1 Matemática financeira 2 Empréstimos 3 Financiamento I Título CDU 51 076 U50789 20 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento Administração e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades Universitárias Prof Dr Yugo Okida ViceReitor de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa Elisabete Brihy Prof Marcello Vannini Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial Dra Angélica L Carlini UNIP Dr Ivan Dias da Motta CESUMAR Dra Kátia Mosorov Alonso UFMT Apoio Profa Cláudia Regina Baptista EaD Profa Betisa Malaman Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Virgínia Bilatto Luanne Batista MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 Taxa de juros Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro a razão entre os juros recebidos ou pagos e o capital inicial aplicado ou emprestado Elas se referem sempre a uma unidade de tempo dia mês semestre ano etc e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras taxa unitária fração decimal e taxa percentual uma é fruto da outra não são duas coisas diferentes e sim uma extensão da aplicação Taxa unitária É a fração decimal da taxa que expressa quanto que um juro obtido representa do valor principal É expressa pela fórmula i J C i taxa de juros J juros C Capital Observação Alguns autores entendem C como P de principal Taxa percentual É a taxa unitária multiplicada por 100 Vejamos um exemplo Uma aplicação de R 1000000 obteve juros de R 10000 em um mês Qual foi a taxa unitária Solução i 100 10000 001 Para encontrar a taxa percentual basta multiplicar por 100 o resultado encontrado i 100 10000 001 100 1 em um mês Como foi definido taxa unitária é uma fração decimal nesse caso 001 Sumário Matemática Financeira APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 8 Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11 11 Taxa de juros 15 12 Equivalência de taxas 21 13 Equivalência de capitais 23 2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 26 21 Regime de capitalização dos juros 27 211 Regime de capitalização simples 27 22 Montante e capital em capitalização simples 37 3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO 44 31 Desconto bancário ou comercial ou por fora 46 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 48 41 Juros compostos 49 42 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta 63 Unidade II 5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 70 51 Sistema Financeiro da Habitação SFH 70 52 Definições básicas 71 53 Sistema de Amortização Constante SAC 73 54 Expressões de cálculo do SAC 75 55 SAC com carência 78 6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 81 61 Expressões de cálculo do SAF 83 62 SAF com carência 85 7 TABELA PRICE 88 71 Sistema de amortização misto 90 72 Comparações entre SAC SAF e SAM 92 73 Gráfico de comparação entre SAC SAF e SAM 92 8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 93 81 Sinking fund ou fundo de amortização 95 82 Sistema de Amortização Crescente Sacre 96 83 Custo efetivo 97 Não há texto para extrair nesta imagem 7 APRESENTAÇÃO A matemática financeira é o ramo da matemática aplicado aos negócios É importante que você aluno conheça as expectativas da universidade e dos coordenadores pedagógicos quanto ao conteúdo que lhe deve ser proporcionado pelo professor dessa disciplina comum ou seja aplicada aos alunos dos cursos tecnológicos de gestão da Universidade Paulista UNIP De acordo com o Plano Pedagógico do Curso Superior Tecnológico de cada um desses cursos em que a disciplina compõe núcleos básicos o objetivo é fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira e também contribuir para o desenvolvimento de sua capacidade de raciocínio lógico e reflexivo Esse é um fator essencial na tomada de decisão atividade típica da função de administrador financeiro Com base nesse objetivo básico propomos como meta estudar os seguintes assuntos 1 Conceitos fundamentais juros simples e juros compostos 2 Regime de juros simples capitalização simples e compostos capitalização composta introdução taxas proporcionais e equivalentes juro comercial descontos desconto racional e desconto comercial equivalência de capitais 3 Regime de juros compostos 4 Rendas ou anuidades 5 Sistemas de amortização e correção monetária sistemas de amortização e correção monetária sistema de prestação constante SPC Sistema de Amortização Constante SAC sistema de montante sistema americano sistema sinking fund 6 Inflação e correção monetária Na elaboração deste material o autor optou por expor as teorias de forma ampla visto que é destinado a futuros profissionais que não irão lidar diretamente com a matemática mas que a utilizarão para melhorar a qualidade de suas decisões De acordo com os planos pedagógicos de cada curso priorizou também a exposição de casos e situações práticas Desse modo facilitase a absorção do conhecimento possibilitando que a teoria em matemática financeira possa ser compreendida por meio de sua aplicação no ambiente profissional Primeiramente portanto você dará seus primeiros passos no ambiente da matemática financeira estudando os conceitos fundamentais utilizados por todos os que se deparam com problemas matemáticos relacionados com os negócios Serão estudados conceitos como juros capitais fluxo de caixa valor atual capitalização simples e composta juros simples e juros compostos montante capital taxas proporcionais e equivalentes desconto simples racional ou por dentro 8 Todos esses conceitos são básicos conhecidos por muita gente e amplamente utilizados Dessa forma não caia na tentação de usar calculadoras de financiamentos que estão disponíveis em diversos sites da internet Faça realmente os exercícios que serão propostos Sabemos que esse pode ser um trabalho um tanto enfadonho ou aparentemente desnecessário mas é ótimo para que possa entender a matéria estudada e fortalecer os seus conhecimentos Uma sugestão é alterar os valores dos exemplos que você encontrará e tentar observar casos reais à sua volta tentando resolvêlos pelo uso das fórmulas e conceitos básicos aqui estudados Não há um tempo de estudo definido para sugestão Você tanto poderá completar os estudos em algumas horas quanto em semanas O importante é que se sinta satisfeito e confiante para seguir rumo às aplicações mais avançadas da matemática financeira Você tanto poderá realizar os cálculos de forma completamente manual ou usando uma calculadora simples recomendado Poderá também utilizar uma calculadora financeira de qualquer marca ou uma HP12C padrão comum entre os executivos de finanças Poderá ainda utilizar uma planilha eletrônica por exemplo do Microsoft Excel No entanto recomendase veementemente que efetue os cálculos de forma autônoma sem recorrer a facilidades que hoje são oferecidas aos executivos Até poderá utilizálas para fins profissionais mas nesse momento é imprescindível que se realizem cálculos manuais A expectativa é que você esteja bem desenvolto nas fórmulas básicas da matemática financeira pois estudará aspectos mais sofisticados dessa matéria em especial os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos e as principais comparações entre eles Com os exercícios de comparação que acompanhará verá que não existe um sistema melhor do que o outro mas um que pode ser mais conveniente de acordo com o problema É portanto aprendendo as especificidades de cada método que terá condições de tomar ótimas decisões no seu campo profissional INTRODUÇÃO Olá aluno Sempre que iniciamos o estudo de qualquer disciplina perguntamonos para que eu tenho de estudar isso Ou ainda em que a matemática financeira pode ajudar em meu sucesso profissional Não menos importante muitos costumam perguntar sobre como os conhecimentos dessa matéria podem melhorar na sua vida pessoal Muitos alunos de tecnologia que não trabalharão nas áreas matemáticas costumam também se perguntar o motivo de ter de estudar obrigatoriamente matemática financeira pois acreditam que aplicarão muito pouco desse conhecimento em seu trabalho cotidiano A resposta a essas inquietações iniciase na própria preocupação da universidade ao decidir que a matemática financeira é imprescindível a ponto de não admitir que um aluno venha a ser diplomado como tecnólogo se não mostrar um mínimo de conhecimento sobre essa matéria Mais do que uma preocupação formal a história e as pesquisas científicas mais relevantes têm demonstrado que o profissional que toma decisões sem o uso da matemática financeira tende a não ter um bom desempenho em suas atividades sejam lá quais forem elas 9 Ao decidir pela contratação de um fornecedor uma decisão relativamente simples o profissional que conhecer a matéria poderá calcular se o valor