Matemática para Economia - Aplicações das Derivadas: Guia Completo UNIP

UNIP Matemática para Economia Módulo 3 Aplicações das derivadas em Matemática pág 1 Módulo 3 Aplicações das derivadas em Matemática 1 Interpretação geométrica da derivada Como vimos no módulo 2 a definição de taxa de variação média de uma função é 1 0 1 0 f x f x f x x x E a definição de derivada de uma função num ponto é f x0 1 0 1 0 1 0 lim x x f x f x x x No gráfico esta relação equivale à tangente do ângulo correspondente à reta que une os pontos x0 e x1 Então graficamente a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente no ponto x0 Vejamos um exemplo O gráfico abaixo corresponde a função fxx2 e a derivada dessa função é fx2x f2224 O coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico no ponto x 2 é igual a 4 Isso indica que a reta tangente é decrescente f1212 O coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico no ponto x 1 é igual a 2 Isso indica que a reta tangente é decrescente f2224 O coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico no ponto x 2 é igual a 4 Isso indica que a reta tangente é crescente f1212 O coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico no ponto x 1 é igual a 2 Isso indica que a reta tangente é crescente f0200 O coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico no ponto x 0 é igual a 0 Isso indica que a reta tangente é horizontal UNIP Matemática para Economia Módulo 3 Aplicações das derivadas em Matemática pág 2 2 Máximos e mínimos Por meio do estudo da primeira derivada é possível identificar intervalos de crescimento e decrescimento da função a partir dos pontos de máximos e mínimos Funções crescentes e decrescentes Se para todo xa b tivermos f x 0 então fx é crescente em todo intervalo a b Se para todo xa b tivermos f x 0 então fx é decrescente em todo intervalo a b Vejamos o exemplo a seguir A primeira derivada da função 3 2 2 3 10 3 x f x x x é 2 4 3 f x x x As raízes da equação fx pontos onde a primeira derivada se anula são x 1 e x 3 Ao fazer o estudo do sinal de fx temos que a função fx é crescente em 1 decrescente em1 3 e crescente em3 como mostra a figura abaixo Como a função é crescente à esquerda de x 1 e decrescente à direita de x 1 significa que x 1 é um ponto de máximo relativo de f isto é este ponto maximiza localmente a função Aplicando o mesmo raciocínio no ponto x 3 podese concluir que x3 é ponto de mínimo local de f Os xlim fx e xlim fx indicam que a função não tem pontos de mínimo e máximo absolutos Agora se f for contínua em a b então f assume um valor máximo absoluto fc e um valor mínimo absoluto fd em algum c e d em a b Uma condição necessária para um ponto c pertencente ao domínio de uma função ser máximo ou mínimo local é que f c 0 3 Concavidade e Ponto de Inflexão O ponto de inflexão indica onde a concavidade da função muda isto é um ponto d é ponto de inflexãose f d 0 e f tem um sinal à esquerda de d e outro à direita de d Concavidade e Ponto de Inflexão Se f x 0 para todo xa b gráfico de fx é côncavo para cima em a b Se f x 0 para todo xa b gráfico de fx é côncavo para baixo em a b Vejamos o exemplo a seguir Vamos estudar concavidade da função Para isso primeiro vamos determinar a primeira e segunda derivada da função Estudo do sinal de f Comportamento de concavidade de f Conclusão a função f é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima em e x 2 é um ponto de inflexão pois UNIP Matemática para Economia Módulo 3 Aplicações das derivadas em Matemática pág 3 4 Máximos e Mínimos por meio da segunda derivada Vejamos um exemplo Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função Para isso vamos determinar a primeira derivada da função e obter as suas raízes que são x 1 e x 4 Em seguida vamos determinar a segunda derivada da função E calcular o valor da fx para x 1 e x 4 raízes da primeira derivada Sejam f f f contínuas em a b e ca b com f c 0 Se f c 0 então c é um ponto de mínimo e se f c 0 então c é ponto de máximo de f