Matemática para Economia - Derivadas: Conceitos e Aplicações

UNIP Matemática para Economia Módulo 2 Derivadas pág 1 Módulo 2 Derivadas 1 Introdução Como o conceito de derivada está ligado à taxa de variação média de uma função vamos iniciar nosso estudo sobre derivadas descrevendo essa taxa A taxa média de variação mede o ritmo de variação da imagem em relação à variação de x e é expressa por A taxa média de variação depende do ponto de partida x0 e da variação de x dada por xx1x0 Fazendo 1 0 x x x e ao substituir na fórmula acima temos 0 0 f x x f x f x x Vejamos um exemplo Seja a função fx x2 representada graficamente por x0 x1 f fx0 fx1 x UNIP Matemática para Economia Módulo 2 Derivadas pág 2 2 Derivada Conceito A derivada de uma função num ponto x0 pertencente ao domínio de f mede a taxa de variação de f dada uma variação da variável independente x definida da seguinte forma 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 lim lim lim x x x x f x f x f x x f x f x x x x Simbolicamente a derivada de fx no ponto x0 é expressa por 0 0 0 df dy ou dx dx f x x x 3 Função derivada Função derivada de é o cálculo da derivada de em um ponto genérico x o domínio dessa função é o conjunto dos valores de x para os quais existe a derivada de A principal vantagem em calcular a função derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de em qualquer ponto para isso basta substituir na função derivada x por Exemplo Determine a função derivada de Assim se quisermos a derivada no ponto basta calcular que é igual a 4 Observe que quando x varia de 1 a 2 f varia de 1 a 4 Assim a taxa de variação de f dada uma variação em x é dada por 4 1 3 2 1 f x Isto significa que quando x varia de 1 unidade começando de x0 1 f varia 3 unidades A derivada de uma função num ponto é um limite e sua condição de existência é que o limite que define a derivada exista UNIP Matemática para Economia Módulo 2 Derivadas pág 3 4 Derivada das principais funções elementares 41 Derivada da função constante Se função constante então para todo x Exemplos 42 Derivada da função potência Se então Exemplos 43 Derivada da função logarítmica Se então Se então Exemplo 44 Derivada da função exponencial Se então para todo x real Exemplos UNIP Matemática para Economia Módulo 2 Derivadas pág 4 5 Regras de derivação Considere k uma constante I Se então II Se então III Se então IV Se então V Se então 6 Derivadas sucessivas é a derivada de é a derivada de denominada por derivada segunda de é a derivada de denominada por derivada terceira de Analogamente podemos definir derivada quarta quinta e assim por diante A derivada de ordem n de será representada por se n for grande evitando o uso de muitas linhas Exemplo Para teremos as seguintes derivadas sucessivas UNIP Matemática para Economia Módulo 2 Derivadas pág 5 7 Regra de LHôpital Se fx e gx são funções deriváveis tais que é da forma então desde que exista o limite Exemplos Calcule os limites abaixo usando a regra de LHopital a Como numerador e denominador tendem a 0 quando x tende a 2 a regra de LHopital pode ser aplicada b Como numerador e denominador tendem a 0 quando x tende a 2 a regra de LHospital pode ser aplicada c Tanto o numerador quanto o denominador tendem a quando x tende a Logo pela regra de LHospital 8 Diferencial de uma função O diferencial de uma função df mede a variação da função a partir da taxa de variação da função num ponto útel para calcular aproximadamente variações de f para pequenos valores de Exemplo Consideremos a função e os pontos de abscissa 1 e 101 A variação de f entre os pontos dados é A diferencial de f no ponto de abscissa 1 para é Como e temos