que lhe é solicitado para um pagamento a prazo é realmente mais vantajoso em comparação com um que ocorre à vista Essa é uma entre as diversas dificuldades que podem vir a fazer parte do cotidiano de um tecnólogo A matemática financeira é considerada também um exemplo fundamental da chamada Teoria dos Jogos uma sofisticada teoria para aplicação na gestão estratégica das empresas Contudo uma das características mais interessantes dela talvez seja que ao contrário de outras disciplinas nas quais é necessário um ambiente empresarial sofisticado para que o conhecimento possa ser aplicado é possível aplicála em seu dia a dia nos mais diferentes negócios Por exemplo a pessoa que tiver a curiosidade de calcular as condições de um financiamento para a aquisição de uma casa ou apartamento poderá vir a perceber uma diferença de 1 em um tipo de financiamento em relação ao outro Pouco Talvez esse simples valor represente nada mais nada menos do que a compra de alimentos do mês de uma família ou seja o emprego da matemática financeira pode representar maior qualidade de vida Muitos pessoas de negócios dão muito valor ao conhecimento da matemática financeira para as suas próprias decisões bem como valorizam funcionários que o têm e aplicam no cotidiano profissional Não há muitos dados ou pesquisas relacionadas ao valor que os empresários costumam dar a esse conhecimento mas Rosseti Jr e Schimiguel 2011 estudaram a percepção de empresários na região da grande Vitória e chegaram à seguinte conclusão as empresas valorizam muito as pessoas que possuem conhecimentos financeiros e que são conhecedoras de matemática financeira remunerandoas bem isso aponta para uma demanda do mercado por conhecimentos em matemática financeira e finanças Com tudo isso notase uma grande necessidade do uso dos conhecimentos oferecidos por essa disciplina pela sociedade e também para a continuidade dos seus estudos Sendo assim certos do sucesso em esclarecer a inquietante dúvida eu tenho de aprender matemática financeira por quê esperase que ao final deste estudo você tenha formado habilidades para melhor usar a matemática a seu favor para tomar decisões de melhor qualidade Cada um tem suas individualidades e manias Há pessoas que conseguem compreender bem um assunto com uma simples leitura e outras que preferem fazer exercícios Há ainda aquelas que têm predileção por livros coloridos preenchidos com gráficos elementos visuais e resumos ricamente ilustrados Sendo assim quando este trabalho foi elaborado pensamos em mesclar estratégias de ensino para que se tornasse mais interessante o que porém depende de sua postura como aluno de seu interesse Se antes de abrir o livro estiver indisposto e sem vontade certamente por maior que tenha sido o nosso esforço para tornar o material mais atrativo as páginas serão muito penosas Especialmente para estudar matemática financeira além de uma simples e rápida leitura é importante que você exercite muito o que aprendeu Quanto mais desenvoltura tiver para realizar os exercícios melhor Por isso a orientação é de que aproveite cada página com olhos interessados com vontade e entusiasmo porque como vimos conhecer essa matéria é um passaporte para tomar boas decisões e ser melhor remunerado no mercado 10 Unidade I É importante salientar que este material não esgota todas as possibilidades de estudo ele é apenas um dos instrumentos de aprendizado e não deve jamais ser visto como fonte única para seus estudos Leia sempre os resumos faça as atividades e exercícios propostos e dediquese aos materiais sugeridos no Saiba Mais para leitura ou consulta Esse item tem como objetivo fundamental aumentar sua curiosidade pelo tema em estudo Uma última observação antes de iniciarmos nossos estudos é a seguinte no mercado é padrão a utilização da calculadora financeira HP12C1 da empresa americana HewlettPackard modelo 12C que é a mais utilizada entre os profissionais da área de finanças Há tantos cursos de utilização das funcionalidades dessa calculadora que muitas vezes são confundidos com aqueles de matemática financeira em si Para fins profissionais ou mesmo para estudo a recomendação é que você tenha em posse uma calculadora desse modelo ou tenha como usála quando necessário No entanto devido ao seu alto custo e a vários outros fatores esclarecemos que todo o material didático deste curso incluindo as questões de prova foram elaboradas para serem resolvidas com o uso de calculadoras simples ou por cálculo manual conforme acabamos de observar 1 Um detalhe é que por conta de configurações internas a HP12C geralmente oferece um resultado mais preciso o que pode dificultar a escolha das alternativas corretas Assim não utilize essa calculadora em avaliações desta disciplina utilize apenas uma calculadora normal 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS O aluno normalmente não enxerga a Matemática como uma matéria das suas preferências e os motivos para isso são vários Por isso recomendamos que você enxergue essa disciplina que vamos iniciar não como matemática mas sim como uma ferramenta que auxilia na tomada de decisão do gestor Verá que ela está presente na sua vida no seu dia a dia Embasamonos nessa percepção para o nosso trabalho Iniciemos portanto perguntandonos o que é Matemática Financeira A partir dos conceitos de vários autores o autor deste material gosta de entendêla como uma área da matemática que estuda o valor do dinheiro no tempo Você como aluno pode perguntar como assim Então vamos entender agora as situações em que isso se aplica Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 João empresta R 500 a Maria que por sua vez pagalhe depois de 2 meses Imaginemos que um sorvete custasse R 250 quando houve o empréstimo do dinheiro Assim se teriam condições de comprar dois sorvetes No entanto quando do pagamento por Maria o sorvete já custa R 300 de modo que se ela paga o empréstimo sem nenhum acréscimo João compra agora somente um sorvete Então perguntamos isso é correto Emprestar dinheiro de dois sorvetes e receber dinheiro que compre somente um Mesmo sendo muito amigos seria justo que João dissesse estou emprestando dinheiro de 2 sorvetes e quero receber dinheiro de 2 sorvetes Assim Maria teria de pagar R 600 Veja a aplicação do conceito na hora do empréstimo R 500 valiam dois sorvetes na hora do pagamento dois sorvetes valiam R 600 Assim fica a questão o sorvete que aumentou ou o valor do dinheiro que diminuiu A resposta a essa pergunta é como aquela máxima da propaganda Tostines é fresquinho por que vende mais ou vende mais por que é fresquinho Exemplo 2 imagine que você comprou uma televisão tela plana 3D de 50 polegadas por R 800000 Na ocasião fez um financiamento em 36 parcelas de R 45000 Pagou 26 parcelas e deseja pagar as 10 ultimas de uma vez Então procura a financeira que fez o financiamento e faz a proposta para saber quanto deveria pagar Entretanto alguém na financeira diz que não lhe será dado desconto ou seja se decidir pagar as 10 parcelas o valor será R 450000 Então perguntamos você faria o pagamento Já deve ter respondido que não pois o está antecipando e merece um abatimento Isso é um pensamento de Matemática Financeira Pode não saber quantificar mas sabe que merece abatimento Na hora de solicitar um empréstimo ao banco também é importante ter conhecimentos de Matemática Financeira pois conhecer conceitos de juros aplicação investimento fará você conversar com o gerente do banco na mesma linguagem 12 Unidade I Segundo Rovina 2009 p 5 a Matemática Financeira é incompreendida por muitos e amada por poucos No entanto conforme vimos não podemos negar sua utilidade tanto para pessoas comuns clientes quanto empresa ou grande corporação Como profissionais da área da educação podemos assegurar que se entendemos para que serve uma ciência temos maior aceitação com seus conceitos e por consequência melhor aprendizagem Rovina ibidem p 5 conceitua a Matemática Financeira conforme o próprio nome indica como um dos inúmeros ramos da Matemática que surgiu da necessidade de termos que lidar com o dinheiro ao longo do tempo Para a Matemática usual aquela que sempre aprendemos dois sempre é igual a dois mas para a Matemática Financeira essa informação é insuficiente pois além de quantificar ou seja dizer que dois é igual a dois precisa situar o momento temporal ou seja dois só é igual a dois se e somente se os dois valores estiverem situados no mesmo momento temporal ou melhor falando na mesma data Então a partir dos conceitos gerais de Matemática Financeira vamos conceituar os recursos necessários para pensála Capital É o valor principal de uma operação ou seja do dinheiro em um momento inicial Exemplo 1 fezse uma aplicação no valor de R 1000000 por 3 meses a uma taxa de juros de R 1 ao mês O capital é de R 1000000 Exemplo 2 fazendo uma prestação de R 10000 por mês durante 10 meses decidindose por pagar à vista qual será o valor O que queremos saber é o valor do capital que em situações como essas pode ser chamado de valor atual que na linguagem financeira é abreviada por PV Present Value Inclusive você poderá perceber que na HP 12 C calculadora financeira utilizada mundialmente é essa a sigla gravada Figura 1 13 MATEMÁTICA FINANCEIRA Saiba mais Para conhecer mais a calculadora HP12C acesse httpwww8 hpcombrpthomehtml Montante Resumidamente podemos entendêlo como o valor do dinheiro no futuro Exemplo 1 apliquei R 1000000 na caderneta de poupança e fui viajar passei 5 anos fora Qual é o montante da minha aplicação quando voltei ao Brasil Exemplo 2 um capital aplicado a uma taxa de 5 ao semestre resultará em qual montante Na linguagem financeira é chamado de valor futuro ou referido pela sigla FV como demonstra a figura em seguida Figura 2 Taxa de juros É um coeficiente que determina as correções monetárias sempre expressas em porcentagem Na calculadora HP12C é representada pela letra i conforme podemos observar na figura que acabamos de ver 14 Unidade I Juros É a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros Por exemplo se tenho R 100000 e pela aplicação feita por um ano saquei R 150000 posso dizer que recebi juros de R 50000 Pode ser simples ou composto o que será estudado mais adiante Desconto É o abatimento sobre uma operação financeira é proporcional à taxa de juros e ao período considerado Período São os prazos envolvidos na operação financeira Podem ser expressos em dia semana mês semestre ano mas o que importa é que temos de considerar uma regra devem constar de um problema de Matemática Financeira todas as informações de taxa e período na mesma menção de tempo Vejamos um exemplo Fezse uma aplicação de R 100000 por 6 meses a uma taxa de 2 ao bimestre Devo transformar a taxa em mês ou o período em bimestre ficando o valor aplicado por 3 bimestres que é o mesmo que 6 meses Observação O que acabamos de mencionar quanto a deverem constar de um problema de Matemática Financeira todas as informações de taxa e período na mesma menção de tempo é uma regra não podemos trabalhar com prazos diferentes Investimento Operação financeira em que se faz aplicação de um valor e espera recebêlo acrescido dos juros incorridos no período Empréstimo Operação financeira na qual se buscam recursos no mercado para fazer frente às necessidades das mais variadas espécies Amortização Antecipação de pagamentos de operação de financiamentos na qual se fazem necessários os conceitos de valor atual e futuro Não há texto para extrair nesta imagem 16 Unidade I A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i definida como valor unitário da taxa é o valor percentual dividido por 100 Assim parece fácil mas vamos ampliar a visão Vejamos mais um exemplo O gerente do banco realizou um empréstimo de R 200000 pelo prazo de 60 dias No momento de assinar o contrato o devedor se comprometeu a devolver R 225000 Calcule o juro a taxa de juro unitária e a taxa de juro percentual dessa operação Veja que antes de calcular as taxas de juros precisará saber qual foi o juro pago Solução Conceituamos juros como o valor acrescido em uma operação Então podemos encontrálo pela subtração do montante pelo valor do capital ou seja J M C J juros M montante C capital Lembrete Não se esqueça de que montante é o valor futuro ou FV e que capital é o valor atual ou PV Assim sendo J 2250 2000 250 Substituindo para encontrara a taxa unitária Lembrete Taxa unitária é a fração decimal em relação ao capital i J C i 250 2000 0 125 Em 60 dias ou dois meses Vamos agora encontrar a taxa percentual que é resultado da multiplicação da taxa unitária por 100 i 2502000 0125 100 125 Em 60 dias ou dois meses Falouse aqui em duas taxas unitária e percentual e que uma se origina da outra Sendo assim podemos transformar uma na outra sem nenhuma dificuldade Para transformar então a taxa percentual em taxa unitária basta dividirmos o valor percentual por 100 Dessa forma 1 5 em taxa unitária seria 5100 005 2 10 em taxa unitária seria 10100 010 3 25 em taxa unitária seria 25100 025 4 05 em taxa unitária seria 05100 0005 Para fazermos os exercícios de Matemática Financeira devemos trabalhar sempre com a taxa na modalidade unitária ou seja dividirmos a taxa percentual por 100 Treinemos então mais um pouco Exemplo 1 Converta para a taxa percentual 1 057 057 x 100 57 2 208 208 x 100 208 3 002 002 x 100 2 Exemplo 2 Converta para a forma unitária 1 163 163100 163 19 MATEMÁTICA FINANCEIRA Sabemos que acrescer 18 sobre o valor do DVD equivale a somar R 504 sobre o valor original Então Preço R 2800 Novo preço 28 504 3304 E se em vez de um acréscimo como o citado fosse concedido um desconto de 20 qual seria no novo preço Desconto 28 x 020 x 1 560 Preço R 2800 Novo preço 28 560 224 Lembrete Se quiséssemos calcular 20 de acréscimo ao valor do DVD lembremos que bastaria multiplicarmos o valor do bem pela porcentagem mencionada 2800 x 020 560 Trabalhamos então com o conceito de taxa de juros mas vamos agora aplicar a taxa de juros nos conceitos de Matemática Financeira diferenciando juro exato de juro comercial Juro exato Utiliza o calendário civil ou seja 365 dias no ano Juro comercial Usa calendário com base no ano comercial ou contábil 360 diasano Para referenciar os conceitos de juro exato e juro comercial citamos Bruni e Famá 2002 Hazzan e Pompeo 2004 e Assaf Neto 2002 Esses autores afirmam que os juros exatos e juro comercial são usados nas operações em curto prazo situação em que é comum fazer uso de juros simples com prazos definidos em dias Vejamos um exemplo para entendermos melhor tudo isso Em se tratando de uma aplicação com taxas de juros de 12 ao ano ao calcularmos a taxa equivalente diária teremos resultados diferentes se considerarmos juro exato ou comercial Em juro exato dividimos a taxa de juros pelo número exato de dias do ano Je a d 12 365 0 032876 2 2107 2107100 2107 3 12 12100 012 Veja que para trabalharmos com cálculos financeiros devemos pensar percentualmente Pensemos então em mais situações nas quais a porcentagem é a base da solução Exemplo 3 Num lote de 100 lâmpadas 15 apresentam defeito Qual é a porcentagem de lâmpadas defeituosas 15100 015 x 100 15 Exemplo 4 Um DVD é vendido por R 2800 Se o seu preço fosse acrescido em 18 quanto passaria a custar Solução O primeiro passo é calcular os juros que serão acrescidos Lembrese de que a fórmula é J C x i x n na qual J juros C capital i taxa de juros n período Portanto juros 28 x 018 x 1 504 Observação Como o período não foi mencionado no problema o valor substituído na fórmula foi 1 considerandose que serão acrescidos juros uma única vez diferente se fosse referido 20 ao mês 20 Unidade I Onde Je Juro exato ad ao dia Em juro comercial dividimos a taxa de juros pelo número de dias comercial ou ano contábil Jc a d 12 360 0 033333 Onde Jc Juro comercial ad ao dia Lembrete O cálculo que acabamos de realizar tem como base juros simples Para que o aluno entenda melhor diferenciamos em seguida juros simples de compostos Juros simples A capitalização ocorre somente sobre o valor principal ou capital inicial Juros compostos A capitalização ocorre sobre o valor principal e sobre os juros incorridos é o chamado juros sobre juros Mais adiante vamos detalhar cada um deles nesse momento é importante só entender o conceito Vejamos um exemplo Um capital de R 100000 aplicado a uma taxa de juros de 10 ao mês ficaria da seguinte forma Juros simples Tabela 1 Período Capital Juros Total 1 1000 100 1100 2 1000 100 1200 3 1000 100 1300 21 MATEMÁTICA FINANCEIRA Juros compostos Tabela 2 Período Capital Juros Total 1 1000 100 1100 2 1100 110 1210 3 1210 121 1331 Veja que os resultados não são os mesmos que em juros compostos capitalizouse juros sobre juros Essa separação é importante para direcionarmos as discussões de que nos ocuparemos 12 Equivalência de taxas Resumidamente é a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes como 12 ao ano em juros simples ou compostos equivalem a qual taxa mensal Será que é a mesma coisa que 1 ao mês 12 ao ano equivalem à qual taxa mensal em juros simples O ano tem 12 meses então 12 12 1 ao mês 12 ao ano 1 ao mês 1 ao mês equivale a qual taxa trimestral em juros simples Um trimestre tem 3 meses então 1 x 3 3 1 ao mês 3 ao trimestre 2 ao dia equivalem a qual taxa mensal em juros simples O mês tem 30 dias então 2 x 30 60 ao mês 2 ao dia 60 ao mês 22 Unidade I Exemplo de aplicação Exemplo de aplicação Transforme as taxas em taxas equivalentes de acordo com o solicitado Quadro 1 Taxas Transformar em Resultado 2 ao mês Taxa semestral 12 ao ano Taxa bimestral 1 ao trimestre Taxa mensal 012 ao dia Taxa anual ano comercial 10 ao semestre Taxa trimestral 6 ao trimestre Taxa anual 2 ao bimestre Taxa trimestral Calcule sem olhar as respostas é uma forma de reforçar sua visão sobre os pontos discutidos Solução Quadro 2 Taxas Transformar em Resultado 2 ao mês Taxa semestral 2 x 6 12 ao semestre 12 ao ano Taxa bimestral 12 6 2 ao bimestre 1 ao trimestre Taxa mensal 1 3 0 33 ao mês 012 ao dia Taxa anual ano comercial 012 x 360 4320 ao ano 10 ao semestre Taxa trimestral 10 2 5 ao trimestre 6 ao trimestre Taxa anual 6 x 4 24 ao ano 2 ao bimestre Taxa trimestral 2 2 1 ao mês 1 x 3 3 ao trimestre Como devemos refletir a respeito dessas taxas equivalentes 2 ao mês é o mesmo que 12 ao semestre 12 ao ano é o mesmo que 2 ao bimestre 1 ao trimestre é o mesmo que 033 ao mês 012 ao dia é o mesmo que 4320 ao ano 23 MATEMÁTICA FINANCEIRA 10 ao semestre é o mesmo que 5 ao trimestre 6 ao trimestre é o mesmo que 24 ao ano 2 ao bimestre é o mesmo que 3 ao trimestre Por isso as chamamos de taxas equivalentes um investimento que renda ou que cobre 2 ao mês ou 12 no semestre é a mesma coisa resultará no mesmo rendimento ou cobrança de juros 13 Equivalência de capitais Com a mesma definição de equivalência de taxas dois capitais são equivalentes quando colocados no mesmo prazo Como assim Vamos utilizar os conceitos já estudados para entendermos melhor Lembrese de que o dinheiro tem valor no tempo Vamos imaginar que você tenha emprestado R 100000 a um amigo e que tenha cobrado dele uma taxa de juros de 10 ao mês Este deverá a você passados 2 meses R 120000 e se lhe pagar 1 mês depois da data do empréstimo pagará 1 mês antes da data combinada Quanto ele deve pagar Dispondo esses dados em um diagrama de fluxo de caixa temos 110000 100000 0 momento que pediu o dinheiro emprestado 1 2 120000 Figura 3 O amigo vai pagar R 110000 ou seja esse valor é o mesmo que R 120000 no mês 2 São valores equivalentes Cálculos como esse podem ser úteis em que situações Vejamos Imaginemos que eu saiba hoje que dentro de 1 ano terei de efetuar um pagamento no valor de R 120000 dinheiro de que já disponho para quitação desse débito e que há aplicações que rendam uma taxa de 20 ao ano Será melhor eu efetuar o pagamento ou aplicar o dinheiro Vamos ver Primeira opção O credor não oferece desconto pelo pagamento da dívida à vista Assim pagarei R 120000 e ficarei sem esse recurso Segunda opção Aplicar R 120000 por 1 ano a uma taxa de 20 ao ano 1200 x 02 240 1200 240 R 144000 Esse será o montante no final de 1 ano que poderá pagar a dívida sobrando R 24000 Então devo pagar a dívida ou não A resposta é não Se eu efetuar esse pagamento hoje terei de desembolsar R 120000 sendo que eu poderia aplicar R 120000 no prazo de 1 ano a uma taxa de 20 ao ano Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo mesmo não existindo inflação e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais Pagamentos diferentes em sua magnitude total mas que são feitos em datas diferentes podem ser equivalentes Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores transferidos para a mesma data com a mesma taxa de desconto custo de oportunidade são iguais Vamos pensar inicialmente em taxas equivalentes em juros simples que permitem a simples divisão ou multiplicação das taxas pelos períodos considerados O importante aqui é o pensamento de que o dinheiro terá valor no tempo Aplicação Para calcular o valor atual PV FV1 i n FV valor futuro PV valor presente i taxa de juros n período Alguns autores utilizam a fórmula assim C M1 i n PV 100000 1072 PV 93283 Antecipemos agora a nova dívida por 12 meses PV FV 1 i n PV 110000 1 0012 12 PV 110000 1 0144 PV 110000 1144 PV 96153 Veja que os valores não são equivalentes sendo que a proposta feita não é satisfatória para quem vai pagar Logo devemos rejeitar essa proposta pagando um valor superior ao que encontramos trazendo a primeira dívida para o momento zero Qual seria o valor justo a ser cobrado Recoreremos à fórmula em seguida mas não temos o FV que é o que queremos descobrir Qual é o valor futuro que devemos aceitar PV FV 1 i n 93283 x 1 0012 x 12 x 93283 1144 x 106715 2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Com os gráficos estudados anteriormente pudemos ampliar os conceitos Uma forma clara de entendermos o fluxo do dinheiro no tempo sabendo das entradas ou saídas de recursos é o diagrama 26 0 6 meses 1 ano R 93283 R 100000 R 110000 R 96153 Figura 4 M montante que é o mesmo que valor futuro C capital que é o mesmo que valor atual i taxa de juros n período Vamos alternar aqui o uso dos dois conceitos para que o aluno se acostume com ambos Para calcular o valor futuro VF VP 1 i n ou M C 1 i n Quem nunca teve contato com cálculos financeiros deve entender da seguinte maneira Calcular valor futuro é imaginar o valor que terá de pagar ou receber em um momento futuro Por exemplo se você deposita R 100000 em um banco qualquer quanto terá daqui a 12 meses Perguntar qual é o montante ou qual é o valor futuro é a mesma coisa E valor presente o que é É o valor de uma aplicação no momento atual Por exemplo tenho uma dívida de R 100000 que vence em 12 meses e caso queira pagar com 10 meses de antecedência qual será o valor da dívida Para tal é preciso antecipar o valor da dívida para a data atual Exploremos melhor outro exemplo Uma empresa tem um título a pagar de valor nominal de R 100000 que vence em 6 meses com taxa de juros de 12 ao mês O gestor financeiro procurou o credor da dívida e solicitou que na mesma condição ampliasse o prazo de pagamento substituindo o título por um de vencimento em 12 meses A proposta feita pela empresa credora foi a de substituir por um título com valor de R 110000 Você a aceita ou não Como resolver isso Trazendo os dois valores para hoje primeiro o valor nominal de R 100000 para o momento zero antecipando 6 meses PV FV 1 i n PV 100000 1 0012 6 PV 100000 1 0072 27 MATEMÁTICA FINANCEIRA de fluxo de caixa Serve para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo sendo então de grande utilidade para as operações de Matemática Financeira 0 1 500 200 700 200 200 800 2 3 4 5 i Figura 5 O que significa Como interpretar Essa é uma operação qualquer na qual no momento 0 houve pagamento de 80000 e um pagamento de 20000 no momento 3 e estes representam a saída de caixa Contudo houve ainda entrada de 50000 no momento 1 e de 20000 no momento 2 70000 no momento 4 e 20000 no momento 5 As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam as saídas É imprescindível que o prazo e a taxa de juros estejam expressos na mesma unidade Apliquemos esse recurso com mais um exemplo Uma dívida de R 4800000 vence daqui a 6 meses O devedor pretende quitála da seguinte forma uma prestação de R 480000 é paga hoje uma de R1400000 daqui a 2 meses e uma última de R 2750000 daqui a 7 meses Vejamos como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida 0 1 4800000 480000 1400000 2750000 2 3 4 5 6 7 Figura 6 21 Regime de capitalização dos juros É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes de capitalização simples e composto 211 Regime de capitalização simples Comparase a uma progressão aritmética isto é o juro cresce de forma linear ao longo do tempo Os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação e não sobre o acumulativo Para um melhor entendimento do sistema de capitalização simples vamos supor uma aplicação no valor de R 100000 por cinco anos com taxa de juros no valor de 10 ao ano 28 Unidade I Primeiro ano de aplicação O capital que é o valor aplicado de R 100000 multiplicado por 10 perfará juros de R 10000 Assim no final do ano 1 teremos um montante de R 110000 1000 100 Segundo ano de aplicação Como os juros são lineares e ocorrem sempre sobre o capital teremos mais juros de R 10000 Assim o montante é de R 110000 100 120000 Terceiro ano de aplicação Seguindo o mesmo raciocínio R 10000 de juros 120000 130000 Quarto ano R 10000 1300 140000 Quinto ano 10000 1400 150000 Essa aplicação acarretará montante de R 150000 no final do quinto ano Dispondo as informações em tabela Tabela 3 Ano Capital Juros 10 aa Montante 0 100000 1 100000 1000 x 010 10000 1000 100 110000 2 100000 1000 x 010 10000 1100 100 120000 3 100000 1000 x 010 10000 1200 100 130000 4 100000 1000 x 010 10000 1300 100 140000 5 100000 1000 x 010 10000 1400 100 150000 Observação Veja que os juros incidiram somente sobre o capital e esse valor de juros calculados é somado ao montante do período anterior Para calcular os valores da tabela que acabamos de preencher podemos utilizar uma fórmula M C 1 i x n 29 MATEMÁTICA FINANCEIRA M montante representa o valor acumulado ao final de um período C capital valor do dinheiro no memento inicial conhecido como valor atual i taxa de juros n período Fazendo as substituições M 1000 1 010 x 5 M 1000 1 050 M 1000 x 150 M 150000 Algumas observações podem ser apresentadas os juros por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R100000 apresentam valores idênticos ao final de cada ano R 10000 como consequência o crescimento dos juros no tempo é linear revelando um comportamento idêntico ao de uma progressão aritmética Os juros totais da operação atingem nos 5 anos R 50000 se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial R 100000 não ocorrendo rendimento sobre os juros que se formam no período Assim no 5º ano a remuneração calculada de R 10000 é obtida com base no capital aplicado há 5 anos Alguns autores utilizam as nomenclaturas presentes na calculadora financeira HP12 C em que M FV ou valor futuro C PV ou valor presente Com o mesmo exemplo podemos calcular ainda os juros ocorridos e acumulados no período J M C J juros M montante C capital J 150000 100000 50000 Lembrete O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo isto é os cálculos dos montantes capital juros serão realizados com referência ao valor principal independente do período Sobre os juros gerados em cada período não incidirão novos juros Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros Vejamos algumas opções Em juros simples podemos utilizar as seguintes fórmulas Para cálculo dos Juros J C i n Para cálculo do capital C J i n Para cálculo da taxa de juros i J C n Para cálculo do período n J C i J juros C capital principal i taxa de juros n número de períodos Para melhor entendimento do aluno quando da realização dos exercícios é importante conhecer as siglas presentes nos enunciados no que se refere à taxa de juros 31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Quadro 3 Abreviatura Significado ad ou ad Ao dia am Ao mês ab Ao bimestre at Ao trimestre aq Ao quadrimestre as Ao semestre aa Ao ano Detenhamonos agora em alguns exemplos para você fixar o entendimento do que acabamos de estudar Exemplo 1 Um capital de R 150000 foi aplicado à taxa de 10 ab pelo período de 2 meses no regime de capitalização simples Qual o valor dos juros para o período Primeiro passo fazer uma legenda que extraia do enunciado todos os dados importantes J é o que queremos encontrar C 1500 i 10 ab n 2 meses Segundo passo verificar se a taxa e o período foram mencionados da mesma forma i 10 ab e n 2 meses Veja que não foram referidos do mesmo modo a taxa foi mencionada em bimestre e o período em meses Vamos então fazer uso de taxas equivalentes uma taxa de 10 ao bimestre equivale a qual taxa mensal Como um bimestre tem dois meses vamos dividir a taxa bimestral por 2 Taxa mensal 10 2 5 ao mês 32 Unidade I Terceiro passo transformar a taxa percentual em taxa unitária Taxa unitária 5 100 0 05 Quarto passo fazer a substituição dos valores na fórmula J C x i x n J 1500 x 005 x 2 J 150 Os juros correspondem a R 15000 em 2 meses com taxa de 10 ao bimestre Exemplo 2 Um capital de R 112000 foi aplicado a uma taxa de 5 am no regime de capitalização simples por 7 meses Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação e o montante acumulado no final do período Legenda C 1120 i 5 am n 7 m J M Veja que a taxa e período foram referidos da mesma forma em meses Vamos então aos cálculos Calculemos primeiro o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação J C x i x n J 1120 x 005 x 7 J 39200 Podemos calcular agora o montante acumulado no final do período M J C M 392 1120 M 151200 Exemplo 3 Uma pessoa compra a prazo um DVD que custa à vista R 50000 e faz dois pagamentos de R 27000 um no ato da compra e outro um mês depois Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja Aqui é necessário preparar os dados para iniciar a operação Veja que a compra foi no total de R 50000 sendo que o valor R 27000 foi pago na hora Sobre essa quantia não incide qualquer juro pois foi paga à vista Se o preço inicial era de R 50000 e 27000 foram pagos à vista quanto restou para pagar no mês seguinte 500 270 230 Esse é o valor que será financiado e pago um mês depois Considerando que a segunda parcela paga foi de R 27000 e o valor original de R 23000 quanto foi pago de juros 27000 23000 4000 Esse foi o valor que se pagou a mais dos R 23000 iniciais Em porcentagem significa quanto Vejamos i 40230 100 1739 Exemplo 4 Temos uma dívida de R 8000000 que deve ser paga em um trimestre com juros de 8 am pelo regime de juros simples Quanto pagaremos de juros Legenda C 80000 i 8 am n 1 trimestre corresponde a três meses J Nesse caso é mais fácil transformarmos o período na mesma referência da taxa ou seja trimestre em mês J C i n J 80000 008 3 J 1920000 Exemplo 5 Uma dívida de R 5000000 deve ser paga em quatro bimestres com juros de 20 am pelo regime de juros simples Quanto será pago de juros Legenda C 50000 i 20 am 020 n 4 bimestres 8 meses J Calculemos J C i n J 50000 020 8 J 8000000 Exemplo 6 Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12 ao mês no regime de juros simples para pagar daqui a 10 meses O juro apurado foi de R 2000000 Quanto ele pegou emprestado A fórmula padrão é J C i n mas como o exercício solicita C capital devemos isolálo da seguinte forma C Ji n Legenda J 20000 i 12 am n 10 meses C Calculemos C 20000 012 10 1666666 Exemplo 7 Você investiu numa a aplicação o valor de R 4500000 por 12 meses o que lhe proporcionou um rendimento de R 800000 Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior a fórmula ficará da seguinte forma i JC n Legenda J 8000 C 45000 n 12 meses i Calculemos i 8000 45000 12 i 8000 540000 i 0014815 equivale à taxa unitária i 14815 ao mês equivale à taxa percentual Exemplo 8 Quanto tempo um capital de R 620000 deve ficar aplicado a uma taxa de 47 am para obter um rendimento de R 162500 Seguindo a mesma base dos exercícios anteriores teremos uma nova fórmula n JC i Legenda C 6200 i 47 ao mês taxa percentual ou i 0047 taxa unitária J 162500 n Substituindo n J C i n 162500 6200 0047 n 162500 29140 5576 ou arredondando 6 meses Exemplo 9 Um capital de R 7500000 é aplicado à taxa de 4 ao mês durante o período de um quadrimestre Qual o valor dos juros acumulados Legenda C 75000 i 4 004 taxa unitária n 1 quadrimestre 4 meses Substituindo J C i n J 75000 004 4 J 1200000 Exemplo 10 Foram emprestados R 1700000 pelo prazo de 55 dias com a taxa de juros de 19 ao ano Foi imposta a condição de pagar os juros junto à devolução do empréstimo Calcule os juros no regime de juros simples considerando o ano comercial Devemos nos atentar para o tipo de juro exato ou comercial O exemplo referese a juro comercial do que podemos entender o ano de 360 dias Assim a taxa anual de 19 ao ano deve ser transformada em taxa diária i 19 ao ano taxa diária 19 360 00527 ao dia Todo o restante deve ser desenvolvido de maneira similar aos exemplos anteriores Legenda C 17000 n 55 dias 37 MATEMÁTICA FINANCEIRA i 19 aa ou 0052777 ad que em taxa unitária 000052777 Substituindo JC x i x n J17000 x 000052777 x 55 J49346 Os juros obtidos foram de R 49346 Exemplo 11 Um capital de R 150000 foi aplicado à taxa de 30 aa no regime de capitalização simples por um período de 4 meses Qual o valor dos juros no período Legenda C 1500 i 30 aa taxa mensal 3012 25 am taxa unitária 0025 n 4 meses J Substituindo J C x i x n J 1500 x 0025 x 4 J 15000 Nos exemplos citados foi realizado um exercício de montante e outro de capital Para fixar o aprendizado do aluno vamos abrir espaço em seguida para tratamento dos dois conceitos 22 Montante e capital em capitalização simples É importante estudar os conceitos de montante e capital imprescindíveis para o estudo dos sistemas de amortização Para facilitar esse estudo recorreremos às definições de Rovina 2009 pp 78 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observe que a base da fórmula é a mesma para encontrar quaisquer dos valores dos elementos que a compõem Há casos em que precisamos depreender dela outros caminhos para chegarmos ao valor procurado ou seja isolarmos um elemento segundo regras matemáticas para encontrar o seu valor Taxa de juros Utilizando o método de isolar a variável necessária obtemos as fórmulas para o cálculo da taxa de juros i M C 1 n Período Da mesma forma obtemos a fórmula para determinar o período n M C 1 i Lembrete Em exercícios de capitalização composta nos quais sejam fornecidos os valores de juros taxa e capital podemos usar das fórmulas de juros simples já fornecidas Com essas fórmulas é possível resolvermos grande parte dos problemas matemáticofinanceiros Vamos aos exemplos O exemplo a seguir foi baseado em Assaf Neto 2002 Bruni e Famá 2002 e Hazzan e Pompeo 2004 Tratase de um exercício padrão com redação muito próxima daquela que geralmente se observa em treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil Exemplo 1 Um capital de R 7000000 é aplicado à taxa de 35 ao mês no regime de capitalização simples durante um semestre Pedese determinar o valor dos juros acumulados nesse período Legenda C 70000 i 35 am taxa percentual a taxa unitária 0035 n 1 semestre 6 meses J Unidade I Montante é o valor obtido através da soma do capital e dos juros produzidos em um determinado período alguns autores nas resoluções de exercícios representam o montante pela letra M e outros utilizam a abreviação FV que na calculadora financeira HP12C representa valor futuro Lembrete Montante é o valor do dinheiro em tempo futuro Como já foi apontado anteriormente o montante pode ser obtido por meio da soma do capital com os juros Montante capital juros Pelas representações da HP12C ficaria assim FV PV INT Capital é um valor monetário disponível em determinada data Sempre é considerada a data zero o momento em que é feita uma aplicação ou empréstimo Sua representação ocorre pela letra C ou pela abreviatura PV que do inglês significa valor presente Não importando por qual dessas representações optar o significado é o mesmo Lembrete Capital é o valor presente do dinheiro o valor na data zero da operação Mediante o entendimento dos conceitos de capital e montante é possível obtermos as seguintes fórmulas Juros J C x i x n Montante M C J Quando os juros não forem expressos a fórmula do montante será M C1 i n Capital C M 1in Substituindo J C x i x n J 70000 x 0035 x 6 J R 1470000 Exemplo 2 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8 am durante 10 meses Ao final desse período calculou em R 25500000 o total dos juros incorridos na operação Determine o valor do empréstimo Como não é mencionado o montante mas os juros é mais fácil o cálculo pela fórmula de juros e não pela do montante Para quem está tendo o primeiro contato com a Matemática Financeira uma das dificuldades é justamente saber qual fórmula utilizar então entenda isso como uma dica do professor Legenda C J 255000 i 8 ao mês taxa percentual taxa unitária 008 n 10 meses J C x i x n Substituindo 255000 C x 008 x 10 Observe que o valor destacado passará para o outro lado da equação dividindo C 255000 008 10 C 31875000 Exemplo 3 Um capital de R 3500000 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses produzindo um montante de R 4475000 Pedese apurar a taxa de juros simples oferecida por essa operação Legenda C 35000 M 44750 n 9 meses i Substituindo i M C 1 n i 44750 35000 1 9 i 1278571 1 9 i 0278571 9 0030952 Como é taxa de juros devemos multiplicar por 100 i 0030952 x 100 30952 ao mês Outra forma de fazer o mesmo exercício J C x i x n Não temos de forma explícita o valor dos juros mas o montante e o capital e sabemos que o montante equivale ao capital acrescido dos juros Então se retirarmos do montante o capital sobrarão os juros J M C J 44750 35000 975000 Agora podemos utilizar a fórmula de juros 9750 35000 x i x 9 9750 315000 x i i 9750 315000 0030952 Como é taxa de juros devemos multiplicar por 100 i 0030952 x 100 30952 ao mês Exemplo 4 Uma aplicação de R 24400000 rendendo a uma taxa de juros simples de 19 ao mês produz ao final de determinado período juros no valor de R 3100000 Calcular o prazo da aplicação Legenda C 244000 i 19 ao mês taxa percentual a taxa unitária 0019 J 31000 n M C J 275000 Substituindo n M C 1 i Primeiro fazemos a divisão depois subtraímos 1 dividindo o resultado por 0019 n 275000 244000 1 0019 n 1127049 1 0019 n 0127049 0019 n 66867 meses ou arredondando 7 meses Exemplo 5 Uma empresa tomou R 350000 emprestados para pagar dentro de 7 meses a uma taxa de juros simples igual a 55 am Calcule o valor futuro dessa operação Valor futuro é o valor do dinheiro após um determinado período é o que chamamos de montante Legenda C 3500 n 7 meses i 55 ao mês taxa percentual a taxa de juros unitária 0055 M M C 1in M 3500 10055 x 7 M R 484750 Exemplo 6 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R 78000 após 6 meses a uma taxa de 95 am Qual o capital inicial da operação C M 78000 n 6 meses i 19 ao bimestre 95 ao mês taxa percentual a taxa de juros unitária 0095 Substituindo C M1in C 780100956 3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO O desconto simples racional também chamado de desconto por dentro assume os conceitos e relações básicas de juros simples Dessa forma Dr é o valor do desconto racional C é o capital ou valor atual i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento Temse a seguir a expressão de juros simples Dr C x i x n Pela definição de desconto e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto obtémse Dr N Vr sendo que N é o valor nominal ou valor de resgate ou montante e Vr é o valor descontado racional ou valor atual na data da operação Vr N Dr Na maioria dos exercícios vamos utilizar as seguintes fórmulas Desconto Dr N i n 1 i n Valor descontado Vr N 1 i n Lembrete No desconto racional o juro incide sobre o capital do título e a taxa de juros aqui representada como desconto é o custo incorrido no período do desconto Temos a seguir mais um exemplo baseado em Assaf Neto 2002 Bruni e Famá 2002 e Hazzan e Pompeo 2004 muito próximo de treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil Exemplo 1 Seja um título de valor de R 350000 vencível em um ano que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento Sendo 48 aa a taxa nominal de juros corrente pedese calcular o desconto e o valor descontado Primeiro vejamos a solução graficamente Análogo ao que já estudamos na capitalização simples trazemos um valor futuro para o presente Legenda N 3500 n 2 meses i 48 aa ou em taxa mensal 4 ao mês Dr Vr Dr N i n 1 i n Dr 3500 004 2 1 004 2 280 108 25926 valor do desconto Esse é o valor que será abatido ou deduzido do valor nominal do título Valor descontado Vr N Dr Vr 3500 25926 324074 Ou Vr N 1 i n Vr 350000 1 004 2 324074 Para o devedor o valor de R 25926 representa o que se está deixando de pagar por quitar a dívida antecipadamente O valor líquido do pagamento valor descontado é de R 324071 31 Desconto bancário ou comercial ou por fora De ampla utilização pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial de curto prazo segundo autores brasileiros de trabalhos de Matemática Financeira como Bruni e Famá 2002 Hazzan e Pompeo 2004 e Assaf Neto 2002 o desconto comercial ou por fora proporciona maior volume de encargos financeiros nas operações porque incide sobre o valor nominal ou valor de resgate Determinase o desconto por fora DF no regime de juros da seguinte forma o produto do valor nominal do título N multiplicado pela taxa de desconto periódica por fora contratada na operação d e pelo prazo de antecipação definido para o desconto n o que pode ser matematicamente representado da seguinte forma DF N x d x n Sendo assim aplicandose a definição para o valor descontado por fora VF obtémse a seguinte fórmula VF N DF VF N N x d x n VF N 1 d x n Dediquemonos em seguida a três exemplos para fixarmos o que acabamos de aprender os dois primeiros como outros no decorrer desse material foram baseados em Assaf Neto 2002 Bruni e Famá 2002 e Hazzan e Pompeo 2004 Exemplo 1 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R 10000 descontada 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de 02 ad Legenda Db 46 47 MATEMÁTICA FINANCEIRA N 100 d 02 ad 0002 ad n 60 dias Db N x d x n Db 10000 x 0002 x 60 Db R 1200 O valor do desconto bancário é de R 1200 Exemplo 2 Uma empresa emitiu uma duplicata de R 750000 a vencer em 3 de abril No dia 19 de janeiro descontou o título num banco que cobra 25 am de desconto bancário Calcular o valor de resgate do título Legenda N 7500 C i 25 am 2530 00833 ao dia taxa percentual taxa unitária 0000833 ad n 74 dias C 7500 1 0000833 x 74 C 7500 1 0091667 C 7500 0938333 O valor do resgate é R 703750 Exemplo de aplicação Exemplo de aplicação Ao longo da unidade você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que correspondem a determinados conceitos Propomos por isso que você aprofunde sua compreensão com relação a eles Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa juro Caso necessite volte ao texto releiao e pesquise em livros e na internet não só o que o termo significa mas como os profissionais da área financeira e matemática o utilizam 48 Unidade I Saiba mais A Matemática em geral e a Financeira ainda mais podem ser disciplinas muito enfadonhas chata para grande parte dos estudantes No entanto também podem ser divertidas e curiosas Recomendamos após o estudo desta unidade a leitura dos livros a seguir TAHAN M O homem que calculava São Paulo Record 2003 Matemática divertida e curiosa São Paulo Record 2002 Há também um bem recomendado site com muitas informações sobre Malba Tahan httpwwwmalbatahancombr 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Comparase a uma progressão geométrica ou seja o juro cresce de forma exponencial ao longo do tempo Os juros incorporamse ao capital inicial da operação e de forma acumulativa isto é juros sobre juros Vejamos exemplo Tabela 4 Ano Capital Juros 10 aa Montante 0 100000 1 100000 1000 x 010 10000 1000 100 110000 2 110000 1100 x 010 11000 1100 110 121000 3 121000 1210 x 010 12100 1210 121 133100 4 133100 1331 x 010 13310 1331 1331 146410 5 146410 146410 x 010 14641 146410 14641 161051 49 MATEMÁTICA FINANCEIRA Na comparação entre juros simples e compostos o mesmo capital aplicado pelo mesmo período e taxa de juros fica da seguinte forma Tabela 5 Ano Simples Montante Composto Montante 0 100000 100000 1 110000 110000 2 120000 121000 3 130000 133100 4 140000 146410 5 150000 161051 1800 1500 1200 900 600 1 2 3 4 5 6 Ano Simples montante Composto montante Figura 8 Observe na tabela de juros compostos que os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de R 100000 mas sobre o saldo total existente no início de cada ano O crescimento dos juros ocorre em progressão geométrica evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo 41 Juros compostos O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e com isso o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano Uma particularidade é serem juros gerados a cada período e incorporados ao valor principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte isto é são juros sobre juros O momento em que os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização A seguir temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos 1º mês M C1 i 2º mês o principal passa a ser o montante do mês anterior M C x 1 i x 1 i 3º mês o principal passa a ser o montante do mês anterior M C x 1 i x 1 i x 1 i Dessa forma é possível obtermos a fórmula da qual deriva todas as outras fórmulas que veremos em seguida a ela M C1 in Para calcular o capital C M 1 in Para calcular o juro j C 1 in 1 Para calcular a taxa de juros i M C1n 1 Observação A taxa de juros representada pela letra i tem de ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja taxa de juros ao mês para n meses Obviamente podem ser usadas outras unidades de tempo como ano semestre etc mas devemos sempre utilizar a mesma unidade para período e taxa Para calcular o juro basta diminuir o valor principal do montante ao final do período J M C Analisemos um exemplo para que você possa compreender melhor o conceito de juros compostos Se uma pessoa deseja obter R 2675000 dentro de 11 meses quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 165 de juros compostos ao mês 50 52 Unidade I Para a calculadora HP12C realizar cálculos de capitalização composta deve exibir a letra C no visor Caso não mostre aperte a tecla STO e depois EEX Fazendo os cálculos Digite o valor principal 26750 depois aperte a tecla chs em seguida a tecla FV digite 165 que é a taxa de juros e para conformar como taxa aperte a tecla i digite 11 e em seguida aperte a tecla n estará assim registrando o período Por último aperte a tecla PV e o resultado será exibido Para facilitar segue sequência a ser seguida Digite os dados da legenda nesta sequência 26750 Chs FV 165 i 11 n PV E terá o resultado R 2234305 A mínima diferença nos centavos é devido às dízimas periódicas Para fixar o aprendizado vejamos outros exemplos Exemplo 1 Qual o valor de resgate de uma aplicação de R 1200000 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 35 am Legenda C 1200000 i 35 am n 8 meses M Interpretemos a questão Veja a pergunta quanto deverá guardar hoje Lembrese de que definimos o valor do dinheiro hoje como o capital ou o valor presente e o valor que desejamos obter no futuro como montante ou valor futuro Sendo assim vamos à solução do problema Legenda M 26750 i 165 am n 11 meses C Substituindo C M 1 in C 26750 1 0016511 C 26750 1197139 C 2234307 Para que o gestor financeiro tenha a visão de mercado vamos indicar em alguns exercícios a solução na HP12C deixando claro contudo que essa ferramenta não poderá ser utilizada nas avaliações a permissão aqui é simplesmente para embasar o aluno nas ações de mercado Vale observar que nem sempre se podem utilizar calculadoras nos exames oficiais Figura 9 HP12C 51 53 MATEMÁTICA FINANCEIRA Substituindo M C 1 in M 12000 1 00358 M R 1580171 Cálculo pela HP12C Digite os dados da legenda nesta sequência 12000 Chs Pv 35 i 8 n FV Resultado R 1580170 Exemplo 2 Calcule o montante de um capital de R 675000 aplicado no regime de juros compostos durante 13 meses à taxa de 38 ao mês Legenda C R 675000 n 13 meses i 38 am 0038 M Cálculo M C1in 54 Unidade I M 6750 1003813 M1096148 Cálculo pela HP12C Digite na sequência os dados da legenda 6750 Chs Pv 38 i 13 n FV Resultado R 1096148 Exemplo 3 Determinar os juros pagos de um empréstimo de R 8752000 pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 335 ao mês Legenda C R 8752000 i 335 am taxa percentual taxa unitária 00335 n 6 meses J Solução J C 1in1 j 87520 1 003356 1 j 87520 103356 1 j 87520 1218604 1 j 87520 0218604 j R 1913222 Para o cálculo na HP12C digite sequencialmente os dados da legenda 87520 Chs Pv 335 i 6 f n Resultado R 1913229 Exemplo 4 Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar R 10000000 daqui a 15 meses considerando a taxa de juro de 175 ao mês no regime de juros compostos Legenda M 10000000 C i 175 am n 15 meses C Substituindo C M 1 in C 100000 1 0017515 C 100000 1297227 C 7708751 Para o cálculo na HP12C digite sequencialmente os dados da legenda 100000 Chs Fv 175 i 15 n Pv Resultado R 7708746 Observação Houve uma pequena diferença nos centavos pois na HP12C considerase todos os números após a vírgula e feita com fórmulas por questão de espaço utilizase somente seis dígitos após a vírgula Exemplo 5 João emprestou a Maria R 10000000 e após seis meses a devolução do empréstimo foi de R 14185200 Considerando capitalização composta qual foi a taxa de juros mensal dessa operação Legenda C 10000000 M 14185200 n 6 meses i Solução 57 MATEMÁTICA FINANCEIRA i M C1n 1 i 141852 10000016 1 i 006 Desenvolvendo o cálculo pela HP12C 141852 10000016 1 Figura 10 1 abrir parêntese 2 digitar 141852 100000 3 fechar parêntese 4 apertar a tecla que indica que os valores digitados na sequência estarão em potência 5 abrir parêntese 6 digitar 16 7 fechar parêntese 8 digitar 1 e Para desenvolver o mesmo cálculo na calculadora do computador você deve seguir os mesmos passos vistos anteriormente com a única diferença de digitar no lugar de isto x em algumas temse a tecla yx 58 Unidade I Figura 11 Exemplo 6 Hoje foram aplicados R 1000000 pelo prazo de 12 meses com taxa de juro de 35 ao trimestre Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos Legenda C 10000 n 12 meses 4 trimestres i 35 at taxa percentual taxa unitária 0035 M Solução M C x 1 in M 10000 x 1 00354 1147523 Exemplo de aplicação Exemplo de aplicação 1 Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem R 1000000 daqui a 12 meses considerando a taxa de juro constante de 22 ao mês no regime de juros compostos Legenda 59 MATEMÁTICA FINANCEIRA Calculando Solução C M 1 in C 10000 1002212 C 770175 2 Um investidor tem R 1100000 para aplicar durante 4 meses Consultou um determinado banco e recebeu as seguintes propostas de investimento I 25 de juros simples ao mês II 13 de juros compostos ao mês III resgate de R 1145000 ao final de um período de quatro meses Qual é a mais interessante Análise da proposta I 60 Unidade I Análise da proposta II Análise da proposta III Solução Proposta I juros simples i 25 ao mês N 4 meses C 11000 M Substituindo na fórmula M C 1 i x n M 11000 1 0025 x 4 M 11000 110 M 1210000 61 MATEMÁTICA FINANCEIRA Proposta II juros compostos i 13 ao mês N 4 meses C 11000 M Substituindo na fórmula M C 1 in M 11000 1 00134 M 1158325 Proposta III retorno de 1145000 Decisão olhando somente para os valores absolutos já temos a escolha da opção I pois o valor é maior pelo mesmo período Isso significa que as taxas não são equivalentes Visualizemos melhor cada proposta no quadro em seguida Quadro 4 Proposta I Proposta II Proposta III i M C1n 1 i 12100 1100014 1 i 24 ao mês Taxa da opção II 13 ao mês i M C1n 1 i 11450 1100014 1 i 1007 ao mês 3 Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R 750000 aplicado durante 6 meses à taxa de 10 am 62 Unidade I Solução Legenda C 7500 i 10 am 010 n 6 meses J M Cálculo para encontrar o montante M C 1 in M 750000 1 0106 M 750000 1106 M 750000 1771561 M 1328670 Calculemos agora os juros compostos o que pode ser realizado de duas formas Primeira forma J M C J 1328670 750000 J 578670 Segunda forma J C 1 in1 J 750000 1 01061 J 578670 42 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta Da mesma maneira que estudamos em juros simples as taxas em juros compostos também exigem análise de equivalência em algumas situações Para compreender o significado dessas taxas é necessário reconhecer que toda operação envolve dois prazos prazo a que se refere a taxa de juros prazo de capitalização do juros Para exemplificar um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6 ao ano a qual é capitalizada ao valor principal todo mês por meio de um percentual proporcional de 050 am Portanto temos dois prazos prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês e para uso das fórmulas da Matemática Financeira é necessário expressálos na mesma unidade de tempo No regime de juros compostos o conceito de taxa equivalente permanece válido diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros Vejamos Lembrete Duas taxas são equivalentes quando um determinado capital aplicado produz mesmo montante no mesmo período iq 1 iq 1 ou iq 1 i 1q iq 1 i1q 1 em que q número de períodos de capitalização Veja alguns exemplos para compreender melhor o que acabamos de estudar Exemplo 1 Qual a taxa equivalente composta mensal de 103826 ao semestre Temos duas formas de solucionar o problema Vejamos a primeira delas iq 1 i 1q i6 610103826 1 i6 61103826 1 i6 166 A segunda solução é esta iq 1i1q 1 iq 1010382616 1 iq 110382616 1 iq 10165999 1 iq 00165999 Como é taxa iq 00165999 x 100 166 ao mês Interpretação 103826 ao semestre ou 166 ao mês é a mesma coisa em linguagem técnica são equivalentes ou proporcionais Assim sendo a um mesmo capital e prazo de aplicação é financeiramente indiferente o rendimento de 166 ao mês ou 103826 ao semestre Para demonstrar isso pensemos numa aplicação de 5000000 aplicado por 2 anos Para i 166 e n 24 meses M 5000000 1016624 R 7422881 Para i 103826 e n 4 semestres M 5000000 11038264 R 7422881 Exemplo 2 A taxa Selic anual atual é de 95 Qual é taxa equivalente ao dia e ao mês considerando o ano comercial Solução Ao dia iq q1i 1 i360 36010095 1 i360 1000252 1 i360 0000252 64 Como é taxa I360 0000252 x 100 00252 ao dia Ao mês iq q1i 1 i12 1210095 1 i12 1007591 1 i12 0007591 Como é taxa i12 0007591 x 100 07591 ao mês Sendo assim 95 ao ano 00252 ao dia e 07591 ao mês são equivalentes Observação Perceba que os procedimentos são diferentes dos métodos utilizados em juros simples pois simplesmente efetuávamos a divisão pelos períodos envolvidos sendo que 12 ao ano era equivalente a 1 ao mês Exemplo 3 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 42 am em determinado instante Qual a taxa acumulada para 1 ano Observação Nos modelos apontados anteriormente foi necessário transformar ano em mês ou seja a pergunta era quantos meses tem um ano Assim o expoente em um dos casos era 12 E quando era para transformar taxa anual e taxa diária a pergunta a ser feita era quantos dias tem um ano Assim o expoente era 360 Agora teremos de transformar mês em ano a pergunta deve ser então um mês em ano deve ser representado como Nesse caso expoente da raiz ficará então da seguinte forma 112 iq q1i 1 i112 11210042 1 i12 16383 1 i12 06383 66 Unidade I como é taxa i x i 12 12 0 6383 100 6383 ao ano Exemplo 4 Capitalizar as seguintes taxas Quadro 4 23 ao mês Em taxa anual 014 ao dia Para 23 dias 745 ao trimestre Para um ano 675 ao semestre Para um ano 34 ao ano Em taxa mensal Solução 23 ao mês Em taxa anual ia 1002312 1 3137 aa 014 ao dia Para 23 dias id 10001423 1 327 para 23 dias 745 ao trimestre Para um ano ia 1007454 1 3329 aa 675 ao semestre Para um ano ia 10067521 1395 aa 34 ao ano Em taxa mensal im 1034112 1 247am Resumo Nesta unidade você deu seus primeiros passos no ambiente da Matemática Financeira ao estudar os conceitos fundamentais utilizados por todos os que se deparam com problemas matemáticos relacionados aos negócios Estudou conceitos como juros capitais fluxo de caixa valor atual capitalização simples e composta juros simples e juros compostos montante capital taxas proporcionais e equivalentes desconto simples racional ou por dentro Conforme advertimos é importante que se dedique bastante a esta unidade não partindo tão logo então à unidade II Dessa forma caso não tenha assimilado bem tudo o que vimos até agora volte e estude mais um pouco Quanto mais tempo puder se dedicar aos estudos dessa primeira parte do nosso material melhor 67 MATEMÁTICA FINANCEIRA No mais parabéns por todo o seu esforço Estas primeiras páginas proporcionaram um conhecimento que pode ser considerado a base matemática para sua vida profissional sendolhe muito útil para outros desafios ao longo do curso O primeiro desses desafios já bate à sua porta Vamos para a unidade II Exercícios Questão 1 ATESEFAZMT 2001 A quantia de R 100000 é aplicada mensalmente durante seis meses a quantia de R 200000 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e finalmente a quantia de R 300000 é aplicada mensalmente durante mais seis meses Qual o valor mais próximo do montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo considerando que as aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4 ao mês A R 4104000 B R 4730400 C R 5129100 D R 6000000 E R 7200000 Resposta correta alternativa B Análise das alternativas Justificativa geral no enunciado da questão é dado que uma aplicação de R 100000 é realizada por 6 meses e após outra de R 200000 também por 6 meses e por fim mais uma de R 300000 também por 6 meses Podese entender que houve uma aplicação de R 100000 por 18 meses outra de R 100000 por 12 meses e mais outra de R 100000 por 6 meses Nessa circunstância o montante é obtido pela aplicação da fórmula seguinte M P 1 in i n 4 sendo que i n 4 é obtido na tabela a seguir 68 Unidade I Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME Valor Presente de uma Série Uniforme multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas as parcelas da série de pagamentos ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 09901 09804 09709 09615 09524 09434 09346 09259 09174 09091 09009 08929 08850 08772 08696 08621 2 19704 19416 19135 18861 18594 18334 18080 17833 17591 17355 17125 16901 16681 16467 16257 16052 3 29410 28839 28286 27751 27232 26730 26243 25771 25313 24869 24437 24018 23612 23216 22832 22459 4 39020 38077 37171 36299 35460 34651 33872 33121 32397 31699 31024 30373 29745 29137 28550 27982 5 48534 47135 45797 44518 43295 42124 41002 39927 38897 37908 36959 36048 35172 34331 33522 32743 6 57955 56014 54172 52421 50757 49173 47665 46229 44859 43553 42305 41114 39975 38887 37845 36847 7 67282 64720 62303 60021 57864 55824 53893 52064 50330 48684 47122 45638 44226 42883 41604 40386 8 76517 73255 70197 67327 64632 62098 59713 57466 55348 53349 51461 49676 47988 46389 44873 43436 9 85660 81622 77861 74353 71078 68017 65152 62469 59952 57590 55370 53282 51317 49464 47716 46065 10 94713 89826 85302 81109 77217 73601 70236 67101 64177 61446 58892 56502 54262 52161 50188 48332 11 103676 97868 92526 87605 83064 78869 74987 71390 68052 64951 62065 59377 56869 54527 52337 50286 12 112551 105753 99540 93851 88633 83838 79427 75361 71607 68137 64924 61944 59176 56603 54206 51971 13 121337 113484 106350 99856 93936 88527 83577 79038 74869 71034 67499 64235 61218 58424 55831 53423 14 130037 121062 112961 105631 98986 92950 87455 82442 77862 73667 69819 66282 63025 60021 57245 54675 15 138651 128493 119379 111184 103797 97122 91079 85595 80607 76061 71909 68109 64624 61422 58474 55755 16 147179 135777 125611 116523 108378 101059 94466 88514 83126 78237 73792 69740 66039 62651 59542 56685 17 155623 142919 131661 121657 112741 104773 97632 91216 85436 80216 75488 71196 67291 63729 60472 57487 18 163983 149920 137535 126593 116896 108276 100591 93719 87556 82014 77016 72497 68399 64674 61280 58178 19 172260 156785 143238 131339 120853 111581 103356 96036 89501 83649 78393 73658 69380 65504 61982 58775 Fonte httpaulasdematematicacombrdocumentosaulasdematematicacombrvpserieuniformepdf Acesso em 22 nov 2011 Montante total M1 M2 M3 M1 1000 1 00418 i 4 18 2564541 M2 1000 1 00412 i 4 12 1502580 M3 1000 1 0046 i 4 6 663297 Montante total 4730418 Questão 2 ATESEFAZMT 2001 Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo O capital de R 300000 é aplicado à taxa de 3 ao mês o capital de R 200000 é aplicado a 4 ao mês e o capital de R 500000 é aplicado a 2 ao mês A taxa média mensal de aplicação destes capitais é de A 30 B 27 69 MATEMÁTICA FINANCEIRA C 25 D 24 E 20 Resolução desta questão na plataforma